導(dǎo)數(shù)壓軸專題突破-第35講 導(dǎo)數(shù)中的整數(shù)解問題（含答案及解析）

第35講導(dǎo)數(shù)中的整數(shù)解問題【典型例題】例1．設(shè)函數(shù)，其中，若存在唯一的正整數(shù)使得，則的取值范圍是A． B．， C． D．例2．設(shè)函數(shù)，若存在唯一的正整數(shù)，使得，則的取值范圍是A． B． C． D．例3．已知函數(shù)，若有且只有兩個整數(shù)，使得，且，則的取值范圍是A． B． C． D．例4．已知函數(shù)，若有且只有兩個整數(shù)，使得，且，則實數(shù)的取值范圍為A．， B．， C． D．，例5．已知函數(shù)有兩個零點，，且存在唯一的整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．例6．已知函數(shù)，，若不等式的解集中恰有兩個整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是．例7．已知一次函數(shù)滿足（2），函數(shù)，若不等式解集中有且僅有兩個整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是．例8．已知函數(shù)，關(guān)于的不等式只有2個整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是【同步練習(xí)】一．選擇題1．已知函數(shù)有兩個零點，，且在區(qū)間有且僅有2個正整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C．， D．，2．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且對任意的實數(shù)都有是自然對數(shù)的底數(shù)），且，若關(guān)于的不等式的解集中恰有兩個整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是A．， B．， C．， D．，3．已知若，則稱為的原函數(shù)，此時所有的原函數(shù)為，其中為常數(shù)，如：，則為常數(shù)）．現(xiàn)已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為且對任意的實數(shù)都有是自然對數(shù)的底數(shù)），且，若關(guān)于的不等式的解集中恰有兩個整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是A．， B．， C．， D．，4．函數(shù)，其中，若有且只有一個整數(shù)，使得，則的取值范圍是A． B． C． D．5．設(shè)函數(shù)，其中，若有且只有一個整數(shù)使得，則的取值范圍是A． B． C． D．6．在關(guān)于的不等式（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集中，有且僅有一個大于2的整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為A．， B．， C．， D．，7．在關(guān)于的不等式（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集中，有且僅有兩個正整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為A．， B．， C．， D．，8．若不等式在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．9．若不等式在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．10．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有且僅有兩個不同的整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．，11．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有且僅有兩個不同的整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是A．， B．， C．， D．，12．已知函數(shù)，關(guān)于的不等式只有2個整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．13．已知關(guān)于的不等式有且僅有兩個正整數(shù)解（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），則實數(shù)的取值范圍是A．， B．， C．， D．，14．已知函數(shù)，若的解集中恰有一個整數(shù)，則的取值范圍為A． B． C． D．二．填空題15．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且對任意的實數(shù)都有是自然對數(shù)的底數(shù)），且，若關(guān)于的不等式的解集中恰有兩個整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是

