平行的判定與性質(zhì)講義-高三數(shù)學一輪復(fù)習

知識點一線面平行的判定

【基礎(chǔ)指數(shù)框架】

1.線線平行的判定

（1）平行四邊形的對邊（2）三角形的中位線或等高線（3）線面平行與面面平行的性質(zhì)

2.線面平行的判定

線文字語言圖形語言符號語言

面如果平面外一條直線與

平

此平面內(nèi)的一條直線平

行

行，那么該直線與此平面

的

判平行.

定

【例題分析】

例1.（2024?甲卷?節(jié)選）如圖，在以A,B,C,D,E,尸為頂點的五面體中，四邊形ABCD與四邊形CDEF

均為等腰梯形，AB//CD,CD//EF,AB=DE=EF=CF=2,CD=4,AD=BC=y/10,AE=2^/3,M為CD

的中點.

（1）證明：EM//平面i?cr；

例2.（2024?北京?節(jié)選）如圖，在四棱錐尸—A5CD,BC//AD,AB^BC=1,AD=3,點E在4）上，且PE_LAD,

DE=PE=2.

（1）若尸為線段PE的中點，求證：3尸//平面PCD.

例3.如圖，四邊形ABCD為正方形，石4_1_平面ABCD,EF//AB,AB=4,AE=2,EF=1.若點M在線段AC上

,且滿足。加=工。1,求證：EW平面FBC；

4

【變式訓練】

1.（2023?天津?節(jié)選）在三棱臺ABC-4左￡中，若AA_L平面ABC,AB±AC,AB=AC=AAi=2,4￡=1,

M,N分別為BC,AB中點.

(I)求證：AN//平面GM4；

2.（2022?廣東廣州?統(tǒng)考一模）如圖，已知四棱錐P-ASCD的底面A3C。是菱形，平面平面ABCD,

/4。。=30。,片為AD的中點，點尸在PA上，AP=3AF.

證明：PC〃平面BE尸；

知識點二線面平行的性質(zhì)

【基礎(chǔ)指數(shù)框架】

線文字語言圖形語言符號語言

面一條直線與一個平面平

平

行，如果過該直線的平面

行

與此平面相交，那么該直

的

性線與交線平行.

質(zhì)

【例題分析】

例1.（2324高一下?北京?期中?節(jié)選）如圖，已知三棱柱ABC-A4G中，A。與AC1交于點QD為BC邊上

(1)\BHOD,

例2.(2023春?湖北黃岡?高一?？茧A段練習?節(jié)選)如圖，四棱錐尸-ABCD的底面為平行四邊形.設(shè)平面

PAD與平面P3C的交線為/,M、N、。分別為PC、CD、48的中點.

(1)求證：5C〃平面Q4D；

(2)求證：BC//1.

【變式訓練】

1.(2324高二下?浙江衢州?期末?節(jié)選)如圖，在棱長為1的正四面體A-3C。中，E是的中點，F(xiàn),G

分別在棱AD和CZ＞上(不含端點)，且產(chǎn)G//平面ABC.

(1)證明：AC//平面EFG；

知識點三面面平行的判定

【基礎(chǔ)指數(shù)框架】

面文字語言圖形語言符號語言

面如果一個平面內(nèi)的兩條

平

相交直線與另一個平面

行

平行，那么這兩個平面平

的

判行.

定

【例題分析】

例1.（2024高二下?天津南開?學業(yè)考試?節(jié)選）如圖，在正方體ABCD-ABCiA中,

例2.(2324高一下?山西運城?階段練習?節(jié)選)如圖，直四棱柱ABC。-ABGR中，底面即為菱形,

?

ZDAB=60,AAi=AD=l,p,M,"分別為切，AA,,的中點.

(1)證明：平面PMN//平面BCR；

【變式訓練】

1.(2324高一下?山西忻州?階段練習?節(jié)選)如圖，在六面體ABCDEF中，DE//CF,正方形ABCD的邊長

為2,DE=2FC=2,AE=20BE=2卮

(1)證明：平面AZ)￡7/平面3c產(chǎn).

2.如圖，在三棱柱ABC—中，A4,，AC且A4=AC,點E，/分別為耳G和3C的中點，與A與

AB相交于點G.

(1)證明：平面ERG//平面AACG；

知識點四面面平行的性質(zhì)

【基礎(chǔ)指數(shù)框架】

面文字語言圖形語言符號語言

面(1)兩個平面平行，如果

平另一個平面與這兩個平

行面相交，那么兩條交線平

的行.

性(2)兩個平面平行，一個

質(zhì)平面內(nèi)的任意一條直線

與另外一個平面平行.

【例題分析】

例1.(2023?上海?節(jié)選)已知直四棱柱45。一4戈。12，ABYAD,AB//CD,AB=2,AD=3,CD=4.

(1)證明：直線AB//平面DCG2；

AB

例2.（2023春?全國?高一專題練習）如圖，平面ABCD,3/〃平面ADE,CF//AE,ADJ.AB,

AB=AD=1,AE=BC=2.求證：AD//BC.

例3.（2022.越秀期末.T22）在如圖所示的圓臺中，ABCD是圓臺的軸截面，口,。分別是上、下底面圓的圓

心，￡是下底面圓周上異于A,6的一點，設(shè)圓臺的上、下底而圓的半徑分別為一與R（H>〃），高為人體積為

V.

（1）若M,N外別是AD與CE的中點，試判斷直線MN與平面樨的位置關(guān)系，并加以證明；

E

【變式訓練】

1.（2023?江蘇?高一專題練習）如圖，在四棱柱ABC。-A4cA中，底面ABC。為梯形，A