高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：平面解析幾何之直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系講義

高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義平面解析幾何之直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

一、知識(shí)點(diǎn)講解及規(guī)律方法結(jié)論總結(jié)

1.直線與圓的位置關(guān)系

設(shè)圓。的半徑為r,圓心。到直線/的距離為4則

位置關(guān)系相離相切相交

公共點(diǎn)個(gè)數(shù)012

代數(shù)法/①<0/②=0/③>0

判定方法_____;__________________________________________________

幾何法o(4)>ro(5)=r<r

常用結(jié)論

與圓的切線有關(guān)的結(jié)論

(1)過圓(X—a)2+(y—6)2=/(r>0)上一點(diǎn)夕(荀，%)的切線方程為

(曲一a)(x—a)+(%—力(7-力=/;

(2)過圓C-.(x—a)2+Qy—b)2=r(r>0)外一點(diǎn)P(劉，如)作圓。的

兩條切線，切點(diǎn)分別為4B,則RA,B,。四點(diǎn)共圓，且N8所在直線的方程

為(為一a)(x—a)+(%—6)(7-b)=/；

(3)若圓的方程為(x—a)2+(y—b}2=r(r>0),則過圓外一點(diǎn)刀(西，

2

%)的切線長(x0—a)+(y0—b)—r.

2.圓與圓的位置關(guān)系

(1)設(shè)兩圓的圓心距為d,兩圓的半徑分別為A,r(R>r),則

(2)兩圓相交時(shí)，公共弦所在直線的方程

設(shè)圓Ci：x+y+Dix+Eiy+Fx=Q（x）,圓G：x+y+D1x+E1y+F2=Q

（**）,若兩圓相交，則兩圓有一條公共弦，由（幻一（丹），得（〃一@）x

+（后一氏）y+￡—￡=0（相年）.方程（***）表示圓G與圓G的公共弦所

在直線的方程.

注意（1）方程（和年）存在的前提是兩圓相交；（2）兩圓公共弦的垂直平分

線過兩圓的圓心.

規(guī)律總結(jié)

圓系方程

過直線Nx+向葉。=0與圓f+/+勿|x+yDx+Ey-\-F-\-^Ax+By+

+與斗尸=0交點(diǎn)的圓系方程C）=0（4GR）.

/+/+〃x+￡y+￡+兒（x+y+

過圓a：f+/+〃x+&K+￡=o和圓

〃x+￡y+￡）=0（4W—1）（該

G-入2+/+〃丫+尻K+￡=0交點(diǎn)的圓

圓系不含圓G,解題時(shí)，注意檢驗(yàn)

系方程

圓G是否滿足題意）.

二、基礎(chǔ)題練習(xí)

1.［多選］下列說法正確的是（AD）

A.若直線與圓組成的方程組有解，則直線與圓相交或相切

B.如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交

C.“4=1”是“直線x—y+4=0與圓/+/=1相交”的必要不充分條件

D.過圓。：/+/=/外一點(diǎn)p（苞，％）作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為N,B,則

0,P,A,8四點(diǎn)共圓且直線N8的方程是否x+為尸d

2.［易錯(cuò)題］若半徑為1的圓。與圓（x+1）2+（y—2）2=9相切，則圓。的圓

心。的軌跡方程為（x+1）?+（y—2）2=16或（x+1）'+（y—2）?=4.

解析若兩圓外切，則點(diǎn)。與點(diǎn)（一1,2）間的距離為4,點(diǎn)。在以（一1,

2）為圓心，4為半徑的圓上，此時(shí)點(diǎn)。的軌跡方程為（x+1）2+（y-2）2=

16；若兩圓內(nèi)切，則點(diǎn)。與點(diǎn)（一1,2）間的距離為2,點(diǎn)。在以（一1,2）

為圓心，2為半徑的圓上，此時(shí)點(diǎn)。的軌跡方程為（x+1）2+（y—2）2=4.

3.［易錯(cuò)題］已知圓GV+爐=9,過點(diǎn)P（3,1）作圓。的切線，則切線方程為一

x=3或4jr+3y—15=0

解析由題意知夕在圓外，當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，切線方程為x=3,滿足題

意；當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為N,則切線方程為y—1=A(x—3),即Nx

—y+1—3A=0,由/x。—o+i—3/d_:3,解得仁—J,所以切線方程為4x+3y

"-1)23

—15=0.綜上，切線方程為x=3或4x+3y—15=0.

4.過兩圓—2y—4=0與4x+2y=0的交點(diǎn)，且圓心在直線/：2x

+4y-1=0上的圓的方程為:十爐―3x+y—1=°.

解析易知*+爐一2y—4=0不符合題意，設(shè)所求圓的方程為，+于—軌+

2y+入(％2+y2-2y—4)=0(AA—1),

則(1+入)4x+(1+x)y+(2—2入)y—4入=0,

把圓心坐標(biāo)(名，魯)代入直線/的方程2x+4y—1=0,可得入=:，故所

1+Z1+Z3

求圓的方程為^2+y—3^+y—1=0.

