專題01整式乘法教材

專題01整式乘法教材精講精練知識點(diǎn)11同底數(shù)冪的乘法同底數(shù)冪的乘法：同底冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，即：am·an=am+n，（m，n為正整數(shù)）注：=1\*GB3①底數(shù)一定要一樣。如：（a）與a，底數(shù)不同，需先化成相同底數(shù)，再進(jìn)行計(jì)算；=2\*GB3②是乘法運(yùn)算，切不可與加法運(yùn)算混淆拓展：=1\*GB3①am·an·ap=am+n+p，（m，n，p為正整數(shù);=2\*GB3②(a+b)n(a+b)m=a+b)m+n（m，n為正整數(shù)）.同底數(shù)冪的乘法技巧=1\*GB3①計(jì)算同底數(shù)冪時(shí)，要求底數(shù)必須完全一樣。當(dāng)?shù)讛?shù)不相同時(shí)，可以通過化異底為同底，然后計(jì)算；=2\*GB3②逆用法則：am+n=am×an例1．（2021·山東曹縣·七年級期中）計(jì)算的結(jié)果是__________．【答案】【分析】根據(jù)同底數(shù)冪乘法的運(yùn)算性質(zhì)，運(yùn)算后直接得出答案．【詳解】，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查同底數(shù)冪的乘法，底數(shù)不變，指數(shù)相加的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題關(guān)鍵．變式1．（2021·山東日照·）在等式中，括號內(nèi)的代數(shù)式為______．【答案】【分析】根據(jù)同底數(shù)冪乘法的計(jì)算法則，得出答案．【詳解】解：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘法，熟練掌握同底數(shù)冪的乘法法則是解題的關(guān)鍵．例2．（2021·湖南新田·七年級期中）長方體的長是cm，寬是cm，高是cm，這個(gè)長方體的體積為_______________（用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示）．【答案】【分析】根據(jù)長方體的體積公式求解即可得到答案．【詳解】解：∵長方體的長是cm，寬是cm，高是cm，∴長方體的體積，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了科學(xué)計(jì)數(shù)法，同底數(shù)冪的乘法，長方體體積，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解．變式2.（2022·全國八年級課時(shí)練習(xí)）若(7×106)(5×105)(2×10)＝a×10n，則a，n的值分別為()A．a(chǎn)＝7，n＝11 B．a(chǎn)＝5，n＝12 C．a(chǎn)＝7，n＝13 D．a(chǎn)＝2，n＝13【答案】C【分析】根據(jù)科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)的計(jì)算方法，乘號前面的數(shù)相乘，乘號后面的數(shù)相乘，再根據(jù)同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變指數(shù)相加進(jìn)行計(jì)算，最后再化成科學(xué)記數(shù)法即可得解．【詳解】解：(7×106)(5×105)(2×10)＝(7×5×2)×(106×105×10)＝7×1013所以，a＝7，n＝13．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，熟練掌握運(yùn)算法則與科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．例3．（2021·江西南城·七年級期中）若，則_______．【答案】3【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則，即可求解．【詳解】解：∵，∴，又∵，∴12÷4=3，故答案是：3．【點(diǎn)睛】本題主要考查整式的運(yùn)算，掌握同底數(shù)冪的乘法法則，是解題的關(guān)鍵．變式3．（2021·浙江慈溪·七年級期末）已知，，則的值為______．【答案】140【分析】同底數(shù)冪的乘法的逆用公式：根據(jù)公式作變形直接計(jì)算即可得到答案.【詳解】解：，，則故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是同底數(shù)冪的乘法的逆用，掌握同底數(shù)冪的乘法法則是解題的關(guān)鍵.例4．（2021·全國）求下列各式中x的值．（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）直接利用同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則得出關(guān)于x的等式進(jìn)而得出答案；

（2）直接利用同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則得出關(guān)于x的等式進(jìn)而得出答案．【詳解】解：（1）∵，∴，∴．（2）∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算，正確得出關(guān)于x的等式是解題關(guān)鍵．變式4．（2021·南靖縣城關(guān)中學(xué)）已知，則m的值是_________________．【答案】2【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則將原式變形可得，再利用乘法分配律合并計(jì)算，得到m值．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴m=2，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用運(yùn)算法則．變式5．（2021·江蘇相城區(qū)第三實(shí)驗(yàn)中學(xué)）若，，，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)同底數(shù)冪乘法的逆運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可【詳解】解：∵，，，∵∴故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪乘法的逆運(yùn)算，熟練掌握法則是解題的關(guān)鍵例5．（2021·四川成都實(shí)外七年級月考）定義新運(yùn)算：a☆b＝10a×10b，則12☆3的值為_______．【答案】1015【分析】由題目中給出的運(yùn)算方法，首先轉(zhuǎn)化為正常的運(yùn)算，然后計(jì)算即可求解．【詳解】解：∵a☆b=10a×10b，∴12☆3=1012×103=1015，故答案為：1015．【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，此題是定義新運(yùn)算題型．直接把對應(yīng)的數(shù)字代入所給的式子可求出所要的結(jié)果．解題關(guān)鍵是對號入座不要找錯(cuò)對應(yīng)關(guān)系．變式6．（2021·湖南茶陵·八年級期末）一般地，若（且），則n叫做以a為底b的對數(shù)，記為，即．如：，則4叫做以3為底81的對數(shù)，記為（即＝4）．（1）計(jì)算以下各對數(shù)的值：，，．（2）由（1）中三數(shù)4、16、64之間滿足的等量關(guān)系式，直接寫出、、滿足的等量關(guān)系式；（3）由（2）猜想一般性的結(jié)論：．（且），并根據(jù)冪的運(yùn)算法則：以及對數(shù)的含義證明你的猜想．【答案】（1）2，4，6；（2）＋＝；（3）猜想，證明見解析．【分析】（1）根據(jù)材料中給出的運(yùn)算，數(shù)值就是乘方運(yùn)算的指數(shù)；（2）由（1）可以得出；（3）根據(jù)（2）可以寫出，根據(jù)材料中的定義證明即可．【詳解】（1），（2）（3）猜想：證明：設(shè)，，則，，故可得，，即．【點(diǎn)睛】本題考查對閱讀材料的理解，類似于定義新運(yùn)算，需要根據(jù)已知的材料尋找規(guī)律．知識點(diǎn)12冪的乘方運(yùn)算法則冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘，即：(am)n=amn，其中m，n為正整數(shù)拓展：（(am)n）p=amnp，其中m，n，p為正整數(shù);(am)n=amn=(an)m，其中m，n為正整數(shù).((a+b)m)n=(a+b)mn，其中m，n為正整數(shù).例1．（2021·山東中區(qū)·七年級期中）計(jì)算的結(jié)果為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接運(yùn)用冪的乘方運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘，熟記法則是關(guān)鍵．變式1．（2021·廣西富川·七年級期末）計(jì)算________．【答案】【分析】根據(jù)冪的乘方法則即可求解．【詳解】解：故答案為：9a4b2【點(diǎn)睛】此題考查的是冪的乘方，掌握冪的乘方法則是解題的關(guān)鍵．例2．（2021·浙江）已知：，則（）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】將已知等式利用冪的乘方和同底數(shù)冪的乘法法則變形，從而得到a值．【詳解】解：∵，∴，∴∴a=±2，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方和同底數(shù)冪的乘法，熟練運(yùn)用運(yùn)算法則進(jìn)行變形是解題的關(guān)鍵．變式2．（2021·無錫市僑誼實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級期中）若，則m的值是（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【分析】先逆用冪的乘方的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為以3為底數(shù)的冪相乘，再利用同底數(shù)冪的乘法的性質(zhì)計(jì)算后根據(jù)指數(shù)相等列出方程求解即可．【詳解】解：3?9m?27m＝3?32m?33m＝31＋2m＋3m＝321，

