浙江省寧波市某中學2024-2025學年高一年級上冊分班考試數學試卷（含答案解析）

浙江省寧波市奉化中學2024-2025學年高一上學期分班考試數

乙、上、口

學試卷

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

一尤2—2ax—a,x<0

1.已知函數〃x）=工，八八在R上單調遞增，則。的取值范圍是（）

[e"+ln（x+l）,尤20

A.（-8,0]B.[-1,0]C.[-1,1]D,[0,+8）

2.“四邊形是平行四邊形”是“四邊形是菱形”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

3.已知函數〃同=爐+6+6,若不等式/（無心2在無目1,5]上恒成立，則滿足要求的有序

數對（“M有（）

A.0個B.1個C.2個D.無數個

4.已知。>0,6>0,且。+6=1,則下列不等式中恒成立的是（）

A.a2+b2<-B.2->!

22

C.log,a+log,b>-2D.4a+4b>41

5.已知集合4={(%,刈X2+、2<鼻,"2},B={(x,y^x\<2,\y\<2,x,yeZ}f定義集合

4e>3={（%+%2，乂+%）1（%，必）￡4（%2，%）￡3},則A十3中元素的個數為

A.77B.49C.45D.30

二、多選題

6.德國著名數學家狄利克雷在數學領域成就顯著，是解析數論的創(chuàng)始人之一，以其名命名

flx為于甲卷^

的函數/（無）=；?工工中拈成為狄利克雷函數，則關于“X）,下列說法正確的是（）

0,尤為無理數

A.VxeR,/(/(x))=l

B.函數/'(x)是偶函數

C.任意一個非零有理數T,/(x+T)=/(x)對任意xeR恒成立

D.存在三個點4(%"(尤1)),3>2"(工2))，。(了3，/(工3))，使得ZMBC為等邊三角形

7.已知函數〃無)的定義域為R,且了《卜°，若〃x+y)+〃x)/(y)=4孫，則(

)

C.函數/卜-:是偶函數D.函數/卜+；)是減函數

三、填空題

8.lx1+xy+y2=\,貝!+孫+2y?的最小值為.

9.李明自主創(chuàng)業(yè)，在網上經營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價

格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量，李明對這四種水果進行促

銷：一次購買水果的總價達到120元，顧客就少付x元.每筆訂單顧客網上支付成功后，李

明會得到支付款的80%.

①當下10時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付元；

②在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則x的最大

值為.

四、解答題

x—4

10.已知集合4={%|---->0},集合5=-24無￡2。+1}.

x+3

(1)當a=3時，求A和隔A)u5；

(2)若xeA是的必要不充分條件，求實數。的取值范圍.

試卷第2頁，共2頁

參考答案:

題號1234567

答案BBBBCABCDABD

1.B

【分析】根據二次函數的性質和分界點的大小關系即可得到不等式組，解出即可.

【詳解】因為了⑺在R上單調遞增，且xNO時，〃x)=e'+ln(x+l)單調遞增，

------------>0

則需滿足2x(-1)解得一lVa40,

-a<e°+In1

即a的范圍是[TO].

故選：B.

2.B

【分析】根據必要不充分條件的定義即可求解.

【詳解】四邊形是平行四邊形不能推出四邊形是菱形，但是四邊形是菱形能推出四邊形是平

行四邊形，所以“四邊形是平行四邊形”是“四邊形是菱形”的必要不充分條件.

故選：B.

3.B

-2<l+a+Z?<2,(l)

【分析】由題意有-2W9+3a+6W2,(2),通過分析得到a=-6,匕=7是滿足題意的唯一

-2<25+5a+&<2,(3)

解，注意檢驗.

【詳解】由題意若不等式(x)|V2在xe[1,5]上恒成立，

-2</(1)<2-2<l+a+b<2,(l)

則必須滿足-2V"3)42,即(-2V9+3a+bV2,⑵，

-2445)42-2425+5a+642,(3)

-2<-1-6Z-/?<2,(1)

rHJ')，兩式相力口得-448+2aW4n—2,(4),

[-2<9+3a+b<2,(2)

-2<-9-3a-Z?<2,(2)

再由，，兩式相力口得Y416+2a44=—104a4—6,(5),

-2<25+5a+/?<2,(3)

答案第1頁，共6頁

-2<-5+Z?<2,（l）

結合（4）,（5）兩式可知a=-6,代入不等式組得<-2V-9+b?2,（2）,

-24-5+642,（3）

解得6=7,

經檢驗，當a=-6,6=7時，/（x）=x2-6x+7=（x-3）2-2,

有"（x）L="1）="5）=2,"（ML"⑶=-2,滿足|小）|42在xe[1,5]上恒成立，

綜上所述：滿足要求的有序數對（。，切為：（-6,7）,共一個.

故選：B.

-2</（1）<2

【點睛】關鍵點點睛：解題的關鍵是首先得到-2V/（3）V2,進一步由不等式的性質通過

-24〃5）W2

分析即可求解.

4.B

【解析】直接利用不等式的性質的應用和基本不等式的應用求出結果.

【詳解】解：①已知a>0,b>0,且。+6=1,所以（°+4,,24+2加，則片+尻.；，故人錯

誤.

