2023–2024學年人教版七年級數(shù)學下冊專項復習：相交線與平行線 壓軸專練（解析版）

第五章相交線與平行線（壓軸題專練）

目錄

【題型一平行線中含一個拐點問題】1

【題型二平行線中含兩個拐點問題】...............................................................6

【題型三平行線中含多個拐點問題】...............................................................9

【題型四平行線中與平移的綜合問題】.............................................................13

【題型一平行線中含一個拐點問題】

例題：如圖，AB//CD,若NA=40。，NC=26。，貝|NE=

【答案】66。##66度

【詳解】解：如圖所示，過點E作砂〃

VEF//AB,AB//CD,

：.AB//CD//EF,

：.ZAEF=ZA=40°,ZCEF=ZC=26°,

：.ZAEC=ZAEF+ZCEF=66°,

故答案為：66°.

【變式訓練】

1.如圖，AB//EF,則/A,ZC,/E滿足的數(shù)量關系是.

【答案】ZA+ZC+ZE=360°

【詳解】如下圖所示，過點C作CW/AS,

■:CD//AB,

???NA+NACO=180。(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補)，

AB//EF,CD//AB,

：.CD//EF,

：.ZE+Zr>CE=180°(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補),

???ZA+ZACD+NE+NOCE=360。，

???ZA+ZACE+NE=360。,

???在原圖中NA+NC+NE1=360°,

故答案為：ZA+ZC+ZE=360°.

2.已知：AB//EF,在平面內(nèi)任意選取一點C.利用平行線的性質(zhì)，探究NB、/F、NC滿足的數(shù)量關系.

圖形/B、/F、/C滿足的數(shù)量關系

圖⑴

圖⑵

圖⑶

圖(4)

圖(5)

圖(6)

（1）將探究NB、NC、NP之間的數(shù)量關系填寫下表:

（2）請選擇其中一個圖形進行說明理由.

【詳解】（1）

解：NB、/C、之間的數(shù)量關系如下表：

圖形乙8、NR/C滿足的數(shù)量關系

圖⑴ZB+ZF=ZC

圖(2)ZF-ZB=ZC

圖（3）ZB-ZF=ZC

圖(4)ZB+ZF+ZC=360°

圖(5)ZB-ZF=ZC

圖⑹ZF-ZB=ZC

（2）

解：圖（1）NC與48、//之間的數(shù)量關系是：NB+NF=/C.

圖⑴

理由：過點C作CG〃48,

:./BCG=/B,

\'AB//EF,

：.CG//EF,

：.ZGCF=ZF,

：.ZBCG+ZGCF=ZB+ZF,

：.ZB+ZF=ZBCF；

圖（2）/C與NB、NF之間的數(shù)量關系是：ZF-ZB=ZC.

G

A--------\

E------------------XF

圖(2)

理由：過點C作。G〃A3,

：.ZBCG=ZB.

9：AB//EF,

：.CG//EF,

：.NGCF=NF,

：.NGCF-NBCG=/F-NB,

：.ZF-ZB=ZBCF；

圖(3)NC與/B、/尸之間的數(shù)量關系是:ZB-ZF=ZC.

理由：過點。作CG〃AS

：.ZBCG=ZB,

'CAB//EF,

：.CG//EF,

：.ZGCF=ZF,

：.ZBCG-ZGCF=ZB-ZFf

：.ZB-ZF=ZBCF；

圖(4)/C與/B、//之間的數(shù)量關系是:ZB+ZF+ZC=360°.

B

理由：過點。作CG〃A5,

.,.ZBCG+ZB=180°,

9：AB//EF,

：.CG//EF,

.*.ZGCF+ZF=180°,

ZBCG+ZB+ZGCF+ZF=180°+180°,

JZB+ZF+ZBCF=360°；

圖(5)NC與/B、/尸之間的數(shù)量關系是：ZB-ZF=ZC.

圖(5)

理由：過點。作CG〃AS

：.ZBCG=ZB,

'：AB//EF,

：.CG//EF,

：.ZGCF=ZF,

：.ZBCG-ZGCF=ZB-

：.ZB-ZF=ZBCF；

圖(6)NC與/B、Nb之間的數(shù)量關系是：ZF-ZB=ZC.