5.［浙江高考］已知直線p=Ax+b(A>0)與圓/+/=1和圓(x—4)2+y=1

均相切，則-？，b=暮.

解析解法一因?yàn)橹本€產(chǎn)=Ax+6(￡>0)與圓系+/=1,圓(x—4)2+y=

1都相切，所以品=q^=i，得仁今b一平.

解法二因?yàn)橹本€了=履+力(A>0)與圓系+/=1,圓(x—4)2+/=1都相

切，

所以直線尸Ax+力必過兩圓心連線的中點(diǎn)(2,0),

所以24+力=0.設(shè)直線y=Nx+力的傾斜角為S,則sin9=|,又k>0,所以

9=-,所以4=tan5=—2A=一空^.

6633

三、知識(shí)點(diǎn)例題講解及方法技巧總結(jié)

命題點(diǎn)1直線與圓的位置關(guān)系

例1(1)［多選/2021新高考卷H］已知直線/：ax+by~r=Q(r>0)與圓

C：/+/=/，點(diǎn)/(a,b),則下列說法正確的是(ABD)

A.若點(diǎn)力在圓。上，則直線/與圓。相切

B.若點(diǎn)力在圓。內(nèi)，則直線/與圓。相離

C.若點(diǎn)/在圓。外，則直線/與圓。相離

D.若點(diǎn)力在直線/上，則直線/與圓。相切

解析對(duì)于A,若點(diǎn)N(a,5)在圓。上，則4+^=/,所以圓心。(0,0)

W2

到直線1的距離d=-^=所以直線/與圓。相切，故A正確；對(duì)于B,

la2-hb2

若點(diǎn)/(a,b)在圓。內(nèi)，則a?十斤</,所以圓心。(0,0)到直線/的距離

d=%==>r,所以直線,與圓。相離，故B正確；對(duì)于C,若點(diǎn)/(a,b)在

la2+b2

2

圓。外，則a+l/>r,所以圓心C(0,0)到直線，的距離d=-^=<r,所

la2+b2

以直線,與圓。相交，故C不正確；對(duì)于D,因?yàn)辄c(diǎn)/在直線/上，所以i十5

c12

圓心C(0,0)到直線1的距離d=F—=r,所以直線/與圓。相切,

la2+b2

D正確.故選ABD.

(2)[2022新高考卷n]設(shè)點(diǎn)](一2,3),B(0,a),若直線N8關(guān)于y=a

對(duì)稱的直線與圓(x+3)2+(y+2)2=1有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是

百|(zhì)]?

解析解法一由題意知點(diǎn)/(-2,3)關(guān)于直線尸a的對(duì)稱點(diǎn)為/(—2,

2a—3),所以乂"=”，所以直線的方程為y=3—a-x-\-a,即(3—a)x—

2

2y+2a=0.由題意知直線與圓(x+3)2+(y+2)21有公共點(diǎn)，易知圓

心為(一3,-2),半徑為1,所以一〈3工+-2)XL2」即W1,整理得

22

(3—a)+(—2)

6a2—lla+3W0,解得|WaW|,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是中|].

解法二設(shè)已知圓關(guān)于直線尸a的對(duì)稱圓為圓C,則易知圓心。(-3,2a+

2),半徑r=1.

又直線4?的方程為y=(^x+a,即(a—3)x—2y+2a=0.

于是，根據(jù)題意可知直線N8與圓。有公共點(diǎn)，從而可得

3'—2<2a+2>衛(wèi)&],整理得6a2—Ha+3W0,解得工WaW3.故所求a

2232

J(a-3)+(-2)

的取值范圍是W，|].

方法技巧

直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法

幾何法由圓心到直線的距離d與半徑r的大小關(guān)系來判斷.

聯(lián)立直線與圓的方程，消元后得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程，利

代數(shù)法

用A判斷.

點(diǎn)與圓的

位置關(guān)系若直線過定點(diǎn)且該定點(diǎn)在圓內(nèi)，則可判斷直線與圓相交.

法

注意在直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法中，若直線和圓的方程已知或圓心到

直線的距離易表達(dá)，則用幾何法；若直線或圓的方程中含有參數(shù)，且圓心到直

線的距離不易表達(dá)，則用代數(shù)法.

訓(xùn)練1（1）直線/：力x—y+l—/=0與圓C：/+（y—1）2=5的位置關(guān)系是

（A）

A.相交B.相切

C.相離D.不確定

mx—y+1-m=0,

解析解法一（代數(shù)法）由2消去P，整理得（1+加2）系

（y—1）—5,

—2?x+ffl-5=0,

因?yàn)锳=16?+20>0,所以直線,與圓C相交.

解法二（幾何法）由題意知，圓心C（。，1）到直線/的距離裊<1<

逐，故直線/與圓。相交.

解法三（點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法）直線/：%—_/+1—勿=0過定點(diǎn)（1,1）,

因?yàn)辄c(diǎn)（1,1）在圓/+（y-1）2=5的內(nèi)部，所以直線,與圓。相交.