第35講導(dǎo)數(shù)中的整數(shù)解問題【典型例題】例1．設(shè)函數(shù)，其中，若存在唯一的正整數(shù)使得，則的取值范圍是A． B．， C． D．【解析】解：設(shè)，，由題意可知，存在唯一的正整數(shù)使得，即存在唯一的正整數(shù)使在的下方，由題意可得，，而（1），（1），故，又（2），（2），解可得，，故的范圍．故選：．例2．設(shè)函數(shù)，若存在唯一的正整數(shù)，使得，則的取值范圍是A． B． C． D．【解析】解：設(shè)，，，所以或者時函數(shù)遞增，時遞減，并且（1），（2），（3），（4），圖象如圖，函數(shù)經(jīng)過，要使存在唯一的正整數(shù)，使得，即有唯一正整數(shù)解，所以只要并且即解得；故選：．例3．已知函數(shù)，若有且只有兩個整數(shù)，使得，且，則的取值范圍是A． B． C． D．【解析】解：由，得，作出函數(shù)與的圖象如圖：直線過定點，當(dāng)時，曲線上的點為，當(dāng)時，曲線上的點為．過點與的直線的斜率，過點與的直線的斜率．由，得，由，得．若有且只有兩個整數(shù)，使得，且，則的取值范圍是．故選：．例4．已知函數(shù)，若有且只有兩個整數(shù)，使得，且，則實數(shù)的取值范圍為A．， B．， C． D．，【解析】解：由題意，，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，且（2），所以有無數(shù)個整數(shù)解，不符合題意，當(dāng)時，易得在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，因為（1），（2），故（3），所以．綜上．故選：．例5．已知函數(shù)有兩個零點，，且存在唯一的整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【解析】解：根據(jù)題意，令，則方程有兩個解；令，則與有兩個交點，令，則有；令，則有，此時函數(shù)單調(diào)遞增；令，則有，此時函數(shù)單調(diào)遞減；又，當(dāng)時，；又當(dāng)時，，當(dāng)時，作出函數(shù)簡圖如下：又（1），根據(jù)題意，存在唯一整數(shù)結(jié)合圖象可得，（2）（1）故選：．例6．已知函數(shù)，，若不等式的解集中恰有兩個整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是．【解析】解：，故當(dāng)時，，當(dāng)，時，，在上單調(diào)遞減，，上單調(diào)遞增，且（1），又的函數(shù)圖象開口向下，對稱軸為，要使不等式的解集中恰有兩個整數(shù)，其圖象如下：不等式的解集中恰有兩個整數(shù)是1，2，，無解，不等式的解集中恰有兩個整數(shù)是2，3，，解得．實數(shù)的取值范圍是，．故答案為：，．例7．已知一次函數(shù)滿足（2），函數(shù)，若不等式解集中有且僅有兩個整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是．【解析】解：一次函數(shù)滿足（2），可得，函數(shù)，可得，令，解得，時，，函數(shù)是減函數(shù)，，，，函數(shù)是增函數(shù)，不等式解集中有且僅有兩個整數(shù)，只可能是，1和2，所以，解得，．故答案為：，．例8．已知函數(shù)，關(guān)于的不等式只有2個整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是【解析】解：作出函數(shù)的圖象：①若，由，可得或，顯然沒有整數(shù)解，則有2個整數(shù)解，由圖可知：2；②若，由，可得或，顯然沒有整數(shù)解，而有無數(shù)多個整數(shù)解，不符題意，舍去；③若，由，可得，有無數(shù)多個整數(shù)解，不符題意，舍去．綜上可知：實數(shù)的取值范圍是：．故答案為：．【同步練習(xí)】一．選擇題1．已知函數(shù)有兩個零點，，且在區(qū)間有且僅有2個正整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C．， D．，【解析】解：由題意知函數(shù)有兩個零點，，等價于函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，又，令，可得；令，可得，是函數(shù)的極大值點，也是最大值點，且（1），由可知：的圖象為過定點的一條直線，如右圖所示：若滿足函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，且在區(qū)間有且僅有2個正整數(shù)，，解得：，故選：．2．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且對任意的實數(shù)都有是自然對數(shù)的底數(shù)），且，若關(guān)于的不等式的解集中恰有兩個整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【解析】解：由題意可得，，令，則，故，又，所以，，，當(dāng)或時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，故當(dāng)時，函數(shù)取得極大值（1），當(dāng)時，函數(shù)取得極小值，又，，且時，，結(jié)合函數(shù)的圖象，要使得的解集中恰有兩個整數(shù)，則，即，故實數(shù)的取值范圍是，．故選：．3．已知若，則稱為的原函數(shù)，此時所有的原函數(shù)為，其中為常數(shù)，如：，則為常數(shù)）．現(xiàn)已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為且對任意的實數(shù)都有是自然對數(shù)的底數(shù)），且，若關(guān)于的不等式的解集中恰有兩個整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【解析】解：由等式，可得，即，即為常數(shù)），，則，，因此，，，令，得或，列表如下：100極小值極大值函數(shù)的極小值為，極大值為，且，作出圖象如下圖所示，由圖象可知，當(dāng)時，．另一方面，，則，由于函數(shù)在直線下方的圖象中只有兩個橫坐標(biāo)為整數(shù)的點，由圖象可知，這兩個點的橫坐標(biāo)分別為、，則有，解得，因此，實數(shù)的取值范圍是，，故選：．