導數(shù)壓軸專題突破-第38講 數(shù)值估算問題（含答案及解析）

第38講數(shù)值估算問題【典型例題】例1．已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若對任意實數(shù)都成立，記的最大值為，求證：．（證明可能要用到的近似值：，，例2．已知函數(shù)．（1）若，求的值；（2）已知某班共有人，記這人生日至少有兩人相同的概率為，，將一年看作365天．求的表達式；估計的近似值（精確到．參考數(shù)值：，，．例3．已知，，曲線在點，（1）處的切線方程為．（1）求，的值；（2）若當時，恒成立，求的取值范圍；（3）已知，試估算的近似值（精確到．例4．青島膠東國際機場的顯著特點之一是彎曲曲線的運用，衡量曲線彎曲程度的重要指標是曲率，曲線的曲率定義如下：若是的導函數(shù)，是的導函數(shù)，則曲線在點，處的曲率．已知函數(shù)，，若，則曲線在點，（1）處的曲率為．（1）求；（2）若函數(shù)存在零點，求的取值范圍；（3）已知，，，證明：．例5．關(guān)于的函數(shù)，我們曾在必修一中學習過“二分法”求其零點近似值.現(xiàn)結(jié)合導函數(shù)，介紹另一種求零點近似值的方法——“牛頓切線法”.(1)證明：有唯一零點，且；(2)現(xiàn)在，我們?nèi)稳?1,a)開始，實施如下步驟：在處作曲線的切線，交軸于點；在處作曲線的切線，交軸于點；……在處作曲線的切線，交軸于點；可以得到一個數(shù)列，它的各項都是不同程度的零點近似值.（i）設(shè)，求的解析式(用表示)；（ii）證明：當，總有.例6．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）利用（1）中的切線方程求的近似值.例7．（1）求曲線在點處的切線方程.（2）利用（1）中的切線方程求的近似值.例8．已知函數(shù)(1)當時，求函數(shù)在處切線的方程；(2)是否存在實數(shù)，使得只有唯一的正整數(shù)，對于恒有？若存在，求出的取值范圍及正整數(shù)的值，若不存在，請說明理由？（下表的近似值僅供參考）例9．已知函數(shù).（1）若函數(shù)在內(nèi)為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)在內(nèi)恰有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍；（3）已知，試估算的近似值，（結(jié)果精確到0.001）例10．已知函數(shù)；（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）是否存在實數(shù)k，使得只有唯一的正整數(shù)a，對于恒有：，若存在，請求出k的范圍以及正整數(shù)a的值;若不存在請說明理由．（下表的近似值供參考）例11．已知函數(shù)=.（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，當時，,求的最大值；（3）已知，估計ln2的近似值（精確到0.001）考點：本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等知識，綜合性較強，考查函數(shù)與方程、分類討論等數(shù)學思想方法，考查同學們分析問題、解決問題的能力，熟練函數(shù)與導數(shù)的基礎(chǔ)知識以及基本題型是解答好本類題目的關(guān)鍵.例12．設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）求證：函數(shù)有且只有一個極值點；（Ⅱ）求函數(shù)的極值點的近似值，使得；（Ⅲ）求證：對恒成立．（參考數(shù)據(jù)：）．【同步練習】1．已知函數(shù)，曲線在點處的切線與直線垂直.(1)試比較與的大小，并說明理由；(2)若函數(shù)有兩個不同的零點，證明：.2．已知，(1)求函數(shù)的導數(shù)，并證明：函數(shù)在上是嚴格減函數(shù)（常數(shù)為自然對數(shù)的底）；(2)根據(jù)（1），判斷并證明與的大小關(guān)系，并請推廣至一般的結(jié)論（無須證明）；(3)已知、是正整數(shù)，，，求證：是滿足條件的唯一一組值.3．已知函數(shù)．(1)這比較與的大??；(2)求證：當時，．參考數(shù)據(jù)：．4．已知為正整數(shù)，，.(1)求的最大值；(2)若恒成立，求正整數(shù)的取值的集合.（參考數(shù)據(jù)：）5．已知函數(shù)．(1)若，求a的值；(2)已知某班共有n人，記這n人生日至少有兩人相同的概率為，，將一年看作365天．（?。┣蟮谋磉_式；（ⅱ）估計的近似值（精確到0.01）．參考數(shù)值：，，，．6．已知函數(shù).(1)當時，求的最小值；(2)設(shè)，，證明：有且僅有個零點.（參考數(shù)據(jù)：，.）7．已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若，證明：對于任意，恒成立.