∴1＋2m＋3m＝21，解得m＝4．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方的性質(zhì)的逆用，同底數(shù)冪的乘法，轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪的乘法，理清指數(shù)的變化是解題的關(guān)鍵．例3．（2021·浙江嘉興·七年級期末）若9a?27b÷81c＝9，則2c﹣a﹣b的值為____．【答案】1【分析】根據(jù)冪的乘方公式以及同底數(shù)冪的乘法公式的逆運(yùn)用，即可求解．【詳解】解：∵9a?27b÷81c＝9，∴(32)a?(33)b÷(34)c＝9，即：32a?33b÷34c＝32，∴2a+3b4c=2，即：a+b2c=1，∴2c﹣a﹣b=1，故答案是：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查冪的乘方公式以及同底數(shù)冪的乘法公式，熟練掌握冪的乘方公式以及同底數(shù)冪的乘法公式的逆運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．變式3．（2021·德惠市第三中學(xué)八年級月考）若，求m的值.【答案】．【分析】由冪的乘方逆運(yùn)算、同底數(shù)冪乘法進(jìn)行化簡，即可得到答案．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，解得：．【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方逆運(yùn)算、同底數(shù)冪乘法，解題的關(guān)鍵是掌握運(yùn)算法則，正確的化簡．例4．（2021·杭州市豐潭中學(xué)七年級期中）若am＝5，an＝2，則a3m+2n＝_____．【答案】500【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則以及冪的乘方運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】解：∵am=5，an=2，∴a3m+2n=a3m?a2n=（am）3?（an）2=53×22=125×4=500．故答案為：500．【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法以及冪的乘方，熟記冪的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．變式4．（2021·四川成都·七年級期末）已知：m+2n﹣2＝0，則3m?9n的值為______．【答案】9【分析】根據(jù)冪的乘方法則以及同底數(shù)冪的乘法法則的逆運(yùn)用，即可求解．【詳解】解：∵m+2n﹣2＝0，∴m+2n＝2，∴3m?9n=3m?（32）n=3m+2n=32=9，故答案是：9．【點(diǎn)睛】本題主要考查乘方法則以及同底數(shù)冪的乘法法則，熟練掌握掌握兩個(gè)法則的逆運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．例5．（2021·重慶一中）已知a＝8131，b＝2741，c＝961，則a、b、c的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a(chǎn)＞c＞b【答案】A【分析】根據(jù)冪的乘方和積的乘方的運(yùn)算法則求解．【詳解】∴∴a>b>c故選A【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的大小比較，冪的乘方，解答本題的關(guān)鍵是掌握冪的乘方的運(yùn)算法則．變式5．（2021·廣西象州·七年級期中）閱讀材料，解決問題．材料一：比較和的大小．解：因?yàn)?，而，所以，即．小結(jié)：在指數(shù)相同的情況下，可通過比較底數(shù)的大小，來確定兩個(gè)冪的大?。牧隙罕容^和的大?。猓阂?yàn)椋?，所以，即．小結(jié)：在底數(shù)相同的情況下，可以通過比較指數(shù)的大小，來確定兩個(gè)冪的大小．（1）比較，，的大?。海?）比較，，的大?。敬鸢浮浚?）344＞433＞522；（2）8131＞2741＞961【分析】（1）根據(jù)冪的乘方法則的逆運(yùn)算進(jìn)行變形，再比較大?。唬?）根據(jù)冪的乘方法則的逆運(yùn)算進(jìn)行變形，再比較大小．【詳解】解：（1）∵344=（34）11=8111，433=（43）11=6411，522=（52）11=2511，∵81＞64＞25，∴8111＞6411＞2511，即344＞433＞522；（2）∵8131=（34）31=3124，2741=（33）41=3123，961=（32）61=3122，∵124＞123＞122，∴3124＞3123＞3122，即8131＞2741＞961．【點(diǎn)睛】本題考查冪的乘方與積的乘方、有理數(shù)大小比較，解答本題的關(guān)鍵是明確有理數(shù)大小的比較方法．知識點(diǎn)13積的乘方運(yùn)算法則積的乘方，等于把積的每個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘，即：(ab)m=ambm，其中m為正整數(shù)。拓展：(abc)m=ambmcm，其中m為正整數(shù)。注：1）乘方的優(yōu)先級高于乘法的優(yōu)先級；2）在進(jìn)行積的乘方運(yùn)算時(shí)，要將積中的每一個(gè)因式分別乘方，再將所得結(jié)果相乘，不能漏乘某項(xiàng)。在冪的運(yùn)算中，注意底數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，將底數(shù)的常數(shù)項(xiàng)因式看作（1）例1．（2021·吉林長春外國語學(xué)校八年級月考）______________．【答案】【分析】先算積的乘方，將積的每個(gè)因式分別乘方，即，再算冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘，得．【詳解】原式．故答案是：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了積的乘方與冪的乘方，熟練掌握積的乘方運(yùn)算法則和冪的乘方運(yùn)算法則是解答此問題的關(guān)鍵．變式1．（2021·陜西金臺·九年級）計(jì)算（﹣x2y2z）2的結(jié)果正確的是（）A．﹣x4y4z B．x4y4z2 C．﹣x4y4z D．x4y4z2【答案】B【分析】積的乘方，把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘，冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘，再根據(jù)法則運(yùn)算即可．【詳解】解：故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是積的乘方與冪的乘方運(yùn)算，掌握積的乘方與冪的乘方的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．變式2．（2021·北京市廣渠門中學(xué)八年級期中）計(jì)算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)冪的乘方和積的乘方進(jìn)行運(yùn)算即可；（2）根據(jù)積的乘方進(jìn)行運(yùn)算即可．【詳解】解：（1）==；（2）=．【點(diǎn)睛】本題考查了積的乘方和冪的乘方，掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．例2．（2021·清澗縣教學(xué)研究室七年級期末）若，則的值是___________．【答案】1【分析】現(xiàn)根據(jù)冪的乘法的運(yùn)算法則求出m、n的值，然后代入求解．【詳解】解：∵，∴，解得：，則m2－2n=9?10=1.故答案為：1.【點(diǎn)睛】此題考查了積的乘方，掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．變式3．（2021·河北豐寧·八年級期末）已知，則_______．【答案】9【分析】先把等號左邊的代數(shù)式進(jìn)行化簡，然后指數(shù)相等求出m、n的值，進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：，又∵，∴，解得：，∴，故答案為：9【點(diǎn)睛】本題主要考查了積的乘方，冪的乘方的運(yùn)算法則，解題的關(guān)鍵是單項(xiàng)式相等，字母相同，相同字母的指數(shù)也相同．例3．（2021·湖北武漢·八年級期末）若an＝3，bn＝4，則(ab)2n＝___________．【答案】144【分析】根據(jù)積的乘方，可得，然后根據(jù)冪的乘方的逆運(yùn)用，即可求解．【詳解】解：∵an＝3，bn＝4，∴，∴．故答案為：144．【點(diǎn)睛】本題主要考查了積的乘方，冪的乘方的逆運(yùn)用，熟練掌握（n為正整數(shù)），（m、n為正整數(shù)）是解題的關(guān)鍵．例4．（2021·儀征市第三中學(xué)）（0.125）2020×（8）2021的值為_____．【答案】8【分析】根據(jù)積的乘方和同底數(shù)冪的乘法法則計(jì)算即可．【詳解】解：（0.125）2020×（8）2021=（）2020×（8）2020×（8）=（×8）2020×（8）=12020×（8）=1×（8）=8．故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查了積的乘方和同底數(shù)冪的乘法，掌握冪的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．變式5．（2021·鎮(zhèn)江實(shí)驗(yàn)學(xué)校）用簡便方法計(jì)算下列各題：（1）（2）【答案】（1）；（2）【分析】（1）直接利用積的乘方運(yùn)算法則將原式變形進(jìn)而求出答案；（2）直接利用積的乘方運(yùn)算法則將原式變形進(jìn)而求出答案．【詳解】解：（1）；（2）．