一元函數(shù)的導數(shù)及其應用-2025年高考數(shù)學一輪復習

專題05一元函數(shù)的導數(shù)及其應用

（思維構建+知識盤點+重點突破+方法技巧）

維構建?耀蓿陳紿

口說盤點?霍翡訃與

知識點1導數(shù)的概念

1、函數(shù)y=/（x）在x=xo處的導數(shù)定義

一般地，稱函數(shù)y=/（x）在x=xo處的瞬時變化率,-（xo）=Hm2為函數(shù)y=?r）在x=x0處

ZAAAx_0^^

的導數(shù)，記作/（祀）或y'|x=xo，即/（xo）=2j%0=2jd（沏+八七/（祀）.

2、導數(shù)的幾何意義

函數(shù)兀0在點必處的導數(shù)了（配）的幾何意義是在曲線>=燈）上點P（x0,yo）處的切線的斜率（瞬時速度就是

位移函數(shù)s。）對時間t的導數(shù)）.相應地，切線方程為y—yo=f（xo）（x-xo）.

3、函數(shù)/（x）的導函數(shù)：稱函數(shù)/（x）=linT;~:----T---------為犬尤）的導函數(shù).

Ax—>0ZAA

知識點2導數(shù)的運算

1、基本初等函數(shù)的導數(shù)公式

原函數(shù)導函數(shù)

Kx)=C(C為常數(shù))/W=0

於KwGQ*)/(%)二6一1

f^x)=sinx/(x)=cos_x

j[x)=cosx/(x)=_sin_x

兀0=砥4>0且存1)f(x)=ax\n_a

?=ex/(x)=e*

fix)=logax(x>0,a>0且1)D_%lna

f(x)=Inx(x>0)f(x)=x

2、導數(shù)的運算法則

⑴用)土g(x)y=/(x)土g，(辦

(2)[/0>g(x)]'=/(x)g(x)+/(x)g，(x).

Mgf(x")-If(x)g(x)—/(無)g'(x)(g(M

3、復合函數(shù)的導數(shù)

(1)復合函數(shù)的概念：一般地，對于兩個函數(shù)y=/Q)和a=g(x),如果通過中間變量M,y可以表示

成x的函數(shù)，那么稱這個函數(shù)為y=/Q)和”=g(x)的復合函數(shù)，記作y=/(g(%)).

(2)復合函數(shù)的求導法則：一般地，復合函數(shù)y=/(g(x))的導數(shù)和函數(shù)y=/3),M=g(x)的導數(shù)間的

關系為%'=?"：，即y對x的導數(shù)等于y對設的導數(shù)與〃對x的導數(shù)的乘積?

規(guī)律：從內(nèi)到外層層求導，乘法連接。

(3)求復合函數(shù)導數(shù)的步驟

第一步分層：選擇中間變量，寫出構成它的內(nèi)、外層函數(shù)；

第二步分別求導：分別求各層函數(shù)對相應變量的導數(shù)；

第三步相乘：把上述求導的結果相乘；

第四步變量回代：把中間變量代回。

知識點3導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

1、導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關系

在某個區(qū)間(。力)內(nèi)，如果/'(x)之0,那么函數(shù)y=/(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；

如果f(x)<0,那么函數(shù)y=/(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.

【注意】

⑴在某區(qū)間內(nèi)/'(x)>0(fr(x)<0)是函數(shù)/(x)在此區(qū)間上為增(減)函數(shù)的充分不必要條件；

（2）可導函數(shù)/（x）在（4力）上是增（減）函數(shù)的充要條件是對Vxeg,b）,都有/''（力2。（/''（力三。）且

/'（X）在（a力）上的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒為零.

2、導數(shù)法求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟

（1）確定函數(shù)〃％）的定義域；

（2）求/,（%）（通分合并、因式分解）；

（3）解不等式/'（x）＞0,解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間；

（4）解不等式/'（x）＜0,解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間.

知識點4導數(shù)與函數(shù)的極值、最值

1、函數(shù)的極值

（1）函數(shù)的極小值：函數(shù)y=/（x）在點x=a的函數(shù)值五。）比它在點x=a附近其他點的函數(shù)值都小,/（a）=0；

而且在點x=a附近的左側/（x）＜0,右側了（x）＞0,則點。叫做函數(shù)y=/（尤）的極小值點，穴a）叫做函數(shù)y=/（x）

的極小值.

（2）函數(shù)的極大值：函數(shù)y=/（x）在點x=b的函數(shù)值五。）比它在點x=6附近其他點的函數(shù)值都大,/（b）=0；

而且在點x=b附近的左側/（x）＞0,右側了（無）＜0,則點b叫做函數(shù)y=?r）的極大值點，八3叫做函數(shù)y=#x）

的極大值.

2、函數(shù)的最值

（1）在閉區(qū)間［。，句上連續(xù)的函數(shù)段）在3，句上必有最大值與最小值.