（參考數(shù)據(jù)：）8．已知函數(shù)（其中是自然對數(shù)底數(shù)）.(1)求的最小值；(2)若過點可作曲線的兩條切線，求證：.（參考數(shù)據(jù)：）9．已知函數(shù)，其中，函數(shù)在上的零點為，函數(shù).(1)證明：①;②函數(shù)有兩個零點；(2)設(shè)的兩個零點為，證明：．（參考數(shù)據(jù)：）10．已知函數(shù)．證明：(1)在區(qū)間內(nèi)存在唯一極大值點；(2)有且僅有唯一零點．（參考數(shù)據(jù)：．）11．已知函數(shù)有兩個極值點，且．(1)求實數(shù)m的取值范圍；(2)證明：．參考數(shù)據(jù)：．12．已知函數(shù)，曲線在點處的切線在軸上的截距為．(1)求的最小值；(2)證明：當時，．參考數(shù)據(jù)：，．13．已知函數(shù).(1)證明：有兩個極值點，且分別在區(qū)間和內(nèi)；(2)若有3個零點，求整數(shù)的值.參考數(shù)據(jù)：.14．已知函數(shù)，．(1)若在區(qū)間上存在極值點，求實數(shù)的取值范圍；(2)求證：當時，對任意，．（參考：，，，）15．已知函數(shù)．(1)記，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若有3個零點，求整數(shù)a的值．參考數(shù)據(jù)：，，，．16．已知函數(shù)在處的切線方程為.(1)求實數(shù)的值；(2)（i）證明：函數(shù)有且僅有一個極小值點，且；（ii）證明：.參考數(shù)據(jù)：，，，.17．已知函數(shù)，，且(1)若，且，試比較與的大小關(guān)系，并說明理由；(2)若，且，證明：（i）；（ii）.（參考數(shù)據(jù)：）18．已知函數(shù)．(1)當時，若滿足，討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當時，若恒成立，試比較a和1.5625的大小．參考數(shù)據(jù)：，，，．19．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的圖象在處的切線方程；(2)證明：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在唯一的極大值點.（參考數(shù)據(jù)：，，）20．已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若，求證：.參考數(shù)據(jù)：.21．已知函數(shù)，為函數(shù)的導函數(shù)．(1)證明：當時，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在唯一的極大值點，且；(2)若在上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍．（參考數(shù)據(jù)：，，）22．已知函數(shù)．(1)證明：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在唯一的極大值點；(2)判斷函數(shù)在上的極值點的個數(shù)．（參考數(shù)據(jù)：，，）第38講數(shù)值估算問題【典型例題】例1．已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若對任意實數(shù)都成立，記的最大值為，求證：．（證明可能要用到的近似值：，，【解析】解（Ⅰ），，設(shè)，．時，，時，，的單調(diào)增區(qū)間為，．（Ⅱ）證明：對任意實數(shù)都成立，設(shè)，，，．設(shè)，在上遞增，，（1），存在唯一的，使．時，在上遞減，，，在，上遞增．又，（1），，時，，（1）．存在唯一實數(shù)，使，有．即時，，，時，，為唯一的極小值點，．在遞減，例2．已知函數(shù)．（1）若，求的值；（2）已知某班共有人，記這人生日至少有兩人相同的概率為，，將一年看作365天．求的表達式；估計的近似值（精確到．參考數(shù)值：，，．【解析】（本小題滿分12分）解：（1）由題得，當時，的定義域為；當時，的定義域為，又，且，所以是的極小值點，故．而，于是，解得．下面證明當時，．當時，，，，所以當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，所以，即符合題意．綜上，．（2）由于人生日都不相同的概率為，故人生日至少有兩人相同的概率為．由（1）可得當時，，即，當且僅當時取等號，由得．記，則，即，由參考數(shù)值得，于是，故．例3．已知，，曲線在點，（1）處的切線方程為．（1）求，的值；（2）若當時，恒成立，求的取值范圍；（3）已知，試估算的近似值（精確到．