（2）[2023重慶市調(diào)研質(zhì)量抽測（一）]已知圓C：f+/=16上恰有3個(gè)點(diǎn)到

直線/：y=<3x+b（^>0）的距離等于2,則力的值為4.

解析如圖，分別作直線，，辦與直線/平行，且與直線/

的距離均為2.圓C：/+y=16,則圓心坐標(biāo)為（0,0）,

半徑7=4.圓心（0,0）到直線1,V3x-y+b=0的距離d

=*.因?yàn)閳A。上恰有3個(gè)點(diǎn)到直線/的距離等于2,由圖可知，圓。與人相

切，與1有2個(gè)交點(diǎn)，(轉(zhuǎn)化為圓。與直線乙的位置關(guān)系)

(d+2—4("'=2,

則"得1：又仇>°，所以6=4.

Q—2<4,H<6,

v2

命題點(diǎn)2圓的弦長問題

22

例2(1)[2023全國卷甲]已知雙曲線C：^-=1(a>0,^>0)的離心率

azbz

為花，。的一條漸近線與圓(X—2)2+(y-3)2=1交于48兩點(diǎn)，則I

AB\=(D)

A.立B.辿C.辿D.延

5555

解析根據(jù)雙曲線的離心率6=遮=￡,得c=V^a,即02=5a2,即a2+62=

a

5a2,所以^=4a2,1=4,所以雙曲線的漸近線方程為尸±2x,易知漸近線y

az

=2x與圓相交.

v=2%,

22得5丁一16^+12=0.設(shè)力(石，Ji),

((%-2)+(y—3)=1,

B(蒞，為)，則為+苞=￡,否也=點(diǎn)所以IAB|=V1+22|為一在I=

V5XJ(1)2_4X5=W，故選D.

解法二則圓心⑵3)到漸近線尸2x的距離d=l"2TI=",所以?

>+(-D25

AB\=2Jl~d2=2Jl-(y)2=?，故選D.

(2)[2023新高考卷n]已知直線x—妍+1=0與OC：(x—1)?+/=4交于

A,8兩點(diǎn)，寫出滿足“△回■面積為黑的力的一個(gè)值2(答案不唯一).

解析設(shè)直線x—砂+1=0為直線」,由條件知。。的圓心。(1,0),半徑兄

=2,。到直線1的距離d=(提示：點(diǎn)(X。，%)到直線4x+分+。=0

vl+mz

22

的距離d=1^o.+gyo+—)\AB\=2IR-CL=2k—二歲駕.由

22

L2_LR2yyVl+mVl+m

SAMC=l，得入整理得2療一51勿I+2=0,解得片±2或

52Vl+m2Vl+m25

m=±?-1

2

方法技巧

求解圓的弦長問題的方法

幾何設(shè)直線/被圓。截得的弦為N8,圓的半徑為r,圓心到直線的距離為

法d,則U^|=2J*—曲.在解決圓的弦長問題時(shí)，多用幾何法.

若斜率為4的直線與圓相交于/（羽，%），B5,力）兩點(diǎn)，則I

2

代數(shù)ABI=V1+k?IxA—xBI=J1+.IyA—yBI（其中20）.特另U

法地，當(dāng)A=0時(shí)，I=I及一名|；當(dāng)斜率不存在時(shí)，\AB\=\yA

~~YBI.

訓(xùn)練2（1）[2021北京高考]已知圓C：f+^=4,直線hy^kx+m,當(dāng)/的

值發(fā)生變化時(shí)，直線/被圓。所截得的弦長的最小值為2,則勿的值為

（C）

A.±2B.±V2C.±V3D.±3

解析解法一（幾何法）設(shè)直線,與y軸交于點(diǎn)/（0,加，由題意知，圓

心。（0,0）,當(dāng)次的值發(fā)生變化時(shí)，要使直線,被圓。所截得的弦長最小，

則圓心。到直線/的距離最大，為，即I加=向―了二疼所以勿=

+V3.

解法二（代數(shù)法）由，2+*=4,得（爐+］）4=0.設(shè)交點(diǎn)N

ly=kx+m

J——2km

x1rx2

fc2+1則IAB|=V1+k2IXi—苞I=

7lz—4

X1X=

12H+1?

2

V1+fc?j（%1+久2）2—4%1%2=V1+HJ（^f^）2—4?=

顯然當(dāng)k=0時(shí)，弦長取得最小值2=2,解得加=±8.

（2）［多選蘢024南京市第五高級(jí)中學(xué)模擬］已知圓。：x+y=9,過點(diǎn)力（2,

0）的直線/與圓。交于弘N兩點(diǎn)，則（BD）

A.存在直線1,使得|就|=4

B.使得IMN|為整數(shù)的直線/有3條

C.存在直線/，使得△肱加的面積為日

D.存在直線/,使得△肱2V的面積為維

4

解析因?yàn)閳A。的半徑為3,I如I=2,所以2J32—22WI腑IW6,即

2遍WIMN\W6,故A不正確.

