第03講二次函數(shù)y=ax^2bxc(a≠0)的圖象與性質(zhì)

第03講二次函數(shù)y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象與性質(zhì)【知識梳理】一、二次函數(shù)與之間的相互關(guān)系1.頂點式化成一般式

從函數(shù)解析式我們可以直接得到拋物線的頂點(h，k)，所以我們稱為頂點式，將頂點式去括號，合并同類項就可化成一般式．2.一般式化成頂點式．對照，可知，．∴拋物線的對稱軸是直線，頂點坐標是．要點詮釋：1．拋物線的對稱軸是直線，頂點坐標是，可以當作公式加以記憶和運用．2．求拋物線的對稱軸和頂點坐標通常用三種方法：配方法、公式法、代入法，這三種方法都有各自的優(yōu)缺點，應(yīng)根據(jù)實際靈活選擇和運用．

二、二次函數(shù)的圖象的畫法1.一般方法：列表、描點、連線；2.簡易畫法：五點定形法.其步驟為：(1)先根據(jù)函數(shù)解析式，求出頂點坐標和對稱軸，在直角坐標系中描出頂點M，并用虛線畫出對稱軸．(2)求拋物線與坐標軸的交點，當拋物線與x軸有兩個交點時，描出這兩個交點A、B及拋物線與y軸的交點C，再找到點C關(guān)于對稱軸的對稱點D，將A、B、C、D及M這五個點按從左到右的順序用平滑曲線連結(jié)起來．要點詮釋：當拋物線與x軸只有一個交點或無交點時，描出拋物線與y軸的交點C及對稱點D，由C、M、D三點可粗略地畫出二次函數(shù)圖象的草圖；如果需要畫出比較精確的圖象，可再描出一對對稱點A、B，然后順次用平滑曲線連結(jié)五點，畫出二次函數(shù)的圖象，三、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.二次函數(shù)圖象與性質(zhì)函數(shù)二次函數(shù)（a、b、c為常數(shù)，a≠0）圖象開口方向向上向下對稱軸直線直線頂點坐標增減性在對稱軸的左側(cè)，即當時，y隨x的增大而減??；在對稱軸的右側(cè)，即當時，y隨x的增大而增大．簡記：左減右增在對稱軸的左側(cè)，即當時，y隨x的增大而增大；在對稱軸的右側(cè)，即當時，y隨x的增大而減?。営洠鹤笤鲇覝p最大(小)值拋物線有最低點，當時，y有最小值，拋物線有最高點，當時，y有最大值，2.二次函數(shù)圖象的特征與a、b、c及b24ac的符號之間的關(guān)系項目字母字母的符號圖象的特征aa＞0開口向上a＜0開口向下bab＞0(a，b同號)對稱軸在y軸左側(cè)ab＜0(a，b異號)對稱軸在y軸右側(cè)cc=0圖象過原點c＞0與y軸正半軸相交c＜0與y軸負半軸相交b24acb24ac=0與x軸有唯一交點b24ac＞0與x軸有兩個交點b24ac＜0與x軸沒有交點四、求二次函數(shù)的最大（小）值的方法如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大（或最?。┲?，即當時，．要點詮釋：如果自變量的取值范圍是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自變量的取值范圍x1≤x≤x2內(nèi)，若在此范圍內(nèi)，則當時，，若不在此范圍內(nèi)，則需要考慮函數(shù)在x1≤x≤x2范圍內(nèi)的增減性，如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而增大，則當x＝x2時，；當x＝x1時，，如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而減小，則當x＝x1時，；當x＝x2時，，如果在此范圍內(nèi)，y值有增有減，則需考察x＝x1，x＝x2，時y值的情況．【考點剖析】題型一、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)例1．求拋物線的對稱軸和頂點坐標．【答案與解析】解法1（配方法）：．∴頂點坐標為，對稱軸為直線．解法2（公式法）：∵，，，∴，．∴頂點坐標為，對稱軸為直線．解法3（代入法）：∵，，，∴．將代入解析式中得，．∴頂點坐標為，對稱軸為直線．【總結(jié)升華】所給二次函數(shù)關(guān)系是一般式，求此類拋物線的頂點有三種方法：（1）利用配方法將一般式化成頂點式；（2）用頂點公式直接代入求解；（3）利用公式先求頂點的橫坐標，然后代入解析式求出縱坐標．這三種方法都有各自的優(yōu)缺點，應(yīng)根據(jù)實際靈活選擇和運用．【變式】把一般式化為頂點式．（1）寫出其開口方向、對稱軸和頂點D的坐標；（2）分別求出它與y軸的交點C，與x軸的交點A、B的坐標.【答案】（1）向下；x=2；D(2，2).（2）C（0，6）；A（1,0）；B（3,0）.例2．二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，那么一次函數(shù)y=ax+b的圖象大致是（）A． B． C． D．