專題01二次根式的定義及性質(原卷版+解析)(重點突圍)

專題01二次根式的定義及性質【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一二次根式的定義】 1【考點二二次根式有意義的條件】 2【考點三求二次根式的值】 3【考點四求二次根式中的參數(shù)】 4【考點五利用二次根式的性質化簡】 6【考點六復合二次根式的化簡】 7【過關檢測】 10【典型例題】【考點一二次根式的定義】例題：（2022·全國·八年級專題練習）下列各式中，一定是二次根式的是（

）A． B． C． D．【變式訓練】1．（2022春·四川遂寧·九年級射洪中學校聯(lián)考期中）下列式子是二次根式的有（

）個A．2 B．3 C．4 D．52．（2022春·福建漳州·八年級校聯(lián)考期中）給出下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中二次根式的個數(shù)是（

）A． B． C． D．【考點二二次根式有意義的條件】例題：（2022春·四川資陽·九年級統(tǒng)考期末）若代數(shù)式有意義，則x的取值范圍為______________．【變式訓練】1．（2022春·吉林長春·九年級長春外國語學校校考期末）若代數(shù)式有意義，則實數(shù)的取值范圍是___________．2．（2022春·上海普陀·八年級校考期中）如果二次根式有意義，那么應該滿足的條件是__________．【考點三求二次根式的值】例題：（2022秋·浙江溫州·八年級校考期中）當x＝2時，二次根式的值是_____．【變式訓練】1．（2022春·四川資陽·九年級統(tǒng)考期末）當時，二次根式的值是_________．2．（2021秋·湖北荊門·八年級?？茧A段練習）已知，則________．【考點四求二次根式中的參數(shù)】例題：（2022春·福建泉州·九年級?？计谥校┤绻且粋€整數(shù)，那么最小正整數(shù)___________．【變式訓練】1．（2022春·四川達州·八年級?？计谥校┮阎欣頂?shù)滿足，則的值是______.2．（2022春·八年級課時練習）已知n是正整數(shù)，是整數(shù)，則滿足條件的所有n的值為__________．【考點五利用二次根式的性質化簡】例題：（2022秋·上海閔行·七年級校考階段練習）計算：______．【變式訓練】1．（2022春·北京·八年級?？计谥校┗啠篲_____，______．2．（2022秋·八年級課時練習）化簡：(1)．(2)．(3)．【考點六復合二次根式的化簡】例題：（2022秋·安徽六安·八年級?？计谥校╅喿x材料：把根式進行化簡，若能找到兩個數(shù)，是且，則把變成開方，從而使得化簡．例如：化簡解：∵∴；請你仿照上面的方法，化簡下列各式：(1)；(2)【變式訓練】1．（2022春·廣東佛山·八年級?？计谥校┫乳喿x材料，然后回答問題(1)肖戰(zhàn)同學在研究二次根式的化簡時，遇到了一個問題，化簡經(jīng)過思考，肖戰(zhàn)解決這個問題的過程如下，①②③④在上述化簡過程中，第______步出現(xiàn)了錯誤，化簡的正確結果為_____________(2)根據(jù)上述材料中得到的啟發(fā)，化簡﹒【過關檢測】一、選擇題1．（2022春·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考期末）若二次根式有意義，則x的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2022春·河南駐馬店·九年級統(tǒng)考期中）下列式子一定是二次根式的是（

）A． B． C． D．3．（2022春·內蒙古烏蘭察布·八年級?？计谀┮故阶佑幸饬x，x的取值范圍是（）A． B．且 C．且 D．且4．（2022春·河北邯鄲·九年級統(tǒng)考期中）已知是整數(shù)，則正整數(shù)n的最小值為（）A．2 B．3 C．4 D．55．（2022春·四川資陽·九年級統(tǒng)考期末）已知實數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡：的結果為（