【點(diǎn)睛】此題主要考查了積的乘方運(yùn)算，正確將原式變形是解題關(guān)鍵．例5．（2021·全國）若代數(shù)式，，則________．（用、的代數(shù)式表示）【答案】【分析】根據(jù)，，可以得到，由此求解即可．【詳解】解：∵，，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了冪的乘方和積的乘方的逆用，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解．變式6．（2021·天津南開·七年級期末）已知，那么的值為（）．A．5 B．1 C．10 D．2【答案】B【分析】由題意易得，進(jìn)而可得，然后問題可求解．【詳解】解：∵，∴，即，∴，即，∴，∴；故答案為B．【點(diǎn)睛】本題主要考查冪的乘方及積的乘方的逆用，熟練掌握冪的乘方及積的乘方是解題的關(guān)鍵．知識點(diǎn)14同底數(shù)冪的除法運(yùn)算同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減（與冪的乘法為逆運(yùn)算），即：am÷an=amn（a≠0，m，n為正整數(shù)）。注：a0=1（a≠0）例1．（2021·重慶七年級期中）計(jì)算a8÷a4的結(jié)果是（）A．a(chǎn)2 B．a(chǎn)4 C．a(chǎn)12 D．a(chǎn)32【答案】B【分析】同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，據(jù)此計(jì)算即可．【詳解】解：a8÷a4＝a8﹣4＝a4．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查冪的運(yùn)算，掌握同底冪的除法運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．變式1．（2020·江蘇九年級一模）計(jì)算的結(jié)果是（）A．a(chǎn) B．﹣a C．1 D．﹣1【答案】A【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則進(jìn)行計(jì)算．【詳解】解：原式＝，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查同底數(shù)冪的除法，熟練掌握運(yùn)算方法是解題的關(guān)鍵．例2．（2021·上海七年級期末）如果，，那么________________．【答案】【分析】根據(jù)同底數(shù)冪除法的逆用和冪的乘方的逆用變形，然后利用整體代入法求值即可．【詳解】解：∵，，∴=====故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查的是冪的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，掌握同底數(shù)冪除法的逆用和冪的乘方的逆用是解題關(guān)鍵．變式2．（2020·蘇州市吳江區(qū)盛澤第二中學(xué)七年級期末）若，，則_____________．【答案】【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的除法運(yùn)算法則以及冪的乘方運(yùn)算法則．【解答】解：故答案為：．變式3．（2021·錦江區(qū)·七年級期末）若，則=_____．【答案】2 【分析】直接利用同底數(shù)除法的逆用、冪的乘方運(yùn)算法則將原式變形進(jìn)而得出答案．【詳解】∵，，∴，∴．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了同底數(shù)除法的逆用、冪的乘方運(yùn)算，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．例3．（2020·江蘇連云港市·七年級期末）若x－2y－3＝0，則=________．【答案】8【分析】由題意易得，然后整體代入求值即可．【詳解】解：由得，；故答案為8．【點(diǎn)睛】本題主要考查同底數(shù)冪的除法，熟練掌握同底數(shù)冪的除法法則是解題的關(guān)鍵．變式4．（2021·成都市·七年級期末）已知2x﹣6y+6＝0，則2x÷8y＝_____．【答案】【分析】根據(jù)已知條件，先求出x﹣3y＝﹣3，然后根據(jù)冪的乘方的逆運(yùn)算和同底數(shù)冪的除法即可求出結(jié)論．【詳解】解：2x﹣6y+6＝0，2（x﹣3y）＝﹣6，x﹣3y＝﹣3，∴2x÷8y＝2x÷23y＝2x﹣3y＝2﹣3＝．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查的是冪的運(yùn)算性質(zhì)，掌握冪的乘方的逆運(yùn)算、同底數(shù)冪的除法和負(fù)指數(shù)冪的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．例4．（2020·江蘇鹽城市·七年級期中）已知32×9m÷27=321，則m=______．【答案】11．【分析】根據(jù)32×9m÷27=321，可得：32+2m3=321，據(jù)此求出m的值是多少即可．【詳解】解：∵32×9m÷27=321，∴32+2m3=321，∴2+2m3=21，解得：m=11．故答案為：11．【點(diǎn)睛】此題主要考查了冪的乘方與積的乘方的運(yùn)算方法，以及同底數(shù)冪的乘法的運(yùn)算方法，要熟練掌握．變式5.（2021?江陰市校級月考）求值：（1）已知3×9m÷27m＝316，求m的值．（2）若2x+5y﹣3＝0，求4x?32y的值．（3）若n為正整數(shù)，且x2n＝4，求（3x3n）2﹣4（x2）2n的值．【分析】（1）根據(jù)同底數(shù)冪乘、除法的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)同底數(shù)冪乘法的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；（3）根據(jù)同底數(shù)冪乘法、積的乘方、冪的乘方的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：（1）∵3×9m÷27m＝316，∴31+2m﹣3m＝316，∴1﹣m＝16，∴m＝﹣15；（2）∵2x+5y﹣3＝0，∴2x+5y＝3，∴4x?32y＝22x+5y＝23＝8；（3）∵x2n＝4，∴xn＝2，∴（3x3n）2﹣4（x2）2n＝9x6n﹣4x4n＝9×26﹣4×24＝24×25＝29．知識點(diǎn)15與的應(yīng)用1）零指數(shù)冪：=1()；2）負(fù)整數(shù)指數(shù)冪：=（，p為正整數(shù)）。注意：eq\o\ac(○,1)；eq\o\ac(○,2)當(dāng)?shù)讛?shù)是分?jǐn)?shù)時(shí)，只要把分子、分母顛倒，負(fù)指數(shù)就可變?yōu)檎笖?shù)，即“底倒指反”，即==；eq\o\ac(○,3)在混合運(yùn)算中,始終要注意運(yùn)算的順序。3）()的應(yīng)用注：，可能有三種情況：eq\o\ac(○,1)=1()；eq\o\ac(○,2)=1；eq\o\ac(○,3)=1（n為偶數(shù)）例1．（2021·成都市七年級月考）無意義，則x的取值為________．【答案】【分析】根據(jù)底數(shù)不為0的數(shù)的0次冪是1，可得底數(shù)不為0，可得答案．【詳解】解：由題意得，解得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了零指數(shù)冪，掌握零指數(shù)冪的底數(shù)不能為0是解決此題的關(guān)鍵．變式1．（2021·江蘇南通市·八年級月考）當(dāng)a______時(shí)，(a2)0=1．【答案】a≠2【分析】根據(jù)零指數(shù)冪的定義進(jìn)行求解即可．【詳解】根據(jù)零指數(shù)冪的定義：任何非零數(shù)的零指數(shù)冪為1，得到，解得故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了零指數(shù)冪的性質(zhì)，重點(diǎn)是熟記零指數(shù)冪的定義，即任何非零數(shù)的零指數(shù)冪為1．例2．（2021·陜西延安市·八年級期末）計(jì)算：．【答案】7【分析】原式利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪法則、零指數(shù)冪法則、絕對值的代數(shù)意義及乘方的意義計(jì)算即可得到結(jié)果．【詳解】解：．【點(diǎn)睛】此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．變式2．（2021·甘肅白銀市七年級期末）計(jì)算【答案】1【分析】先算冪運(yùn)算，化簡后在算加減運(yùn)算．【詳解】原式．【點(diǎn)睛】本題考查0指數(shù)冪、負(fù)指數(shù)冪和冪運(yùn)算，把握運(yùn)算規(guī)則是解題關(guān)鍵．變式3．（2020·四川郫都·初一期末）計(jì)算：（）2019×（）﹣2020＝_____．【答案】【分析】根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的定義以及同底數(shù)冪的乘法法則計(jì)算即可．【解析】解：（）2019×（）﹣2020＝．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查同底數(shù)冪的運(yùn)算及負(fù)指數(shù)冪，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．例3．（2021·山西期末）英國曼徹斯特大學(xué)的兩位科學(xué)家因?yàn)槌晒Φ貜氖蟹蛛x出石墨烯，榮獲了諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)．石墨烯是目前世上最薄卻也是最堅(jiān)硬的納米材料，同時(shí)還是導(dǎo)電性最好的材料，其理論厚度僅0.00000034毫米，將數(shù)0.00000034用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．B．C．D．【答案】D【分析】絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10?n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．