（2）若函數(shù)於）在［0句上單調(diào)遞增，則犬a(chǎn)）為函數(shù)的最小值，近6）為函數(shù)的最大值；若函數(shù)1x）在［a,加上

單調(diào)遞減，則人a）為函數(shù)的最大值，八切為函數(shù)的最小值.

3、函數(shù)極值與最值的關系

（1）函數(shù)的最大值和最小值是比較整個定義域區(qū)間上的函數(shù)值得到的，是一個整體的概念，與函數(shù)的極大

（?。┲挡煌?，函數(shù)的最大（?。┲等粲?，則只有一個。

（2）開區(qū)間內(nèi)的可導函數(shù)，若有唯一的極值，則這個極值是函數(shù)的最值。

■點突破?看分?中將

重難點01根據(jù)切線情況求參數(shù)

已知了（無），過點（。力），可作曲線的“（”=1,2,3）條切線問題

第一步：設切點4（%，為）

第二步：計算切線斜率左=/'（%）；

第三步：計算切線方程.根據(jù)直線的點斜式方程得到切線方程：y-y0=f'(x0)(x-x0).

第四步：將(。力)代入切線方程，得：b-y0=f\x0)(a-x0),整理成關于與得分方程；

第五步：題意己知能作幾條切線，關于飛的方程就有幾個實數(shù)解；

【典例1](23-24高三上?廣東?月考)若曲線、=三+6在點(La+l)處的切線方程為y=7x+"2,則

m=.

【典例2】(22-23高三下?湖南長沙?月考)設直線x+y+l=O是曲線y=的一條切線，則。=.

【典例3](23-24高三上.廣西南寧.月考)已知曲線y=lnx+2與y=ln(x+a)的公切線為y=kx+17n2,則

實數(shù)。=.

重難點02含參函數(shù)單調(diào)性討論依據(jù)

(1)導函數(shù)有無零點討論(或零點有無意義)；

(2)導函數(shù)的零點在不在定義域或區(qū)間內(nèi)；

(3)導函數(shù)多個零點時大小的討論。

【典例1](23-24高三下?江西?月考)已知函數(shù)/(無)=d一6?+尤(aeR).

(1)若。=1,求曲線y=/(x)在x=l處的切線方程；

⑵若a＞百,討論/(x)的單調(diào)性.

【典例2】(2024?海南?模擬預測)已知函數(shù)/(x)=ax(lnx-l),aeR.

(1)當。=1時，求曲線y=/(x)在點(e"(e))處的切線方程；

(2)若函數(shù)g(無)=/'(x)-2x+3(f(x)為/(x)的導函數(shù))，討論g(x)的單調(diào)性.

重難點03構造函數(shù)法解決函數(shù)問題中的常見類型

關系式為“加''型一構造:

(1)/'(x)g(x)+/(x)g'(x)構造"(x)g(x)]'=/'(x)gO)+/(x)g'(x)

(2)V"(x)+/(x)>0構造W(x)]'=談(x)+/(x)

(3)fXx)+f(x)>0構造[e"(x)]‘=e'"'(x)+/(x)]

(4)班(x)+W(x)之0構造=xnf(x)+nxnif(x)=xn^[xf(x)+nf(x)](注意》的符號)

(5)r⑶+4⑶構造"(x)*r=r(x)*+4(x)a=*u'(x)+"(x)]

關系式為“減”型構造：

(6)fr(x)g(x)-f(x)g'(x)構造["x)Y=/(x)g(x)-/(x)g(X)

g(無)[g(尤)f

(7)xf(x)-f(x)>o構造[以%'=—

XX

⑻r(x)-/U)>0構造[駕i=⑴⑶1/(x)

e(e)e

(9)xf'(x)-nf(x)>0構造[&]="⑴一式"⑴=、(x)-叭X)(注意x的符號)

x"(x")2xn+1-

(10)/'(X)—"(x)構造

【典例1】(2024?山東聊城?三模)設函數(shù)的定義域為R,導數(shù)為尸(x),若當xN。時，f\x)>2x-1,

且對于任意的實數(shù)x,〃r)=〃x)+2x,則不等式〃2》-1)-〃耳<3/-5》+2的解集為()

D.f-<?,-1ju(l,+co)

A.(-oo,l)B.9C.-3，+°°

【典例2](23-24高三上?河北?月考)已知函數(shù)/⑴及其導函數(shù)/'⑶的定義域均為(0,+8),且

4(x)>(x-D/(x)恒成立，f(3)=e,則不等式(x+4)/(x+4)<3eX+2的解集為()

A.?—1)B.(-1,1)C.(-1,2)D.