）A．2 B．-2 C．2a-6 D．-2a+6二、填空題6．（2022春·上海寶山·八年級?？计谥校┊敃r，化簡__________．7．（2022春·北京海淀·八年級校考期末）若有意義，則能取的最小整數(shù)是______．8．（2022春·重慶渝中·八年級重慶巴蜀中學校考階段練習）若兩不等實數(shù)a，b滿足，，則的值為_____．9．（2022·八年級單元測試）已知a，b都是實數(shù)，，則的值為___________．10．（2022秋·八年級課時練習）填空：（1）___________，___________，___________，___________．（2）數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖，則___________．三、解答題11．（2022春·全國·八年級專題練習）化簡：(1)(2)(3)12．（2021春·福建泉州·八年級福建省安溪第一中學?？计谥校┮阎猘，b，c在數(shù)軸上對應點的位置如圖所示，化簡：．13．（2022秋·安徽合肥·八年級?？计谥校┯^察下列等式：①②③(1)根據(jù)等式規(guī)律寫出第④個等式，并驗證其正確性：______．(2)猜想第個等式，并證明．14．（2022秋·湖北孝感·八年級統(tǒng)考期中）觀察下列等式：①；②；③；④；……(1)請按規(guī)律寫出第5個式子；(2)請按規(guī)律寫出第n個式子，并予以證明；15．（2022秋·甘肅天水·七年級期末）觀察下列各式及其驗證過程：，驗證：；，驗證：．(1)按照上述兩個等式及其驗證過程的基本思路，猜想的變形結果，并進行驗證．(2)寫出用（為任意自然數(shù)，且）表示的等式反映上述各式的規(guī)律，并給出證明．16．（2022秋·八年級課時練習）填空：___________，___________；___________，___________；___________，___________．比較左右兩邊的式子，議一議：與有什么關系？當時，______；當時，___________．17．（2022秋·山東濟寧·八年級?？计谥校┫乳喿x材料，然后回答問題：(1)嘉淇同學在研究二次根式的化簡時，遇到了一個問題：化簡．經(jīng)過思考，嘉淇解決這個問題的過程如下：…①…②…③．…④上述化簡過程中，第______步出現(xiàn)了錯誤，正確的化簡結果為______；(2)請根據(jù)你從上述材料中得到的啟發(fā)，化簡．專題01二次根式的定義及性質【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一二次根式的定義】 1【考點二二次根式有意義的條件】 2【考點三求二次根式的值】 3【考點四求二次根式中的參數(shù)】 4【考點五利用二次根式的性質化簡】 6【考點六復合二次根式的化簡】 7【過關檢測】 10【典型例題】【考點一二次根式的定義】例題：（2022·全國·八年級專題練習）下列各式中，一定是二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二次根式的定義逐項分析即可．【詳解】解：A．的被開方數(shù)小于0，不是二次根式；B．當時，不是二次根式；C．的根指數(shù)是3，不是二次根式；D．是二次根式．故選D．【點睛】本題考查了二次根式的定義，形如的式子叫二次根式，熟練掌握二次根式成立的條件是解答本題的關鍵．【變式訓練】1．（2022春·四川遂寧·九年級射洪中學校聯(lián)考期中）下列式子是二次根式的有（