②利用分析法：要證只需證明。一>>一1即可，即a>b-l,由于a>0,b>0,且

a+b=l,所以：a>0,Z?-l<0,故與正確.

2

③log2。+log2匕=log2ab?log2（-^y^）=-2,故。錯誤.

④由于〃〉0,b>0,且a+Z?=l,

利用分析法：要證近成立，只需對關系式進行平方，整理得〃+A+2j蕨,2,即

2疝,,1,故界，=等，當且僅當。=6=；時，等號成立.故。錯誤.

故選：B.

【點睛】利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構成和的二項之積轉化成定值；要求積的最大值，

則必須把構成積的因式的和轉化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這

答案第2頁，共6頁

個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方

5.C

【詳解】因為集合A={（.r,y）l-v2+y2?l,x,yeZ},所以集合4中有5個元素（即5個點），

即圖中圓中的整點，集合A{（.v.r）l|.v|<2.|y|^2,.v,r<Z）中有25個元素（即25個點）：

即圖中正方形中的整點，集合/I98={（8+X2,乂+刈）|（8,乂）W4（X2,必）￡8}

的元素可看作正方形，寓曼褲;F%中的整點（除去四個頂點），即77-4=45個.

6.ABCD

【分析】依次判斷每個選項：/（x）e{O,l},故〃=判斷=為偶函數;

判斷了（x+7）=/（》）；取/當,01,8（0,1）,。［一當,。］為等邊三角形，得到答案.

\7IJJ

【詳解】VxG/?,/（x）e{O,l}.-./（/（x））=l,A正確；

為有理數/l,x為有理數一

"）-［o,T為無理數-］o,x為無理數一?。己瘮怠_’

［1,尤+T為有理數1,尤為有理數

/（無+T）［。，尤+T為無理數C正確;

0,尤為無理數

易知4$018（0,1）,《與o］三點構成等邊三角形，O正確;

故選：ABCD

答案第3頁，共6頁

【點睛】本題考查了函數的新定義問題，意在考查學生對于函數性質的應用能力.

7.ABD

【分析】對抽象函數采用賦值法，令苫=；、＞=0,結合題意可得〃0）=T,對A：令x=；、

y=0,代入計算即可得；對B、C、D：令、=-；，可得/卜-3］=-2苫，即可得函數/1x

及函數+g

函數的性質，代入x=l,即可得了1

【詳解】令x=：、＞=。，則有了心

又/#0,故1+/(。)=0,即/(0)=-1,

令、1

x=gy=一-

-2

由〃0）=-1,可得了0,

又故/［一；］=。，故A正確；

令丁=一：，貝U有/1_）+/（司/］一切=4”（一切，

即/卜-J=-2x,故函數是奇函數，

有/［x+l-gj=-2（x+l）=-2x-2,gp/L+1j=-2x-2,

即函數是減函數，

令x=l，有/，］=-2xl=-2,

故B正確、C錯誤、D正確.

故選：ABD.

【點睛】關鍵點睛:本題關鍵在于利用賦值法解決抽象函數問題，借助賦值法,得到/（0）=-1,

再重新賦值，得到再得到了［-J=-2x.

。-472+9

O.------------

7

2cos0cos3

【解析】根據條件等式可設》=飛=，丫=sin6-丁，代入所求式子，利用二倍角公式和

輔助角公式化簡，根據三角函數的性質可求出最值.

【詳解】2/+盯+丁=1,則生+工+孫+/=1,即（叵］+［-+y］=1,

答案第4頁，共6頁

%-2cos。.八cos。

=cos。,一+y=sin6,x=,y=sl

2^^/FW

2cos。

」.x2+xy+2y2=

4cos202sincos0八.2八

-------------------------------T=----+2sin/9

7幣

4f1+cos2%sin20

n-2-J~^7F+l-cos26

_159

sin26——cos28+—

一7777

二4fsin（28+（）+[,其中。是輔助角，且tane=（^,

當sin（26+0）=-l時，原式取得最小值為-40+9.

-4加+9

故答案為:

7

2cos0cos0

【點睛】本題考查條件等式求最值，解題的關鍵是設了=^^，丫=sin。-一七-，利用三角

恒等變換化簡可求出.

9.130.15.

【分析】由題意可得顧客需要支付的費用，然后分類討論，將原問題轉化為不等式恒成立的

問題可得x的最大值.

【詳解】⑴x=10,顧客一次購買草莓和西瓜各一盒，需要支付（60+80）-10=130元.

（2）設顧客一次購買水果的促銷前總價為'元，

y<120元時，李明得到的金額為yx80%,符合要求.

”120元時，有（y-x）x80%2yx70%恒成立，即8（y-x）Z7y,xU，即彳4點]=15元.

827min

所以X的最大值為15.

【點睛】本題主要考查不等式的概念與性質、數學的應用意識、數學式子變形與運算求解能力,

以實際生活為背景，創(chuàng)設問題情境，考查學生身邊的數學，考查學生的數學建模素養(yǎng).

10.（1）A={x|x<-3或x>4},（^A）^B={x|-3<x<7}；（2）a<-2或a>6.

【解析】（1）當。=3時，得出集合B,解分式不等式即可得集合A,再根據補集和并集的

運算，從而可求出@