若IMN\為整數(shù)，則|腑|=5或I腑I=6,且滿足IMN\=5的直線/有2

條，滿足IMN\=6的直線有1條，故B正確.

5k<?=|IOM\ION\sinZm=|sinZJm且點(diǎn)。到直線/的距離的最大值為

2.

若S=|,則sinN就31,則N就歸則。到直線1的距離為3cos^=^>

2,不符合條件，故C不正確.

若S=W，則sinN掰叱*則/就歸g或等若N欣加=或則。到直線/的距

離為3cosc=嬰>2,不符合條件；若/M0N=胃,則。到直線/的距離為3cosm

6233

=|<2,符合條件，故D正確.故選BD.

命題點(diǎn)3圓的切線問題

例3［2023新高考卷口過點(diǎn)（0,-2）與圓x?+4—4x—1=0相切的兩條直線

的夾角為。，則sina=（B）

A.1B.—C.—D.—

444

解析如圖，X+y—4x—1=0,即（X—2）2+y=5,所以圓，

心坐標(biāo)為（2,0）,半徑r=遮，所以圓心到點(diǎn)（0,-2）的

IT/、

I22心〃芍—r:

距離為J（2-0）+（0+2）=2V2,因?yàn)閳A心與點(diǎn)（0,

-2）的連線平分角a,所以sin?=乏=興=①，所以cos

22V22V24

,所以5也&=25也285±=2'坦*漁=運(yùn).故選B.

2422444

例4已知點(diǎn)夕(魚+1,2—魚)，點(diǎn)〃(3,1),圓C：(x—1)2+(y—2)

=4.

(1)求過點(diǎn)P的圓。的切線方程；

(2)求過點(diǎn)〃的圓C的切線方程，并求出切線長.

解析由題意得圓心。(1,2),半徑r=2.

(1)(V2+1-1)2+(2-V2-2)2=4,.?.點(diǎn)月在圓。上.

又朦=常竺^=—1,???切線的斜率/=一2=1.

V2+1-1kPC

過點(diǎn)刀的圓。的切線方程是y—(2—V2)=x—(V2+1),即x—y+l—

2V2=0.

(2)(3-1)2+(1-2)2=5>4,

??.點(diǎn)〃在圓C外部.

當(dāng)過點(diǎn)〃的直線斜率不存在時(shí)，直線方程為x=3,即x—3=0.又點(diǎn)C(1,2)

到直線％-3=0的距離d=3—l=2=r,

即此時(shí)滿足題意，.?.直線x=3是圓的切線；

當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為y—1=A(x—3),即公一y+1—3A=0,

則圓心。到切線的距離4=上筮叁*=r=2,解得

7k2+14

一?切線方程為=即

P—1-4(x—3),3x—4y—5=0.

綜上可得，過點(diǎn)〃的圓。的切線方程為x—3=0或3x—4p—5=0.??,I掰+=

J(3-1)+(1-2)=V5,

過點(diǎn)〃的圓。的切線長為JIMCI2-r2=15-4=1.

方法技巧

1.求過圓。上一點(diǎn)P(x。,%)的切線/方程的方法

利用冰與/垂直及/過點(diǎn)P求切線方程.

2.求過圓外一點(diǎn)的切線方程的方法

幾何設(shè)出直線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑列方程求解.

法

代數(shù)設(shè)出直線方程，再與圓的方程聯(lián)立，得到一個(gè)關(guān)于X或y的一元二次方

法程，利用△=0求解.

注意（1）求過一定點(diǎn)的圓的切線方程時(shí)，應(yīng)先判斷定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.

（2）設(shè)直線方程時(shí)注意對(duì)斜率是否存在進(jìn)行討論.

3.過圓外一點(diǎn)〃作圓的切線，求切線長的技巧

先求〃與圓心的距離d,再由勾股定理求得切線長為（其中r為圓的半

徑）.

訓(xùn)練3（1）[2023重慶市二調(diào)]已知直線/：x—y+8=0與x軸交于點(diǎn)4過

直線/上的動(dòng)點(diǎn)夕作圓/+/=16的兩條切線，切點(diǎn)分別為C,D,則直線切

恒過定點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2,2）；若"是線段5的中點(diǎn)，則IAM\的最小值為

4五.

解析解法一設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（吊，％）,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接OP,易證C,D

兩點(diǎn)在以冰為直徑的圓上，故C,。兩點(diǎn)為此圓與圓系+/=16的交點(diǎn)，由

x2+y2=16,

化簡得xox+%y=16,此方程即直線

（L殛）2+（好+%），

、2

切的方程，又點(diǎn)夕是直線/上的動(dòng)點(diǎn)，所以%=x0+8,所以直線切的方程為

xox+（Ao+8）y=16,即劉（x+y）+8y=16.當(dāng)x+y=0,8y=16時(shí)，y=2,

x=-2.故直線5過定點(diǎn)（-2,2）.令定點(diǎn)為必由的吐切知，OMLMF,又|

OF\=2V2,所以點(diǎn)〃在以⑺為直徑的圓上，其軌跡方程為（x+1）2+（y-

1）2=2,設(shè)圓心為必則N（—1,1）.又/（―8,0）,IAN\=

J（—1+8）2+l2=5V2,故IAM\的最小值為5/一直=4魚.