【解析】解：（1），，由于在點，（1）處的切線方程為，則（1），（1）即，，解得，；（2），由得，即，令則，①當時，恒成立，即有在上單調(diào)遞增，則（1），這與矛盾，不合題意；若，令△，②當時，△恒成立且即有恒成立，即恒成立即在上單調(diào)遞增，即有（1），這與矛盾，不合題意；③當時，△，方程有兩個不等實根，（不妨設(shè)，由韋達定理得，，即，則當時，恒成立，即恒成立，即有在上單調(diào)遞增，則（1），這與矛盾，不合題意；④當時，△，方程有兩個不等實根，（不妨設(shè)，，即有，即有在單調(diào)遞增，當時，，即有在上單調(diào)遞增，即有（1），這與矛盾，不合題意；⑤當時，△且，則恒成立，即有在，上單調(diào)遞減，（1），合題意．綜上所述，當，時，恒成立；（3）對任意的，，由（2）知，當時，恒成立，即，可令，可得，即，令，可得，此時，則，可令有，，取，．例4．青島膠東國際機場的顯著特點之一是彎曲曲線的運用，衡量曲線彎曲程度的重要指標是曲率，曲線的曲率定義如下：若是的導函數(shù)，是的導函數(shù)，則曲線在點，處的曲率．已知函數(shù)，，若，則曲線在點，（1）處的曲率為．（1）求；（2）若函數(shù)存在零點，求的取值范圍；（3）已知，，，證明：．【解析】（1）解：，若，則，，，因為曲線在點，（1）處的曲率為，所以，又，所以．（2）解：由（1）可得，若函數(shù)存在零點，則方程在上有解，即在上有解，，，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以（1），當且僅當時取等號，從而，當且僅當時取等號，所以，當且僅當時等號成立，當時，，所以，解得，即實數(shù)的取值范圍是，．（3）證明：由（2）得，則，則，又，則，所以．例5．關(guān)于的函數(shù)，我們曾在必修一中學習過“二分法”求其零點近似值.現(xiàn)結(jié)合導函數(shù)，介紹另一種求零點近似值的方法——“牛頓切線法”.(1)證明：有唯一零點，且；(2)現(xiàn)在，我們?nèi)稳?1,a)開始，實施如下步驟：在處作曲線的切線，交軸于點；在處作曲線的切線，交軸于點；……在處作曲線的切線，交軸于點；可以得到一個數(shù)列，它的各項都是不同程度的零點近似值.（i）設(shè)，求的解析式(用表示)；（ii）證明：當，總有.【解析】(1)證明：，定義域為，所以，在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為，所以，存在唯一，使得，即：有唯一零點，且.(2)（i）由（1）知，所以，曲線在處的切線斜率為，所以，曲線在處的切線方程為，即令得所以，切線與軸的交點，即，所以，.(ii)對任意的，由（i）知，曲線在處的切線方程為：，故令，令所以，，所以，當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減；所以，恒有，即恒成立，當且僅當時等號成立，另一方面，由（i）知，，且當時，，（若，則，故任意，顯然矛盾）因為是的零點，所以因為為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，對任意的時，總有又因為，所以，對于任意，均有，所以，所以，綜上，當，總有例6．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）利用（1）中的切線方程求的近似值.【解析】（1）由題得，所以切線的斜率，所以切線方程為.所以切線方程為.（2）由題得，所以.例7．（1）求曲線在點處的切線方程.（2）利用（1）中的切線方程求的近似值.【解析】（1）因為，所以，所以，所以切線的斜率，故切線方程為，即；（2）當時，，所以；例8．已知函數(shù)(1)當時，求函數(shù)在處切線的方程；(2)是否存在實數(shù)，使得只有唯一的正整數(shù)，對于恒有？若存在，求出的取值范圍及正整數(shù)的值，若不存在，請說明理由？（下表的近似值僅供參考）【解析】(1)當時，函數(shù)，求導，則切線的斜率又，即切點，故函數(shù)在處切線的方程：(2)函數(shù)，則，，求導，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，函數(shù)取得最大值，即，對于恒有，轉(zhuǎn)化為，即，令，求導求二階導，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，且，存在使得，又在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，(3)，(4)，(5)，，，，此時．例9．已知函數(shù).（1）若函數(shù)在內(nèi)為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)在內(nèi)恰有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍；（3）已知，試估算的近似值，（結(jié)果精確到0.001）【解析】解:（1）由題,,,在內(nèi)為增函數(shù),在上恒成立,即,令,則,所以在內(nèi)為增函數(shù),所以.