【思路點撥】由y=ax2+bx+c的圖象判斷出a＞0，b＞0，于是得到一次函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過一，二，四象限，即可得到結(jié)論．【答案】A．【解析】解：∵y=ax2+bx+c的圖象的開口向上，∴a＞0，∵對稱軸在y軸的左側(cè)，∴b＞0，∴一次函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過一，二，三象限．故選A．【總結(jié)升華】本題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是明確二次函數(shù)的性質(zhì)，由函數(shù)圖象可以判斷a、b的取值范圍．例3.拋物線與y軸交于(0，3)點：(1)求出m的值并畫出這條拋物線；(2)求它與x軸的交點和拋物線頂點的坐標；(3)x取什么值時，拋物線在x軸上方？(4)x取什么值時，y的值隨x值的增大而減??？【答案與解析】(1)由拋物線與y軸交于(0，3)可得m＝3．∴拋物線解析式為，如圖所示．(2)由得，．∴拋物線與x軸的交點為(1，0)、(3，0)．∵，∴拋物線的頂點坐標為(1，4)．(3)由圖象可知：當1＜x＜3時，拋物線在x軸上方．(4)由圖象可知：當x≥1時，y的值隨x值的增大而減小．【總結(jié)升華】研究函數(shù)問題一般都應(yīng)與圖象結(jié)合起來，借助于圖象的直觀性求解更形象與簡潔．(1)將點(0，3)代入解析式中便可求出m的值，然后用描點法或五點作圖法畫拋物線；(2)令y＝0可求拋物線與x軸的交點，利用配方法或公式法可求拋物線頂點的坐標；(3)、(4)均可利用圖象回答，注意形數(shù)結(jié)合的思想，【變式】某同學(xué)在用描點法畫二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象時，列出了下面的表格：x…﹣2﹣1012…y…﹣11﹣21﹣2﹣5…由于粗心，他算錯了其中一個y值，則這個錯誤的數(shù)值是（）11B.2C.1D.5【答案】D.提示：由函數(shù)圖象關(guān)于對稱軸對稱，得（﹣1，﹣2），（0，1），（1，2）在函數(shù)圖象上，把（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）代入函數(shù)解析式，得，解得，函數(shù)解析式為y=﹣3x2+1x=2時y=﹣11，故選：D．題型二、二次函數(shù)的最值例4．求二次函數(shù)的最小值.【答案與解析】解法1(配方法)：∵，∴當x＝3時，．解法2(公式法)：∵，b＝3，∴當時，．解法3(判別式法)：∵，∴．∵x是實數(shù)，∴△＝624(12y)≥0，∴y≥4．∴y有最小值4，此時，即x＝3．【總結(jié)升華】在求二次函數(shù)最值時，可以從配方法、公式法、判別式法三個角度考慮，根據(jù)個人熟練程度靈活去選擇．【變式】用總長60m的籬笆圍成矩形場地．矩形面積S隨矩形一邊長L的變化而變化．當L是多少時，矩形場地的面積S最大？【答案】（0<L<30）．（m）時，場地的面積S最大，為225m2．例5.分別在下列范圍內(nèi)求函數(shù)的最大值或最小值．(1)0＜x＜2；(2)2≤x≤3．【答案與解析】∵，∴頂點坐標為(1，4)．(1)∵x＝1在0＜x＜2范圍內(nèi)，且a＝1＞0，∴當x＝1時y有最小值，．∵x＝1是0＜x＜2范圍的中點，在x＝1兩側(cè)圖象左右對稱，端點處取不到，不存在最大值．(2)∵x＝1不在2≤x≤3范圍內(nèi)(如圖所示)，又因為函數(shù)(2≤x≤3)的圖象是拋物線的一部分，且當2≤x≤3時，y隨x的增大而增大，∴當x＝3時，；當x＝2時，．【總結(jié)升華】先求出拋物線的頂點坐標，然后看頂點的橫坐標是否在所規(guī)定的自變量的取值范圍內(nèi)，根據(jù)不同情況求解，也可畫出圖象，借助于圖象的直觀性求解，如圖所示，2≤x≤3為圖中實線部分，易看出x＝3時，；x＝2時，．題型三、二次函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用例6．已知二次函數(shù)的圖象過點P(2，1)．（1）求證：；（2）求bc的最大值．【答案與解析】（1）∵的圖象過點P(2，1)，∴1=4+2b+c+1，∴c=2b4．（2）．∴當時，bc有最大值．最大值為2．【總結(jié)升華】（1）將點P(2，1)代入函數(shù)關(guān)系式，建立b、c的關(guān)系即可．（2）利用（1）中b與c的關(guān)系，用b表示bc，利用函數(shù)性質(zhì)求解．【變式】如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象，下列結(jié)論：①二次三項式ax2+bx+c的最大值為4；②4a+2b+c＜0；③一元二次方程ax2+bx+c=1的兩根之和為﹣1；④使y≤3成立的x的取值范圍是x≥0．