解法二依題意，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（苞，吊+8）,則切：吊才+（吊+8）y=16.

（二級(jí)結(jié)論：從圓外一點(diǎn)9（吊，%）,引圓/+/=/的兩條切線，切點(diǎn)弦所

在直線的方程為Ao^+yoy=r）

后同解法一.

（2）[2021天津高考]若斜率為百的直線與y軸交于點(diǎn)N,與圓/+（y-1）2

=1相切于點(diǎn)8,則I=V3.

解析設(shè)直線四的方程為尸8x+，，則點(diǎn)/(O,b),由于直線四與圓

/+(y—=1相切，且圓心為。(0,1),半徑為1,則上六=1,解得力

=-1或6=3,所以|力。|=2,因?yàn)?8cl=1,所以|=

/22

』IACI-\BC\=V3.

命題點(diǎn)4圓與圓的位置關(guān)系

角度1圓與圓位置關(guān)系的判斷

例5[2023安徽省十校聯(lián)考]已知直線/：力x+p—3〃-2=0與圓M:(%—5)+

2

(y-4)=25交于/,8兩點(diǎn)，則當(dāng)弦N8最短時(shí)，圓〃與圓'(x+2加？+/

=9的位置關(guān)系是(B)

A.內(nèi)切B.外離C.外切D.相交

解析易知直線/：勿x+y—3勿-2=0即加(X—3)+y—2=0,可知/過定點(diǎn)月

(3,2),因?yàn)?3-5),+(2-4)2<25,故月(3,2)在圓瓶(x—5)2+

(y-4)2=25內(nèi).故弦N6最短時(shí)直線/垂直于7%又媼=匚=1,所以IX

5—3

(一勿)——1,解得力=1,此時(shí)圓"的方程是(x+2)?+/=9.兩圓圓心之間

的距離I網(wǎng)d=J(5+2)?+(4—(J)?=相，兩圓半徑分別為5,3,又痛〉

764=5+3,所以這兩圓外離.故選B.

角度2兩圓的公切線問題

例6[2022新高考卷I]寫出與圓系+/=1和(x—3)2+(y-4)?=16都相

切的一條直線的方程x=—1(答案不唯一).

解法一如圖，因?yàn)閳A系+/=1的圓心為0(0,0),半徑;?

I

/X

2

71=1,圓(X—3)+(y-4)2=16的圓心為1(3,4),C

半徑？2=4,所以IOA|=5,ri+r2=5,所以IOA\=口+；忒_一

及，所以兩圓外切，公切線有三種情況：①易知公切線Z的

方程為X=-1；②另一條公切線與公切線，關(guān)于過兩圓圓心的直線，對(duì)稱，

(x=—1,(%=—1,

易知過兩圓圓心的直線1的方程為尸gx,由4得4由對(duì)稱性

y=-x,y=-

v3V73

可知公切線L過點(diǎn)（一1,—1）,設(shè)公切線人的方程為y+g=N（x+l）,則

I._4I

點(diǎn)0（0,0）到，2的距離為1,所以1=方占，解得A=《，所以公切線的

Vk2+124

方程為（為+1）,即7x—24y—25=0；③還有一條公切線義與直線

324

1-.尸9垂直，設(shè)公切線13的方程為尸一9+3易知力＞0,則點(diǎn)。（0,0）

34

到的距離為1，所以1=^——'J,,解得力=9或t=—J（舍去），所

J（等4-）244

以公切線4的方程為尸一。+三即3x+4y—5=0.綜上，所求直線方程為x

44

=-1或7%—24y—25=0或3x+4y—5=0.

解法二若兩圓公切線的斜率不存在，則設(shè)其方程為x=力，由題意得1加=

1,且I/—3I=4,解得R=—1,所以此時(shí)兩圓公切線的方程為x=一l.

若兩圓公切線的斜率存在，則設(shè)其方程為y=Nx+6,由題意得===1,

v/cz+l

I3k~4+bI/

際:4,

所以有I3N—4+6|=4|61,所以可得34—4+6=±4瓦即或右

—4

5

將仁―拊入高=i化簡可得人金仁一看

將6=^一9代入高=1化簡可得k=~\b=\

則可得兩圓公切線的方程為尸白一意或尸一

242444

即7x—24y—'25=0或3x+4y—5=0.

綜上，可知兩圓公切線的方程為x=—1或7x—24y—25=0或3x+4y—5=0.

角度3兩圓相交的公共弦問題

例7圓6：2x+10y—24=0和圓G：f+/+2x+2y—8=0的公共弦

所在直線的方程為x—2什4=0,公共弦長為2逐.