（2）由題,,,①當時,,則,在內(nèi)為增函數(shù),,則當時,,在內(nèi)有且只有一個零點,不符合題意；②當時,設(shè),則,在內(nèi)為減函數(shù),且,,（i）當,時,,在內(nèi)為增函數(shù),,則當時,,在內(nèi)有且只有一個零點,不符合題意；（ii）當時,,,,使得,則在內(nèi)為增函數(shù),在內(nèi)為減函數(shù),則,則在內(nèi)有且只有一個零點,當且僅當,解得；（iii）當,時,,在內(nèi)為減函數(shù),,則當時,,在內(nèi)有且只有一個零點,不符合題意,綜上所述,.（3）由（1）可知,當時,在內(nèi)為增函數(shù),所以,即在內(nèi)恒成立,由（2）可知,當時,在內(nèi)為減函數(shù),所以,即在內(nèi)恒成立,綜上,有,即在內(nèi)恒成立,令,則有,可得,即,則,解得,所以的近似值約為1.609.例10．已知函數(shù)；（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）是否存在實數(shù)k，使得只有唯一的正整數(shù)a，對于恒有：，若存在，請求出k的范圍以及正整數(shù)a的值;若不存在請說明理由．（下表的近似值供參考）【解析】（Ⅰ），所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，下面證明：，等價于證明：，設(shè)，則，令，解得，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，所以，則.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，所以不等式只有唯一的正整數(shù)解，即，設(shè)，，，又，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，結(jié)合知存在滿足，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，因為，所以，此時.例11．已知函數(shù)=.（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，當時，,求的最大值；（3）已知，估計ln2的近似值（精確到0.001）【解析】（1）因為，當且僅當時等號成立，所以函數(shù)在R上是增函數(shù)；（2）因為=，所以=.當時,,等號僅當時成立，所以在R上單調(diào)遞增，而，所以對任意，；當時，若滿足，即時，，而，因此當時，，綜上，的最大值為2.（3）由（2）知，，當時，，；當時，，，，所以的近似值為.【易錯點】對第(Ι)問,函數(shù)單調(diào)性的判斷，容易;對第（2）問,考慮不到針對去討論；對第（3）問,找不到思路.考點：本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等知識，綜合性較強，考查函數(shù)與方程、分類討論等數(shù)學思想方法，考查同學們分析問題、解決問題的能力，熟練函數(shù)與導數(shù)的基礎(chǔ)知識以及基本題型是解答好本類題目的關(guān)鍵.例12．設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）求證：函數(shù)有且只有一個極值點；（Ⅱ）求函數(shù)的極值點的近似值，使得；（Ⅲ）求證：對恒成立．（參考數(shù)據(jù)：）．【解析】試題分析：（Ⅰ）借助題設(shè)條件運用導數(shù)的知識推證；（Ⅱ）借助題設(shè)條件運用函數(shù)零點的定義推證；（Ⅲ）依據(jù)題設(shè)條件,借助（Ⅰ）的結(jié)論運用導數(shù)的知識求函數(shù)的最小值進行推證．試題解析：（Ⅰ）由題意可知，函數(shù)的定義域為，且．∵函數(shù)與均在上遞增，∴在上遞增．又∵在區(qū)間上的圖像是連續(xù)的，且，∴在區(qū)間上至少有一個零點，記為，且在左右兩側(cè)的函數(shù)值異號．綜上可知，函數(shù)有且只有一個變號零點．即函數(shù)有且只有一個極值點為．（Ⅱ）∵，且在上的圖象連續(xù),，∴的零點，即的極值點，即．∴為的近似值可以取，此時的滿足．（事實上，極值點的近似值的取值在區(qū)間內(nèi)都是可以的，只要說理充分即可．）（Ⅲ）∵，且在上圖象連續(xù)，，∴的零點．的極值點．由（Ⅰ）知，且的最小值為．∵函數(shù)在上遞減，且，∴．∴對恒成立．【同步練習】1．已知函數(shù)，曲線在點處的切線與直線垂直.(1)試比較與的大小，并說明理由；(2)若函數(shù)有兩個不同的零點，證明：.【解析】（1）由題可知：，，而直線的斜率，所以有，解得：或，又因為函數(shù)在處有意義，所以，故，所以，，時，，時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即，即，即有，所以.（2）不妨設(shè)，所以有，化簡得即，，要證，即證，即證，因為，所以即證：，即，設(shè)，因為，所以，即證()設(shè)()，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，即，即.2．已知，(1)求函數(shù)的導數(shù)，并證明：函數(shù)在上是嚴格減函數(shù)（常數(shù)為自然對數(shù)的底）；(2)根據(jù)（1），判斷并證明與的大小關(guān)系，并請推廣至一般的結(jié)論（無須證明）；(3)已知、是正整數(shù)，，，求證：是滿足條件的唯一一組值.【解析】（1）的導函數(shù)為，令，得，列表：極大值所以，函數(shù)在上是嚴格減函數(shù)；（2）判斷得到，下面證明：由（1），，即，所以，由的單調(diào)遞增，得到.推廣：對于實數(shù)，若，則即，以下是證明過程：由（1）知：在上是嚴格減函數(shù)，因為，所以，則，，因為單調(diào)遞增，所以.（3）因為，可見滿足，

