2025屆山東省泰安市寧陽縣四中高二數學第一學期期末復習檢測試題含解析

2025屆山東省泰安市寧陽縣四中高二數學第一學期期末復習檢測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，在棱長為2的正方體中，點P在截面上（含邊界），則線段的最小值等于（）A. B.C. D.2．從集合{2,3,4,5}中隨機抽取一個數m,從集合{1,3,5}中隨機抽取一個數n,則向量=(m,n)與向量=(1,-1)垂直的概率為()A. B.C. D.3．直線的傾斜角是A. B.C. D.4．已知直線方程為，則其傾斜角為（）A.30° B.60°C.120° D.150°5．設、是橢圓：的左、右焦點，為直線上一點，是底角為的等腰三角形，則的離心率為A. B.C. D.6．已知雙曲線的右焦點為F，則點F到其一條漸近線的距離為（）A.1 B.2C.3 D.47．已知，,2成等差數列，則在平面直角坐標系中，點M(x，y)的軌跡為()A. B.C. D.8．已知向量，且，則的值為（）A.4 B.2C.3 D.19．若，，，則a，b，c與1的大小關系是（）A. B.C. D.10．在空間直角坐標系中，，，平面的一個法向量為，則平面與平面夾角的正弦值為（）A. B.C. D.11．已知呈線性相關的變量x與y的部分數據如表所示：若其回歸直線方程是，則（）x24568y34.5m7.59A.6.5 B.6C.6.1 D.712．數列是公差不為零的等差數列，為其前n項和．若對任意的，都有，則的值不可能是（）A. B.2C. D.3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知曲線在點處的切線方程是，則的值為______14．設拋物線的焦點為，直線過焦點，且與拋物線交于兩點，，則__________15．已知命題：方程表示焦點在軸上的橢圓；命題：方程表示雙曲線.若為真，則實數的取值范圍為______.16．將參加冬季越野跑的名選手編號為：，采用系統抽樣方法抽取一個容量為的樣本，把編號分為組后，第一組的到這個編號中隨機抽得的號碼為，這名選手穿著三種顏色的衣服，從到穿紅色衣服，從到穿白色衣服，從到穿黃色衣服，則抽到穿白色衣服的選手人數為__________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知為坐標原點，圓的圓心在軸上，點、均在圓上.（1）求圓的標準方程；（2）若直線與橢圓交于兩個不同的點、，點在圓上，求面積的最大值.18．（12分）已知冪函數在上單調遞減，函數的定義域為集合A（1）求m的值；（2）當時，的值域為集合B，若是成立的充分不必要條件，求實數的取值范圍19．（12分）某學校高一、高二、高三的三個年級學生人數如下表，按年級分層抽樣的方法評選優(yōu)秀學生50人，其中高三有10人.高三高二高一女生100150z男生300450600（1）求z的值；（2）用分層抽樣的方法在高一學生中抽取一個容量為5的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任取2人，求至少有1名女生的概率；（3）用隨機抽樣的方法從高二女生中抽取8人，經檢測她們的得分如圖所示，把這8人的得分看作一個總體，從中任取一個數，求該數與樣本平均數之差的絕對值不超過5分的概率.20．（12分）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點與橢圓M：＝1的右焦點重合.（1）求拋物線C的方程；（2）直線y＝x+m與拋物線C交于A，B兩點，O為坐標原點，當m為何值時，＝0.21．（12分）某城鎮(zhèn)為推進生態(tài)城鎮(zhèn)建設，對城鎮(zhèn)的生態(tài)環(huán)境、市容市貌等方面進行了全面治理，為了解城鎮(zhèn)居民對治理情況的評價和建議，現隨機抽取了200名居民進行問卷并評分（滿分100分），將評分結果制成如下頻率分布直方圖，已知圖中a，b，c成等比數列，且公比為2（1）求圖中a，b，c的值，并估計評分的均值（各段分數用該段中點值作代表）；（2）根據統計數據，在評分為“50～60”和“80～90”的居民中用分層抽樣的方法抽取了6個居民．