）個A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件，被開方數(shù)大于等于0，逐一判斷．【詳解】當時，是二次根式；是二次根式，不是二次根式，中，不是二次根式，，是二次根式，，是二次根式，∴，，是二次根式，共3個，故選：B．【點睛】本題考查的是二次根式有意義的條件，二次根式的定義（一般形如的代數(shù)式叫做二次根式）會判斷被開方數(shù)的正負是解答關鍵．2．（2022春·福建漳州·八年級校聯(lián)考期中）給出下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中二次根式的個數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二次根式的定義即可作出判斷．【詳解】解：①∵，∴是二次根式；②6不是二次根式；②∵，∴不是二次根式；④∵，∴，∴是二次根式；⑤∵，∴是二次根式；⑥是三次根式，不是二次根式．所以二次根式有3個．故選：B．【點睛】本題考查的是二次根式的定義，解題時，要注意：一般地，我們把形如的式子叫做二次根式．【考點二二次根式有意義的條件】例題：（2022春·四川資陽·九年級統(tǒng)考期末）若代數(shù)式有意義，則x的取值范圍為______________．【答案】【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件即可得出答案．【詳解】解：∵代數(shù)式有意義，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查二次根式有意義的條件，掌握二次根式的被開方數(shù)為非負數(shù)是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2022春·吉林長春·九年級長春外國語學校校考期末）若代數(shù)式有意義，則實數(shù)的取值范圍是___________．【答案】【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)解答即可．【詳解】解：根據(jù)題意，得，解得．故答案為：．【點睛】本題考查二次根式的定義，掌握二次根式的被開方數(shù)為非負數(shù)是解題的關鍵．2．（2022春·上海普陀·八年級校考期中）如果二次根式有意義，那么應該滿足的條件是__________．【答案】【分析】根據(jù)二次根式和分式有意義的條件，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：且，解得：．故答案為：．【點睛】本題主要考查了二次根式和分式有意義的條件，熟練掌握二次根式和分式有意義的條件是解題的關鍵．【考點三求二次根式的值】例題：（2022秋·浙江溫州·八年級校考期中）當x＝2時，二次根式的值是_____．【答案】2【分析】將x=2代入即可求解．【詳解】解：將x=2代入可得：．故答案為2．【點睛】本題主要考查了求二次根式的值，掌握二次根式的值的求法是解答本題的關鍵．【變式訓練】1．（2022春·四川資陽·九年級統(tǒng)考期末）當時，二次根式的值是_________．【答案】4【分析】把x=2代入二次根式計算可得答案．【詳解】解：∵x=2，∴==4．故答案為：4．【點睛】此題考查了二次根式的計算求值，解題的關鍵是正確代入數(shù)值計算．2．（2021秋·湖北荊門·八年級校考階段練習）已知，則________．【答案】【分析】根據(jù)二次根式的性質將原式進行化簡，注意要結合二次根式有意義的條件進行分情況討論【詳解】求解．解：∵，∴與同號，①當，時，原式；②當，時，原式，故答案為：．【點睛】此題考查了二次根式的性質，解題的關鍵是利用二次根式有意義的條件．【考點四求二次根式中的參數(shù)】例題：（2022春·福建泉州·九年級?？计谥校┤绻且粋€整數(shù)，那么最小正整數(shù)___________．【答案】2【分析】根據(jù)二次根式的定義，可得答案．【詳解】解：由二次根式是一個整數(shù)，那么正整數(shù)a最小值是2，故答案為：2．【點睛】本題考查了二次根式的定義，利用二次根式的性質是解題關鍵．【變式訓練】1．（2022春·四川達州·八年級?？计谥校┮阎欣頂?shù)滿足，則的值是______.【答案】【分析】將已知等式整理得，由a，b為有理數(shù)，得到，求出a，b的值，代入計算即可．【詳解】解：∵，∴，∵a，b為有理數(shù)，∴，解得，∴，故答案為：．【點睛】此題考查了求二次根式中的參數(shù)，將已知等式整理后得到對應關系，由此求出a，b的值是解題的關鍵．2．（2022春·八年級課時練習）已知n是正整數(shù)，是整數(shù)，則滿足條件的所有n的值為__________．【答案】或或【分析】先利用算數(shù)平方根有意義的條件求得正整數(shù)的取值范圍，然后令等于所有可能的平方數(shù)即可求解．【詳解】解：由題意得，解得，∵n是正整數(shù)，∴∴，∴，∴，∵是整數(shù)，∴或或或或，解得或或或或，∵n是正整數(shù)，∴或或，故答案為：或或【點睛】本題考查了算術平方根的性質，理解掌握被開方數(shù)是平方數(shù)時算術平方根才是整數(shù)是解題的關鍵．【考點五利用二次根式的性質化簡】例題：（2022秋·上海閔行·七年級?？茧A段練習）計算：______．【答案】##【分析】根據(jù)二次根式的性質直接求解即可得到答案．【詳解】解：由題意可得，，故答案為：．【點睛】本題考查二次根式的性質：，熟練掌握知識點是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2022春·北京·八年級?？计谥校┗啠篲_____，______．【答案】

