數(shù)學(xué)互動(dòng)課堂合情推理

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精互動(dòng)課堂疏導(dǎo)引導(dǎo)1.歸納推理是從個(gè)別事實(shí)中概括出一般原理的一種推理模式.歸納推理包括不完全歸納法和完全歸納法。磁率歸納推理有以下幾個(gè)特點(diǎn)：（1）歸納是依據(jù)特殊現(xiàn)象推斷一般現(xiàn)象，因而，由歸納所得的結(jié)論超越了前提所包容的范圍;（2）歸納是依據(jù)若干已知的、沒(méi)有窮盡的現(xiàn)象推斷尚屬未知的現(xiàn)象,因而結(jié)論具有猜測(cè)的性質(zhì);(3)歸納的前提是特殊的情況,所以歸納是立足于觀察、經(jīng)驗(yàn)或?qū)嶒?yàn)的基礎(chǔ)上的.由歸納推理所得的結(jié)論雖然未必是可靠的,但它由特殊到一般，由具體到抽象的認(rèn)識(shí)功能，對(duì)于科學(xué)的發(fā)現(xiàn)卻是十分有用的。觀察、實(shí)驗(yàn),對(duì)有限的資料作歸納整理,提出帶有規(guī)律性的說(shuō)法，仍是科學(xué)研究的最基本的方法之一.2。運(yùn)用歸納推理的一般步驟：首先，通過(guò)觀察特例發(fā)現(xiàn)某些相似性(特例的共性或一般規(guī)律);然后,把這種相似性推廣為一個(gè)明確表述的一般命題（猜想）；最后,對(duì)所得出的一般性命題進(jìn)行檢驗(yàn)。在數(shù)學(xué)上，檢驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)是否能進(jìn)行嚴(yán)格的證明.3。類比推理(以下簡(jiǎn)稱類比)是在兩類不同的事物之間進(jìn)行對(duì)比,找出若干相同或相似點(diǎn)之后，推測(cè)在其他方面也可以存在相同或相似之處的一種推理模式.4。類比推理有以下幾個(gè)特點(diǎn):（1）類比是從人們已經(jīng)掌握了的事物的屬性,推測(cè)正在研究中的事物的屬性,它以原有認(rèn)識(shí)作基礎(chǔ)，類比出新的結(jié)果;(2)類比是從一種事物的特殊屬性推測(cè)另一種事物的特殊屬性；（3）類比的結(jié)果是猜測(cè)性的,不一定可靠,但它卻具有發(fā)現(xiàn)的功能。5。在運(yùn)用類比推理時(shí),其一般步驟為：首先,找出兩類對(duì)象之間可以確切表述的相似性(或一致性）；然后,用一類對(duì)象的性質(zhì)去推測(cè)另一類對(duì)象的性質(zhì),從而得出一個(gè)猜想；最后，檢驗(yàn)這個(gè)猜想。疑難疏引兩個(gè)系統(tǒng)可作類比的前提是，它們各自的部分之間在其可以清楚定義的一些關(guān)系上一致,因此，類比的關(guān)鍵是能把兩個(gè)系統(tǒng)之間的某種一致性(相似性)確切地表述出來(lái),也就是要把相關(guān)對(duì)象在某些方面一致性的含糊認(rèn)識(shí)說(shuō)清楚，這不同于比喻。6.兩種推理的區(qū)別與聯(lián)系數(shù)學(xué)真理知識(shí)的發(fā)現(xiàn)、發(fā)掘和推陳出新,離不開(kāi)對(duì)特殊實(shí)例的觀察、分析、歸納、抽象概括和運(yùn)用探索性推理等過(guò)程。歸納推理和類比推理常常被認(rèn)為是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)真理的重要方法,前者是從特殊過(guò)渡到一般的思想方法,后者是由此及彼及由彼及此的聯(lián)想方法.兩種推理的思維過(guò)程可概括為：從具體問(wèn)題出發(fā)→觀察、分析、比較、聯(lián)想↓提出猜想←歸納、類比瀏覽中外數(shù)學(xué)史，可發(fā)現(xiàn)許多有深遠(yuǎn)意義的極為重要的數(shù)學(xué)知識(shí)都是通過(guò)歸納與類比發(fā)掘出來(lái)的.杰出的數(shù)學(xué)家歐拉、高斯等人都是運(yùn)用歸納與類比的大師。歸納和類比離不開(kāi)觀察、分析、對(duì)比、聯(lián)想，因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中加強(qiáng)這方面有趣而生動(dòng)的訓(xùn)練,有助于培養(yǎng)我們的觀察能力、分析能力、聯(lián)想能力和創(chuàng)新能力。