下面證明唯一性：①若，由第二問的結(jié)論可知，與矛盾；②若，則即，與矛盾；③若，則即，顯然不滿足，成立，若，由第二問結(jié)論可知：，則，于是，與矛盾.綜上，是滿足條件的唯一一組值.3．已知函數(shù)．(1)這比較與的大小；(2)求證：當時，．參考數(shù)據(jù)：．【解析】（1）令，則設(shè)，則，令，則在上為增函數(shù)，∵，∴當時．為減函數(shù)；當時，為增函數(shù)，∴，即．∴在上單調(diào)遞增，由于，所以當時，當時，．綜上可知：（2）當時，要證明，只需證明．由（1）可知，當時，恒成立，因此只需證明當時，即可．設(shè)，則，因此當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減所以的最小值只能是與中最小的一個．因為，而．因為，所以，所以，，所以，．所以，當恒成立，即，所以，當時，．4．已知為正整數(shù)，，.(1)求的最大值；(2)若恒成立，求正整數(shù)的取值的集合.（參考數(shù)據(jù)：）【解析】（1）令可得：；令可得：.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.故的最大值為.（2）因為恒成立，所以，即恒成立，所以.，當或時，因為，所以，所以在上單調(diào)遞增.因為，此時滿足，故或滿足條件.當時，令可得；令時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以，所以，所以，所以，令，令，，因為在上單調(diào)遞增，，，所以在上存在唯一的零點.令可得：；令可得：.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因為，所以，所以，又，，所以，即.因為，所以.綜上，正整數(shù)的取值的集合為5．已知函數(shù)．(1)若，求a的值；(2)已知某班共有n人，記這n人生日至少有兩人相同的概率為，，將一年看作365天．（?。┣蟮谋磉_式；（ⅱ）估計的近似值（精確到0.01）．參考數(shù)值：，，，．【解析】（1）由題意得，當時，的定義域為；當時，的定義域為，又，且，所以是的極小值點，故．而，于是，解得．下面證明當時，．當時，，，，所以當時，，在單調(diào)遞增；當時，，在單調(diào)遞減，所以，即符合題意．綜上，．（2）（?。┯捎趎人生日都不相同的概率為，故n人生日至少有兩人相同的概率為．（ⅱ）由（1）可得當時，，即，當且僅當時取等號，由（ⅰ）得．記，則，即，由參考數(shù)值得，于是，故．6．已知函數(shù).(1)當時，求的最小值；(2)設(shè)，，證明：有且僅有個零點.（參考數(shù)據(jù)：，.）【解析】（1）已知，設(shè)，則，因為，所以，故，所以在上單調(diào)遞增，即，所以在上單調(diào)遞減，即，所以的最小值為（2）因為，所以.①當時，設(shè)，，所以在單調(diào)遞增.又，，故，使得，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，故，.所以在上存在唯一零點，顯然，故是的一個零點.②當時，，設(shè)，，再設(shè)，于是，因為，所以在上單調(diào)遞減，且，，故，使得.當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，因為，，故，使得.當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，又因為，，所以在上無零點.③當時，，故在上單調(diào)遞減.又因為，，所以在上存在唯一零點.④當時，因為，，所以，此時無零點.綜上所述，在上有且僅有個零點.7．已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若，證明：對于任意，恒成立.（參考數(shù)據(jù)：）【解析】（1）由題意可得定義域為R，.當時，，則在R上單調(diào)遞增；當時，由，得，由，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上：當時，在R上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）證明:因為，且，所以，故，則要證對于任意恒成立，即證對于任意恒成立，即證對于任意恒成立，即證對一切恒成立.設(shè)，則.