B

理由：過點C作。G〃A3,

:?/BCG=/B,

9：AB//EF,

：.CG//EF,

：.NGCF=NF,

：.NGCF-NBCG=/F-NB,

：.ZF-ZB=ZBCF；

【題型二平行線中含兩個拐點問題】

例題：如圖所示，AB//CD.BEFD是AB、CD之間的一條折線，貝!]N1+N2+N3+N4=

【答案】540°

【詳解】解：連接班）,如圖,

JZABD+ZCDB=180°f

Z2+Z3+ZEBD+ZFBD=360°,

JZ2+Z3+ZEBD+ZFDB+ZABD+ZCDB=540°,

BPZ1+Z2+Z3+Z4=54O°.

故答案為：540°.

【變式訓練】

1.如圖，直線h//l2,若/1=40。，Z2比/3大10°,則/4=

【答案】30。##30度

【詳解】解:過A點作〃直線"，過C點作CD〃直線⑵

.\Z5=Z1=4O°,Z4=Z8,

?.?直線11//12,

J.AB//CD,

/6=/7,

.*.Z2-Z3=10°,

VZ5+Z6=Z2,Z7+Z8=Z3,

.*.Z5+Z6-Z7-Z8=10°,

.,.40°-Z4=10°,

解得/4=30°.

故答案為：30°.

2.(1)如圖①，如果A3〃CD,求證：ZAPC=ZA+ZC.

(2)如圖②，CD,根據(jù)上面的推理方法，直接寫出NA+NP+NQ+NC=.

(3)如圖③，AB//CD,若=ZBPQ=y,ZPQC=z,ZQCD=m,貝！p"=(用無、y、

z表示).

???ZA=ZAPM,

PM//AB,AB//CD(已知)，

:.PM//CD,

：.NC=NCPM,

*/ZAPC=ZAPM+ZCPM,

JZAPC=ZA+ZC；

(2)如圖，過點P作P石〃AB,過點。作。尸〃A3,

*：AB//DC,PE//AB,QF//AB,

:.AB//PE//QF//CD,

/.ZA+ZAPE=180°,NE尸Q+NPQ廠=180。，N/QC+NQCD=180。，

.??ZA+ZAPQ+ZPQC+NC=540°,

故答案為：540°；

4------B

PC----------E

火——F

C----------D

(3)過點尸作尸石〃AB,過點。作。產(chǎn)〃45,

9

：AB//DC,PE//AB,QF//ABf

：.AB//PE//QF//CD,

：.ZB=ZBPE,ZQPE=ZPQFfZFQC=ZCf

：.NB+ZPQC=ZC+ZBPQ,

即x+z=m+y,

m-x+z-y,

故答案為：x+z-y.

【題型三平行線中含多個拐點問題】

例題：如圖，直線貝UN2+/3+N4—/1—N5的度數(shù)為'

【答案】360

【詳解】過E作E過G作GH〃C￡),過加作MN〃C￡),如圖所示:

,SCD//AB,

：.EF//GH//MN//AB//CD,

：.Zl=ZBEF,/GEF+/EGH=180。,ZHGM+ZGMN=180°,ZNMC=Z5,

VZ2=ZBEF+ZGEF,Z3=ZEGH+ZHGM,Z4=ZGMN+ZNMC,

：.Z2+Z3+Z4-Z1-Z5=ZBEF+Z.GEF+ZEGH+ZHGM+Z.GMN+ZNMC-Z.BEF-ZNMC

=NGEF+ZEGH+ZHGM+ZGMN=360°.

故答案為：360.

【變式訓練】

1.如圖：

A

1

p2

圖3

⑴如圖1,k//l2,若/尸=65。，計算并直接寫出NA+NB的大小.

⑵如圖2,在圖1的基礎上，將直線PB變成折線尸QB,證明：2A+/8+/Q=/尸+180。

（3）如圖3,在圖2的基礎上，繼續(xù)將且線3。變成折現(xiàn).請你寫出一條關于Z1、/2,-3,14,N5

的數(shù)量關系（無需證明直接寫出）

【詳解】（1）

：.PE//R//l\

：.ZA=Z1,ZB=Z2

ZAPB=Z1+Z2=ZA+ZB=65°

BPZA+ZB=65°；

（2）

證明：過點尸、Q分別作/I和/2的平行線分別記為/3和/4

：.11//12//13//14

■J11//13（已知）

AZA=Z1（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

VZ3/7/4（已知）

；./2=/3（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

VZ2/7Z4（已知）

...N4+NB=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）

，ZA+Z3+Z4+ZB=Z1+Z2+18O°

又：N1+/2=NP,N3+N4=NQ

(3)