4．函數(shù)，其中，若有且只有一個整數(shù)，使得，則的取值范圍是A． B． C． D．【解析】解：設(shè)，，則，，，單調(diào)遞增，，，，單調(diào)遞減，時，取得最大值為，，（1）（1），直線恒過定點且斜率為，，，又，的取值范圍，．故選：．5．設(shè)函數(shù)，其中，若有且只有一個整數(shù)使得，則的取值范圍是A． B． C． D．【解析】解：設(shè)，，則，，，單調(diào)遞減，，，，單調(diào)遞增，，取最小值，，（1）（1），直線恒過定點且斜率為，，，，的取值范圍，．故選：．6．在關(guān)于的不等式（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集中，有且僅有一個大于2的整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為A．， B．， C．， D．，【解析】解：由，化簡得，設(shè)，，則原不等式即為，若，則當(dāng)時，，，原不等式的解集中有無數(shù)個大于2的整數(shù)，，（2），（2），（2）（2），當(dāng)（3）（3），即時，設(shè)，則，設(shè)，則，在，上為減函數(shù)，（4），當(dāng)時，，在，上為減函數(shù)，即，當(dāng)時，不等式恒成立，此時，原不等式的解集中沒有大于2的整數(shù)，要使不等式的解集中有且僅有一個大于2的整數(shù)，結(jié)合（2）（2），可知只需（3）（3），即，解得，．故選：．7．在關(guān)于的不等式（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集中，有且僅有兩個正整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為A．， B．， C．， D．，【解析】解：當(dāng)時，由可得，顯然當(dāng)時，不等式在恒成立，不符合題意；當(dāng)時，令，則在上單調(diào)遞增，令，則，在上單調(diào)遞增，，，且有2個正整數(shù)解，，即，解得．故選：．8．若不等式在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【解析】解：令，，則，令，得或；，得，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，（1），且如圖所示，當(dāng)時，至多有一個整數(shù)解．當(dāng)時，在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個整數(shù)，只需，即，解得．故選：．9．若不等式在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【解析】解：令，，則，令，得或；，得，在和，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，且（2），當(dāng)時，至多有一個整數(shù)解．當(dāng)時，在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個整數(shù)，只需，即，解得：，故選：．10．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有且僅有兩個不同的整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．，【解析】解：，當(dāng)時，，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，做出的圖象如圖所示：有且僅有兩個不同的整數(shù)解，的圖象夾在平行直線和之間的部分只有兩個整數(shù)解．又，（1），，，，．故選：．11．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有且僅有兩個不同的整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【解析】解：要使方程則當(dāng)且僅當(dāng)，且時方程等價為，即，且，得，即的圖象夾在平行直線和之間的部分只有兩個整數(shù)解．作出函數(shù)的圖象如圖：，（1），，，要使的整數(shù)解只有兩個，則其中一個整數(shù)解為，另外一個整數(shù)解為，即滿足，得，即，即實數(shù)的取值范圍是，，故選：．12．已知函數(shù)，關(guān)于的不等式只有2個整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【解析】解：，令，解得，則在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，所以，因為，，不等式只有2個整數(shù)解，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍為．故選：．13．已知關(guān)于的不等式有且僅有兩個正整數(shù)解（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），則實數(shù)的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【解析】解：當(dāng)時，由，得，即，，顯然當(dāng)時，不等式在恒成立，不符合題意；當(dāng)時，令，則在上單調(diào)遞增，令，則，在上單調(diào)遞增，，，且有2個正整數(shù)解，，即，即，解得．即實數(shù)的取值范圍是，，故選：．14．已知函數(shù)，若的解集中恰有一個整數(shù)，則的取值范圍為A． B． C． D．【解析】解：，即，即，因為，所以，令，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上