當時，，當時，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.故在處取得極大值，也是最大值，故.因為，所以，即，所以，則.故對一切恒成立，即對一切恒成立.8．已知函數(shù)（其中是自然對數(shù)底數(shù)）.(1)求的最小值；(2)若過點可作曲線的兩條切線，求證：.（參考數(shù)據(jù)：）【解析】（1）函數(shù)定義域為，所以在上單調(diào)遞增，且，所以當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增，.所以.（2）設(shè)切點為，則，在處的切線為，由于切線過點，所以，而由（1），在上單調(diào)遞增，不同的值對應(yīng)的切線斜率不同設(shè)，所以過點可作曲線的兩條切線當且僅當關(guān)于的方程有兩個實根.，①當時，在上單調(diào)遞減，至多有一個實根，不合題意；②當時，當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減.而時，時，，所以當且僅當時，有兩個實根，即當且僅當時，過點可作曲線的兩條切線.只需證時，.設(shè)，則，當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增，所以，即.（*）設(shè)，只需證.1）當時，由，.設(shè)，則，當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減.而，所以，則.2）當時，，設(shè)，則，，所以在上單調(diào)遞增，，所以在上單調(diào)遞增，，即，所以在上單調(diào)遞增，.綜上得：原不等式成立.9．已知函數(shù)，其中，函數(shù)在上的零點為，函數(shù).(1)證明：①;②函數(shù)有兩個零點；(2)設(shè)的兩個零點為，證明：．（參考數(shù)據(jù)：）【解析】（1）證明：①∵，當時，，∴，∴在單調(diào)遞增，∵，∴，，∴存在唯一的零點，且．②當時，，，∵，，∴，∴，∴在單調(diào)遞增，∵，∴，又∵，∴在有唯一的零點，當時，，∴在單調(diào)遞減，∴，，則在有唯一的零點，∴在有唯一的零點，綜上，函數(shù)有兩個零點．（2）證明：由（1）可知，其中，由得，即，由得，設(shè)，則，∵，∴，而時，，∴在單調(diào)遞減，∴，要證，即證，即證，即證，設(shè)，則即證，設(shè)，則，（，，取不到等號）∴當時，單調(diào)遞增，∴，即，故．10．已知函數(shù)．證明：(1)在區(qū)間內(nèi)存在唯一極大值點；(2)有且僅有唯一零點．（參考數(shù)據(jù)：．）【解析】（1）由題可得，設(shè)，則，當時，，在區(qū)間單調(diào)遞減，又因為，，由函數(shù)零點存在定理，在區(qū)間存在唯一零點，當時，，當時，，所以函數(shù)在區(qū)間存在唯一極大值點；（2）（?。┯桑?）當時，，單調(diào)遞增，，，所以在區(qū)間上有唯一零點；（ⅱ）當時，，單調(diào)遞減，，所以，在區(qū)間內(nèi)不存在零點；（ⅲ）當時，，所以在區(qū)間內(nèi)不存在零點；（ⅳ）下面證明：當時，，因為，令，，則，所以，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以在區(qū)間內(nèi)存在唯一零點，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，又，，所以，即在區(qū)間內(nèi)，恒成立，即在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，，所以當時，，在區(qū)間內(nèi)不存在零點；綜上，有且僅有唯一零點．11．已知函數(shù)有兩個極值點，且．(1)求實數(shù)m的取值范圍；(2)證明：．參考數(shù)據(jù)：．【解析】（1）∵有兩個極值點，∴在有兩個變號零點.記，，i.當，，在單調(diào)遞增，至多有一個零點，不合題意；ii.當，由得，即，故當，∴即在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，由得，且當，，令，當，單調(diào)遞增；當，單調(diào)遞減，故，且當時等號成立.故，故當時，，綜上，由零點存在定理得，當時，在有兩個變號零點，即有兩個極值點；（2），即，令，，由，故單調(diào)遞增，故，∴，即，即，由得，故，故要證，即需證，即，令，即需證，又在單調(diào)遞增，即需證，由（1）得，且由得，由在單調(diào)遞減，且，故只需證，∵，故，得證.12．已知函數(shù)，曲線在點處的切線在軸上的截距為．(1)求的最小值；(2)證明：當時，．參考數(shù)據(jù)：，．【解析】（1）由題得，又，所以切點坐標為，所以曲線在點處的切線方程為，令得，所以.所以，當時，，函數(shù)在單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)在單調(diào)遞減.所以函數(shù)的最小值為.所以函數(shù)的最小值為0.