【典例3](23-24高三上.山東荷澤?月考)若定義在R上的函數(shù)〃力滿足/'(無)+2/(x)>0,且"0)=1,

則不等式>上的解集為

重難點04單變量不等式恒成立問題

一般利用參變分離法求解函數(shù)不等式恒(能)成立，可根據(jù)以下原則進行求解：

1、VxeD,m</(x)?>m</(x)min

2、VxeD,m>/(x)<^>m>/(%)max

3、3XGD,=加

4、3XGD,m>/(%)<?m>

【典例l】(2024?河南?三模)若關于％的不等式e、+x+21n—2如2+山加恒成立，則實數(shù)加的最大值為()

A.C.1D.

2-B-7

【典例2】(2024?陜西?二模)Vxe[l,2],有l(wèi)nx+=-G0恒成立，則實數(shù)。的取值范圍為()

A.[e,-H?)B.[1,+oo)D.[2e,+co)

重難點05雙變量不等式與等式

一般地，已知函數(shù)y=/(x),xe[a,0,y=g{x},x&\c,d\

⑴若％e[a,句,四式?！盷,總有/a)<g(w)成立，故[(x)1mx<g(x)1n

(2)若V與目a/],BX2G[C,<7],有/&)<g(%)成立，故"%)1mx<g(x)1Mx;

(3)若叫e[a,句,&[c,d],有〃可)<g(N)成立，故〃力-<g(x)1nto；

(4)若叫?0,可,HX2&[c,d],有/(占卜8仁)成立，故/⑺*<g(x)max.

【典例1](23-24高三上?江蘇常州?期中)已知函數(shù)=+(2。-1)尤-21nx,aeR.

(1)討論的單調(diào)性；

(2)對于Vxw[l,e],皿w[2,y),使得9,求實數(shù)。的取值范圍.

【典例2】(2023高三?全國?專題練習)設函數(shù)y(x)=e(f-:無+』),(aeR).

(1)若曲線>=/(尤)在》=1處的切線過點“(2,3),求。的值；

(2)設8(”=尤+￡工-3若對V〃e[0,2],3me[0,2],使得“⑹2g(〃)成立，求。的取值范圍.

重難點06導數(shù)與函數(shù)零點問題

利用導數(shù)確定函數(shù)零點的常用方法

1、圖象法：根據(jù)題目要求畫出函數(shù)的圖象，標明函數(shù)極(最)值的位置，借助數(shù)形結合的思想分析問題(畫

草圖時注意有時候需要使用極限)；

2、利用函數(shù)零點存在定理：先用該定理判定函數(shù)在某區(qū)間上有零點，然后利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極

值（最值）及區(qū)間端點值的符號，進而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點的個數(shù)。

【典例1】（2024高三下?浙江杭州?模擬預測）若函數(shù)/（x）=Hnx-x+|x-a|有且僅有兩個零點，貝心的取值

范圍是（）

A.1—,0）.（0,e）B.1—,0）u（0,e）

C.^-1,0^（0,3）D.（一：,oju（O,3）

【典例2］（23-24高三下?河北?月考）已知函數(shù)/（x）=-ae“-sinx-1在區(qū)間（0,鼻內(nèi)有唯一極值點4,其中

aeR,e為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）求實數(shù)”的取值范圍；

（2）證明：在區(qū)間內(nèi)有唯一零點.

重難點07隱零點問題的應用

導函數(shù)的零點不可求時的應對策略：

1、“特值試探”法：當導函數(shù)的零點不可求時，可嘗試利用特殊值試探，此時特殊值的選取應遵循以下原

則：①在含有Inx的函數(shù)中，通常選?。?/，特別地，選當k=0時，x=l來試探；②在含有e*的函數(shù)

中，通常選取x=lnB特別地，選取當左=1時，％=0來試探，在探得導函數(shù)的一個零點后，結合導函數(shù)

的單調(diào)性，確定導函數(shù)在零點左右的符號，進而確定原函數(shù)的單調(diào)性和極值，使問題得到解決.

2、“虛設和代換”法：當導函數(shù)尸（x）的零點無法求出顯性的表達式時，我們可以先證明零點存在，再虛設

為飛,接下來通常有兩個方向：①由尸（%）=0得到一個關于飛的方程，再將這個關于公的方程的整體或

局部代入/（%），從而求得了（%）,然后解決相關的問題；②根據(jù)導函數(shù)尸（x）的單調(diào)性，得出與兩側導

函數(shù)的正負，進而得出原函數(shù)的單調(diào)性和極值，使問題得解。

【典例1］（23-24高三上?湖南?月考）已知函數(shù)/（x）=ox—2e*+3（aeR）,g（x）=（x-2）e%-lnx-x+2.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）記函數(shù)八%）的導函數(shù)為尸（天）,若不等式ra）vg（x）恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

3

【典例2](23-24高三下?四川巴中?月考)函數(shù)〃力=尤3+5(1-以；

(1)當。=2時，討論函數(shù)〃x)的單調(diào)性；

(2)"1)=9,mln元-冬4-根在xe(l,+刈恒成立，求整數(shù)加的最大值.