其中正確的個數(shù)有（）1個B.2個C.3個D.4個【答案】B.提示：∵拋物線的頂點坐標為（﹣1，4），∴二次三項式ax2+bx+c的最大值為4，①正確；∵x=2時，y＜0，∴4a+2b+c＜0，②正確；根據(jù)拋物線的對稱性可知，一元二次方程ax2+bx+c=1的兩根之和為﹣2，③錯誤；使y≤3成立的x的取值范圍是x≥0或x≤﹣2，④錯誤，故選：B．例7.如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于點A（﹣1，0），與y軸的交點B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之間（不包括這兩點），對稱軸為直線x=1．下列結(jié)論：①abc＞0②4a+2b+c＞0③4ac﹣b2＜8a④＜a＜⑤b＞c．其中含所有正確結(jié)論的選項是（）A．①③ B．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤【思路點撥】根據(jù)對稱軸為直線x=1及圖象開口向下可判斷出a、b、c的符號，從而判斷①；根據(jù)對稱軸得到函數(shù)圖象經(jīng)過（3，0），則得②的判斷；根據(jù)圖象經(jīng)過（﹣1，0）可得到a、b、c之間的關(guān)系，從而對②⑤作判斷；從圖象與y軸的交點B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之間可以判斷c的大小得出④的正誤．【答案】D．【解析】解：①∵函數(shù)開口方向向上，∴a＞0；∵對稱軸在y軸右側(cè)∴ab異號，∵拋物線與y軸交點在y軸負半軸，∴c＜0，∴abc＞0，故①正確；②∵圖象與x軸交于點A（﹣1，0），對稱軸為直線x=﹣1，∴圖象與x軸的另一個交點為（3，0），∴當x=2時，y＜0，∴4a+2b+c＜0，故②錯誤；③∵圖象與x軸交于點A（﹣1，0），∴當x=﹣1時，y=（﹣1）2a+b×（﹣1）+c=0，∴a﹣b+c=0，即a=b﹣c，c=b﹣a，∵對稱軸為直線x=1∴=1，即b=﹣2a，∴c=b﹣a=（﹣2a）﹣a=﹣3a，∴4ac﹣b2=4?a?（﹣3a）﹣（﹣2a）2=﹣16a2＜0∵8a＞0∴4ac﹣b2＜8a故③正確④∵圖象與y軸的交點B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之間，∴﹣2＜c＜﹣1∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，∴＞a＞；故④正確⑤∵a＞0，∴b﹣c＞0，即b＞c；故⑤正確；故選：D．【總結(jié)升華】主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系．解題關(guān)鍵是注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．例8.一條拋物線經(jīng)過A（2，0）和B（6，0），最高點C的縱坐標是1．（1）求這條拋物線的解析式，并用描點法畫出拋物線；（2）設(shè)拋物線的對稱軸與軸的交點為D，拋物線與y軸的交點為E，請你在拋物線上另找一點P(除點A、B、C、E外)，先求點C、A、E、P分別到點D的距離，再求這些點分別到直線的距離；(3)觀察(2)的計算結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)這條拋物線上的點具有何種規(guī)律?請用文字寫出這個規(guī)律．【答案與解析】(1)由已知可得拋物線的對稱軸是．∴最高點C的坐標為(4，1)．則解得∴所求拋物線的解析式為．列表：202468108301038描點、連線，如圖所示：（2）取點（2，8）為所要找的點P，如圖所示，運用勾股定理求得ED＝5，PD＝10，觀察圖象知AD＝2，CD＝1，點E、P、A、C到直線y＝2的距離分別是5、10、2、1．（3）拋物線上任一點到點D的距離等于該點到直線y＝2的距離．【總結(jié)升華】(1)描點畫圖時，應(yīng)先確定拋物線的對稱軸，然后以對稱軸為參照，左右對稱取點．(2)計算兩點之間的距離應(yīng)構(gòu)造兩直角邊分別平行于兩坐標軸的直角三角形，然后運用勾股定理求得．【變式】已知二次函數(shù)（其中a>0，b>0，c<0），關(guān)于這個二次函數(shù)的圖象有如下說法：①圖象的開口一定向上；②圖象的頂點一定在第四象限；③圖象與x軸的交點至少有一個在y軸的右側(cè)．以上說法正確的個數(shù)為（）A．0B．1C．2D．3【答案】C.【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考二模）將二次函數(shù)的圖象向左平移m個單位后過點，則m的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)圖象平移規(guī)則“左加右減，上加下減”得到平移后的函數(shù)解析式，再代入坐標求解即可．