2025屆安徽省阜陽市潁州區(qū)第三中學高三數學第一學期期末質量檢測模擬試題含解析

2025屆安徽省阜陽市潁州區(qū)第三中學高三數學第一學期期末質量檢測模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知拋物線：的焦點為，準線為，是上一點，直線與拋物線交于，兩點，若，則為()A． B．40 C．16 D．2．秦九韶是我國南宋時期的數學家，普州（現四川省安岳縣）人，他在所著的《數書九章》中提出的多項式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進的算法．如圖的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項式值的一個實例，若輸入的值為2，則輸出的值為A． B． C． D．3．若復數滿足，則的虛部為（）A．5 B． C． D．-54．某幾何體的三視圖如圖所示，若側視圖和俯視圖均是邊長為的等邊三角形，則該幾何體的體積為A． B． C． D．5．若點x,y位于由曲線x=y-2+1與x=3圍成的封閉區(qū)域內（包括邊界），則A．-3,1 B．-3,5 C．-∞,-36．將3個黑球3個白球和1個紅球排成一排，各小球除了顏色以外其他屬性均相同，則相同顏色的小球不相鄰的排法共有（）A．14種 B．15種 C．16種 D．18種7．已知橢圓：的左、右焦點分別為，，點，在橢圓上，其中，，若，，則橢圓的離心率的取值范圍為（）A． B．C． D．8．已知函數．下列命題：①函數的圖象關于原點對稱；②函數是周期函數；③當時，函數取最大值；④函數的圖象與函數的圖象沒有公共點，其中正確命題的序號是（）A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②④9．已知向量，，設函數，則下列關于函數的性質的描述正確的是A．關于直線對稱 B．關于點對稱C．周期為 D．在上是增函數10．已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上,平面,是邊長為的等邊三角形,若球的表面積為,則直線與平面所成角的正切值為()A． B． C． D．11．設函數，則使得成立的的取值范圍是（）．A． B．C． D．12．已知集合，，則=()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某中學數學競賽培訓班共有10人，分為甲、乙兩個小組，在一次階段測試中兩個小組成績的莖葉圖如圖所示，若甲組5名同學成績的平均數為81，乙組5名同學成績的中位數為73，則x-y的值為________．14．若點為點在平面上的正投影，則記.如圖，在棱長為1的正方體中，記平面為，平面為，點是線段上一動點，.給出下列四個結論：①為的重心；②；③當時，平面；④當三棱錐的體積最大時，三棱錐外接球的表面積為.其中，所有正確結論的序號是________________.15．設隨機變量服從正態(tài)分布,若，則的值是______．16．已知平面向量與的夾角為，，，則________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數列的前項和為，.（1）求數列的通項公式；（2）若，為數列的前項和.求證：.18．（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，且PA=AD，E，F分別是棱AB，PC的中點.求證：（1）EF//平面PAD；（2）平面PCE⊥平面PCD．19．（12分）設前項積為的數列，（為常數），且是等差數列.（Ｉ）求的值及數列的通項公式；（Ⅱ）設是數列的前項和，且，求的最小值.20．（12分）從拋物線C：（）外一點作該拋物線的兩條切線PA、PB（切點分別為A、B），分別與x軸相交于C、D，若AB與y軸相交于點Q，點在拋物線C上，且（F為拋物線的焦點）.（1）求拋物線C的方程；（2）①求證：四邊形是平行四邊形.②四邊形能否為矩形？若能，求出點Q的坐標；若不能，請說明理由.21．（12分）如圖，在直棱柱中，底面為菱形，，，與相交于點，與相交于點.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成的角的正弦值.22．（10分）已知函數（1）若恒成立，求實數的取值范圍；（2）若方程有兩個不同實根，，證明：．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

如圖所示，過分別作于，于，利用和，聯立方程組計算得到答案.【詳解】如圖所示：過分別作于，于.，則，根據得到：，即，根據得到：，即，解得，，故.故選：.【點睛】本題考查了拋物線中弦長問題，意在考查學生的計算能力和轉化能力.2、C【解析】

由題意，模擬程序的運行，依次寫出每次循環(huán)得到的，的值，當時，不滿足條件，跳出循環(huán)，輸出的值．【詳解】解：初始值，，程序運行過程如下表所示：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，跳出循環(huán)，輸出的值為其中①②①—②得．故選：．【點睛】本題主要考查了循環(huán)結構的程序框圖的應用，正確依次寫出每次循環(huán)得到，的值是解題的關鍵，屬于基礎題．3、C【解析】