（2）當時，顯然成立.當時，令，所以，所以，所以在單調(diào)遞增（增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)），又，所以恒成立，所以在單調(diào)遞增，又，所以存在使得即.所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.所以.故得證.13．已知函數(shù).(1)證明：有兩個極值點，且分別在區(qū)間和內(nèi)；(2)若有3個零點，求整數(shù)的值.參考數(shù)據(jù)：.【解析】（1）∵，則，令，則，令，解得，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減，且，，∴在內(nèi)有且僅有一個零點；則在上單調(diào)遞增，且，，∴在內(nèi)有且僅有一個零點；綜上所述：有兩個零點，且分別在區(qū)間和內(nèi)，可設(shè)有兩個零點為，當時，，當或時，，則在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增∴有兩個極值點，且分別在區(qū)間和內(nèi).（2）由題意可得：∵，即∴，解得又∵，則，且為整數(shù)，則或0，故整數(shù)的值為或0.14．已知函數(shù)，．(1)若在區(qū)間上存在極值點，求實數(shù)的取值范圍；(2)求證：當時，對任意，．（參考：，，，）【解析】（1）由題意，在上有變號零點，，令，則，所以函數(shù)單調(diào)遞增，∴，∴，∴的取值范圍為．（2）時，，，令，則，當時，，單調(diào)遞減；此時，，存在唯一的使且當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；且，，∴當時，，當時，，單調(diào)遞增，且當時，，∴時，，單調(diào)遞增，且注意到，，∴存在唯一的使，即，且在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，∴，令，，在上單調(diào)遞減，∴∴，綜上：對有．15．已知函數(shù)．(1)記，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若有3個零點，求整數(shù)a的值．參考數(shù)據(jù)：，，，．【解析】（1），則，令，得．當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增．所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）由（1）知，，而，，所以必存在，，使，且在和上，在上所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．要使有3個零點，則必有．由得，，所以，．故．又，所以，；，，所以，．故符合的整數(shù)a的值有0和－1．當時，，，，，結(jié)合單調(diào)性，知在上各存在一個零點；當時，，，，，結(jié)合單調(diào)性，知在一個零點為0，在上各存在一個零點；故所求整數(shù)a的值為0和－1．16．已知函數(shù)在處的切線方程為.(1)求實數(shù)的值；(2)（i）證明：函數(shù)有且僅有一個極小值點，且；（ii）證明：.參考數(shù)據(jù)：，，，.【解析】（1）定義域為，由題意知，解得.（2）（i）由（1）知，令，則，從而即單調(diào)遞增又，故存在唯一的使得0極小值從而有且僅有一個極小值點，且（ii），的極小值令，則，從而在上單調(diào)遞減，，故下證，即證一方面令，則，則在上單調(diào)遞增，從而另一方面，令，令有0極大值從而從而即成立，故.17．已知函數(shù)，，且(1)若，且，試比較與的大小關(guān)系，并說明理由；(2)若，且，證明：（i）；（ii）.（參考數(shù)據(jù)：）【解析】（1）對函數(shù)，求導得：，當時，.而，.由，知，因此，唯一且由知，.構(gòu)造，則.故在單調(diào)遞增；因此，由知.故，結(jié)合單調(diào)性知.（2）（i）證明：由題意得.構(gòu)造，則，.因此.因此.故.因此故.因此.構(gòu)造，則.而，，因此.（ii）由知.因此.構(gòu)造，則.因此在上單調(diào)遞減.因此，故.因此，結(jié)合單調(diào)性知，故.構(gòu)造，，則.因此在上單調(diào)增，上單調(diào)減.而當時，，單調(diào)減.因此，.而，因此，因此.因此.18．已知函數(shù)．(1)當時，若滿足，討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當時，若恒成立，試比較a和1.5625的大?。畢⒖紨?shù)據(jù)：，，，．【解析】(1)，因為，所以與均單調(diào)遞增，從而是上的增函數(shù)，又滿足，所以是在上的唯一零點，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增．(2)，當時，原不等式可轉(zhuǎn)化為，令，則，令，