2024-2025學(xué)年安徽省滁州市高三年級下冊第二次校模擬考試數(shù)學(xué)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年安徽省滁州市高三下學(xué)期第二次校模擬考試數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時(shí)請按要求用筆。

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知非零向量b，若卜|=洲且囚-q=則向量b在向量。方向上的投影為（）

A.郅B.軀C.一郛D.一到

2.如圖是國家統(tǒng)計(jì)局公布的年入境游客（單位：萬人次）的變化情況，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A入境游客（萬人次）

14132.73

13868.53

13604.33

13340.13

13075.93

12811.73一

I2013年2014年.2015年2I01陣2I017年2I01降

A.2014年我國入境游客萬人次最少

B.后4年我國入境游客萬人次呈逐漸增加趨勢

C.這6年我國入境游客萬人次的中位數(shù)大于13340萬人次

D.前3年我國入境游客萬人次數(shù)據(jù)的方差小于后3年我國入境游客萬人次數(shù)據(jù)的方差

3.三棱錐S—ABC中，側(cè)棱&4,底面ABC,AB=5,BC=8,NB=60°,SA=2，？，則該三棱錐的外接球的

表面積為（）

642564362048h

A.—71B.-----71C.-----71D.-------73兀

33327

uumuum「

4.在直角梯形ABCD中，-AD=0>々=30。，AB=24，BC=2,點(diǎn)E為上一點(diǎn)，且AE=xAB+yAD,

當(dāng)孫的值最大時(shí)，|AE|=（）

A/30

A.石B.2C.D.2A/3

2

5.已知|2a+W=2,a-b^[-4,0],則同的取值范圍是（）

[0,1]C.[1,2]D.[0,2]

6.雙曲線f―2L=i的漸近線方程為（

2

y=±—xB.y=±%C.y=±y/2xD.y=±y/3x

2

7.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，每次正反面出現(xiàn)的概率相同，連續(xù)拋擲5次，至少連續(xù)出現(xiàn)3次正面朝上的概率是（）

1153

A.—B.—C.—D.—

433216

8.已知集合A={1,3,5},B={1,2,3},C={2,3,4,5},則（Ac5）uC=（）

A.[1,2,3,5}B.{1,2,3,4}C.{2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5}

9.已知平面向量a,匕滿足|a|=|6|,且（、歷則a,b所夾的銳角為（）

71Tl兀

A.—B.—C.—D.0

643

10.已知集合人={%]—1〈談電},8={x|l—婷5},定義集合A*B={z|z=_x+y,九eAyeB},則8*5*8）等

于（）

A.[x\-6<x,,1}B.{x|l<%,12}

C.{%|-11<%,,0}D.{%|-5<A?6}

11.已知甲、乙兩人獨(dú)立出行，各租用共享單車一次（假定費(fèi)用只可能為1、2、3元）.甲、乙租車費(fèi)用為1元的概

率分別是0.5、0.2,甲、乙租車費(fèi)用為2元的概率分別是0.2、0.4,則甲、乙兩人所扣租車費(fèi)用相同的概率為（）

A.0.18B.0.3C.0.24D.0.36

12.已知函數(shù)/（x）=gsinx+nzcosx,其圖象關(guān)于直線x=。對稱，為了得到函數(shù)g（九）=+n?cos2x的圖象，

只需將函數(shù)/Xx）的圖象上的所有點(diǎn)（）

A.先向左平移F個(gè)單位長度，再把所得各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)保持不變

O

B.先向右平移[兀個(gè)單位長度，再把所得各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來的1大，縱坐標(biāo)保持不變

62

C.先向右平移g個(gè)單位長度，再把所得各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)保持不變

D.先向左平移g萬個(gè)單位長度，再把所得各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來的彳1，縱坐標(biāo)保持不變

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

27Y<0)

13.已知函數(shù)，(x)=-，則/(—2)=______；滿足〃x)>0的X的取值范圍為_________.

12-3%(%>0)

14.甲、乙、丙、丁四名同學(xué)報(bào)名參加淮南文明城市創(chuàng)建志愿服務(wù)活動，服務(wù)活動共有“走進(jìn)社區(qū)”、“環(huán)境監(jiān)測”、“愛

心義演”、“交通宣傳”等四個(gè)項(xiàng)目，每人限報(bào)其中一項(xiàng)，記事件4為“4名同學(xué)所報(bào)項(xiàng)目各不相同”，事件3為“只有甲

同學(xué)一人報(bào)走進(jìn)社區(qū)項(xiàng)目”，則P(A|B)的值為.