若從這6個居民中隨機選擇2個參加座談，求所抽取的2個居民中至少有1個評分在“80～90”的概率22．（10分）如圖，五邊形為東京奧運會公路自行車比賽賽道平面設計圖，根據比賽需要，在賽道設計時需預留出，兩條服務通道（不考慮寬度），，，，，為賽道．現已知，，千米，千米（1）求服務通道的長（2）在上述條件下，如何設計才能使折線賽道（即）的長度最大，并求最大值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據體積法求得到平面的距離即可得【詳解】由題意的最小值就是到平面的距離正方體棱長為2，則，，設到平面的距離為，由得，解得故選：B2、A【解析】根據分步計數乘法原理求得所有的)共有12個，滿足兩個向量垂直的共有2個，利用古典概型公式可得結果.【詳解】集合{2,3,4,5}中隨機抽取一個數,有4種方法；從集合{1,3,5}中隨機抽取一個數，有3種方法，所以，所有的共有個，由向量與向量垂直,可得，即,故滿足向量與向量垂直的共有2個：，所以向量與向量垂直的概率為，故選A.【點睛】本題主要考查分步計數乘法原理的應用、向量垂直的性質以及古典概型概率公式的應用，屬于中檔題.在解古典概型概率題時，首先求出樣本空間中基本事件的總數，其次求出概率事件中含有多少個基本事件，然后根據公式求得概率.3、D【解析】由方程得到斜率，然后可得其傾斜角.【詳解】因為直線的斜率為所以其傾斜角為故選：D4、D【解析】由直線方程可得斜率，根據斜率與傾斜角的關系即可求傾斜角大小.【詳解】由題設，直線斜率，若直線的傾斜角為，則，∵，∴.故選：D5、C【解析】如下圖所示，是底角為的等腰三角形，則有所以，所以又因為，所以，，所以所以答案選C.考點：橢圓的簡單幾何性質.6、A【解析】由雙曲線方程可寫出右焦點坐標，再寫一漸近線方程，根據點到直線的距離公式可得答案.【詳解】雙曲線的右焦點F坐標為，根據雙曲線的對稱性，不妨取一條漸近線為，故點F到漸近線的距離為，故選：A7、A【解析】已知，,2成等差數列,得到，化簡得到【詳解】已知，,2成等差數列,得到，化簡得到可知是焦點在x軸上的拋物線的一支.故答案為A.【點睛】這個題目考查的是對數的運算以及化簡公式的應用，也涉及到了軌跡的問題，求點的軌跡，通常是求誰設誰，再根據題干將等量關系轉化為代數關系，從而列出方程，化簡即可.8、A【解析】由題意可得，利用空間向量數量積的坐標表示列方程，解方程即可求解.【詳解】因為，所以，因為向量，，所以，解得，所以的值為，故選：A.9、C【解析】根據條件構造函數，并求其導數，判斷該函數的單調性，據此作出該函數的大致圖象，由圖象可判斷a，b，c與1的大小關系.【詳解】令，則當時，，當時，即函數在上單調遞減，在上單調遞增,而，由可知，故作出函數大致圖象如圖：由圖象易知，，故選：C.10、A【解析】根據給定條件求出平面的法向量，再借助空間向量夾角公式即可計算作答.【詳解】設平面的法向量為，則，令，得，令平面與平面夾角為，則，，所以平面與平面夾角的正弦值為.故選：A11、A【解析】根據回歸直線過樣本點的中心進行求解即可.【詳解】由題意可得，，則，解得故選：A.12、A【解析】由已知建立不等式組，可求得，再對各選項逐一驗證可得選項.【詳解】解：因為數列是公差不為零的等差數列，為其前n項和．對任意的，都有，所以，即，解得，則當時，，不成立；當時，，成立；當時，，成立；當時，，成立；所以的值不可能是，故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、11【解析】根據給定條件結合導數的幾何意義直接計算作答.【詳解】因曲線在點處的切線方程是，則，，所以.故答案為：1114、【解析】拋物線焦點為,由于直線和拋物線有兩個交點,故直線斜率存在.根據拋物線的定義可知,故的縱坐標為,橫坐標為.不妨設,故直線的方程為,聯立直線方程和拋物線方程,化簡得,解得,故.所以.【點睛】本小題主要考查直線和拋物線的位置關系,考查拋物線的幾何性質和定義.考查三角形面積公式.在解題過程中,先根據題目所給拋物線的方程求得焦點的坐標,然后利用拋物線的定義:到定點的距離等于到定直線的距離,由此求得點的坐標,進而求得直線的方程,聯立直線方程和拋物線方程求得點的坐標.最后求得面積比.15、【解析】既然為真，那么就是為真，即p是假，并且q是真，根據橢圓和雙曲線的定義即可解出。