解：如圖，分別過尸，Q,M作尸C〃/1,QD//l\,ME//II,

圖3

,/lA//12,

：.PCIIQDIIMEIIIJII,

：.Z1=ZAPC,ZQPC=ZPQD,ZDQM=ZEMQ,ZEMB=Z5,

：.Z2=Z1+ZPQD,Z4=Z5+ZDQM,

：.Z2+Z4=Z1+ZPQD+Z5+ZDQM=Z1+Z3+Z5,

.\Z1+Z3+Z5=Z2+Z4.

2.猜想說理：

(1)如圖，AB//CD//EF,分別就圖1、圖2、圖3寫出—A,ZC,NAFC的關系，并任選其中一個圖

形說明理由：

拓展應用：

（2）如圖4,若4B〃C￡>,則NA+NC+NA尸C=度；

（3）在圖5中，若請你用含〃的代數(shù)式表示N1+N2+N3+N4+…+N〃的度數(shù).

【詳解】解：（1）如圖1：ZA+ZC=ZAFC,

如圖2：ZA-Z.C=ZAFC,

如圖3：ZC-ZA=z<AFC,

如圖1說明理由如下：

AB//CD//EF,

：.ZA=ZAF￡,NC=NEFC,

：.ZAA-ZC=ZAFE+ZEFC,

即NA+NLNAFC；

過尸作EF/〃AB,

ZA+ZAFH=180°,

又：AB//CD,

：.CD//FH,

：.NC+NCFH=180。，

ZA+ZAFH+ZC+ZCFH=360°,

即ZA+ZC+ZAFO=360°；

故答案為：360；

(3)如下圖：AB//CD,

AB//CD,

：.AB//EG//FH//CD,

：.ZA+ZAEG=180o,ZGEF+ZEFH^L80°,ZHFC+ZC=180°,

ZA^ZAEG+ZGEF+ZEFH+ZHFC+ZC=180°x3,

即ZA^~ZAEF+ZEFC+ZC=540°；

綜上所述：

由當平行線AB與CD間沒有點的時候，ZA+ZO=180°,

當A、C之間加一個折點廠時，ZA+ZAFC+ZC^2xl80°；

當A、C之間加二個折點E、尸時，則NA+/AEF+NEFC+NC=3xl80。；

以此類推，如圖5,\B//A,tD,

當A、A之間加三個折點兒、4、4時，

=4x180

則ZA+ZA+ZA,+ZA4+Z4°；

當4、4之間加〃個折點4、4、…4T時，

則Z4+Z4+N4+…/4=5-1）x180°,

即Z1+Z2+Z3+Z4+L+Zn的度數(shù)是（"-1）x180。.

【題型四平行線中與平移的綜合問題】

例題：（2023下?全國?八年級假期作業(yè)）如圖，線段AB,BC被直線AC所截，D是線段AC上的點，過點。

作。連接AE,NB=NE.將線段AE沿著直線AC平移得到線段PQ,連接

（1）求證：AE//BC；

⑵若ZE=75。,DELDQ,求/。的度數(shù).

【答案】(1)見解析

(2)/0=15。

【詳解】解：(1)證明：.?.NB4E+/E=180。.

；NB=NE,ZBAE+ZB=180°,:.AE//BC.

(2)如圖，過點。作。尸〃AE交AB于點R貝!]?E?EDF180?.

,/ZE=75°,ZEDF=180°-NE=105°.

由平移的性質(zhì)，得PQ〃AE,

DF//PQ,ZFDP=ZDPQ.

DE±DQ,:.NEDQ=90°,

ZFDQ=360°-105°-90°=165°.

ZFDQ=ZFDP+NQDP,

ZDPQ+ZQDP=ZFDQ=165°,

ZQ=180°-165°=15°.

【變式訓練】

1.(2023下?陜西咸陽?八年級統(tǒng)考期中)如圖，將AABC沿BC的方向平移得到ADEF.

⑴若N3=74。，求NDEF的度數(shù)；

(2)若BC=3cm,EC=2cm,求AABC平移的距離.