2x

重難點08極值點偏移問題

證明極值點偏移問題常用思路：利用分析法，將所證不等式中的變量分到不等式的兩邊，構造對稱函數(shù)，

注意將占和2%一々化到同一區(qū)間，再利用導數(shù)據(jù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求極致、最值等手段證得不等式。

Z7—1—Y1

【典例1](2024高三?全國?專題練習)已知函數(shù)/(%)=------+Hn—+羽%(％)=--+2辦-。2+2〃,〃為實

數(shù).

(1)討論函數(shù)"%)的極值；

(2)若存在%,馬滿足玉石)=/(%2)，求證：%+%2>九(%).

【典例2】(2024云南?二模)已知常數(shù)。>0,函數(shù)f(x)=；x2-a尤-2/lnx.

(1)若Vx>0,/(x)>—4〃2,求〃的取值范圍；

(2)若為、演是/⑴的零點，且％1。冗2，證明：%+%2>4Q.

法技巧?逆親學霸

一、導數(shù)定義中極限的計算

瞬時變化率的變形形式

Umf(xo+A*)-+(%o)_]jmfg-A()-+g)_同/Oo+MQ_fOo)_同/g+AxA+Oo-Ax)=)

A%T0AXAX^O-AXAX->0nA%Ax^O2Ax'I0，

【典例1】(2023?吉林長春.模擬預測)利用導數(shù)的定義計算lim，(e+2：t)-Ine值為()

—Ax

A.1B.-C.0D.2

e

【典例2】（2024?江蘇南通?二模）已知當一0時，“1+'）-/⑴->_________.

h

二、求曲線“在”與“過”某點的切線

1、求曲線“在”某點處的切線方程步驟

第一步（求斜率）：求出曲線在點（%,/（/））處切線的斜率/'（/）

第二步（寫方程）：用點斜式y(tǒng)—/（xo）=r（xo）（x—xo）

第三步（變形式）：將點斜式變成一般式。

2、求曲線“過”某點處的切線方程步驟

第一步：設切點為。（尤0，/（%0））；

第二步：求出函數(shù)y=/（x）在點X。處的導數(shù)r（Xo）；

第三步：利用。在曲線上和/'（%）=原°,解出/及/'（%）；

第四步：根據(jù)直線的點斜式方程，得切線方程為丁-/'（/）=r（/）a-玉））.

【典例1］（23-24高三上?河南?月考）曲線y=（x2-2x）lnx在點（1,0）處的切線方程為.

【典例2］（23-24高三上.山東青島?期中）曲線〃x）=e2T過原點的切線方程為.

三、已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)

（1）函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)增（單減）=/'。）20（?0）在區(qū)間口上恒成立；

（2）函數(shù)了（%）在區(qū)間D上存在單調(diào)增（單減）區(qū)間=/'。）>0（<0）在區(qū)間口上能成立；

（3）已知函數(shù)在區(qū)間D內(nèi)單調(diào)=/'（x）不存在變號零點

（4）己知函數(shù)/（%）在區(qū)間D內(nèi)不單調(diào)=/'（x）存在變號零點

【典例1】（2023?貴州遵義?模擬預測）若函數(shù)/（》）=--"在區(qū)間（1,3）上單調(diào)遞增，貝/的可能取值為（）

A.2B.3C.4D.5

f1

【典例2】（2023?寧夏銀川?三模）若函數(shù)/（xX'Tnx在區(qū)間（九根+§）上不單調(diào)，則實數(shù)機的取值范圍為

（）

222

A.0<m<—B.—<m<1C.—<m<\D.m>l

333

四、利用導數(shù)求函數(shù)的極值或極值點

1、利用導數(shù)求函數(shù)極值的方法步驟

（1）求導數(shù)/'（X）；

（2）求方程r（x）=o的所有實數(shù)根；

（3）觀察在每個根沏附近，從左到右導函數(shù)/'（x）的符號如何變化.

①如果/'（%）的符號由正變負，則/'（%）是極大值；

②如果由負變正，則/'（不）是極小值.

③如果在r（x）=0的根x=xo的左右側f'（x）的符號不變，則不是極值點.

【典例1]（23-24高三下?山東荷澤?月考）函數(shù)/（》）=6+12》-尤3的極小值點為（）

A.（4,-10）B.（-2,-10）C.4D.-2

【典例2]（23-24高三下?海南.月考）已知函數(shù)〃x）=（x2-or-a）e*在（0,〃0））處的切線平行于直線

2犬+y+3=0.

（1）求。的值；

（2）求"》）的極值.

五、根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)

根據(jù)函數(shù)/（%）的極值點個數(shù)求解參數(shù)范圍問題的一般思路：

根據(jù)函數(shù)/（龍）的極值點個數(shù)求解參數(shù)范圍問題的一般思路先求解出/‘（X）,然后分析的根的個數(shù)：①分類

討論法分析r（x）二°的根的個數(shù)并求解參數(shù)范圍；②參變分離法分析r（x）二°的根的個數(shù)并求解參數(shù)范圍;

③轉化為兩個函數(shù)的交點個數(shù)問題并求解參數(shù)范圍.