【解析】解：0.00000034=，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10?n，其中1≤a|<10，n為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．變式4．（2021·江西省宜春實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級月考）正常情況下，一個(gè)成年人的一根頭發(fā)大約是0.0000012千克，將0.0000012用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)該是______．【答案】1.2×10﹣6【分析】根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示方法解答即可．【詳解】解：將0.0000012用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)該是1.2×10﹣6．故答案為：1.2×10﹣6．【點(diǎn)睛】此題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．變式5．（2021·貴州省八年級期中）某種原子直徑為1.3×10－4，把這個(gè)數(shù)化為小數(shù)是________．【答案】0.00013【分析】科學(xué)記數(shù)法的標(biāo)準(zhǔn)形式為a×10n（1≤|a|＜10，n為整數(shù)）．本題把數(shù)據(jù)“1.3×10－4中1.3的小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)4位就可以得到．【詳解】把數(shù)據(jù)“1.3×10－4中1.3的小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)4位就可以得到為：0.00013，故答案為：0.00013．【點(diǎn)睛】本題考查寫出用科學(xué)記數(shù)法表示的原數(shù)．將科學(xué)記數(shù)法a×10n表示的數(shù)，“還原”成通常表示的數(shù)，就是把a(bǔ)的小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)n位所得到的數(shù)．例4.（2020.成都市錦江區(qū)初一期中）已知,則x=【答案】2；0；1【詳解】情況1:解得：x=2；情況2：解得：x=1；情況3：解得：x=0；x+2=2（偶數(shù)），故符合條件故答案為：2；1；0變式6.（2020.成外初一月考）若，則x的值為【答案】2；1【詳解】情況1:解得：x=2；情況2：解得：x=1；情況3：解得：x=0；x+3=3（奇數(shù)），故不符合條件故答案為：2；1變式7．（2020·浙江杭州市·七年級其他模擬）已知，則______．【答案】或【分析】分三種情況討論，當(dāng)或當(dāng)或，分別解方程，再檢驗(yàn)可得答案．【詳解】解：，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)：不合題意舍去，當(dāng)時(shí)，時(shí)，綜上：或【點(diǎn)睛】本題考查的是乘方的意義，乘方符號的確定，零次冪的含義，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．知識點(diǎn)16整式乘法1、單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式:單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母的冪分別相乘，對于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。注：=1\*GB3①單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，結(jié)果仍為單項(xiàng)式；=2\*GB3②單項(xiàng)式相乘時(shí)，注意不要漏掉無相同之母的項(xiàng)。2、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式:根據(jù)乘法分配律，用單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。即：p(a+b+c)=pa+pb+pc注：單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的積仍是一個(gè)多項(xiàng)式，積的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同；如果式中含有乘方運(yùn)算，仍應(yīng)先算乘方，在算乘法。3、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式:先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。即：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。注：運(yùn)算過程中，需要關(guān)注符號的變化（負(fù)負(fù)得正，正負(fù)為負(fù)）；乘法運(yùn)算的結(jié)果中，如果有同類項(xiàng)，需要合并同類項(xiàng)，化為最簡形式。例1．（2021·河源市第二中學(xué)七年級期中）.【答案】【分析】先根據(jù)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】解：．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了整式的運(yùn)算，根據(jù)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的運(yùn)算法則計(jì)算即可．變式1．（2021·哈爾濱市第四十七中學(xué)八年級開學(xué)考試）計(jì)算：______．【答案】【分析】根據(jù)單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法以及同底數(shù)冪相乘的運(yùn)算法則求解即可．【詳解】解：故答案為．【點(diǎn)睛】此題考查了單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法以及同底數(shù)冪相乘的運(yùn)算法則，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．例2．（2021·杭州市十三中教育集團(tuán)七年級期中）若（3x+2）（3x+a）的化簡結(jié)果中不含x的一次項(xiàng)，則常數(shù)a的值為（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2【答案】A【分析】先用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則展開，然后合并同類項(xiàng)，不含x的一次項(xiàng)，就讓x的一次項(xiàng)的系數(shù)等于0．【詳解】解：（3x+2）（3x+a）＝9x2+3ax+6x+2a＝9x2+（3a+6）x+2a，∵不含x的一次項(xiàng)，∴3a+6＝0，∴a＝﹣2，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，熟練掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的乘積中不含某一項(xiàng)，就是該項(xiàng)的系數(shù)等于0是解題的關(guān)鍵．變式2．（2021·?？谑械谑闹袑W(xué)八年級月考）若的展開式中不含的二次項(xiàng)，則的值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】按照整式乘法去掉括號，根據(jù)不含的二次項(xiàng)，的二次項(xiàng)系數(shù)為0列出方程即可．【詳解】解：==∵展開式中不含的二次項(xiàng)，∴，解得，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查整式的乘法和多項(xiàng)式中不含某項(xiàng)的問題，解題關(guān)鍵是熟練進(jìn)行整式運(yùn)算，正確列出方程．例3．（2021·四川省成都市七中育才學(xué)校）已知（x+2）（x﹣3）＝x2+mx+n，則m與n的值分別是（）A．m＝1，n＝﹣6 B．m＝1，n＝6 C．m＝﹣1，n＝﹣6 D．m＝﹣1，n＝6【答案】C【分析】首先根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則計(jì)算已知等式的左邊，再根據(jù)系數(shù)相等可得答案．【詳解】解：，，．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查的是多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，掌握其運(yùn)算法則是解決此題關(guān)鍵．變式3．（2021·儀征市第三中學(xué)七年級月考）若（x+3）（x+n）=x2+mx21，則m的值為_______．【答案】4【分析】已知等式左邊利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則計(jì)算，再利用多項(xiàng)式相等的條件求出m的值即可．【詳解】∵，∴3+n=m，3n=21，解得：m=4，n=7，答案：4．【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，熟練掌握多項(xiàng)式乘法是解題的關(guān)鍵．例4．（2021·利辛縣第四中學(xué)七年級期中）先化簡，再求值．，其中．【答案】，．【分析】先根據(jù)整式的混合運(yùn)算計(jì)算法則化簡，然后代值計(jì)算即可.【詳解】解：，當(dāng)時(shí)，原式.【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式的化簡求值，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握整式的混合運(yùn)算計(jì)算法則.變式4．