15.在棱長為1的正方體ABC。-A4GR中，P、。是面對角線AG上兩個(gè)不同的動點(diǎn).以下四個(gè)命題：①存在

P、Q兩點(diǎn)，使BPLDQ；②存在P、。兩點(diǎn)，使BP、。。與直線與。都成45。的角；③若|月。|=1,則四面體

BDPQ的體積一定是定值；④若|P。|=1,則四面體BDPQ在該正方體六個(gè)面上的正投影的面積的和為定值.其中為

真命題的是一.

16.已知/(%)為偶函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=e-x-x,則/(山2)=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知函數(shù)/(x)Jnx+ax+l.

(1)若對任意尤>0,/(x)<0恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

22

(2)若函數(shù)/(X)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)XI,X2(X1<X2),證明：工+'>2.

x2石

18.(12分)已知4(-2,0),5(2,0),動點(diǎn)P滿足直線24與直線心的斜率之積為寸，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

ITFI

(2)若過點(diǎn)F(l,0)的直線/與曲線。交于〃，N兩點(diǎn)，過點(diǎn)P且與直線I垂直的直線與x=4相交于點(diǎn)T,求

的最小值及此時(shí)直線/的方程.

19.(12分)如圖，在矩形ABCD中，AB=2,BC=3,點(diǎn)E是邊AD上一點(diǎn)，且AE=2ED,點(diǎn)X是BE的中點(diǎn),

將八45￡沿著跳折起，使點(diǎn)4運(yùn)動到點(diǎn)S處，且滿足SC=S￡>.

（1）證明：5/7，平面8?！耆?；

（2）求二面角C—S3—E的余弦值.

20.（12分）在AABC中，設(shè)。、b、c分別為角4、B、C的對邊，記AABC的面積為S,且2s=AB-AC.

（1）求角A的大??；

4

（2）若c=7,cos5=-,求。的值.

21.（12分）某職稱晉級評定機(jī)構(gòu)對參加某次專業(yè)技術(shù)考試的100人的成績進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，繪制了頻率分布直方圖（如

圖所示），規(guī)定80分及以上者晉級成功，否則晉級失敗.

頻率

晉級成功晉級失敗合計(jì)

男16

女50

合計(jì)

（1）求圖中。的值；

（2）根據(jù)已知條件完成下面2x2列聯(lián)表，并判斷能否有85%的把握認(rèn)為“晉級成功”與性別有關(guān)？

（3）將頻率視為概率，從本次考試的所有人員中，隨機(jī)抽取4人進(jìn)行約談，記這4人中晉級失敗的人數(shù)為X,求X

的分布列與數(shù)學(xué)期望E（X）.

,才上八j,2n(ad-bc￥甘4,,.

(參考公式/=(a+?(c+d)(a+c)S+d)'其中〃=a+b+c+d)

P(K*k。)0.400.250.150.100.050.025

400.7801.3232.0722.7063.8415.024

22.（10分）某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品，從流水線上隨機(jī)抽取100件產(chǎn)品，統(tǒng)計(jì)其質(zhì)量指標(biāo)值并繪制頻率分布直方圖（如

圖D：規(guī)定產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值在［65,85）的為劣質(zhì)品，在［85,105）的為優(yōu)等品，在［105,115］的為特優(yōu)品，銷售時(shí)劣

質(zhì)品每件虧損0.8元，優(yōu)等品每件盈利4元，特優(yōu)品每件盈利6元，以這100件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于各區(qū)間的頻率代

替產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于該區(qū)間的概率.

0102030405060

年一的費(fèi)用w(萬元)

圖2

（1）求每件產(chǎn)品的平均銷售利潤;

（2）該企業(yè)主管部門為了解企業(yè)年?duì)I銷費(fèi)用x（單位：萬元）對年銷售量y（單位：萬件）的影響，對該企業(yè)近5年

的年?duì)I銷費(fèi)用芭和年銷售量%,（i=L2,3,4,5）數(shù)據(jù)做了初步處理，得到的散點(diǎn)圖（如圖2）及一些統(tǒng)計(jì)量的值.

5555c

EM，-Zv,￡(一)

i=\i=lZ=11=1

16.3523.40.541.62

15_J5

表中％=lnx,，匕=lny,M,v.