【典例1]（23-24高三上.山西臨汾?月考）已知曲線〃司=丁+62+陵+1在點（1,〃1））處的切線斜率為3,

且X是y=/（x）的極值點，則函數(shù)的另一個極值點為.

【典例2】（2024遼寧葫蘆島.一模）已知函數(shù)〃x）=e'_加在R上無極值，貝"的取值范圍是（）

A.1-00，；B.1一00，'|）C.[0,e）D.0,|

【典例31（23-24高三上?河北衡水?月考）（多選）若函數(shù)〃尤）=aliu+|+^,（a^0）既有極大值也有極小值，

貝IJ()

A.bc<0B.ab<0C.b2+Sac>0D.ac<0

六、利用導數(shù)研究函數(shù)的最值

函數(shù)/（%）在區(qū)間川上連續(xù)，在（a,3內(nèi)可導，則求函數(shù)/（x）最值的步驟為：

（1）求函數(shù)/（x）在區(qū)間（。力）上的極值；

（2）將函數(shù)/（光）的各極值與端點處的函數(shù)值/（a）,/（。）比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個

是最小值；

（3）實際問題中，“駐點”如果只有一個，這便是“最值”點。

【典例1］（23-24高三下?河南?月考）函數(shù)/（無）=e'+|lnx+l|的最小值為（）

11

e

A.eB.e7C.e元+ln2D,e，+2

【典例2］（23-24高三下.湖南長沙.月考）已知函數(shù)〃x）=（x-左-l）e*WeR）.

（1）當％=1時,求“X）在（0,-2）處的切線方程；

（2）討論在區(qū)間［0,3］上的最小值.

參考答案與試題解析

專題05一元函數(shù)的導數(shù)及其應用

（思維構建+知識盤點+重點突破+方法技巧）

思維構建?耀精聯(lián)紿

口票盤點?置翡訃領

知識點1導數(shù)的概念

1、函數(shù)>=於）在％=xo處的導數(shù)定義

一般地，稱函數(shù)尸危）在x=xo處的瞬時變化率'/（X。）=為函數(shù)y=ya）在X=XQ處

ZAAAx_0^^

的導數(shù)，記作了（xo）或y'|x=xo，即/（Xo）=lim%=lim/（猶+八？

Ax—>04

2、導數(shù)的幾何意義

函數(shù)八x）在點xo處的導數(shù)八項）的幾何意義是在曲線y=/（x）上點P（x0,州）處的切線的斜率（瞬時速度就是

位移函數(shù)s（0對時間/"的導數(shù)）.相應地，切線方程為y—州=/（尤o）（x—xo）.

3、函數(shù)/（X）的導函數(shù)：稱函數(shù)/（x）=lin/J/（X）為八無）的導函數(shù).

Ax—>0ZAA

知識點2導數(shù)的運算

1、基本初等函數(shù)的導數(shù)公式

原函數(shù)導函數(shù)

負x）=c（c為常數(shù)）/W=o

於K〃CQ*)f(x)=nxn~i

?x)=sinx/(x)=cos_x

f(x)=cosXf(x)=—sin_x

j(x)=cf(a>0且〃？1)f(x)=ax\n_a

7U)=e￡/W=ex

/(X)=logaX(X>0,。>0且"1)/(X)=^-^

/(x)=lnx(x>0)f(x)=:

2、導數(shù)的運算法則

⑴g)土g(x)1=/(x)土g，(x)?

(2)[fix)-g(x)]'=f(x)g(x)+fix)g'(x).

f

⑶f(x)-If~(x~)g(x[)g—Vf]2(%)g(x)(g(X)邦).

3、復合函數(shù)的導數(shù)

(1)復合函數(shù)的概念：一般地，對于兩個函數(shù)y=/Q)和a=g(x),如果通過中間變量M,y可以表示

成x的函數(shù)，那么稱這個函數(shù)為y=/Q)和M=g(x)的復合函數(shù)，記作y=/(g(x)).

(2)復合函數(shù)的求導法則：一般地，復合函數(shù)y=/(g(x))的導數(shù)和函數(shù)y=/Q),〃=g(x)的導數(shù)間的

關系為"'=yu'-Ux',即y對X的導數(shù)等于y對u的導數(shù)與u對x的導數(shù)的乘積.

規(guī)律：從內(nèi)到外層層求導，乘法連接。

(3)求復合函數(shù)導數(shù)的步驟

第一步分層：選擇中間變量，寫出構成它的內(nèi)、外層函數(shù)；

第二步分別求導：分別求各層函數(shù)對相應變量的導數(shù)；

第三步相乘：把上述求導的結果相乘；

第四步變量回代：把中間變量代回。

知識點3導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

1、導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關系

在某個區(qū)間(“力)內(nèi)，如果/'(x)NO,那么函數(shù)y=/(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；

如果/(%)<0,那么函數(shù)y=/(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.