【詳解】解：將二次函數(shù)的圖象向左平移m個單位后的函數(shù)解析式為，∵平移后的圖象經(jīng)過點，，，∴，解得或（舍去），故選：B．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象平移，解一元二次方程，熟練掌握圖象平移規(guī)則是解答的關(guān)鍵．2．（2023春·浙江·九年級階段練習(xí)）在同一坐標系中，一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象可能是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】對的符號分類討論即可確定正確的選項．【詳解】當時，一次函數(shù)經(jīng)過一、二、三象限，二次函數(shù)開口向上，頂點在y軸的負半軸，B不符合，C符合要求；當時，一次函數(shù)經(jīng)過一、二、四象限，二次函數(shù)開口向上，頂點在y軸的正半軸，A、D選項均不符合；故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象及一次函數(shù)的圖象的知識，解題的關(guān)鍵是能夠?qū)ο禂?shù)的符號進行分類討論，難度較小．3．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考二模）若把二次函數(shù)（）的圖象向左平移4個單位或向右平移1個單位后都會經(jīng)過原點，此二次函數(shù)圖象的對稱軸是（

）A．直線 B．直線 C．直線 D．直線【答案】D【分析】先將一般式化成頂點式，然后分別求出平移后的函數(shù)解析式為，，將代入整理得，，得，解得，進而可得對稱軸．【詳解】解：，向左平移4個單位的函數(shù)解析式為，將代入整理得，向右平移１個單位的函數(shù)解析式為，將代入整理得，得，解得，∴，∴二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線，故選：D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，二次函數(shù)的對稱軸．解題的關(guān)鍵在于寫出二次函數(shù)圖象平移后的函數(shù)解析式．4．（2023春·浙江·九年級階段練習(xí)）已知拋物線（是常數(shù)，且）過點如果當時，則；若時，則；則的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到正確的選項．【詳解】解：∵拋物線（是常數(shù)，且），當時，則，當時，則，∴當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減小，∴，∵當時，則，∴二次函數(shù)的最大值為：，∵拋物線（是常數(shù)，且）過點，∴拋物線的解析式為：，∵當時，則，∴拋物線（是常數(shù)，且）過點，∴，∴，故選．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖像上點的坐標特征，明確題意是解題的關(guān)鍵．5．（2023·浙江·九年級專題練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖象如圖，有下列5個結(jié)論：①；②；③；④；⑤（的實數(shù)）其中正確結(jié)論有（

）個A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)圖象的開口方向，對稱軸，與軸的交點位置判斷①；根據(jù)圖象判斷時，函數(shù)值的符號，判斷②；根據(jù)對稱性，判斷時，函數(shù)值的符號，判斷③；結(jié)合對稱軸和特殊點判斷④；根據(jù)二次函數(shù)圖像的頂點判斷⑤，進而得出結(jié)論．【詳解】解：∵拋物線的開口向下，對稱軸為直線，與軸交于正半軸，∴，，，∴，∴；故①錯誤；由圖象可知：當時，對應(yīng)的函數(shù)值小于0，即：，∴；故②正確；∵拋物線的對稱軸為直線，∴和的函數(shù)值相同，即：，∵，∴；故③正確；∵，，∴，∴，即：；故④錯誤；∵拋物線開口向下，對稱軸為直線，∴當時，函數(shù)取得最大值為，∴，∴；故⑤正確；綜上：正確的有個；故選B．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象與二次函數(shù)解析式的系數(shù)之間的關(guān)系．熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的思想進行求解，是解題的關(guān)鍵．6．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）已知y關(guān)于x的二次函數(shù)，下列結(jié)論中正確的序號是（