【詳解】∵為真，∴p為假，q為真；考慮p為真的情況：解得……①；由于p為假，∴或；由于q為真，∴，即……②；由①和②得：；故答案為：.16、【解析】，所以抽到穿白色衣服的選手號碼為，共三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）求出圓心坐標，可求得圓的半徑，進而可得出圓的標準方程；（2）求得點到直線的距離，將直線的方程與橢圓的方程聯立，求得的表達式，利用三角形的面積公式結合基本不等式可求得結果.【小問1詳解】解：由題知，線段的中點為，直線的斜率，所以線段的中垂線為，即為，所以圓的圓心為軸與的交點，所以圓的半徑，所以圓的標準方程為.【小問2詳解】解：由題知：圓心到直線的距離，因為，所以圓心到直線的距離，所以到直線的距離，設點、，聯立可得，，，則，所以，，所以，所以，所以當且僅當，即時等號成立，所以當時，取得最大值.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來求最值；二是代數法，常將圓錐曲線的最值問題轉化為二次函數或三角函數的最值問題，然后利用基本不等式、函數的單調性或三角函數的有界性等求最值18、（1）（2）【解析】（1）根據冪函數的定義和單調性求解；（2）利用根式函數的定義域和值域求得集合A，B，再由是A的真子集求解.【小問1詳解】解：因為冪函數在上單調遞減，所以，解得.【小問2詳解】由，得，解得，所以，當時的值域為，所以，因為是成立的充分不必要條件，所以是A的真子集，，解得.19、（1）400（2）（3）【解析】（1）根據分層抽樣的方法，列出關系式計算即可；（2）根據分層抽樣的方法，求出抽取的女生人數，進而列舉出從樣本中抽取2人的所有情況，可根據古典概型的概率公式計算即可；（3）求出樣本平均數，進而求出與樣本平均數之差的絕對值不超過5的數，從而利于古典概型的概率公式計算即可.【小問1詳解】設該?？側藬禐閚人，由題意得，所以，.【小問2詳解】設所抽樣本中有m個女生，因為用分層抽樣的方法在高一學生中抽取一個容量為5的樣本，所以，解得.所以抽取了2名女生，3名男生，分別記作，；，，，則從中任取2人的所有基本事件為：，，，，，，，，，，共10個，其中至少有1名女生的基本事件有，，，，，，，共7個，所以從中任取2人，至少有1名女生的概率為.【小問3詳解】樣本的平均數為，那么與樣本平均數之差的絕對值不超過5的數為94，86，92，87，90，93這6個數，總的個數為8，所以該數與樣本平均數之差的絕對值不超過5的概率為.20、（1）y2＝4x（2）m＝﹣4或m＝0【解析】（1）由橢圓的右焦點得出的值，進而得出拋物線C的方程；（2）聯立直線和拋物線方程，利用韋達定理結合數量積公式證明即可【小問1詳解】由題意，橢圓＝1的右焦點為（1，0），拋物線y2＝2px的焦點為（，0），所以，解得p＝2，所以拋物線的方程為y2＝4x；【小問2詳解】因為直線y＝x+m與拋物線C交于A，B兩點，設A（x1，y1），B（x2，y2），聯立方程組，可得x2+2（m﹣2）x+m2＝0，由Δ＝4（m﹣2）2﹣4m2＞0，解得m＜1，所以x1+x2＝﹣2m+4，x1x2＝m2，又因為，又＝（x1，y1），＝（x2，y2），可得x1x2+y1y2＝x1x2+（x1+m）（x2+m）＝2x1x2+m（x1+x2）+m2＝m2+4m＝0，解得m＝﹣4＜1或m＝0＜1，故m＝﹣4或m＝0.21、（1），，，均值為65.6（2）【解析】（1）根據a，b，c成等比數列且公比為2，得到a，b，c的關系，利用頻率之和為1，求出a，b，c，估計評分的均值；（2）利用列舉法得到基本事件，求出相應的概率.【小問1詳解】由題意得，，，有，所以，即，解得，于是，評分在40～50，50～60，60～70，70～80，80～90，90～100的概率分別為0.15，0.20，0.30，0.20，0.10，0.05，則均分估計值為【小問2詳解】評分在“50～60”和“80～90”分別有40人和20人則所抽取的6個居民中，評分在“80～90”一組有2人，記為A1，A2，評分在“50～60”一組4人，記為B1，B2，B3，B4從這6人中選取2人的所有基本事件有：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），（B1，B2），（B1，B3），（B1，B4），（B2，B3）