解析聯(lián)立兩圓的方程，得—2"+10y—24=0,兩式相減并整理得x

lx2+y2+2x+2y—8=0,

—2y+4=0,所以兩圓公共弦所在直線的方程為x—2y+4=0.

解法一設(shè)兩圓相交于點(diǎn)力(石，%),8(苞，K),貝U48兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足

［丁丁"二°,解得卜1二％或卜2=?所以|AB\=

U2+y2+2x+2y—8=0,1%=。1X2=2.

/22

J(0+4)+(2—0)=2V5,即公共弦長為2瓶.

解法二由S+/—2x+10y—24=0,得(x—1)2+(y+5)2=50,其圓心坐

標(biāo)為(1,一5),半徑7=5/，圓心到直線x—2y+4=0的距離d=

!L2X-5)+4|=3倔設(shè)公共弦長為21,由勾股定理得/=/+7，即50=

(3V5)2+f,解得/=逐，故公共弦長2/=2瓶.

方法技巧

1.判斷兩圓的位置關(guān)系常用的方法是幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩

圓半徑之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法.

2.兩圓的公切線問題實(shí)質(zhì)為直線與圓的相切問題，利用兩圓圓心到公切線的距

離分別等于兩圓的半徑列方程組求解.

3.若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差得到.

訓(xùn)練4(1)［2023湖南省六校聯(lián)考］在平面直角坐標(biāo)

系xOy中，圓。的方程為f+/—8x+15=0,若直線尸Ax—2上至少存在一

點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓。有公共點(diǎn)，則/的最大值是

(B)

AQ

A.0B.-C.-D.7

34

解析圓。的方程為—8x+15=0,則圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—4)2+/=

1,則圓。是以。(4,0)為圓心，1為半徑的圓.若直線尸而一2上至少存在

一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓。有公共點(diǎn)，則圓心。到直線_7=

府一2的距離公2,即」：72飛2,解得0WAW二即N的最大值為上故選B.

(2)［多選々023海南省文昌中學(xué)模擬］已知圓Q：*+/—2x—3=0和圓”：

為2+y2-2y-1=0的交點(diǎn)為B,直線/：x+y+入=0與圓a交于C,。兩

點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是(CD)

A.直線48的方程為x—曠+/=0

B.圓口上存在兩點(diǎn)尸和0,使得|凰|>|四|

c.圓a上的點(diǎn)到直線兒?的最大距離為2+四

D.若ac±0\D,則入=—3或X=1

解析圓a的圓心為aa,0）,半徑口=2,圓”的圓心為a（o,i）,半

/22

徑同=應(yīng)，所以IaaI=J（i-o）+（o—i）=V2,r-r2<iaal<n

+r2,所以兩圓相交，所以將兩圓的方程作差可得直線47的方程，為x—y+1

=0,故A錯(cuò)誤；

圓心4到直線四的距離為4=專=伍所以I加=21彳—青=2面,對(duì)于

圓”上的任意兩點(diǎn)RaIMlW28=I,故B錯(cuò)誤；

圓a上的點(diǎn)到直線N8的距離的最大值為d+ri=2+a,故C正確；

因?yàn)樗詧A心a到直線切的距離為企，所以^^=魚，故人=—

V2

3或X=1,故D正確.故選CD.

四、命題點(diǎn)習(xí)題講解

1.［命題點(diǎn)1,2名選蘢024甘肅酒泉聯(lián)考］下列關(guān)于直線1,y=4x+6與圓C-.

/+/=1的說法正確的是（ABD）

A.若直線/與圓。相切，則Z/—始為定值

B.若43—燈=1,則直線,被圓。截得的弦長為定值

C.若46?—燈=1,則圓上僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線/的距離為｝

D.當(dāng)公決寸，直線與圓相交

解析圓G=l的圓心為（0,0）,半徑為1,

對(duì)于A選項(xiàng)，若/：y=Ax+Z?與圓C/+/=i相切，

則昌=1,可得毋一萬=1,A正確；

V/c2+l

對(duì)于B選項(xiàng)，若4^—1=1,則圓心到直線的距離為粵=；,此時(shí)直線被圓截

V/cz+l2

得的弦長為2J12—《）2=w,B正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，由B選項(xiàng)知，圓心到直線的距離為3=1—%此時(shí)圓上有3個(gè)點(diǎn)到

直線，的距離為5C錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)仁機(jī)寸，直線的方程為尸履+5即直線過定點(diǎn)(0,|),又

02+(|)2<1,可得點(diǎn)(0,：)在圓內(nèi)，故直線與圓相交，D正確.

故選ABD.