（2021·東平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考）先化簡，再求值．其中．【答案】，20．【分析】根據(jù)多項(xiàng)式乘法的計(jì)算法則化簡原式后再把x的值代入計(jì)算即可．【詳解】解：∴當(dāng)時(shí)，原式=．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的化簡求值，根據(jù)多項(xiàng)式乘法的計(jì)算法則對原式進(jìn)行化簡是解題關(guān)鍵．例5．（2020·江蘇無錫市·七年級期中）在數(shù)學(xué)中，為了書寫簡便，18世紀(jì)數(shù)學(xué)家歐拉就引進(jìn)了求和符號“”．如記=1+2+3+…+（n﹣1）+n，=（x+3）+（x+4）+…+（x+n）；已知，則m的值是（）A．﹣62 B．﹣38 C．﹣40 D．﹣20【答案】B【分析】利用題中的新定義計(jì)算即可得到m的值．【詳解】根據(jù)題意得，∵∴n=5,即=x2＋x?6＋x2＋x?12＋x2＋x?20==則m＝?38．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了整式的乘法，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．變式5．（2021·浙江寧波·七年級期末）對，定義一種新運(yùn)算，規(guī)定：，（其中，均為非零常數(shù)）．例如：，．當(dāng)，，則__；當(dāng)時(shí)，，，對任意有理數(shù)，都成立，則，滿足的關(guān)系式是__．【答案】【分析】（1）根據(jù)新運(yùn)算的定義，得，，故，．那么，，．（2）由，，，得，故．由當(dāng)時(shí)，，，對任意有理數(shù)，都成立，故當(dāng)時(shí)，對任意有理數(shù)，都成立．那么，．【詳解】解：（1），，，．，．，．，．（2），，，，，．，．若當(dāng)時(shí)，，，對任意有理數(shù)，都成立，當(dāng)時(shí)，對任意有理數(shù)，都成立．當(dāng)時(shí)，對任意有理數(shù)，都成立．．故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題主要考查整式的運(yùn)算以及解二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二元一次方程組的解法以及整式的運(yùn)算．例6．（2021·湖南荷塘·七年級期末）如圖所示，長方形ABCD中放置兩個(gè)邊長都為5的正方形AEFG與正方形CHIJ，若如圖陰影部分的面積之和記為，長方形ABCD的面積記為，已知：，則長方形ABCD的周長為______．【答案】30【分析】設(shè)KF=a，F(xiàn)L=b，利用a、b表示出圖中陰影部分的面積與長方形的面積，然后根據(jù)可得a、b的關(guān)系式，然后可求周長．【詳解】解：設(shè)KF=a，F(xiàn)L=b，由圖可知EK=BH=LJ=GD=5a，KH=EB=GL=DJ=5b，∴=2（5a）(5b)+ab=255a5b+3ab，=（5+5b）(5+5a)=10010a10b+ab，∵，∴3（10010a10b+ab）（255a5b+3ab）=150，整理得a+b=5，∴長方形ABCD的周長為2（AB+BC）=2(5+5b+5+5a)=30，故答案為：30．【點(diǎn)睛】此題考查列代數(shù)式表示圖形面積及代數(shù)式求值，利用長方形KFLI的長和寬表示出圖形面積是解題的關(guān)鍵．變式6．（2020·江蘇南京市·七年級期末）根據(jù)需要將一塊邊長為的正方形鐵皮按如圖的方法截去一部分后，制成的長方形鐵皮（陰影部分）的面積是多少？幾名同學(xué)經(jīng)過討論給出了不同的答案，其中正確的是（）①；②；③；④A．①②④ B．①②③④ C．① D．②④【答案】A【分析】因?yàn)檎叫蔚倪呴L為x，一邊截去寬5的一條，另一邊截去寬6的一條，所以陰影部分長方形的長和寬分別為x﹣5與x﹣6．然后根據(jù)長方形面積計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算．【詳解】解：①由題意得：陰影部分長方形的長和寬分別為x﹣5、x﹣6，則陰影的面積＝（x﹣5）（x﹣6）＝x2﹣11x+30．故該項(xiàng)正確；②如圖所示：

陰影部分的面積＝x2﹣5x﹣6（x﹣5），故該項(xiàng)正確；④如圖所示：陰影部分的面積＝x2﹣6x﹣5（x﹣6），故該項(xiàng)正確；③由④知本項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式的乘除運(yùn)算﹣多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式．實(shí)際上也是去括號、合并同類項(xiàng)，理解好圖形面積的多種表達(dá)形式是解題關(guān)鍵．知識點(diǎn)17平方差公式平方差公式：(a+b)(ab)=a2b2兩個(gè)式子的和與兩個(gè)式子的差的乘積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差。注：=1\*GB3①字母a、b僅是一個(gè)表達(dá)式，即可以表示一個(gè)數(shù)字、一個(gè)字母，也可以表示單項(xiàng)式、多項(xiàng)式。=2\*GB3②在套用平方差公式時(shí)，要依據(jù)公式的形式，將原式變形成符合公式的形式，在利用公式。特別需要注意“”的處理。例1．（2021·四川省成都市七中育才學(xué)校）計(jì)算（x﹣y）（x+y）的結(jié)果是（）A．x2+y2 B．﹣x2﹣y2 C．x2﹣y2 D．y2﹣x2【答案】C【分析】根據(jù)平方差公式求出答案即可．【詳解】解：，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式，能熟記平方差公式是解此題的關(guān)鍵，注意：．變式1．（2021·全國八年級課時(shí)練習(xí)）填空（1）________；（2）________；（3）________；（4）________．【答案】【分析】利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式；故答案為：；；；．【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式的直接運(yùn)用，理解并熟練運(yùn)用平方差公式是解題關(guān)鍵．例2．（2021·西安市鐵一中學(xué)八年級開學(xué)考試）下列各式中，不能用平方差公式計(jì)算的是（）A．（4x﹣3y）（﹣3y﹣4x） B．（2x2﹣y2）（2x2＋y2）C．（a＋b﹣c）（﹣c﹣b＋a） D．（﹣x＋y）（x﹣y）【答案】D【分析】根據(jù)平方差公式的定義進(jìn)行分析解答即可，兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差，這個(gè)公式就叫做乘法的平方差公式．【詳解】解：A、原式＝（?3y＋4x）（?3y?4x），可以運(yùn)用平方差公式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、符合兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)差的積的形式，可以運(yùn)用平方差公式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、可以把?c＋a看做一個(gè)整體，故原式＝（?c＋a＋b）（?c＋a?b），可以運(yùn)用平方差公式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、不能整理為兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)差的積的形式，所以不可以運(yùn)用平方差公式，故本選項(xiàng)正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查平方差公式的定義，關(guān)鍵在于逐項(xiàng)分析，找到不符合平方差公式定義的選項(xiàng)．變式2．（2021·蘭州市第五十五中學(xué)七年級月考）下列各式中能用平方差公式計(jì)算的是（）A．（2a＋b）（a－2b）B．（a－2b）（a－2b）C．（a＋2b）（－2b＋a）D．（2a－b）（－2a＋b）【答案】C【分析】根據(jù)平方差公式（a+b）（ab）=a2b2對各選項(xiàng)分別進(jìn)行判斷．【詳解】解：A、不是兩數(shù)之和與兩數(shù)差的積，所以選項(xiàng)不符合；B、不是兩數(shù)之和與兩數(shù)差的積，所以選項(xiàng)不符合；C、是兩數(shù)之和與兩數(shù)差的積，能使用平方差公式，所以選項(xiàng)符合；D、不是兩數(shù)之和與兩數(shù)差的積，所以選項(xiàng)不符合；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式：（a+b）（ab）=a2b2．也考查了完全平方公式．例3．（2021·浙江杭州市·翠苑中學(xué)九年級二模）若，，則（）A．1 B．1 C．3 D．3【答案】D【分析】根據(jù)平方差公式解答即可．【詳解】解：∵a+b=3，ab=1，∴a2b2=（a+b）（ab）=3×(1)=3．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方差公式，熟記平方差公式是解答本題的關(guān)鍵．變式3．（2021·佛山市華英學(xué)校七年級期中）若，則表示的式子為______．【答案】【分析】利用平方差公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可求出M．【詳解】解：∵，∴M表示的式子為．故答案是：．【點(diǎn)睛】此題考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式是解本題的關(guān)鍵．例4．（2020·浙江杭州市·七年級其他模擬）的值為_______．【答案】【分析】設(shè)，利用平方差公式求出的值，由此即可得．【詳解】設(shè)，則，，所以，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了利用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算求值，熟練掌握平方差公式是解題關(guān)鍵．