5z=i5Z=1

根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y=可以作為年銷售量y（萬件）關(guān)于年?duì)I銷費(fèi)用x（萬元）的回歸方程.

①求y關(guān)于x的回歸方程;

②用所求的回歸方程估計(jì)該企業(yè)每年應(yīng)投入多少營銷費(fèi)，才能使得該企業(yè)的年收益的預(yù)報(bào)值達(dá)到最大？（收益=銷售

利潤—營銷費(fèi)用，取/59=36）

附：對于一組數(shù)據(jù)（4,匕），（％,丹），，（乙，匕），其回歸直線/=應(yīng)+/您的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為

5

/=上匕------------，a=v-pu.

Z=1

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.D

【解析】

設(shè)非零向量。與的夾角為。，在等式|2"-0=6卜|兩邊平方，求出cos。的值，進(jìn)而可求得向量方在向量a方向上

的投影為忖cos9,即可得解.

【詳解】

忖=2，，由Ra-4=6卜|得Qa—囚=3慟，整理得2a?-2。心—片=0，

2a-2|tz|x2|a|cos^-4|a|=0,解得cos8=—

因此，向量b在向量。方向上的投影為Wcos￡=—；忖.

故選：D.

本題考查向量投影的計(jì)算，同時(shí)也考查利用向量的模計(jì)算向量的夾角，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.D

【解析】

ABD可通過統(tǒng)計(jì)圖直接分析得出結(jié)論，C可通過計(jì)算中位數(shù)判斷選項(xiàng)是否正確.

【詳解】

A.由統(tǒng)計(jì)圖可知：2014年入境游客萬人次最少，故正確；

B.由統(tǒng)計(jì)圖可知：后4年我國入境游客萬人次呈逐漸增加趨勢，故正確；

C.入境游客萬人次的中位數(shù)應(yīng)為13340.13與13604.33的平均數(shù)，大于13340萬次，故正確；

D.由統(tǒng)計(jì)圖可知：前3年的入境游客萬人次相比于后3年的波動更大，所以對應(yīng)的方差更大，故錯(cuò)誤.

故選：D.

本題考查統(tǒng)計(jì)圖表信息的讀取以及對中位數(shù)和方差的理解，難度較易.處理問題的關(guān)鍵是能通過所給統(tǒng)計(jì)圖，分析出對

應(yīng)的信息，對學(xué)生分析問題的能力有一定要求.

3.B

【解析】

由題，側(cè)棱斜，底面ABC,AB=5,5C=8,/6=60°,則根據(jù)余弦定理可得5C=卜元12^5^8^[=7,

2_BC_1_r_J_

ABC的外接圓圓心r—sinB一不北

3

三棱錐的外接球的球心到面ABC的距離d==SA=君，則外接球的半徑R=J12]+(A/5?=J—，則該三棱

錐的外接球的表面積為S=4%R?=變"

3

點(diǎn)睛：本題考查的知識點(diǎn)是球內(nèi)接多面體，熟練掌握球的半徑R公式是解答的關(guān)鍵.

【解析】

由題，可求出A￡>=LCD=石，所以AB=2OC，根據(jù)共線定理，&BE=2BC(M1),利用向量三角形法則求

4

出AE=AB+AAD,結(jié)合題給AE=xA5+yAD,得出x=l—5,^=2,進(jìn)而得出孫=%,最后

利用二次函數(shù)求出孫的最大值，即可求出|AE|=.

【詳解】

ULU1UUU_

由題意，直角梯形ABCD中，ABAD=O>々=30。，AB=2?，BC=2,

可求得A￡>=1,C￡>=有，所以AB=2OC-

:點(diǎn)E在線段上，設(shè)3E=/l3C(01U1),

則AE=AB+BE=AB+XBC=A3+2(34+AZ)+DC)

=(1-2)AB+2AD+2DC=I1-yIAB+AAD,

即AE=AB+AAD,

又因?yàn)锳￡=xAB+yAD

所以x=l—5，y=X,

所以孫=2=_：](%—1)2—1]=_；(%_1)2+；,,1,

k乙J乙乙乙乙

當(dāng)4=1時(shí)，等號成立.

所以|AE|=|」AB+AD|=2.

2

故選：B.

本題考查平面向量線性運(yùn)算中的加法運(yùn)算、向量共線定理，以及運(yùn)用二次函數(shù)求最值，考查轉(zhuǎn)化思想和解題能力.