【分析】根據(jù)二次根式的性質化簡求解即可．【詳解】解：，，故答案為：；．【點睛】本題考查二次根式的性質，會利用二次根式的性質正確化簡是解答的關鍵．2．（2022秋·八年級課時練習）化簡：(1)．(2)．(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先將被開方數(shù)的分子分母分別寫成平方的形式，再利用二次根式的性質化簡即可；（2）先將被開方數(shù)化成假分數(shù)，再將分母有理化即可；（3）直接將分母有理化即可．【詳解】（1）原式；（2）原式；（3）原式．【點睛】本題考查了二次根式的性質和化簡，熟練分母有理化的方法是解題的關鍵．【考點六復合二次根式的化簡】例題：（2022秋·安徽六安·八年級?？计谥校╅喿x材料：把根式進行化簡，若能找到兩個數(shù)，是且，則把變成開方，從而使得化簡．例如：化簡解：∵∴；請你仿照上面的方法，化簡下列各式：(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）仿照例題，根據(jù)，即可求解；（2）直接利用完全平方公式將原式變形進而得出答案．【詳解】（1）解：∵，；（2）解：．【點睛】本題考查了二次根式的性質，將被開方數(shù)化為平方的形式是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2022春·廣東佛山·八年級?？计谥校┫乳喿x材料，然后回答問題(1)肖戰(zhàn)同學在研究二次根式的化簡時，遇到了一個問題，化簡經(jīng)過思考，肖戰(zhàn)解決這個問題的過程如下，①②③④在上述化簡過程中，第______步出現(xiàn)了錯誤，化簡的正確結果為_____________(2)根據(jù)上述材料中得到的啟發(fā)，化簡﹒【答案】(1)④，(2)【分析】（1）由于，則可知在第④步化簡的時候出現(xiàn)錯誤，據(jù)此求出正確的化簡結果即可；（2）仿照題意進行化簡即可．【詳解】（1）解：①②③④，∴上述的化簡過程中，第④步出現(xiàn)了錯誤，正確的化簡結果為，故答案為：④，；（2）解：．【點睛】本題主要考查了化簡復合二次根式，正確理解題意掌握化簡復合二次根式的方法是解題的關鍵．【過關檢測】一、選擇題1．（2022春·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考期末）若二次根式有意義，則x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件即可解答．【詳解】解：二次根式有意義，，解得，故選：B．【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握和運用二次根式有意義的條件是解決本題的關鍵．2．（2022春·河南駐馬店·九年級統(tǒng)考期中）下列式子一定是二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次根式的定義：形如的式子逐項判斷即可．【詳解】解：A、缺少條件，不一定是二次根式，本選項不符合題意；B、為三次根式，不符合二次根式的定義，本選項不符合題意；C、，是二次根式，本選項符合題意；D、，缺少條件，不一定是二次根式，本選項符合題意．故選：C．【點睛】本題考查了二次根式的定義，熟知二次根式的概念是關鍵．3．（2022春·內蒙古烏蘭察布·八年級?？计谀┮故阶佑幸饬x，x的取值范圍是（）A． B．且 C．且 D．且【答案】B【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件和分式有意義的條件列出不等式，解不等式即可．【詳解】解：由題意得，，解得且，故B正確．故選：B．【點睛】本題主要考查了二次根式有意義的條件和分式有意義的條件，解題的關鍵是根據(jù)題意列出不等式．4．（2022春·河北邯鄲·九年級統(tǒng)考期中）已知是整數(shù)，則正整數(shù)n的最小值為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】根據(jù)是整數(shù)，，推出是完全平方數(shù)，設，得到，根據(jù)與同奇同偶，，，或，，得到，或，推出n的最小正整數(shù)值是2．【詳解】∵是整數(shù)，且，∴是完全平方數(shù)，設（m是正整數(shù)），則，∵與同奇同偶，∴，或，∴，或，∴，∴n的最小正整數(shù)值是2．故選：A．【點睛】本題主要考查了平方數(shù)，解決問題的關鍵是熟練掌握平方差公式分解因式，數(shù)的奇偶性，解方程組．5．（2022春·四川資陽·九年級統(tǒng)考期末）已知實數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡：的結果為（