【注意】

(1)在某區(qū)間內(nèi)/'(x)>0(/(x)<0)是函數(shù)/(x)在此區(qū)間上為增(減)函數(shù)的充分不必要條件；

(2)可導函數(shù)/(x)在(口力)上是增(減)函數(shù)的充要條件是對Vxe(a,b),都有/''(力之。(/''(x)WO)且

7?'(1)在(a/)上的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒為零.

2、導數(shù)法求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟

(1)確定函數(shù)/(%)的定義域；

(2)求了'(%)(通分合并、因式分解)；

（3）解不等式/'（x）＞0,解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間；

（4）解不等式/'（x）＜0,解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間.

知識點4導數(shù)與函數(shù)的極值、最值

1、函數(shù)的極值

（1）函數(shù)的極小值：函數(shù)y=/（元）在點x=a的函數(shù)值五。）比它在點x=a附近其他點的函數(shù)值都小,了（。）=0；

而且在點尤=。附近的左側了（x）＜0,右側了（x）＞0,則點。叫做函數(shù)y=A尤）的極小值點，犬”）叫做函數(shù)y=/（x）

的極小值.

（2）函數(shù)的極大值：函數(shù)y=/a）在點x=b的函數(shù)值八b）比它在點x=b附近其他點的函數(shù)值都大,〃b）=0；

而且在點x=b附近的左側/（x）＞0,右側/（x）＜0,則點b叫做函數(shù)y=/U）的極大值點，大b）叫做函數(shù)y=/（x）

的極大值.

2、函數(shù)的最值

（1）在閉區(qū)間［。，切上連續(xù)的函數(shù)五龍）在團，6］上必有最大值與最小值.

（2）若函數(shù)黃x）在出，切上單調(diào)遞增，則八0為函數(shù)的最小值，八。）為函數(shù)的最大值；若函數(shù)人功在出，切上

單調(diào)遞減，則八幻為函數(shù)的最大值，八切為函數(shù)的最小值.

3、函數(shù)極值與最值的關系

（1）函數(shù)的最大值和最小值是比較整個定義域區(qū)間上的函數(shù)值得到的，是一個整體的概念，與函數(shù)的極大

（?。┲挡煌?，函數(shù)的最大（?。┲等粲?，則只有一個。

（2）開區(qū)間內(nèi)的可導函數(shù)，若有唯一的極值，則這個極值是函數(shù)的最值。

■點突破?看分?中將

重難點01根據(jù)切線情況求參數(shù)

已知了（無），過點（。力），可作曲線的“（”=1,2,3）條切線問題

第一步：設切點4（后,治）

第二步：計算切線斜率上=/'（%）；

第三步：計算切線方程.根據(jù)直線的點斜式方程得到切線方程：y-y0=f\x0）（x-x0）.

第四步：將（。,加代入切線方程，得：。-%=/'（/）（?！?），整理成關于「得分方程；

第五步：題意己知能作幾條切線，關于飛的方程就有幾個實數(shù)解；

【典例1］（23-24高三上?廣東?月考）若曲線y=d+G在點（La+l）處的切線方程為y=7x+〃z,則

m=

【答案】-2

【解析】y'=3/+a,依題意得3+a=7,即a=4,

又因為“+1=7+7",所以m=一2.

【典例2](22-23高三下?湖南長沙?月考)設直線x+y+l=O是曲線y=o-lnx的一條切線，則。=.

【答案】-2

【解析】設切點為(毛,％)，

y,則-■-=-1,所以％=1,所以切點為

%xo

又切線為尤+y+l=°,所以l+a+l=。，解得。=—2.

【典例3](23-24高三上?廣西南寧?月考)已知曲線y=lnr+2與y=ln(x+a)的公切線為y=kx+l-ln2,則

實數(shù)。.

【答案】1

【解析】由函數(shù)y=lnx+2,可得y'=!，

X

設切點坐標為(/,ln/+2),可得VI”；，則切線方程為y_(hn+2)=；d),

即y=L+ln%+l,與公切線y=H+l-ln2重合，可得ln/+l=l-ln2,

t

可得t=所以切線方程為，=2x+l-ln2,

2

對于函數(shù)y=ln(x+a),可得y'=」一，設切點為O,ln(%+“))，則/1=皿=」—

x+am+a

ln(m+a)=2m+1-In2

貝1ble，解得加=-g,a=L

-------=22

重難點02含參函數(shù)單調(diào)性討論依據(jù)

(1)導函數(shù)有無零點討論(或零點有無意義)；

(2)導函數(shù)的零點在不在定義域或區(qū)間內(nèi)；

(3)導函數(shù)多個零點時大小的討論。

【典例1](23-24高三下?江西?月考)已知函數(shù)/(x)=x3-ar2+x(aeR).