5.D

【解析】

設(shè)m=2。+匕，可得=a-m-2a2e[-4,01,構(gòu)造(。一工相)242+'n?,結(jié)合=2,可得a-'〃2e—

L」4164122,

根據(jù)向量減法的模長不等式可得解.

【詳解】

設(shè)m=2d+b>則同=2,

b=m—2a,a-b=a-m—2a2e[T,0]，

.121121.2

(arn)2=a—RI?TTZHmV2Hm

421616

21

|m|2=m2=4,所以可得：——m二一，

82

11119

配方可得一=—用9V2(a--tn)92<4+-tn92=—,

28482

…1「13一

所以a--e—,

又||d|-1：創(chuàng)區(qū)d--m<||?|+|-m||

444

則同e[0,2].

故選：D.

本題考查了向量的運(yùn)算綜合，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.

6.C

【解析】

根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可寫出漸近線方程.

【詳解】

2

雙曲線必―21=1,

2

二雙曲線的漸近線方程為y=±V2x,

故選：C

本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，屬于容易題.

7.A

【解析】

首先求出樣本空間樣本點(diǎn)為25=32個(gè)，再利用分類計(jì)數(shù)原理求出三個(gè)正面向上為連續(xù)的3個(gè)“1”的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)，再求

出重復(fù)數(shù)量，可得事件的樣本點(diǎn)數(shù)，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式即可求解.

【詳解】

樣本空間樣本點(diǎn)為25=32個(gè)，

具體分析如下：

記正面向上為1,反面向上為0,三個(gè)正面向上為連續(xù)的3個(gè)“1”，

有以下3種位置1__,__1,

剩下2個(gè)空位可是。或1,這三種排列的所有可能分別都是2x2=4，

但合并計(jì)算時(shí)會有重復(fù)，重復(fù)數(shù)量為2+2=4，

事件的樣本點(diǎn)數(shù)為：4+4+4—2—2=8個(gè).

Q1

故不同的樣本點(diǎn)數(shù)為8個(gè)，—

324

故選：A

本題考查了分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理，古典概型的概率計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題

8.D

【解析】

根據(jù)集合的基本運(yùn)算即可求解.

【詳解】

解：A={1,3,5},B={1,2,3},C={2,3,4,51，

貝MAc3）uC={1,3}d{2,3,4,5}={1,2,3,4,5）

故選：D.

本題主要考查集合的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

9.B

【解析】

根據(jù)題意可得=0,利用向量的數(shù)量積即可求解夾角.

【詳解】

因?yàn)椋?n（缶—6）1=0

即缶小引刃。

而cos(a,b)='1%—a-b_\[2

''\a\-\b\而F

兀

所以a力夾角為一

4

故選：B

本題考查了向量數(shù)量積求夾角，需掌握向量數(shù)量積的定義求法，屬于基礎(chǔ)題.

10.C

【解析】

根據(jù)A*3定義，求出A*3,即可求出結(jié)論.

【詳解】

因?yàn)榧?={%|掇卜％5),所以8={x|—5都；-1),

則A*B={%]—6<%,1},所以8*(人*8)={%]—11<%,0}.

故選:C.

本題考查集合的新定義運(yùn)算，理解新定義是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

11.B

【解析】

甲、乙兩人所扣租車費(fèi)用相同即同為1元，或同為2元，或同為3元，由獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算即得.

【詳解】

由題意甲、乙租車費(fèi)用為3元的概率分別是0.3,0.4,

甲、乙兩人所扣租車費(fèi)用相同的概率為

P=0.5x0.2+0.2x0.4+0.3x0.4=0.3.

故選：B.

本題考查獨(dú)立性事件的概率.掌握獨(dú)立事件的概率乘法公式是解題基礎(chǔ).

12.D

【解析】

由函數(shù)/(X)的圖象關(guān)于直線x=g對稱，得m=1,進(jìn)而得/(x)=JGsinx+cosx=2sin[x+m=2cos[x-m，再

利用圖像變換求解即可

【詳解】

由函數(shù)/(X)的圖象關(guān)于直線x=g對稱，得=,3+m2,即|+￡=13+77?,解得機(jī)=1,所以

f(x)=73sinx+cosx=2sin、+小=2cos[x-m，g(x)=2cos2],故只需將函數(shù)/(x)的圖象上的所有點(diǎn)“先

7r1

向左平移1個(gè)單位長度，得y=2cosx,再將橫坐標(biāo)縮短為原來的5,縱坐標(biāo)保持不變，得g(x)=2cos2%”即可.