變式4．（2021·蘭州市第五十五中學(xué)七年級月考）如圖1所示，邊長為a的大正方形中有一個(gè)邊長為b的小正方形，如圖2是由圖1中陰影部分拼成的一個(gè)長方形．（1）請你分別表示出這兩個(gè)圖形中陰影部分的面積：，；（2）請問以上結(jié)果可以驗(yàn)證哪個(gè)乘法公式？（3）試?yán)眠@個(gè)公式計(jì)算：．【答案】（1）：a2b2，（a+b）（ab）；（2）a2b2=（a+b）（ab）；（3）264【分析】（1）求出大正方形及小正方形的面積，作差即可得出陰影部分的面積，圖（2）所示的長方形的長和寬分別為（a+b）、（ab），由此可計(jì)算出面積；（2）根據(jù)陰影部分的面積相等可得出平方差公式；（3）利用原式補(bǔ)項(xiàng)（21），進(jìn)而利用平方差公式求出答案．【詳解】解：（1）∵大正方形的面積為a2，小正方形的面積為b2，故圖（1）陰影部分的面積值為：a2b2，圖（2）陰影部分的面積值為：（a+b）（ab）．故答案為：a2b2，（a+b）（ab）；（2）以上結(jié)果可以驗(yàn)證乘法公式：a2b2=（a+b）（ab）．故答案為：a2b2=（a+b）（ab）；（3）原式=（21）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1=（21）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1=（221）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1=（241）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1=（281）（28+1）（216+1）（232+1）+1=（2161）（216+1）（232+1）+1=（2321）（232+1）+1=2641+1=264．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式的幾何背景，根據(jù)幾何圖形得出平方差公式，并利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算，因此，本題熟練掌握平方差公式是關(guān)鍵．例5．（2021·陜西八年級期末）探究下面的問題：（1）如圖①，在邊長為的正方形中去掉一個(gè)邊長為的小正方形（），把余下的部分剪拼成如圖②的一個(gè)長方形，通過計(jì)算兩個(gè)圖形（陰影部分）的面積，驗(yàn)證了一個(gè)等式，這個(gè)等式是______（用式子表示）；（2）運(yùn)用你所得到的公式計(jì)算：①；②．【答案】（1）a2?b2＝（a＋b）（a?b）；（2）①99.96；②x2?6xz＋9z2?4y2【分析】（1）分別根據(jù)面積公式進(jìn)行計(jì)算，根據(jù)圖甲的面積＝圖乙的面積，列式即可；（2）利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算，即可得到計(jì)算結(jié)果．【詳解】解：（1）圖甲陰影面積＝a2?b2，圖乙陰影面積＝（a＋b）（a?b），∴得到的等式為：a2?b2＝（a＋b）（a?b），故答案為：a2?b2＝（a＋b）（a?b）；（2）①10.2×9.8＝（10＋0.2）×（10?0.2）＝102?0.22＝100?0.04＝99.96；②＝（x?3z＋2y）（x?3z?2y）＝（x?3z）2?（2y）2＝x2?6xz＋9z2?4y2．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式的幾何背景，根據(jù)幾何圖形得出平方差公式，并利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算，本題熟練掌握平方差公式是關(guān)鍵．變式5．（2021·湖南長沙·八年級期末）如圖，將大正方形通過剪、割、拼后分解成新的圖形，利用等面積法可證明某些乘法公式，在給出的4幅拼法中，其中能夠驗(yàn)證平方差公式的有_________（填序號，多選）．【答案】①②③【分析】分別在兩個(gè)圖形中表示出陰影部分的面積，或者用兩種方法表示同一個(gè)圖形的面積，繼而可得出驗(yàn)證公式．【詳解】解：在圖①中，左邊的圖形陰影部分的面積＝a2﹣b2，右邊圖形中陰影部分的面積＝（a+b）（a﹣b），故可得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可以驗(yàn)證平方差公式；在圖②中，除右下角陰影部分的面積外，剩余部分的面積可以表示為a2﹣b2，也可以表示為（a﹣b）（a+b），故可得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可以驗(yàn)證平方差公式；在圖③中，左邊的圖形陰影部分的面積＝a2﹣b2，右邊圖形中陰影部分的面積＝（a+b）（a﹣b），故可得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可以驗(yàn)證平方差公式；在圖④中，陰影部分的面積可以表示為（a+b）2﹣4ab，也可以表示為（a﹣b）2，由此可得（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2，沒法驗(yàn)證平方差公式．故答案為：①②③．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方差公式，運(yùn)用不同方法表示陰影部分面積是解題的關(guān)鍵．本題主要利用面積公式來證明a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．知識點(diǎn)18完全平方公式完全平方和（差）公式：完全平方和（差）公式：等于兩式平方和加（減）2倍的積注：=1\*GB3①a、b僅是一個(gè)符號，可以表示數(shù)、字母、單項(xiàng)式或多項(xiàng)式；=2\*GB3②使用公式時(shí)，一定要先變形成符合公式的形式拓展：利用可推導(dǎo)除一些變式=1\*GB3①=2\*GB3②注：變式無需記憶。在完全平方公式中，主要有、、、等模塊，都可以通過與相結(jié)合推導(dǎo)出來。例1．（2021·杭州市十三中教育集團(tuán)七年級期中）先化簡，再求值：（m﹣4n）2﹣4n（3n﹣2m）﹣3（﹣2n+3m）（3m+2n），其中13m2﹣8n2﹣6＝0．【答案】﹣26m2+16n2，－12【分析】直接利用乘法公式以及整式的混合運(yùn)算法則化簡，再把已知整體代入得出答案．【詳解】解：原式＝m2﹣8mn+16n2﹣12n2+8mn﹣3（9m2﹣4n2）＝m2﹣8mn+16n2﹣12n2+8mn﹣27m2+12n2＝﹣26m2+16n2，∵13m2﹣8n2﹣6＝0，∴13m2﹣8n2＝6，∴原式＝﹣2（13m2﹣8n2）＝﹣2×6＝﹣12．【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式的化簡求值，熟練掌握平方差公式和完全平方公式是解題的關(guān)鍵．變式1．（2021·嵊州市初級中學(xué)七年級期中）化簡（1）先化簡，再求值：，其中．（2）已知，，求的值．【答案】（1），；（2）16．【分析】（1）利用平方差公式及完全平方公式化簡得出最簡結(jié)果，再代入計(jì)算即可得答案；（2）利用完全平方公式變形，再代入計(jì)算即可得答案．【詳解】解：（1）=，當(dāng)時(shí)，原式．（2）．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算，熟練掌握完全平方公式及平方差公式是解題關(guān)鍵．例2．（2021·佛山市華英學(xué)校七年級期中）已知，，則的值為（）A．28 B．30 C．33 D．34【答案】B【分析】根據(jù)完全平方公式的變形形式：=，直接代入求值即可．【詳解】解：∵=，∴=362×3=30，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查代數(shù)式求值，掌握完全平方公式及其變形，是解題的關(guān)鍵．變式2．（2021·重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校七年級期中）已知（x+y）2＝5，（x﹣y）2＝1，則xy＝________．【答案】1【分析】利用完全平方公式列出關(guān)系式，把已知等式代入，即可求出xy的值．【詳解】解：∵（x+y）2=5，（xy）2=1，∴（x+y）2（xy）2=4xy，即51=4xy，則xy=1，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．例3．（2021·錦江區(qū)·初二學(xué)業(yè)考試）已知，則____________．【答案】47【分析】直接利用完全平方公式計(jì)算得出答案．【解析】∵，∴（x＋）2＝49，即＋2＝49，則47，故答案為：47．【點(diǎn)睛】此題主要考查了分式的化簡求值以及完全平方公式，正確運(yùn)用公式是解題關(guān)鍵．變式3．（2021·長春市七年級月考）回答下列問題：（1）填空：（2）若，求的值．【答案】（1）2，2；（2）23【分析】（1）利用完全平方公式變形即可得到結(jié)果；