2.［命題點(diǎn)1,4/多選/2024河源中學(xué)模擬］已知圓0：/+y=4和圓C：(x—

3)2+(y—3)2=4,P,。分別是圓0,圓。上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法錯(cuò)誤的是

(AC)

A.圓。與圓。相交

B.I凰|的取值范圍是［32一4,3V2+4］

C.x—y=2是圓。與圓。的一條公切線

D.過點(diǎn)。作圓。的兩條切線，切點(diǎn)分別為弘N,則存在點(diǎn)0,使得N優(yōu)390°

解析對(duì)于A選項(xiàng)，由題意可得，圓。的圓心為0(0,0),半徑百=2,圓。

的圓心為。(3,3),半徑逸=2,因?yàn)閮蓤A的圓心距I=3V2>2+2=n

+r2,所以兩圓外離，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B選項(xiàng)，1PQ\的最大值為IOC\+^+^=372+4,最小值為I一口

—12=372—4,故B正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，顯然直線x—y=2與直線%平行，因?yàn)閮蓤A的半徑相等，所以其

外公切線與圓心的連線平行，由直線OGy=x,設(shè)外公切線為y=x+t,則兩

平行線間的距離為2,即號(hào)=2,t=±2V2,故y=x±2夜，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)，易知當(dāng)/刈月90°時(shí)，四邊形頗V為正方形，故當(dāng)I0。|=

2迎時(shí)，/MQN=90：因?yàn)閳A系+/=8與圓。相交，所以圓。上存在點(diǎn)0,使

得/幽V=90°.故D正確.故選AC.

3.［命題點(diǎn)2/023高三名校聯(lián)考(一)］若直線而一y+1—2/=0與圓/+/=

9分別交于必N兩點(diǎn)，則弦腑長度的最小值為4.

解析由Nx—y+l—2A=0,得N(x—2)+(—y+1)=0,所以直線Nx—y

+1—2A=0過定點(diǎn)力(2,1).圓*+/=9的圓心0(0,0),半徑r=3,易

知4(2,1)在圓/+/=9的內(nèi)部，連接如，則當(dāng)直線Ax—y+1—2A=0與

如垂直時(shí)，弦脈的長度最小，連接0M,則|0M\=r=3,又I如I=

J(2-0)+(1-0)=V5,所以|腑|皿=2132—(V5)=4,所以弦腑

長度的最小值為4.

4.［命題點(diǎn)3,4］過點(diǎn)。(1,—2)作圓G(x—1)2+/=1的兩條切線，切點(diǎn)

分別為4B,則弦兒?所在直線的方程為(B)

A.2y-l=0B.2y+l=0

C.x+2y—1=0D.2y+l=0

解析解法一由圓G(x—1)2+/=1的方程可知其圓心為。(1,0),半

徑為1.

連接⑦易得以線段切為直徑的圓的方程為(x—1)2+(y+D2=1.

將兩圓的方程相減，可得公共弦47所在直線的方程為2y+l=0.故選B.

解法二由與圓的切線有關(guān)的結(jié)論，得弦4?所在直線的方程為(1-1)(x—

1)+(-2)y=l,即2y+l=0.

5.［命題點(diǎn)4角度1］已知圓G：x+(y—2)2=4與圓G：x+2T?X+y-\-in—1

=0至少有三條公切線，則力的取值范圍是(D)

A.(—8,—V5］B.［V5?+00)

C.［-V5,V5］D.(-8,—V5］U［V5,+°°)

解析圓G的圓心為G(0,2),半徑口=2.把圓G的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得

(x+勿)2+y=l,所以圓G的圓心為G(—血0),半徑逅=1.因?yàn)閳A心與

圓G至少有三條公切線，所以圓a與圓G相離或外切，所以ICGI＞羽十8，

即“加+423,解得逐或

6.［命題點(diǎn)4角度3不選蘢023江西省五校聯(lián)考］已知圓Q-.(x—2)2+(y-

2)2=2,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)Q為直徑作圓交圓。于46兩點(diǎn)，則△如6

的面積為(A)

A.—B.—C.3D.-

242

解析如圖，根據(jù)題意，圓。的圓心為0(2,2),則|OQ\

=2V2,以00為直徑作圓則Q'為00的中點(diǎn)，則Q'

(1,1),圓0'的半徑為IOQ'I=V2,故圓0'的方程為(X，一［個(gè)

-1）2+（y-1）2=2,聯(lián)立圓0與圓0'的方程得

22

（久一2）2+⑶―2）2=2,整理得％+y=3,即直線N8的方程為x+y—3

、（%—1）+（y—1）=2,

=0,則點(diǎn)。到直線四的距離為搭=等點(diǎn)0到直線”的距離為2="，則I

V22V22

AB\=2X（2--=V6,故△如8的面積為工X型*逐=型.故選A.

、2222

五、習(xí)題實(shí)戰(zhàn)演練

1.[2024江蘇無錫市第一中學(xué)?？糫已知點(diǎn)〃（荀，％）在圓/+爐=2外，則直

線久0%+%）y=2與圓的位置關(guān)系是（B）

A.相切B.相交C.相離D.不確定

解析因?yàn)辄c(diǎn)〃（如%）為圓/+/=2外一點(diǎn)，所以就+弁>2,又圓V+*

=2的圓心為（0,0）,半徑7=四，所以圓心（0,0）到直線x0x+%y=2的

I0+0-2I

距離d=<=V2,即d<r,所以直線x（）x+%y=2與該圓的位置關(guān)

系為相交.故選B.