）①當時，函數(shù)圖象的頂點坐標為；②當m≠0時，函數(shù)圖象總過定點：③當時，函數(shù)圖象在x軸上截得的線段的長度大于；④若函數(shù)圖象上任取不同的兩點、，則當時，函數(shù)在時一定能使成立．A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④【答案】A【分析】求出當時，二次函數(shù)圖象的頂點坐標即可判斷①；當m≠0時，二次函數(shù)，當時，y的值與m無關(guān)，求出x的值，即可得到定點，即可判斷②；求出，函數(shù)圖象在x軸上截得的線段的長度大于；即可判斷③；當時，拋物線的對稱軸為，則拋物線開口向下，當時，只有當對稱軸在右側(cè)時，y才隨x的增大而減小，即成立，即可判斷④．【詳解】解：當時，二次函數(shù)，此時函數(shù)圖象的頂點坐標為，故①正確；當m≠0時，二次函數(shù)，當時，y的值與m無關(guān)，此時，，當時，，當時，，∴函數(shù)圖象總過定點，：故②正確；當時，，∵，∵，∴，∴當時，∴，∴函數(shù)圖象在x軸上截得的線段的長度大于；故③正確；函數(shù)圖象上任取不同的兩點、，則當時，拋物線的對稱軸為，∴拋物線開口向下，當時，只有當對稱軸在右側(cè)時，y才隨x的增大而減小，即成立，故④錯誤，綜上可知，正確的是①②③，故選：A【點睛】此題考查了拋物線與x軸的交點，主要考查了函數(shù)圖象上的點的坐標特征，要求非常熟悉函數(shù)與坐標軸的交點、頂點等坐標的求法及這些點代表的意義及函數(shù)特征．二、填空題7．（2022秋·浙江紹興·九年級校考期中）在同一坐標系中畫出函數(shù)和的圖象，試寫出這兩個函數(shù)的圖象都具有的一個性質(zhì)______．【答案】對稱軸都為（答案不唯一）【分析】首先畫出兩個函數(shù)的圖象，然后根據(jù)圖象求解即可．【詳解】如圖所示，由圖象可得，兩個函數(shù)的圖象的對稱軸都為，故答案為：對稱軸都為（答案不唯一）．【點睛】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．8．（2019秋·浙江·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）拋物線的圖象如圖，當x____________時，y0．【答案】【分析】由圖觀察得出y=0時所對的x的值，再根據(jù)開口方向，從而確定y0時，x的取值范圍.【詳解】由圖觀察得出y=0時，x=1或x=3，又知開口向上，則y0時，.【點睛】本題是對二次函數(shù)圖像的考查，準確找到而從函數(shù)零點位置是解決本題的關(guān)鍵，難度較小.9．（2023秋·浙江湖州·九年級統(tǒng)考期末）若將二次函數(shù)的圖象向左平移個單位，再向下平移個單位，所得圖象的函數(shù)表達式為，則h=______；k=______．【答案】13【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的平移規(guī)則：左加右減、上加下減，即可得到答案．【詳解】解：二次函數(shù)的圖象向左平移個單位，再向下平移個單位，所得圖象的函數(shù)表達式為，，故答案為：1，3．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，熟練掌握二次函數(shù)圖象的平移規(guī)則：左加右減、上加下減是解題的關(guān)鍵．10．（2023秋·浙江·九年級期末）二次函數(shù)，當x滿足時，函數(shù)的最大值為，則m的值為__________.【答案】或3【分析】分x在對稱軸右側(cè)和左側(cè)兩種情況，分別求解即可．【詳解】由二次函數(shù)得：，拋物線開口向下，對稱軸是，如下圖所示，當時，有，解得或，當時，y隨x的增大而增大，時，y有最大值，，當時，y隨x的增大而減小，時，y有最大值，或．故答案為或3．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，分類討論函數(shù)在給定范圍內(nèi)的最大值是解題關(guān)鍵．11．（2022秋·浙江杭州·九年級杭州市錦繡中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知拋物線與直線交于兩點，則關(guān)于x的不等式的解集是____．【答案】【分析】根據(jù)圖象，寫出拋物線在直線上方部分的x的取值范圍即可．【詳解】解：∵拋物線與直線交于，∴不等式的解集是．故答案為．【點睛】本題考查了二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，主要利用了數(shù)形結(jié)合的思想，解題關(guān)鍵在于對圖像的理解，誰大誰的圖象在上面．12．（2022秋·浙江溫州·九年級?？