（2）原式利用完全平方公式化簡，將已知等式代入計(jì)算即可求出值；【解析】解：（1）故答案為：2；2；（2）∵∴原式=（）22=252=23．【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式，解題關(guān)鍵在于熟練掌握完全平方公式．’例4．（2021·湖南師大附中博才實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級期中）如果二次三項(xiàng)式是一個(gè)完全平方式，那么m的值是（）A． B． C．4 D．【答案】B【分析】先根據(jù)乘積二倍項(xiàng)確定出兩個(gè)數(shù)，再根據(jù)完全平方公式的平方項(xiàng)列式求解即可．【詳解】解：∵8x=2×4?x，∴m=42=16，解得m=16．故選：B．【點(diǎn)睛】本題是完全平方公式的應(yīng)用，兩數(shù)的平方和，再加上或減去它們積的2倍，就構(gòu)成了一個(gè)完全平方式，根據(jù)乘積二倍項(xiàng)確定出這兩個(gè)數(shù)是求解的關(guān)鍵．變式4．（2021·浮梁縣第一中學(xué)七年級期中）已知m2＋2km＋16是完全平方式，則k＝_____．【答案】±4【分析】m2＋2km＋16是完全平方式，則16不會(huì)是某數(shù)加某數(shù)獲得，而一定是某數(shù)的平方獲得，因此16開平方得到±4，進(jìn)而確定k=±4【詳解】∵m2＋2km＋16是完全平方式又16=(±4)2∴k=±4故答案為：±4【點(diǎn)睛】本題考查構(gòu)成完全平方式的條件，能構(gòu)成完全平方說明16一定是某個(gè)數(shù)的平方而不會(huì)是通過加減產(chǎn)生，突破這一點(diǎn)此題即可迎刃而解．例5．（2021·揚(yáng)州中學(xué)教育集團(tuán)樹人學(xué)校七年級期中）閱讀材料：例題：已知a2+4b2﹣2a﹣4b+2＝0，求a，b的值．解：∵a2+4b2﹣2a﹣4b+2＝0，∴a2﹣2a+1+4b2﹣4b+1＝0，∴（a﹣1）2+（2b﹣1）2＝0，∴a﹣1＝0，2b﹣1＝0，∴a＝1，b＝．參照上面材料，解決下列問題：（1）已知x2+y2+8x﹣12y+52＝0，求x，y的值；（2）已知2x2+4y2+4xy﹣2x+1＝0，求x+y的值．【答案】（1）x＝﹣4，y＝6；（2）【分析】（1）先變形出完全平方公式，利用完全平方數(shù)的非負(fù)性即可得出解；（2）先變形出完全平方公式，利用完全平方數(shù)的非負(fù)性即可得出解.【詳解】解：（1）∵x2+y2+8x﹣12y+52＝0，∴（x2+8x+16）+（y2﹣12y+36）＝0，∴（x+4）2+（y﹣6）2＝0，∴x+4＝0，y﹣6＝0，解得，x＝﹣4，y＝6，故答案為：x＝﹣4，y＝6；（2）2x2+4y2+4xy﹣2x+1＝0，（x2+4y2+4xy）+（x2﹣2x+1）＝0，（x+2y）2+（x﹣1）2＝0，則，解得x+y＝1﹣＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的變形以及完全平方數(shù)的非負(fù)性的應(yīng)用，掌握完全平方數(shù)的非負(fù)性是解題的關(guān)鍵.變式5．（2021·湖北武漢·八年級期末）已知關(guān)于x的式子－x2＋4x，當(dāng)x＝______時(shí)，式子有最_____值，這個(gè)值是______．【答案】2大4【分析】先把配成完全平方式與一個(gè)常數(shù)和的形式，然后根據(jù)任何數(shù)的平方都是非負(fù)數(shù)即可求解．【詳解】解：，∵，∴，∴∴當(dāng)時(shí)，式子有最大值，這個(gè)值為4；故答案為2，大，4；【點(diǎn)睛】本題考查了利用完全平方公式求代數(shù)式的最值，解題的關(guān)鍵是掌握利用平方法對代數(shù)式進(jìn)行變形，并掌握的性質(zhì)求最值，變式6．（2021·江蘇.初一期中）已知，，，則代數(shù)式的值為______．【答案】3【分析】把已知的式子化成的形式，然后代入求解．【解析】解：，，，，，，則原式，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式的求值，正確利用完全平方公式把所求的式子進(jìn)行變形是關(guān)鍵．例6．（2021·四川省成都市七中育才學(xué)校七年級期末）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，張老師準(zhǔn)備了若干個(gè)如圖①的三種紙片，A種紙片是邊長為a的正方形，B種紙片是邊長為b的正方形，C種紙片是長為b，寬為a的長方形，并用A種紙片一張，B種紙片一張，C種紙片兩張拼成如圖②的大正方形．（1）觀察圖②，請你寫出代數(shù)式（a+b）2，a2+b2，ab之間的等量關(guān)系是；（2）根據(jù)（1）中的等量關(guān)系，解決下列問題；①已知a+b＝4，a2+b2＝10，求ab的值；②已知（x﹣2020）2+（x﹣2018）2＝52，求x﹣2019的值．【答案】（1）；（2）①3；②【分析】（1）正方形的總面積等于各部分面積和，就可得出答案；（2）①由，可知，再代入（1）中的結(jié)論，即可求得的值；②用換元法，令，則，，代入原式化簡計(jì)算即可．【詳解】解：（1）由正方形的總面積等于各部分面積和，得到：；（2）①∵∴又∵，且∴∴②令，則，∴∴【點(diǎn)睛】本題考查完全平方式的應(yīng)用，平分根的運(yùn)算，根據(jù)相關(guān)知識點(diǎn)解題是關(guān)鍵．變式7．（2021·安徽臨泉·）如圖1是一個(gè)長為2a、寬為2b的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后按圖2的形狀拼成一個(gè)正方形．（1）觀察圖2，請你直接寫出下列三個(gè)代數(shù)式（a＋b）2，（a－b）2，ab之間的等量關(guān)系為；（2）運(yùn)用你所得到的公式解答下列問題：①若m、n為實(shí)數(shù)，且m＋n＝－2，mn＝－3，求m－n的值．②如圖3，S1、S2分別表示邊長為a，b的正方形的面積，且A、B、C三點(diǎn)在一條直線上．若S1＋S2＝20，AB＝a＋b＝6，求圖中陰影部分的面積．【答案】（1）；（2）①±4；②8【分析】（1）根據(jù)圖2，用面積相等列出等量關(guān)系即可；（2）①由第一問知：，結(jié)合已知條件，代入數(shù)值，求解即可；②由題意知：，，所以可以由，得到的值，即可得到陰影部分的面積．【詳解】解：（1）（2）①由第一問知：故所以即②因?yàn)樗砸驗(yàn)樗杂忠驗(yàn)椋宜运浴军c(diǎn)睛】本題考查完全平方公式的實(shí)際應(yīng)用，掌握好數(shù)形結(jié)合思想是解題關(guān)鍵．知識點(diǎn)19公式的拓展==+2（a+b）c+=+2ab+2ac+2bc2）同樣，a、b、c可以通過換元。如，令c=－c，得=+2ab2ac2bc3）立方差公式：；立方和與立方差：=例1．（2021·浙江瑞安·開學(xué)考試）如圖，將幾個(gè)小正方形與小長方形拼成一個(gè)邊長為的正方形．用不同的方法計(jì)算這個(gè)邊長為的正方形面積，就可以得到一個(gè)等式，若三個(gè)實(shí)數(shù)，，滿足，，利用等式求得的值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用冪的運(yùn)算法則將給的式子進(jìn)行變形得到，，再由題目中給出的公式求出．【解析】解：;;，;;，根據(jù)題目中給出的公式：，有,．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查冪的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用冪的運(yùn)算公式將題目中的式子進(jìn)行變形，從而得到要求的結(jié)果．變式1．（2021·全國初一課時(shí)練習(xí)）我們知道，對于一個(gè)圖形，通過兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式．例如圖可以得到．請解答下列問題：（1）寫出圖中所表示的數(shù)學(xué)等式；（2）利用（1）中所得到的結(jié)論，解決下面的問題：已知，，求的值；（3）小明同學(xué)打算用張邊長為的正方形，張邊長為的正方形，張相鄰兩邊長為分別為、的長方形紙片拼出了一個(gè)面積為長方形，那么他總共需要多少張紙片？【答案】（1）；（2）50；（3）143.【分析】（1）直接求得正方形的面積，再根據(jù)正方形的面積=各矩形的面積之和求解即可.（2）將，代入（1）中得到的式子，然后計(jì)算即可；（3）長方形的面積，然后運(yùn)算多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，從而求得x、y、z的值，代入即可求解.【解析】解：（1）（2）由（1）可知：（3）根據(jù)題意得，所以，，所以答：小明總共需要張紙。變式2．（2021·福建省安溪恒興中學(xué)）我們知道:有些代數(shù)恒等式可以利用平面圖形的面積來表示，如：就可以用如圖所示的面積關(guān)系來說明．(1)請根據(jù)如圖寫出代數(shù)恒等式,并根據(jù)所寫恒等式計(jì)算：(2)若求的值；(3)現(xiàn)有如圖中的彩色卡片:A型、B型、C型，把這些卡片不重疊不留縫隙地貼在棱長為的100個(gè)立方體表面進(jìn)行裝飾，A型、B型、C型卡片的單價(jià)分別為0.7元/張、0.5元/張、0.4元/張，共需多少費(fèi)用?【答案】（1）；（2）（3）1260元【分析】(1)根據(jù)正方形的面積等于正方形里各個(gè)圖形的面積之和即可解答；找到與求出的代數(shù)恒等式的對應(yīng)字母：a=2x，b=y，c=3，代入求出的代數(shù)恒等式即可.(2)根據(jù)（1）中求出的代數(shù)恒等式，先求出，再把整體代入即可求值.(3)先確定立方體的一個(gè)面需要A型、B型、C型卡片各幾張，需多少費(fèi)用，再求1個(gè)，100個(gè)的費(fèi)用.【解析】(1)(2)∵∴(3)故立方體一面需A型卡片1張、B型卡片2張、C型卡片1張，需：0.7+0.5×2+0.4=2.1元100個(gè)小立方體需：2.1×6×100=1260元.【點(diǎn)睛】本題考查的是多項(xiàng)式乘法的幾何意義，將多項(xiàng)式的乘法用幾何圖形的面積進(jìn)行說明，能用不同方法表示圖形的面積是關(guān)鍵.例2．（2020·江蘇建湖·初一期中）學(xué)習(xí)《乘法公式》時(shí)可以發(fā)現(xiàn)：用兩種不同的方法表示同一個(gè)圖形的面積，可以得到一個(gè)等式，進(jìn)而可以利用得到的等式解決問題．（1）如圖1，是由邊長為a、b的正方形和長為a、寬為b的長方形拼成的大長方形，由圖1可得等式：；（2）知識遷移：①如圖2，是用2個(gè)小正方體和6個(gè)小長方體拼成的一個(gè)大正方體，類比（1），用不同的方法表示這個(gè)大正方體的體積，可得等式：；②已知a＋b＝7，a2b＝48，ab2＝36，利用①中所得等式，求代數(shù)式a3＋b3的值．【答案】（1）（a＋b）（2a＋b）＝2a2＋3ab＋b2；（2）①（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3；②91．【分析】（1）用兩種不同的方法表示大長方形的面積，可以得到一個(gè)等式，（2）①用兩種不同的方法表示大正方體的體積，可以得到一個(gè)等式，②利用等式變形，可求出答案．