【答案】(1)74。

(2)1cm

【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)，得到對應角相等，即可得解；

（2）根據(jù)3E=3C-EC,求出BE的長，即為AABC平移的距離

【詳解】（1）解：將AABC沿BC的方向平移得到ADEF,

/DEF=/B=74。；

（2）解：BC=3cm,EC=2cm,

:.BE=BC—EC=lcm,即：A4BC平移的距離為1c機.

【點睛】本題考查平移的性質(zhì)，熟練掌握平移的性質(zhì)，是解題的關鍵.

2.（2023下?江蘇淮安?七年級校聯(lián)考期中）如圖，將AABC沿射線的方向平移2個單位到ADEF的位置,

點A、B、C的對應點分別點。、E、F.

(1)若AB=3,貝！|AE=.

⑵若ZABC=75。，求/CFE的度數(shù).

【答案】(1)5

(2)105°

【分析】（1）根據(jù)平移的定義可知BE=2,進而可知AE=5；

（2）根據(jù)平移的性質(zhì)可知3c〃跖，AE//CF,再利用平行線的性質(zhì)解答即可.

【詳解】（1）解：：將AABC沿射線AB的方向平移2個單位到AD即的位置，

BE=2,

,/AB=3,

AE=BE+AB=2+3^5,

故答案為5；

（2）解：由平移的性質(zhì)可知：BC//EF,AE//CF,

：.ZE=ZABC,ZE+ZCfE=180°,

*.?/ABC=75°,

ZE=75°,

ZCFE=180°-ZE=180°-75°=105°.

【點睛】本題考查了平移的性質(zhì)，平移的定義，平行線的性質(zhì)，熟練掌握平移的性質(zhì)是解題的關鍵.

3.（2023下?江西南昌?七年級統(tǒng)考期末）將三角形ABC沿射線AM方向平移到三角形的位置.

圖1圖2備用圖

⑴如圖1,當點。與點B重合時.

判斷：ZBFENCBF；（用填空）

（2）如圖2,當點。與點8不重合時，連接M,CT.試探究/ACB,ZCBF,NBED三個角之間的數(shù)量關

系，并證明你的結論.

【答案】（1）=

（2）ZACB=NCBF+NBFD或ZACB=/CBF—NBFD,見解析

【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)得出結論；

（2）根據(jù)點。的位置可分為點D在點B左邊和點。在點B右邊兩種情形，利用平行線的性質(zhì)得出結果.

【詳解】（1）解：=,理由如下：

,/三角形。跖是由三角形平移得到，

BC//EF,

：.NBFE=NCBF；

（2）解：根據(jù)點。的位置可分為兩種情形，

①若點D在點B左邊，如圖.

由平移的性質(zhì)可得：AC//DF,BC//EF,ZACB=ZDFE,

BC//EF,

：.ZBFE=ZCBF,

ZACB=ZCBF+NBFD.

②若點。在點8右邊，如圖:

由平移的性質(zhì)可得：AC//DF,BC//EF,ZACB=ADFE,

'：BC//EF,

：.NBFE=NCBF,

：.ZACB=ZCBF-NBFD.

【點睛】本題主要考查圖形的平移和平行線的性質(zhì)，靈活運用這些性質(zhì)和特點是解題的關鍵.

4.(2023下?河北邢臺?七年級校考期末)如圖1,AB,被直線AC所截，4=72。，過點A作AE〃8C,

。是線段AC上的點，過點。作交AE于點E.

⑴求一E的度數(shù)；

(2)將線段AE沿線段AC方向平移得到線段PQ,連接.

①如圖2,當ZEE>Q=45。時，求/。的度數(shù)；

②如圖3,當NED0=9O。時，求/Q的度數(shù)；

③在整個平移過程中，是否存在N￡?Q=3/Q?若存在，京段寫出此時/即0的度數(shù)，若不存在，請說明

理由.

【答案】⑴ZE=72°

(2)①NQ=27°；②NQ=18°；③存在，N￡?Q=54?；?磯)Q=108°

【分析】(1)利用平行線的性質(zhì)得N54E+/3=180。，ZE+ZSAE=18O°,根據(jù)同角的補角相等可得答案；

(2)①如圖1中，過點。作DFV/AE,則NEDP=NE=72。，再證明。尸〃PQ,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得

答案；

②如圖3中，過點。作。/〃AE,則N即尸=NE=72。，再證明。尸〃尸Q,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得答案即

可求解；

③分兩種情形：圖2,圖3分別求解即可.