把已知等式變形，再由復數代數形式的乘除運算化簡得答案．【詳解】由（1+i）z＝|3+4i|，得z，∴z的虛部為．故選C．【點睛】本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數的基本概念，是基礎題．4、C【解析】

由三視圖可知，該幾何體是三棱錐，底面是邊長為的等邊三角形，三棱錐的高為，所以該幾何體的體積，故選C．5、D【解析】

畫出曲線x=y-2+1與x=3圍成的封閉區(qū)域，y+1x-2表示封閉區(qū)域內的點(x,y)【詳解】畫出曲線x=y-2+1與y+1x-2表示封閉區(qū)域內的點(x,y)和定點P(2,-1)設k=y+1x-2，結合圖形可得k≥k由題意得點A,B的坐標分別為A(3,0),B(1,2)，∴kPA∴k≥1或k≤-3，∴y+1x-2的取值范圍為-∞,-3故選D．【點睛】解答本題的關鍵有兩個：一是根據數形結合的方法求解問題，即把y+1x-26、D【解析】

采取分類計數和分步計數相結合的方法，分兩種情況具體討論，一種是黑白依次相間，一種是開始僅有兩個相同顏色的排在一起【詳解】首先將黑球和白球排列好，再插入紅球.情況1：黑球和白球按照黑白相間排列（“黑白黑白黑白”或“白黑白黑白黑”），此時將紅球插入6個球組成的7個空中即可，因此共有2×7=14種；情況2：黑球或白球中僅有兩個相同顏色的排在一起（“黑白白黑白黑”、“黑白黑白白黑”、“白黑黑白黑白”“白黑白黑黑白”），此時紅球只能插入兩個相同顏色的球之中，共4種.綜上所述，共有14+4=18種.故選：D【點睛】本題考查排列組合公式的具體應用，插空法的應用，屬于基礎題7、C【解析】

根據可得四邊形為矩形,設,,根據橢圓的定義以及勾股定理可得,再分析的取值范圍,進而求得再求離心率的范圍即可.【詳解】設,,由,,知,因為,在橢圓上,,所以四邊形為矩形,；由,可得,由橢圓的定義可得,①,平方相減可得②,由①②得；令,令,所以,即,所以,所以,所以,解得.故選：C【點睛】本題主要考查了橢圓的定義運用以及構造齊次式求橢圓的離心率的問題,屬于中檔題.8、A【解析】

根據奇偶性的定義可判斷出①正確；由周期函數特點知②錯誤；函數定義域為，最值點即為極值點，由知③錯誤；令，在和兩種情況下知均無零點，知④正確.【詳解】由題意得：定義域為，，為奇函數，圖象關于原點對稱，①正確；為周期函數，不是周期函數，不是周期函數，②錯誤；，，不是最值，③錯誤；令，當時，，，，此時與無交點；當時，，，，此時與無交點；綜上所述：與無交點，④正確.故選：.【點睛】本題考查函數與導數知識的綜合應用，涉及到函數奇偶性和周期性的判斷、函數最值的判斷、兩函數交點個數問題的求解；本題綜合性較強，對于學生的分析和推理能力有較高要求.9、D【解析】

當時,,∴f(x)不關于直線對稱；當時,,∴f(x)關于點對稱；f(x)得周期，當時,,∴f(x)在上是增函數．本題選擇D選項.10、C【解析】

設為中點,先證明平面，得出為所求角,利用勾股定理計算,得出結論．【詳解】設分別是的中點平面是等邊三角形又平面為與平面所成的角是邊長為的等邊三角形，且為所在截面圓的圓心球的表面積為球的半徑平面本題正確選項：【點睛】本題考查了棱錐與外接球的位置關系問題，關鍵是能夠通過垂直關系得到直線與平面所求角，再利用球心位置來求解出線段長，屬于中檔題．11、B【解析】

由奇偶性定義可判斷出為偶函數，由單調性的性質可知在上單調遞增，由此知在上單調遞減，從而將所求不等式化為，解絕對值不等式求得結果.【詳解】由題意知：定義域為，，為偶函數，當時，，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，則在上單調遞減，由得：，解得：或，的取值范圍為.故選：.【點睛】本題考查利用函數的單調性和奇偶性求解函數不等式的問題；奇偶性的作用是能夠確定對稱區(qū)間的單調性，單調性的作用是能夠將函數值的大小關系轉化為自變量的大小關系，進而化簡不等式.12、C【解析】

