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文檔簡介

一、正交變換法

§6.4實二次型的正慣性指數(shù)二、拉格朗日配方法三、初等變換法問題的產(chǎn)生：1、二次型的標準形不是唯一的，與所作的非退化線性替換有關(guān).如：二次型作非退化線性替換得標準形得標準形

2、二次型經(jīng)過非退化線性替換所得的標準形中，系數(shù)不為零的平方項的個數(shù)是唯一確定的，與所作的非退化線性替換無關(guān).而秩(D)等于D的主對角線上不為零的元素的個數(shù).∵若作非退化線性替換化為標準形

，則有3.

問題：如何在一般數(shù)域P上，進一步“規(guī)范”平方項非零系數(shù)的形式？（這樣產(chǎn)生了唯一性的問題）一、實二次型的規(guī)范標準形再作非退化線性替換

實二次型的規(guī)范標準形的定義設(shè)實二次型經(jīng)過可逆，得標準形

非退化線性替換其中，r=秩f

則稱之為實二次型的規(guī)范標準形.①實二次型的規(guī)范形中平方項的系數(shù)只有1，－1，0.②實二次型的規(guī)范形中平方項的系數(shù)中1的個數(shù)與－1的個數(shù)之和=秩=秩(A)是唯一確定的.③規(guī)范形是唯一的.注意

定理1

任一實二次型可經(jīng)過適當?shù)姆峭嘶€性替換化成規(guī)范形，且規(guī)范形是唯一.證明：只證唯一性.2、慣性定理設(shè)實二次型

經(jīng)過非退化線性替換

化成規(guī)范形

（1）

只需證（2）用反證法，設(shè)由(1)、(2)，有經(jīng)過非退化線性替換化成規(guī)范形（3）（4）則G可逆，且有考慮齊次線性方程組（5）方程組（5）中未知量的個數(shù)為n，方程的個數(shù)為所以（5）有非零解.令為（5）的非零解，

則有而不全為0.

將代入（3）的左端，得其值為同理可證，故.

矛盾.所以，得將其代入（3）的右端，得其值為由及定義實二次型的規(guī)范形中正平方項的個數(shù)p稱為的正慣性指數(shù)；稱為的負慣性指數(shù)；負平方項的個數(shù)稱為的符號差.它們的差推論1、任一實對稱矩陣A合同于一個形式為其中的個數(shù)，+1的個數(shù)的正慣性指數(shù)；－1的個數(shù)的負慣性指數(shù).的對角矩陣

.推論2、實二次型具有相同的規(guī)范形，且的正慣性指數(shù)=的正慣性指數(shù).推論3、如果f和g都是n個變量的實二次型，它們有相同的秩和正慣性指數(shù)，

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