故選：D

本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查圖像變換，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

1/八

13.—(-oo,4)

4

【解析】

首先由分段函數(shù)的解析式代入求值即可得到/(-2),分x>0和尤<0兩種情況討論可得;

【詳解】

2x(x<0)

解：因?yàn)閥(x)=<

12-3x(x>0)

91

所以二

V/W>0,

...當(dāng)x<0時(shí)，0</(%)=2工<1滿足題意，；.x<0；

當(dāng)x>0時(shí)，由/(x)=12—3x>0,

解得x<4.綜合可知：滿足/(x)>0的x的取值范圍為(-8,4).

故答案為：一；(—8,4).

4

本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，分類討論思想，屬于基礎(chǔ)題.

14.2

9

【解析】

根據(jù)條件概率的求法，分別求得P(5),P(AB),再代入條件概率公式求解.

【詳解】

o3A

根據(jù)題意得p⑻=a=念,/(硝=今=短

所以「⑷/小、P九(AB}2

故答案為：!2

本題主要考查條件概率的求法，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.

15.①③④

【解析】

對于①中，當(dāng)尸點(diǎn)與A點(diǎn)重合，Q與點(diǎn)G重合時(shí)，可判斷①正確；當(dāng)點(diǎn)P點(diǎn)與A點(diǎn)重合，BP與直線用。所成的角

最小為60，可判定②不正確；根據(jù)平面08。將四面體3DPQ可分成兩個(gè)底面均為平面08。，高之和為PQ的棱錐,

可判定③正確；四面體BDP。在上下兩個(gè)底面和在四個(gè)側(cè)面上的投影，均為定值，可判定④正確.

【詳解】

對于①中，當(dāng)尸點(diǎn)與A點(diǎn)重合，。與點(diǎn)G重合時(shí)，BPLDQ,所以①正確；

對于②中，當(dāng)點(diǎn)尸點(diǎn)與A點(diǎn)重合，6P與直線與C所成的角最小，此時(shí)兩異面直線的夾角為60，所以②不正確；

對于③中，設(shè)平面兩條對角線交點(diǎn)為。，可得平面08。，

平面08。將四面體3DPQ可分成兩個(gè)底面均為平面OBD,高之和為PQ的棱錐，

所以四面體3DPQ的體積一定是定值，所以③正確；

對于④中，四面體3OP。在上下兩個(gè)底面上的投影是對角線互相垂直且對角線長度均為1的四邊形，其面積為定義，

四面體BDPQ在四個(gè)側(cè)面上的投影，均為上底為正，下底和高均為1的梯形，其面積為定值，

2

故四面體BDPQ在該正方體六個(gè)面上的正投影的面積的和為定值，所以④正確.

故答案為：①③④.

本題主要考查了以空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征為載體的謎題的真假判定及應(yīng)用，其中解答中涉及到棱柱的集合特征，異面

直線的關(guān)系和椎體的體積，以及投影的綜合應(yīng)用，著重考查了推理與論證能力，屬于中檔試題.

16.2+ln2

【解析】

由偶函數(shù)的性質(zhì)直接求解即可

【詳解】

/(ln2)=/(-ln2)=eln2-(-ln2)=2+ln2.

故答案為2+ln2

本題考查函數(shù)的奇偶性，對數(shù)函數(shù)的運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)a<-l；(2)證明見解析.

【解析】

⑴求出/'(%),判斷函數(shù)八％)的單調(diào)性，求出函數(shù)“力的最大值，即求。的范圍；

(2)由⑴可知，不e(L+(?).對％分%?1,2)和%e[2,+co)兩種情況討論，構(gòu)造函數(shù)，利用放縮法

和基本不等式證明結(jié)論.

【詳解】

(1)由lnx+以+1=皿+2_+沏得*

XXXX

令/'(尤)=0,二%=1.

當(dāng)0<x<l時(shí)，/(^)>0；當(dāng)尤>1時(shí)，f(x)<0；

.?./(X)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，

???〃比="1)=。+1.

,對任意x>0J(x)<0恒成立，，a+l<O,，a<T.

(2)證明：由⑴可知，/(九)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+s)上單調(diào)遞減，

x,e(0,l),xoe(1,.