(1)若。=1,求曲線了=/(%)在尤=1處的切線方程；

⑵若a＞5討論/(x)的單調(diào)性.

a+yja~-3?__.,,

【答案】(1)2元一y-l=O；(2)增區(qū)間為-8,---------,+°°,臧區(qū)間為

7

a+一3、

31

【解析】(1)當。=1時，/(x)=一X?+工，所以/'(%)=3%2-2x+l,

當X=1時，/,(1)=3-2+1=2,又/'(1)=1-1+1=1,

所以曲線y=/(x)在x=l處的切線方程為y-l=2(x-l),即2x-y-l=0.

(2)因為/(x)=丁_潑+了,所以/'(X)=3--2av+l,

令f'(x)=0,得至I]3/—2分+1=0,

因為A=4l-12,又a>6,所以△=4/一12>0,即3/—2依+1=0有兩根,

由求根公式知兩根為王=佇正3,,且不＜々，

勺323

所以，當三1或彳＞"1三時，/(乃＞0,

33

a+

<x<——

"零三,+/],減區(qū)間為(HM1,”正3).

故/(%)的增區(qū)間為一。，

【典例2】(2024?海南?模擬預測)已知函數(shù)〃x)=ox(lnx-l),aeR.

(1)當。=1時，求曲線y=/(x)在點(e"(e))處的切線方程；

(2)若函數(shù)g(x)=7'(x)-2x+3(/(乃為/⑴的導函數(shù))，討論g(x)的單調(diào)性.

【答案】(1)產(chǎn)x-e；⑵答案見解析.

【解析】(1)當a=l時，/(x)=xlnx—x,求導得/'(%)=lnx+l-l=lnx,

則/r(e)=lne=l,/(e)=ex(lne-l)=0,

所以曲線)在點(e"(e))處的切線方程為y—0=1x(%—e),即丁=%-e.

(2)函數(shù)〃=求導得/'(x)=a(lnx—l)+or」=Qlnx,

貝i]g(x)=al!LY—2x+3,其定義域為(0,+⑹，求導得g1x)=g—2=佇生，

XX

①若aWO,則g'(x)＜0,函數(shù)g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減；

②若a〉0,則當xe(O,g)時，g'(x)>0,函數(shù)g(x)在(0,9上單調(diào)遞增,

當尤eg,+oo)時，g'(x)<0,函數(shù)g(x)在0|,+8)上單調(diào)遞減，

所以當aWO時，8(力在(。,+巧上單調(diào)遞減；

當。>0時，g(x)在嗚)上單調(diào)遞增，在吟,+g)上單調(diào)遞減.

重難點03構造函數(shù)法解決函數(shù)問題中的常見類型

關系式為“加”型一構造：

(2)f'(x)g(x)+f(x)g'(x)構造"(x)g(x)]'=/'(x)g(x)+/(x)g'(x)

(2)xf'(x)+f(x)>0構造W(x)[=#'(x)+/(x)

(3)/'(x)+/(x)>0構造[e"(x)]'=e、"'(x)+/(x)]

(4)談(x)+4(x)N0構造++(注意x的符號)

(5)/⑴+"⑶構造"(x)/r=r(x)/+4(x)a=*ir(x)+"(x)]

關系式為“減”型構造：

(6)/'(x)g(x)-/(x)g'(x)構造["%=7(x)g(x)-/(x)g(x)

g(無)[g(尤)『

(7)xf\x)-f(x)>0構造

XX

⑻r(x)-/(x)>o構造[華]'=/(”)：：，⑴優(yōu)=，⑴1/⑴

ex(ex)ex

(9)#'(%)-nf{x}>0構造[駕I="⑴='⑴二歹'(注意》的符號)

X(XJX

(10)r(x)-W)構造[0]，=生貯二空Q=g2Hl

[e^]2

【典例0(2024.山東聊城.三模)設函數(shù)/(x)的定義域為R,導數(shù)為/(%),若當％之。時，f\x)>2x-\,

且對于任意的實數(shù)蒼〃-x)=/(x)+2x,則不等式〃2xT)-〃x)<3f-5x+2的解集為()

A.(-?,1)B.C.D.卜叫一彳)。(1,+8)

【答案】B

【解析】因為/(-x)=/(x)+2x,

設g(%)=/(x)-Y+%,

則g(-x)=f(-x)-x2-x=/(x)+2x-x2-x=g(x),即g(x)為R上的偶函數(shù)，

又當兀之。時，/'(%)>2x-l,

則g'(%)=m)-2%+1>。，所以g(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，在(-8,0)上單調(diào)遞減，