案例做下面的實(shí)驗(yàn)假設(shè)若干杯甜度相同的糖水，經(jīng)過(guò)下面的操作后,糖水的甜度（濃度)是否改變？(1）①將所有杯中的糖水倒在一起；②將任意多杯糖水倒在一起.(2)將某一杯水中再加入一小匙糖，糖全都溶化。類比這一實(shí)驗(yàn)，你能得到數(shù)學(xué)上怎樣的關(guān)系式？【探究】(1)上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,將任意多杯甜度相同的糖水倒在一起后,糖水甜度不變，據(jù)此類比，若將，,…,看作倒前糖水濃度,則倒后甜水的甜度為.即由=…=，可得===…=（b+d+…+n≠0)（2)設(shè)某一杯濃度為，加入糖的質(zhì)量為m（m＞0）.因糖全部溶解后的濃度為，因糖水變甜，故可得到(a＞b,m＞0）答案:(1)得到數(shù)學(xué)上的等比定理，若==…=，則===…=，（b+d+…+n≠0）（2）得到不等式，若a、b均為正數(shù)，且a＞b，m為正數(shù)（m＞0)則.規(guī)律總結(jié)1.合情推理主要包括歸納推理和類比推理.在數(shù)學(xué)研究中，在得到一個(gè)新結(jié)論前,合情推理能幫助猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論，證明一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論之前，合情推理常常能為證明提供思路與方向。2.合情推理的過(guò)程概括為：從具體問(wèn)題出發(fā)→觀察、分析、比較、聯(lián)想→歸納、類比→提出猜想活學(xué)巧用例1在平面內(nèi)觀察：凸四邊形有2條對(duì)角線,凸五邊形有5條對(duì)角線，凸六邊形有9條對(duì)角線，……由此猜想凸n邊形有幾條對(duì)角線？解:凸四邊形有2條對(duì)角線,凸五邊形有5條對(duì)角線,比凸四邊形多3條;凸六邊形有9條對(duì)角線，比凸五邊形多4條;……于是猜想凸n邊形的對(duì)角線條數(shù)比凸n-1邊形多n-2條對(duì)角線.由此凸n邊形對(duì)角線條數(shù)為2+3+4+5+…+（n-2)=(n—3）(n≥4，n∈N＊）。例2意大利數(shù)學(xué)家斐波那契（L。Fibonacci)在他的1228年版的《算經(jīng)》一書(shū)中記述了有趣的兔子問(wèn)題:假定每對(duì)大兔子每月能生一對(duì)小兔子,而每對(duì)小兔子過(guò)了一個(gè)月就可長(zhǎng)成大兔子，如果不發(fā)生死亡,那么由一對(duì)大兔子開(kāi)始,一年后能有多少對(duì)大兔子呢?我們依次給出各個(gè)月的大兔子對(duì)數(shù),并一直推算下去到無(wú)盡的月數(shù),可得數(shù)列：1,1，2,3,5，8，13,21，34，55,89,144,233，……這就是斐波那契數(shù)列，此數(shù)列中a1=a2=1,你能歸納出當(dāng)n≥3時(shí)an的遞推關(guān)系式嗎？解：從第3項(xiàng)開(kāi)始,逐項(xiàng)觀察、分析每項(xiàng)與其前面幾項(xiàng)的關(guān)系易得：從第3項(xiàng)起,它的每一項(xiàng)等于它的前面兩項(xiàng)之和，即an=an-1+an-2(n≥3,n∈N＊）.例3根據(jù)所給數(shù)列前幾項(xiàng)的值：,,,,，……猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式。解:;;;；;……于是猜想該數(shù)列的通項(xiàng)公式：an=。點(diǎn)評(píng)：根據(jù)數(shù)列中前幾項(xiàng)給出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，主要是對(duì)數(shù)列特征進(jìn)行認(rèn)真觀察，結(jié)合常見(jiàn)數(shù)列的通項(xiàng)公式，對(duì)已知數(shù)列進(jìn)行分解、組合,從而發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律。例4類比實(shí)數(shù)的加法和向量的加法,列出它們相似的運(yùn)算性質(zhì)。解：（1）兩實(shí)數(shù)相加后,結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù),兩向量相加后，結(jié)果仍是一個(gè)向量.