計算，，再計算交集得到答案.【詳解】，，故.故選：.【點睛】本題考查了交集運算，意在考查學生的計算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據莖葉圖中的數據，結合平均數與中位數的概念，求出x、y的值.【詳解】根據莖葉圖中的數據，得：甲班5名同學成績的平均數為，解得；又乙班5名同學的中位數為73，則；.故答案為：.【點睛】本題考查莖葉圖及根據莖葉圖計算中位數、平均數，考查數據分析能力，屬于簡單題.14、①②③【解析】

①點在平面內的正投影為點，而正方體的體對角線與和它不相交的的面對角線垂直，所以直線垂直于平面，而為正三角形，可得為正三角形的重心，所以①是正確的；②取的中點，連接，則點在平面的正投影在上，記為，而平面平面，所以，所以②正確；③若設，則由可得，然后對應邊成比例，可解，所以③正確；④由于，而的面積是定值，所以當點到平面的距離最大時，三棱錐的體積最大，而當點與點重合時，點到平面的距離最大，此時為棱長為的正四面體，其外接球半徑，則球，所以④錯誤.【詳解】因為，連接，則有平面平面為正三角形，所以為正三角形的中心，也是的重心，所以①正確；由平面，可知平面平面，記，由，可得平面平面，則，所以②正確；若平面，則，設由得，易得，由，則，由得，，解得，所以③正確；當與重合時，最大，為棱長為的正四面體，其外接球半徑，則球，所以④錯誤.故答案為：①②③【點睛】此題考查立體幾何中的垂直、平行關系，求幾何體的體積，考查空間想象能力和推理能力，屬于難題.15、1【解析】

由題得，解不等式得解.【詳解】因為，所以，所以c=1.故答案為1【點睛】本題主要考查正態(tài)分布的圖像和性質，意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.16、【解析】

根據已知求出，利用向量的運算律，求出即可.【詳解】由可得，則，所以.故答案為:【點睛】本題考查向量的模、向量的數量積運算，考查計算求解能力，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析【解析】

（1）利用求得數列的通項公式.（2）先將縮小即，由此結合裂項求和法、放縮法，證得不等式成立.【詳解】（1）∵，令，得.又，兩式相減，得.∴.（2）∵.又∵，，∴.∴.∴.【點睛】本小題主要考查已知求，考查利用放縮法證明不等式，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于中檔題.18、（1）見解析；（2）見解析【解析】

（1）取的中點構造平行四邊形，得到，從而證出平面；（2）先證平面，再利用面面垂直的判定定理得到平面平面．【詳解】證明：（1）如圖，取的中點，連接，，是棱的中點，底面是矩形，，且，又，分別是棱，的中點，，且，，且，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面；（2），點是棱的中點，，又，，平面，平面，，底面是矩形，，平面，平面，且，平面，又平面，，，，又平面，平面，且，平面，又平面，平面平面．【點睛】本題主要考查線面平行的判定，面面垂直的判定，首選判定定理，是中檔題．19、（Ⅰ），；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）當時，由，得到，兩邊同除以，得到.再根據是等差數列.求解.（Ⅱ），根據前n項和的定義得到，令，研究其增減性即可.【詳解】（Ⅰ）當時，，所以，即，所以.因為是等差數列.，所以，，令，，，所以，即；（Ⅱ），所以，，令，所以，，即，所以數列是遞增數列，所以，即.【點睛】本題主要考查等差數列的定義，前n項和以及數列的增減性，還考查了轉化化歸的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.20、（1）；（2）①證明見解析；②能，.【解析】

（1）根據拋物線的定義，求出，即可求拋物線C的方程；（2）①設，，寫出切線的方程，解方程組求出點的坐標.設點，直線AB的方程，代入拋物線方程，利用韋達定理得到點的坐標，寫出點的坐標，，可得線段相互平分，即證四邊形是平行四邊形；②若四邊形為矩形，則，求出，即得點Q的坐標.【詳解】（1）因為，所以，即拋物線C的方程是.（2）①證明：由得，.設，，則直線PA的方程為（?。瑒t直線PB的方程為（ⅱ），由（ⅰ）和（ⅱ）解得：，，所以.設點，則直線AB的方程為.由得，則，，所以，所以線段PQ被x軸平分，即被線段CD平分.在①中，令解得，所以，同理得，所以線段CD的中點坐標為，即，又因為直線PQ的方程為，所以線段CD的中點在直線PQ上，即線段CD被線段PQ平分.因此，四邊形是平行四邊形.②由①知，四邊形是平行四邊形.若四邊形是矩形，則，即，解得，故當點Q為，即為拋物