【詳解】(1)VAE//BC,

：.ZR4E+ZB=180°.

?:DE〃AB,

：.ZE+Z^AE=180。,

：?4E=/B=7T；

(2)①如圖2,過點。作。尸〃AE,

???/EDF=NE=72。,

：.ZFDQ=ZEDF-ZEDQ=72°-45°=27°.

VPQ//AE,DF//AE,

：.DF//PQf

：.ZQ=ZFDQ=27°.

②如圖3,過點。作。方〃AE,

???ZEDF=ZE=72°f

；.ZFDQ=ZEDQ-ZEDF=90°-72°=18°.

?.?PQ//AE,

:.DF//PQ,

：.ZQ=ZFDQ=18°-

③存在，ZED。=54?；騈E。。=108。.

如圖2,當/￡OQ=3NQ時，

由①知，3NQ+NQ=72。，ZQ=18°f

.??NE。。=54。；

如圖3,當NEZ)Q=3NQ時，

由②知，3NQ=NQ+72。，NQ=36。，

NED。=108。

圖2圖3

【點睛】本題考查了平移性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，角的和差等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構

造平行線解決問題，并學會用分類討論的思想思考問題.

5.（2023下?福建泉州?七年級統(tǒng)考期末）如圖，將線段平移得到CD,使A與。對應，5與C對應，連

接A。，BC.

⑴求證：ZB=ZADC；

（2）點G在3C的延長線上,點C與C'關于直線DG對稱,直線DC'交BC的延長線于點E.點、F在線段CE上,

且NDFE=NEDF.

①設/3=a,求NEDG的度數(shù)（用含a的代數(shù)式表示）;

?丁巾CGCD

②證明：=

GEDE

【答案】（1）證明見解析

（2）①NEDG=；a；②證明見解析

【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)可知AD〃3C,AB//CD,再利用平行線的性質(zhì)可知NADC=/3；

（2）①根據(jù)平行線的性質(zhì)及對稱的性質(zhì)可知NADC=2NFDG,進而可知/尸。6=］。；②根據(jù)對稱的性質(zhì)

2

可知△COG的面積與ADGC的面積相等，再利用等面積法可知三=一.

GEDE

【詳解】（1）證明：將線段A3平移得到8,使A與。對應，8與C對應，

.??由平移性質(zhì)知AT>〃3C,AB//CD,

：.ZADC=ZDCF,ZB=ZDCF,

：.ZADC=ZB；

（2）①解：：由（1）知AD〃5C,

:.AADF=ZDFE,

?：NDFE=NEDF,

:.ZADF=ZEDF,

VZEDF=ZFDG+ZEDG,ZADF=ZADC+ZCDF,

:.ZADC+NCDF=NFDG+/EDG,

由對稱性質(zhì)知，NCDG=NEDG,

：.ZEDG=/CDF+ZFDG,

JZADC+/CDF=/FDG+/CDF+/FDG,

；?ZADC=2NFDG,

VZB=a,ZADC=ZB=a,

：.ZFDG^-a；

2

AD

BCFGE

②證明：過G作GM_LOC于"，GN工DE于N,并連接GC',

.?.由對稱性質(zhì)知，ACDG的面積與△DGC'的面積相等，CD=dD,

'：S.cnr=-CDGM,S.cnr.=-C'DGN,

GM=GN,

,△EDGLDEGNDE

2

過O點作。石于點H,

s-CGDH

則VCDG=2=上rr±

SgDG%EDHge

2

.CGCD

，9~GE~~DE"

AD

【點睛】本題考查了平移的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，掌握平移的性質(zhì)及軸對稱的性質(zhì)是解題

的關鍵.

6.(2023下?北京海淀?七年級期末)如圖，已知線段AB,點C是線段A3外一點，連接AC,

ZC4B=?(90°<a<180°).將線段AC沿AB平移得到線段2D.點尸是線段A3上一動點，連接PC,PD.

圖1備用圖

(1)依題意在圖1中補全圖形，并證明：ZCPD=ZPCA+ZPDB；

(2)過點C作直線/〃尸￡).在直線/上取點使=

①當々=120。時，畫出圖形，并直接用等式表示N3DM與/應>尸之間的數(shù)量關系