（2）從運(yùn)算律的角度考慮，它們都滿足交換律和結(jié)合律，即a+b=b+a，a+b=b+a,（a+b)+c=a+（b+c），(a+b)+c=a+（b+c)。（3）從逆運(yùn)算的角度考慮,二者都有逆運(yùn)算,即減法運(yùn)算。a+x=0與a+x=0都有唯一解,x=-a與x=-a。（4)在實(shí)數(shù)加法中,任意實(shí)數(shù)與0相加都不改變大小,即a+0=a。在向量加法中，任意向量與零向量相加，既不改變?cè)撓蛄康拇笮?亦不改變?cè)撓蛄康姆较?即a+0=a。例5類比圓的下列特征，找出球的相關(guān)特征.（1）平面內(nèi)與定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合是圓；（2）平面內(nèi)不共線的3個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓；(3)圓的周長(zhǎng)與面積可求;(4）在平面直角坐標(biāo)系中,以點(diǎn)（x0，y0)為圓心，r為半徑的圓的方程為（x-x0)2+(y-y0)2=r2.解：(1）在空間內(nèi)與定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合是球；(2)空間中不共面的4個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)球;（3）球有表面積與體積；(4）在空間直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)(x0,y0，z0）為球心，r為半徑的球的方程為（x—x0）2+（y—y0）2+（z—z0)2=r2.例6求一個(gè)質(zhì)數(shù)，當(dāng)它分別加上10和14時(shí)仍為質(zhì)數(shù)。分析：我們可以采用歸納推理，先由具體的數(shù)計(jì)算開(kāi)始，再歸納猜想一般性的結(jié)論。解：用歸納法進(jìn)行試驗(yàn)：2+10=12，2+14=16，質(zhì)數(shù)2不合要求；3+10=13，3+14=17，質(zhì)數(shù)3符合要求；5+10=15，5+14=19，質(zhì)數(shù)5不合要求；7+10=17,7+14=21,質(zhì)數(shù)7不合要求；……歸納上述結(jié)論，可以猜想，3是符合要求的質(zhì)數(shù).點(diǎn)評(píng)：歸納推理是通過(guò)對(duì)一些個(gè)別、特殊情況的觀察與分析，導(dǎo)出一般結(jié)論的推理方法，利用歸納猜想，可以探索數(shù)學(xué)規(guī)律，探究解題途徑.但是結(jié)論的正確性還有待于邏輯上的證明.本題中由于質(zhì)數(shù)的變化無(wú)規(guī)律，不能用解析式把它表示出來(lái)，因此若能證明除了3之外的所有自然數(shù)分別加上10和14不能都是質(zhì)數(shù),也就證明了除3以外的所有質(zhì)數(shù)加上10和14不能都是質(zhì)數(shù)。事實(shí)上,自然數(shù)可分為三類：3n，3n+1,3n+2（n是正整數(shù))；∵(3n+1）+14=3(n+5)是合數(shù);（3n+2）+10=3（n+4)是合數(shù)；∴3n+1和3n+2這兩類自然數(shù)中的質(zhì)數(shù)都不符合要求,而3n這類自然數(shù)中,只有當(dāng)n=1時(shí),3n才能是質(zhì)數(shù),其余都是合數(shù)，因此符合條件的質(zhì)數(shù)只有3。例7如圖所示，直線l1與l2是同一平面內(nèi)的兩條相交直線，它們有一個(gè)交點(diǎn).如果在這個(gè)平面內(nèi)再畫第三條直線l3，那么這三條直線最多可能有_________________個(gè)交點(diǎn);如果在這個(gè)平面內(nèi)再畫第4條直線，那么這4條直線最多可有________________個(gè)交點(diǎn).由此我們可以猜想:在同一個(gè)平面內(nèi)，6條直線最多可有________________個(gè)交點(diǎn),n(n為大于1的整數(shù))條直線最多可有________________個(gè)交點(diǎn)，用含n的代數(shù)式表示.解：通過(guò)畫圖，將所得交點(diǎn)個(gè)數(shù)排列如下：直線條數(shù)