）A．2 B．-2 C．2a-6 D．-2a+6【答案】A【分析】根據(jù)數(shù)軸即可確定a的范圍，然后根據(jù)絕對值和二次根式的性質得出，，再化簡即可．【詳解】解：根據(jù)數(shù)軸可以得到：，∴，，∴故選：A．【點睛】本題主要考查了二次根式的化簡，以及絕對值的性質，得出，是解題的關鍵．二、填空題6．（2022春·上海寶山·八年級?？计谥校┊敃r，化簡__________．【答案】【分析】根據(jù)二次根式的性質以及題目給出的x與y的關系進行化簡即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查的是二次根式的化簡，掌握二次根式的性質是解題的關鍵．7．（2022春·北京海淀·八年級校考期末）若有意義，則能取的最小整數(shù)是______．【答案】2【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件列出不等式，根據(jù)題意解答即可．【詳解】解：由題意得，，解得，，則m能取的最小整數(shù)值是2，故答案為：2．【點睛】本題考查的是二次根式有意義的條件，掌握二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)是解題的關鍵．8．（2022春·重慶渝中·八年級重慶巴蜀中學校考階段練習）若兩不等實數(shù)a，b滿足，，則的值為_____．【答案】4【分析】根據(jù)平方差公式以及完全平方公式可求出和，然后代入原式即可求出答案．【詳解】∵，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵∴∴原式＝．故答案為：4．【點睛】本題考查二次根式的混合運算，解題的關鍵是，本題屬于基礎題型．9．（2022·八年級單元測試）已知a，b都是實數(shù)，，則的值為___________．【答案】4【分析】直接利用二次根式有意義條件求出a，b的值代入求解即可．【詳解】解：由題意可得，，，解得，∴，∴，故答案為4．【點睛】本題考查二次根式有意義的條件，正確得出a的值，再代入求出b的值是解題的關鍵．10．（2022秋·八年級課時練習）填空：（1）___________，___________，___________，___________．（2）數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖，則___________．【答案】

1

3

##

4

【分析】（1）根據(jù)二次根式性質進行化簡即可；（2）根據(jù)點a在數(shù)軸上的位置關系得出，然后根據(jù)二次根式性質進行化簡即可．【詳解】解：（1）；；；；故答案為：1；3；；4．（2）根據(jù)數(shù)a在數(shù)軸上的位置可知，．故答案為：．【點睛】本題主要考查了二次根式的化簡，用數(shù)軸上的數(shù)表示有理數(shù)，解題的關鍵是熟練二次根式的性質．三、解答題11．（2022春·全國·八年級專題練習）化簡：(1)(2)(3)【答案】(1)2(2)(3)【分析】（1）先分母有理化，然后再計算乘法；（2）直接進行計算即可；（3）直接進行計算即可．（1）解：＝6×＝．（2）；（3）．【點睛】題目主要考查二次根式的化簡，熟練掌握運算法則是解題關鍵．12．（2021春·福建泉州·八年級福建省安溪第一中學?？计谥校┮阎猘，b，c在數(shù)軸上對應點的位置如圖所示，化簡：．【答案】【分析】由數(shù)軸上的信息可知，由此可得，再結合絕對值和二次根式的性質將絕對值符號和根號去掉，然后合并同類項即可【詳解】解：由數(shù)軸可知，∴，∴原式．【點睛】本題考查了數(shù)軸、二次根式的性質、絕對值的化簡以及整式的加減運算等知識，關鍵是確定絕對值符號里式子的符號．13．（2022秋·安徽合肥·八年級校考期中）觀察下列等式：①②③(1)根據(jù)等式規(guī)律寫出第④個等式，并驗證其正確性：______．(2)猜想第個等式，并證明．【答案】(1)(2)第個等式為：，證明見解析【分析】（1）根據(jù)前三個等式的規(guī)律直接求解即可；（2）根據(jù)前面等式規(guī)律，掌握變化與不變的量，猜想，對左邊式子通分，結合二次根式性質化簡即可證明．（1）解：由前三個等式的規(guī)律可知第個等式為：，故答案為：；（2）解：第個等式為：．證明：左邊右邊，．【點睛】本題考查等式規(guī)律，涉及到二次根式性質，根據(jù)已知，把握變化與不變的量是解決問題的關鍵．14．（2022秋·湖北孝感·八年級統(tǒng)考期中）觀察下列等式：①；②；③；④；……(1)請按規(guī)律寫出第5個式子；(2)請按規(guī)律寫出第n個式子，并予以證明；【答案】(1)(2)，證明見解析【分析】通過觀察類比總結出通用規(guī)律，兩個根式相等，第一個根式里面是整數(shù)加分數(shù)，第二個根式里面是分數(shù)，根式外面為整數(shù)，發(fā)現(xiàn)等式兩邊的整數(shù)和分數(shù)之間的關系，即可求解．（1）解：根據(jù)前四個已有數(shù)據(jù)分析即可得：第5個式子為；（2）解：由前幾個式子變化規(guī)律，第