若尤2G。,2),則2—42?。，1)，

XXLX乙X

,/、In%ln(2-x)Inxln(2-x)ln-(x-1)?+1

丁一^=—->o

x(2—x]%%x

???g(X)在(0,1)上單調(diào)遞增,g(x)<g⑴=0,.-./(x)</(2-x),

，/(2-%)>/&)=/(%).

&e(0,l),.,.2-X[>1,又%>1,/(x)在(1,+℃)上單調(diào)遞減,

2-x,<x2,.\玉+%2>2.

若尤2G[2,+8),則>2顯然成立.

綜上，X；+X2>2.

2I22I2

又巧一+%222—x%2=2%,生一+%>2h^-xx1=2X2

x2yx2玉y項(xiàng)

以上兩式左右兩端分別相加，得

2222

—+x2+^-+%1>2(^+X2),即巧一+差一>玉+%2，

X

X?Xx%2\

22

所以工+二>2.

尤2菁

本題考查利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，屬于難題.

X2*4v2,、\TF\

18.(1)L+匕=l(xw±2)(2)三三的最小值為1,此時(shí)直線/：x=l

43''I"N|

【解析】

(1)用直接法求軌跡方程，即設(shè)動點(diǎn)為尸(x,y),把已知用坐標(biāo)表示并整理即得.注意取值范圍;

(2)設(shè)/：x=my+l,將其與曲線C的方程聯(lián)立，消元并整理得(3切2+4)丁+6切-9=0,

2

設(shè)N（W，>2），則可得%+%，，%%，S|w|?5/l+m-y2||ACV|,

ITFI

將直線FT方程y=—m(x—1)與x=4聯(lián)立，得T(4,—3m),求得|丁同，計(jì)算加R，設(shè)/=?顯然/21，構(gòu)

\TF\1<1Y八

造了⑺-----=—3/+-（/2］）,由導(dǎo)數(shù)的知識求得其最小值，同時(shí)可得直線/的方程.

\MN\4（t）y）

【詳解】

3yy3

（1）設(shè)p（x,y）,則左以?即B=-W，即1.2）,二II

22

整理得三+匕=

XW

43

⑵設(shè)/：x=my+l,將其與曲線。的方程聯(lián)立，得3（切+l）?+4y2=12

即（3加2+4）J?+6沖-9=0

6

設(shè)“（七，%）,N（%2，%）,則%+%=-二%,%%"二I4

5m+43m+4

—6m丫4*—912（m2+1）

3m2+4y3m2+43m2+4

將直線/T：y=-加（x—1）與x=4聯(lián)立，得7（4,—3切）

???\TF\=,9+9/=3y/l+m

O/、

\MN\4認(rèn)

設(shè)/=y/m2+1?顯然，上1

構(gòu)造/（'）=^=上+》刈

/'（。=；13—"］〉0在fe［1,+8）上恒成立

所以y=/（。在［i，+8）上單調(diào)遞增

所以與《=毛3/+」21,當(dāng)且僅當(dāng)f=1,即m=0時(shí)取“=”

|MN|41”

\TF\

即的最小值為，此時(shí)直線乙

|MN\1x=l.

（注：1.如果按函數(shù)y=x+^的性質(zhì)求最值可以不扣分；2.若直線方程按斜率是否存在討論，則可以根據(jù)步驟相應(yīng)給

x

分.）

本題考查求軌跡方程，考查直線與橢圓相交中的最值.直線與橢圓相交問題中常采用“設(shè)而不求”的思想方法，即設(shè)交

點(diǎn)坐標(biāo)為（％,%）,（%，%），設(shè)直線方程，直線方程與橢圓方程聯(lián)立并消元，然后用韋達(dá)定理得％1+須，再%2（或

%+%，％%），把這個(gè)代入其他條件變形計(jì)算化簡得出結(jié)論，本題屬于難題，對學(xué)生的邏輯推理、運(yùn)算求解能力有一

定的要求.