【解析】解：（1）如圖1，整體上長方形的面積為（a＋b）（2a＋b），組成大長方形的六部分的面積和為a2＋a2＋ab＋ab＋ab＋b2＝2a2＋3ab＋b2，因此有（a＋b）（2a＋b）＝2a2＋3ab＋b2，故答案為：（a＋b）（2a＋b）＝2a2＋3ab＋b2；（2）①整體上大正方體的體積為（a＋b）3，組成大正方體的2個(gè)小正方體和6個(gè)小長方體的體積的和為a3＋3a2b＋3ab2＋b3，因此有，（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，故答案為：（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3．②由（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3得，a3＋b3＝（a＋b）3﹣3a2b﹣3ab2＝73﹣3×48﹣3×36＝91．【點(diǎn)睛】本題考查幾何體的體積、圖形的面積的計(jì)算方法，用兩種不同的方法表示同一個(gè)圖形的面積或同一個(gè)幾何體的體積，是得到等式的關(guān)鍵．【點(diǎn)睛】本題主要考查整式的運(yùn)算，難度較大，熟練掌握整式的運(yùn)算以及代數(shù)式求值是解題關(guān)鍵.變式3．（2020·江蘇江陰初一期中）（知識生成）我們已經(jīng)知道，通過不同的方法表示同一圖形的面積，可以探求相應(yīng)的等式，2002年8月在北京召開了國際數(shù)學(xué)大會(huì)，大會(huì)會(huì)標(biāo)如圖1所示，它是由四個(gè)形狀大小完全相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形，四個(gè)直角三角形的兩條直角邊長均分別為a、b，斜邊長為c．（1）圖中陰影部分小正方形的邊長可表示為；（2）圖中陰影部分小正方形的面積用兩種方法可分別表示為、（3）你能得出的a，b，c之間的數(shù)量關(guān)系是（等號兩邊需化為最簡形式）；（4）一直角三角形的兩條直角邊長為5和12，則其斜邊長為（知識遷移）通過不同的方法表示同一幾何體的體積，也可以探求相應(yīng)的等式．如圖2是邊長為a+b的正方體，被如圖所示的分割線分成8塊．（5）用不同方法計(jì)算這個(gè)正方體體積，就可以得到一個(gè)等式，這個(gè)等式可以為__________________（6）已知a+b＝4，ab＝2，利用上面的規(guī)律求a3+b3的值．【答案】（1）（b﹣a）；（2）c2﹣2ab、（b﹣a）2；（3）a2+b2＝c2；（4）13；（5）（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2；（6）a3+b3＝40．【分析】（1）根據(jù)直角三角形的兩邊長即可得到結(jié)論；（2）求出圖形的各個(gè)部分的面積，即可得出答案；（3）根據(jù)（1）的結(jié)果，即可得出答案；（4）代入求出即可；（5）求出大正方體的條件和各個(gè)部分的體積，即可得出答案；（6）代入（5）中的等式求出即可．【解析】解：（1）圖中陰影部分小正方形的邊長可表示為（b﹣a），故答案為：（b﹣a）；（2）圖中陰影部分的面積為c2﹣2ab或（b﹣a）2，故答案為：c2﹣2ab，（b﹣a）2；（3）由（1）知：c2﹣2ab＝（b﹣a）2，即a2＋b2＝c2，故答案為：a2＋b2＝c2；（4）∵a2＋b2＝c2，a＝5，b＝12，∴c＝13，故答案為：13；（5）圖形的體積為（a＋b）3或a3＋b3＋a2b＋a2b＋a2b＋ab2＋ab2＋ab2，即（a＋b）3＝a3＋b3＋3a2b＋3ab2，故答案為：（a＋b）3＝a3＋b3＋3a2b＋3ab2；（6）∵a＋b＝4，ab＝2，（a＋b）3＝a3＋b3＋3a2b＋3ab2，＝a3＋b3＋3ab（a＋b）∴43＝a3＋b3＋3×2×4，解得：a3＋b3＝40．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的證明，完全平方公式的幾何應(yīng)用，能正確列代數(shù)式表示各個(gè)部分的體積和面積是解此題的關(guān)鍵．變式4．（2020·四川郫都·初一期末）（知識生成）用兩種不同方法計(jì)算同一圖形的面積，可以得到一個(gè)等式，如圖1，是用長為a，寬為b（a＞b）的四個(gè)全等長方形拼成一個(gè)大正方形，用兩種不同的方法計(jì)算陰影部分（小正方形）的面積，可以得到（a﹣b）2、（a+b）2、ab三者之間的等量關(guān)系式：；（知識遷移）類似地，用兩種不同的方法計(jì)算同一個(gè)幾何體的體積，也可以得到一個(gè)等式，如圖2，觀察大正方體分割，可以得到等式：；（成果運(yùn)用）利用上面所得的結(jié)論解答：（1）已知x+y＝6，xy＝，求x﹣y的值；（2）已知|a+b﹣6|+（ab﹣7）2＝0，求a3+b3的值．【答案】知識生成：（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2；知識遷移：（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2；（1）x﹣y＝±5；（2）a3+b3＝90．【分析】【知識生成】由題意利用面積相等推導(dǎo)公式（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2；【知識遷移】由題意利用體積相等推導(dǎo)（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2；（1）根據(jù)題意應(yīng)用知識生成的公式，進(jìn)行變形，代入計(jì)算即可；（2）由題意先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得：a+b＝6，ab＝7，由知識遷移的等式可得結(jié)論．【解析】解：【知識生成】如圖1，方法一：已知邊長直接求面積為（a﹣b）2；方法二：陰影面積是大正方形面積減去四個(gè)長方形面積，∴面積為（a+b）2﹣4ab，∴由陰影部分面積相等可得（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2；故答案為：（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2；【知識遷移】方法一：正方體棱長為a+b，∴體積為（a+b）3，方法二：正方體體積是長方體和小正方體的體積和，即a3+b3+3a2b+3ab2，∴（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2；故答案為：（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2；（1）由（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2，可得（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，∵x+y＝6，xy＝，∴（x﹣y）2＝62﹣4×，∴（x﹣y）2＝25，∴x﹣y＝±5；（2）∵|a+b﹣6|+（ab﹣7）2＝0，∴a+b＝6，ab＝7，∵（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2；∴a3+b3＝（a+b）3﹣3a2b﹣3ab2＝63﹣3ab（a+b）＝216﹣3×7×6＝90．【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式的幾何意義，注意掌握并能夠由面積相等并過渡到利用體積相等推導(dǎo)公式是解題的關(guān)鍵．110整式除法1)單項(xiàng)式除單項(xiàng)式通常分為三個(gè)步驟：（1）將它們的系數(shù)相除作為上的系數(shù)；（2）對于被除式和除式中都含有的字母，按同底冪的除法分別相除，作為商的因式；（3）被除式中獨(dú)有的字母，則連同它的指數(shù)一起作為商的因式。2)多項(xiàng)式除單項(xiàng)式多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別除以單項(xiàng)式，然后再把所得的商相加。注：計(jì)算時(shí)，多項(xiàng)式各項(xiàng)要包含它前面的符號，結(jié)果所得商的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同；當(dāng)被除式的某一項(xiàng)與除式相同時(shí)，商為1，注意不能漏除某一項(xiàng)。例1．（2022·廣東東莞·八年級期末）（9a2﹣6ab）÷3a＝_____．【答案】3a2b2b+3a【分析】根據(jù)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的除法法則計(jì)算即可．【詳解】解：（9a26ab）÷3a=9a2÷3a6ab÷3a=3a2b．故答案為：3a2b【點(diǎn)睛】本題考查了整式的除法，熟記多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的除法法則是解題的關(guān)鍵．變式1．（2021·上海虹口·七年級期末）計(jì)算：÷＝_______．【答案】【分析】括號的每一項(xiàng)除以，化簡為單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，所得的商相加即可得出答案．【詳解】解：原式＝，＝【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加.例2．（2021·佛山市七年級期中）先化簡，再求值：，其中，．【答案】，12【分析】利用完全平方公式和平方差公式進(jìn)行化簡，再代入求值即可求解．【詳解】解：原式====，當(dāng)，時(shí)，原式==12．【點(diǎn)睛】本題主要考查整式化簡求值，掌握完全平方公式和平方差公式以及整式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．變式2．（2021·重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校七年級期中）先化簡，再求值：[（x+3y）2﹣（x﹣3y）2﹣（3y﹣x）（x+3y）﹣x2]÷（3y），其中x，y滿足x2+4x+4+|y+1|＝0．【答案】4x3y；5．【分析】原式中括號中利用完全平方公式，平方差公式計(jì)算，去括號合并后利用多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則計(jì)算得到最簡結(jié)果，把與的值代入計(jì)算即可求出值．【詳解】解：原式＝（x2+6xy+9y2﹣x2+6xy﹣9y2+x29y2﹣x2）÷（3y）＝（12xy9y2）÷（3y）＝4x3y，由x2+4x+4+|y+1|＝0，得到（x+2）2