2.[2023廣東百校聯(lián)考]若直線1-.公一y+2—A=0與圓C-.系+/—4x—2y—4

=0交于4刀兩點(diǎn)，則當(dāng)△力歐的周長最小時(shí)，A=（C）

A,B.--C.1D.-1

22

解析直線/恒過點(diǎn)。（1,2）,圓心。（2,1）,點(diǎn)。在圓內(nèi)，當(dāng)CD11

時(shí)，IAB\最小，△48。的周長最小，由。（2,1）,D（1,2）,易得底尸一

1,所以A=l,故選C.

3.已知圓濟(jì)x+y~2ay=Q（a>0）截直線為+尸0所得線段的長度是2/，

則圓〃與圓從（x—1）2+（y—1）2=1的位置關(guān)系是（B）

A.內(nèi)切B.相交C.外切D.相離

解析由題知圓例/+（y—a）2=a（a>0）,圓心（0,a）到直線x+y=0

的距離df所以2Ja2-y=2V2,解得a=2.圓〃與圓N的圓心距IMN\

=V2,兩圓半徑之差為1,故兩圓相交.

4.[2023福建漳州質(zhì)檢]已知48分別為x軸，y軸上的動(dòng)點(diǎn)，若以四為直徑

的圓與直線2x+y—4=0相切，則該圓面積的最小值為（C）

A.-B.—C,—D.JI

555

解析設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以N8為直徑的圓為圓C,與直線2x+y—4=0相切于

點(diǎn)〃點(diǎn)。到直線2x+y—4=0的距離為d,d=*,圓。的半徑為r,則2r

=\CO\+\CD\^d,即在京，當(dāng)且僅當(dāng)0,C,。三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，故圓

。的面積5=—三學(xué)

5.[2023河北石家莊質(zhì)檢]“a巳弓”是“圓G：V+爐=4與圓C2：（%一a『+

（y+a）2=1有公切線”的（A）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解析記圓4、圓G的半徑分別為口，r2,由題意可知G（0,0）,r：=2,

C2（a,—a），逅=1,當(dāng)且僅當(dāng)圓G和圓G內(nèi)含時(shí)，兩圓沒有公切線，即圓6；和

圓G有公切線的充要條件為IGGI>r-r2=2-l=l,即加解得aW

一y或a咨因?yàn)椤?”是“aW—乎或的充分不必要條件，所以

“a呼”是“圓G與圓G有公切線”的充分不必要條件，故選A.

6.[2023河南省適應(yīng)性測試]過圓/+*=4上的一點(diǎn)作圓/+y=1的兩條切

線，則連接兩切點(diǎn)的線段長為（D）

A.2B.1C,—D.V3

2

解析如圖，記夕是圓/+/=4上任一點(diǎn)，過P作圓/+爐=1

的兩條切線⑸，PB,切點(diǎn)分別為4B,連接如，OB,AB,OP,[市小

則如，加^可得I%|=1,|冰I=2,在Rt△見夕中，

cosZAOP=-,.?.NZOP=60°,：.ZAOB=2ZAOP=120°,X\OA\=\OB\=

2

L/.IAB\=V3,即連接兩切點(diǎn)的線段長為故選D.

7.已知圓C：*+/+4x+l=0,過圓外一點(diǎn)夕作圓。的切線，切點(diǎn)為4若I

PAI=V2IPO\（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則I的最小值為（D）

A.4B.4—V2

C.4—V3D.4—V5

解析圓a/+爐+4x+l=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+2)?+/y

=3,則圓。的圓心為。(一2,0),半徑為國.如圖，連,

--,*；..T

接NC,因?yàn)闉槭菆A。的切線，切點(diǎn)為4所以為L/C,

所以|PC『-\PA\2=3,又I為I=V2\PO\,所以|PC|2-2\PO\2=3.

設(shè)P(x,y),則(x+2)2+y-2(/+/)=3,整理得T+/—4x=1,即

(x—2)2+y=5,可知點(diǎn)月在以〃(2,0)為圓心，逐為半徑的圓上，所以|

PC\的最小值為ICM\-V5=4-V5,故選D.

8.［多選蘢023吉林長春模擬］已知兩個(gè)圓G：/+y-2x+4y+4=0和G：

(%—a)+y2=4相交，則a的值可以是(BCD)

A.-2B.0C.1D.2

解析因?yàn)?x+4p+4=0,所以(xT)2+(y+2)2=1,所以圓G

的圓心為C(1,-2),半徑與=1,且圓G的圓心為G(a0),半徑乃=2.

因?yàn)閮蓤A相交，所以Ir{-r2I<IGGI<Ir{+r2I,即(a-l)+4

/、2

<3,即一3<(a—1)<5,

解得1—遮〈aVl+逐，結(jié)合選項(xiàng)可知，符合條件的為B,