因為了(2x—1)—/(%)<3x2—5x+2,

所以/(2x—1)—(2x—l)2+(2x—1)</(x)—x2+x,

即g(2x—l)<g(x),所以即(2無一I?解得夫x<l.故選：B

【典例2](23-24高三上.河北?月考)己知函數(shù)/⑴及其導函數(shù)/■'(》)的定義域均為(0,+⑹，且

#'(x)>(x-l)f(x)恒成立，f(3)=e,則不等式。+4)/口+4)<3/2的解集為()

A.(-4,—1)B.(TDC.(―1,2)D.(—l,+oo)

【答案】A

【解析】由礦(x)>(x-D/(x),<+f(x)-xf(x)>0,

令g(x)=b，尤>0,則g'(x)=^d2學二型。>0,所以g(x)在區(qū)間(0,+s)上單調(diào)遞增.

ee

又(x+4)/(x+4)<3e"2,得(x+4)?x+4)<2￡gl,所以g(x+4)<g(3),

ee

所以0<x+4<3,解得一4<x〈一l.故選：A

【典例3](23-24高三上.山東荷澤?月考)若定義在R上的函數(shù)/⑺滿足/'(%)+2〃力＞0,且“0)=1,

則不等式/(X)＞上的解集為

【答案】(。,+8)

【解析】構造尸(x)=〃x)j,

所以—(x)=r(x)-e2jc+/(%).2e2^=e2j:[/,(x)+2/(x)＞0]＞0,

所以一(x)在R上單調(diào)遞增,且尸(0)=/(0)0°=在

不等式可化為〃X產(chǎn)工＞1,即產(chǎn)(x)＞尸⑼，所以x＞0,

所以原不等式的解集為(0,+8).

重難點04單變量不等式恒成立問題

一般利用參變分離法求解函數(shù)不等式恒(能)成立，可根據(jù)以下原則進行求解:

1、VXGD,m</(x)<^>m<

2、VXGD,m>

3、3xeD,相相</(%)力

4、3xeD,m>

【典例1](2024?河南.三模)若關于x的不等式尤+21nLz〃ix2+in〃/恒成立，則實數(shù)加的最大值為(

X

1P2

A.：B.—C.1D./

24

【答案】B

【解析】顯然首先加>0,x>0,

12ix、2ici】Infz/ix2)/9\

ex+x+2ln—>rwc+Inm<^>e+x>mx+lnm-21n—=e'7+InIznxI,

xxv7

令〃x)=e'+x,(x>0),貝U/'(x)=e，+l>0,(x>0),所以在定義域內(nèi)嚴格單調(diào)遞增，

所以若有/(x)N/(ln(〃￡))成立，則必有x>ln(/?zx2)=lnffl+21nx,

即Inm〈尤一21nx對于任意的光>0恒成立，

9v-2

令g(x)=x—21nx,(x>0),貝1Jg'(x)=l――=------,

xx

當0v犬<2時，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,

當x〉2時，g'a)>0,g(%)單調(diào)遞增，

2

所以當x=2時，g(x)取得最小值g⑵=2-21n2=出]，

222

從而InmVinJ,所以加的取值范圍是mW、，即實數(shù)機的最大值為J.故選：B.

444

【典例2】(2024.陜西.二模)Vxe[l,2],有足工+二一啟。恒成立，則實數(shù)。的取值范圍為()

A.[e,+oo)B.[1,+co)C.1-,+^D.[2e,-koo)

【答案】C

【解析】因為VX￡[1,2],有1口工+/—1?0恒成立，

所以a2-fIn%+/在xE[1,2]上恒成立，

令//(x)=-x2Inx+x2,xG[1,2],

貝lj=—2xlnx—x+2x=—2xlnx+x=x(—21nx+l),

令〃(%)=0,得％=五，當％w(l,⑹時，"(x)>0,故4(x)在(1,五)上單調(diào)遞增,

當xe(忘2)時，〃(%)<0,故〃(%)在(捉,2)上單調(diào)遞減，

則五)=|"，

所以。23,即實數(shù)〃的取值范圍為9,+s].故選：C.

2L幺1

重難點05雙變量不等式與等式

一般地，已知函數(shù)y=/(x),xc[a,0,y=g[x},x&\c,d\

(1)若％e[a,可,Vx24Gd],總有/(石)<8(%2)成立，故/(%)1mx<8⑺皿；

(2)若％e[a,6],3x2e[c,J],有/(石)<g(%)成立，故〃X)1mx<g(%)1n；

(3)若上i?a,0,V%e[c,d],有〃菁)<g(%)成立，故)(同二可⑺皿;

(4)若玉1cLz?],Hr2&[c,d],有/a)<g(w)成立，故〃x)1nin<g(x)1mx?

【典例1](23-24高三上?江蘇常州.期中)已知函數(shù)〃x)=f+(2。-l)x-21nx,aeR.

(1)討論〃x)的單調(diào)性；

(2)對于Vxe[l,eQbe[2,4w),使得〃x)2b,求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】⑴答案見解析；⑵