茧A段練習(xí)）已知二次函數(shù)，當時，的取值范圍是_______．【答案】【分析】將二次函數(shù)解析式化為頂點式，根據(jù)拋物線開口方向及頂點坐標求解．【詳解】解：，拋物線開口向上，對稱軸為直線，頂點坐標為，將代入得，當時，的取值范圍是，故答案為：．【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．掌握二次函數(shù)與不等式的關(guān)系．13．（2023春·浙江杭州·九年級杭州市杭州中學(xué)校考階段練習(xí)）二次函數(shù)的最大值是___________，最小值是___________．【答案】51【分析】先把解析式配成頂點式得到，由于，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得時，y的值最大；當時，y有最小值，然后分別計算對應(yīng)的函數(shù)值．【詳解】解：，當時，y有最小值1，∵，∴時，y的值最大，最大值為5；當時，y有最小值1，故答案為：5；1．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的增減性，根據(jù)頂點式求出最小值．14．（2022秋·浙江寧波·九年級統(tǒng)考期中）如圖，拋物線與軸交于點，頂點坐標為，與軸的交點在之間（包含端點），則的取值范圍為___________．【答案】/【分析】首先把頂點坐標代入函數(shù)解析式得到，利用c的取值范圍可以求得a的取值范圍．【詳解】∵拋物線與軸交于點，對稱軸，∴拋物線與x軸的另一個交點坐標分別是，∴，∴，則．∵軸的交點在之間（包含端點），∴，∴，即．故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與x軸交點坐標與系數(shù)的關(guān)系．二次函數(shù)系數(shù)符號由拋物線開口方向、對稱軸、拋物線與y軸的交點拋物線與x軸交點的個數(shù)確定，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題15．（2022秋·浙江寧波·九年級校聯(lián)考期中）拋物線與y軸交點坐標是．(1)求出m的值并畫出這條拋物線；(2)求拋物線與x軸的交點和拋物線頂點的坐標；(3)當x取什么值時，y的值隨x值的增大而減?。俊敬鸢浮?1)，見解析(2)拋物線與x軸的交點為，頂點坐標為(3)當時，y的值隨x值的增大而減小【分析】（1）把代入解析式，可求出m的值，再畫出拋物線解析式，即可求解；（2）直接觀察拋物線圖象，即可求解；（3）直接觀察拋物線圖象，即可求解．【詳解】（1）解：∵與y軸交點坐標是，∴，∴拋物線的解析式為．列表如下：x013y0340函數(shù)圖象如圖∶（2）解：由函數(shù)圖象得，拋物線與x軸的交點為，頂點坐標為；（3）解：由函數(shù)圖象可知，當時，y的值隨x值的增大而減小．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考二模）已知拋物線經(jīng)過點，．(1)求拋物線解析式及對稱軸．(2)關(guān)于該函數(shù)在的取值范圍內(nèi)，有最小值，有最大值1，求m的取值范圍．【答案】(1)拋物線解析式為，對稱軸為；(2)【分析】（1）把點，，代入解析式，待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）根據(jù)題意畫出圖象，結(jié)合圖象即可求解．【詳解】（1）解：將點，代入拋物線，得，得，∴拋物線解析式為，對稱軸為：；（2）解：如圖，由拋物線的對稱性可畫出草圖，

由圖象可知：當時，y的最小值為，最小值為1，∴當時，對應(yīng)的函數(shù)的的最小值為，最小值為1，m的取值范圍為．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．（2022·模擬預(yù)測）已知二次函數(shù)．(1)用配方法將此函數(shù)化為的形式，并直接寫出該函數(shù)圖象的頂點坐標；(2)畫出此函數(shù)的圖象，并結(jié)合圖象直接寫出時的取值范圍．【答案】(1)，頂點坐標為(2)圖象見解析，【分析】（1）根據(jù)題意，化為頂點式即可求解；（2）根據(jù)頂點以及軸的交點，利用函數(shù)對稱性畫出函數(shù)圖象，結(jié)合函數(shù)圖象即可求解．【詳解】（1）解：即∴頂點坐標為（2）令，，解得：令，解得：如圖所示，根據(jù)函數(shù)圖象可知，當時，．【點睛】本題考查了畫二次函數(shù)圖象，頂點式，根據(jù)圖象求不等式的解集，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考一模）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點．(1)求該函數(shù)解析