導(dǎo)數(shù)壓軸專題突破-第37講 切線放縮（含答案及解析）

第37講切線放縮【典型例題】例1．已知，，，成等比數(shù)列，且，若，則A．， B．， C．， D．，例2．已知，已知數(shù)列滿足，，且，則有A．最大值6030 B．最大值6027 C．最小值6027 D．最小值6030例3．已知不等式對(duì)一切都成立，則的最小值是A． B． C． D．1例4．若存在，滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．例5．已知函數(shù)，函數(shù)，，．（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．（3）證明：當(dāng)時(shí)，．例6．已知函數(shù)，函數(shù)，，．（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．（3）證明：．【同步練習(xí)】一．選擇題1．已知函數(shù)，，函數(shù)的最小值，則實(shí)數(shù)的最小值是A． B． C．0 D．二．填空題2．若，是實(shí)數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，，則．3．若，是實(shí)數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，，則．4．已知不等式對(duì)一切都成立，則的最小值是．5．已知函數(shù)，，直線與的圖象相切，與的圖象也相切，則直線的方程是．6．已知實(shí)數(shù)，，滿足為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則的最小值是．7．已知實(shí)數(shù)，，滿足（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則的最小值是．8．函數(shù)，，若使得，則．三．解答題9．已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（3）對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

第37講切線放縮【典型例題】例1．已知，，，成等比數(shù)列，且，若，則A．， B．， C．， D．，【解析】解：，，，成等比數(shù)列，由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，奇數(shù)項(xiàng)符號(hào)相同，偶數(shù)項(xiàng)符號(hào)相同，，設(shè)公比為，當(dāng)時(shí)，令，，即，故，不成立，即：，，，，不成立，排除、．當(dāng)時(shí)，，，等式不成立，所以；當(dāng)時(shí)，，，不成立，當(dāng)時(shí)，，，并且，能夠成立，故選：．例2．已知，已知數(shù)列滿足，，且，則有A．最大值6030 B．最大值6027 C．最小值6027 D．最小值6030【解析】解：，當(dāng)時(shí)，，對(duì)于函數(shù)，，在處的切線方程為，即，則成立，，時(shí)，有，．故選：．例3．已知不等式對(duì)一切都成立，則的最小值是A． B． C． D．1【解析】解：令，則，若，則恒成立，時(shí)函數(shù)遞增，無(wú)最值．若，由得：，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞減．則處取得極大值，也為最大值，，，，令，，上，，，上，，，．的最小值為．故選：．例4．若存在，滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【解析】解：設(shè)，，則是單調(diào)增函數(shù)，且的值域?yàn)?，；設(shè)，則恒過(guò)定點(diǎn)，又，，且（1），存在，不等式時(shí)，即，不等式不成立，由此得，解得，所以的取值范圍是．故選：．例5．已知函數(shù)，函數(shù)，，．（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．（3）證明：當(dāng)時(shí)，．【解析】解：（1）的定義域?yàn)?，，?dāng)，時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)，時(shí)，令，得，令，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)，時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)，時(shí)，令，得，令，得，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）證明：設(shè)函數(shù)，則．，，，，則，從而在，上單調(diào)遞減，，即．（3）證明：方法一：當(dāng)時(shí)，．由（1）知，（1），，即．當(dāng)時(shí)，，，則，即，又，，即．方法二：當(dāng)時(shí)，要證，只需證即證，令，易證，故，所以當(dāng)時(shí)，．例6．已知函數(shù)，函數(shù)，，．（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．（3）證明：．【解析】解：（1）函數(shù)的定義域，，當(dāng)，時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)，時(shí)，由可得，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，令可得，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)，時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞減，當(dāng)，時(shí)，由可得，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，令可得，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，（2）當(dāng)時(shí)，，由（1）知，（1），所以，（3）因?yàn)?，所以，由?）可得，即，又．，即．【同步練習(xí)】一．選擇題1．已知函數(shù)，，函數(shù)的最小值，則實(shí)數(shù)的最小值是A． B． C．0 D．【解析】解：函數(shù)，，，由，解得：，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，從而在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，，當(dāng)，，即，在上，，，單調(diào)遞減，在，上，，，單調(diào)遞增，，設(shè)，，，，，在，上單調(diào)遞減，，的最小值為0．故選：．二．填空題2．若，是實(shí)數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，，則．【解析】解：，（當(dāng)時(shí)取等號(hào)），，，此時(shí)時(shí)取等號(hào)，，（當(dāng)時(shí)取等號(hào)），，此時(shí)取等號(hào)，又，，故有且同時(shí)成立，解可得，，，此時(shí)．故答案為：3．若，是實(shí)數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，，則．【解析】解：令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則在上遞增，在上遞減，即，（1），即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”，于是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”，顯然，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”，由，解得，此時(shí)．故答案為：．4．已知不等式對(duì)一切都成立，則的最小值是．【解析】解：令，則，若，則恒成立，時(shí)函數(shù)遞增，無(wú)最值．若，由得：，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞減．則處取得極大值，也為最大值，，，，令，，上，，，上，，，．的最小值為．故答案為：．5．已知函數(shù)，，直線與的圖象相切，與的圖象也相切，則直線的方程是．【解析】解：與互為反函數(shù)，其圖象如圖，其公共點(diǎn)為，由，得，，曲線在處的切線方程為，由，得，，曲線在處的切線方程為，曲線與曲線的公切線為．故答案為：．6．已知實(shí)數(shù)，，滿足為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則的最小值是．【解析】解：由題意設(shè)新函數(shù)，設(shè)，則，可知，即；由不等式性質(zhì)可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），即有：，即：；；；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，則的最小值是：故答案為：7．已知實(shí)數(shù)，，滿足（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則的最小值是．【解析】解：構(gòu)造函數(shù)，，令解得：，故函數(shù)在遞減，遞增，故的最小值為，故在上恒成立，故，，，故，當(dāng)且僅當(dāng)：，時(shí)取等號(hào)，故，，故，觀察可得可表示為關(guān)于的二次函數(shù)，故在對(duì)稱軸取最小值，最小值為，故答案為：．8．函數(shù)，，若使得，則．【解析】解：令，令，，故在上是減函數(shù)，上是增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，有最小值，而（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立）；故（當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)同時(shí)成立時(shí)，等號(hào)成立）；故，即．故答案為：三．解答題9．已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（3）對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】解：（1）的定義域是，，①時(shí)，，在遞增，②時(shí)，令，解得：，令，解得：，故在遞增，在，遞減；（2）函數(shù)，由，可得，，設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，，遞減；當(dāng)時(shí)，，遞增，可得處取得最大值1，如圖所示：當(dāng)或，即或時(shí)，直線與有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)即時(shí)，直線與有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)即時(shí)，直線與沒(méi)有交點(diǎn)，綜上可得，，函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0