19.（1）見解析；（2）B

3

【解析】

（1）取CD的中點(diǎn)以，連接胸，SM,由SE=Sfi=2,進(jìn)而陽由SC=SD,得進(jìn)而

平面SHM,進(jìn)而結(jié)論可得證（2）（方法一）過"點(diǎn)作CD的平行線GH交于點(diǎn)G,以點(diǎn)”為坐標(biāo)原點(diǎn)，

所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系”-孫z,求得平面SBC,平面SBE的

法向量，由二面角公式求解即可（方法二）取BS的中點(diǎn)N,上的點(diǎn)P,使連接HV,PN,PH,得

HNLBS,HP±BE，得二面角C—SB—E的平面角為NPNH,再求解即可

【詳解】

（1）證明：取CD的中點(diǎn)M，連接胸，SM,由已知得AE=AB=2,所以SE=Sfi=2,又點(diǎn)”是BE的中點(diǎn),

所以SHLBE.

因?yàn)镾C=SD,點(diǎn)M是線段CD的中點(diǎn)，

所以SMLCD.

又因?yàn)樗詮亩鳦D,平面SHM,

所以GDLSH,又CD,破不平行，

所以SHL平面5CDE.

（2）（方法一）由（1）知，過X點(diǎn)作CD的平行線GH交于點(diǎn)G,以點(diǎn)〃為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線

分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系”一孫z,則點(diǎn)3（1,—1,0）,C（l,2,0）,￡（-1,1,0）,

所以BC=(0,3,0),BE=(-2,2,0),6S=(—1,1,0).

設(shè)平面S5E的法向量為機(jī)=（%,%,zj,

m-BE=0西=M

由＜,令x=i，得機(jī)=(i/,o).

mBS=0-X]+%+A/^Z]=0

同理，設(shè)平面SBC的法向量為〃=（X2，%，Z2），

n-BC=0f%=°

由，得r

n-BS=0|^-x2+j2+V2Z2=0

令Z2=l,得"=(挺,0,1).

m-nA/2_73

所以二面角C—S3—E的余弦值為cos〈/n,”〉=

\m\\n\拒義6―3

（方法二）取BS的中點(diǎn)N,上的點(diǎn)尸，使BP=2PC,連接HN,PN,PH,易知HNLBS,HP±BE.

由（1）得SHLHP,所以HP,平面BSE,所以HPLSfi,

又HNLBS,所以平面PHV,

所以二面角C—S3—石的平面角為NPNH.

又計(jì)算得AW=1,PH=?，PN=6，

本題考查線面垂直的判定，考查空間向量求二面角，考查空間想象及計(jì)算能力，是中檔題

兀

20.(1)-；(2)a=5

4

【解析】

(1)由三角形面積公式，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算可得6csinA=6ccosA,結(jié)合范圍Ae(O,?),可求tanA=l,進(jìn)而

可求A的值.

3

(2)利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinB=不，利用兩角和的正弦函數(shù)公式可求sinC的值，由正弦定理可求得。

的值.

【詳解】

解：(1)由2S=AB.AC，得。csinA=6ccosA,

因?yàn)锳e(O,?),

所以tanA=1,

71

可得：A=—.

4

4

(2)AABC中，cosB=-,

3

所以sin_B=《.

、7A/2

所以：sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=,

a7

nc---=----

由正弦定理——=——，得后7夜，解得。=5,

sinAsinC-

本題主要考查了三角形面積公式，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角和的正弦函數(shù)公式，正弦

定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

21.(1)a=0.005；⑵列聯(lián)表見解析，有超過85%的把握認(rèn)為“晉級成功”與性別有關(guān)；(3)分布列見解析，E(X)=3

【解析】

(1)由頻率和為1,列出方程求。的值；

(2)由頻率分布直方圖求出晉級成功的頻率，計(jì)算晉級成功的人數(shù)，

填寫2x2列聯(lián)表，計(jì)算觀測值，對照臨界值得出結(jié)論；

(3)由頻率分布直方圖知晉級失敗的頻率，將頻率視為概率，

知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，計(jì)算對應(yīng)的概率值，寫出分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望.

【詳解】

解：(1)由頻率分布直方圖各小長方形面積總和為1,

可知(2a+0.020+0.030+0.040)x10=1,

解得a=0.005；

(2)由頻率分布直方圖知，晉級成功的頻率為0.20+0.05=0.25,

所以晉級成功的人數(shù)為100x0.25=25(人)，

填表如下：

晉級成功晉級失敗合計(jì)

男163450

女94150

合計(jì)2575100

假設(shè)“晉級成功”與性別無關(guān)，

根據(jù)上表數(shù)據(jù)代入公式可得K2=100XQ6=41-34X9)：工2.613>2.072，

25x75x50x50

所以有超過85%