2022年山西省高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：立體幾何（附答案解析）

2022年山西省高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：立體幾何

1.如圖，在直四棱柱48C。-小Bi。。］中，底面48CQ為等腰梯形，AB=CD,AA\=AD

=2BC,ND4B=60°,A/,N分別為力i。，CG的中點(diǎn).

(1)證明：MN〃平面4BCD；

(2)求直線MN與平面MCO所成角的正弦值.

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2.如圖，在四棱錐S-488中，底面48co為矩形，為等腰直角三角形，SA=SD

=2V2,AB=2,戶是8c的中點(diǎn)，二面角S-40-8的大小等于120°.

(1)在4。上是否存在點(diǎn)E,使得平面SMJ_平面488,若存在，求出點(diǎn)￡的位置;

若不存在，請(qǐng)說明理由；

(2)求直線S/與平面S8C所成角的正弦值.

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3.如圖，三棱錐H-6C。中，△ECO為正三角形，平面EC。J_平面38,BC=DC=^BD

=2,M,N分別是線段EO和8。的中點(diǎn).

(I)求點(diǎn)C到平面5DE的距離；

(II)求直線EN與平面MCB所成角的正弦值.

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4.如圖，在三楂柱49C-/|8|Ci中，平面力MCCi_L平面48C,△48C和△/"C都是正

三角形，D是49的中點(diǎn)

(1)求證：8?！ㄆ矫?OC；

(2)求直線與平面。CG所成角的正切值.

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5.如圖，在等腰直角三角形力OP中，已知力=今4)=3,B,C分別是/尸，。尸上的點(diǎn)，

E是C。的中點(diǎn)，RBC//AD.現(xiàn)將△P8C沿8C折起，使得點(diǎn)尸在平面力8c。上的射影

為點(diǎn)、A.

(1)若5,C分別是力尸、OP的中點(diǎn)，求證：平面為C_L平面PCD

(2)請(qǐng)判斷是否存在一種折法,使得直線PR與平面ARCD所成角的余弦值是直線PR

與平面以E所成角的正弦值的"倍？若存在，求出的長；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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6.在直三棱柱/4C-44C1中，NBAC=90：AC=AB=AAi=2,設(shè)點(diǎn)M,N,尸分別是

AB,BC,BiCi的中點(diǎn).

(I)證明：44i〃平面尸MV；

(II)若。為44上的動(dòng)點(diǎn)，試判斷三棱錐尸-QMN的體積是否為定值？并說明理由.

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7.在多面體48CCM181中，四邊形為菱形，BC//B\C\,BC=^B\C\,A\C\=A\A,

ABA.B\C,ZB\BA=60c,平面/8功/1_L平面為5C.

(1)在棱48上是否存在點(diǎn)O,使得A8_L平面SOC?若存在，請(qǐng)給予證明；若不存在,

請(qǐng)說明理由.

(2)求二面角Ci-AC-8的正弦值.

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8.在四棱錐P-48C。中，側(cè)面以。_1?底面43C。，PA=AD=DC=6,AC=66/B=3,

8〃平面P4B,ZR4D=60°.

(I)求證：平面PCO_L平面P8C：

(II)求二面角P-BC-D的余弦值.

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9.如圖，已知四棱錐S-48CO的底面是邊長為2的正方形，且平面HO_L平面48。。，打，

N分別為棱.4。，8C的中點(diǎn)，SA=SD,SAVSD,P,。為側(cè)棱SZ）上的三等分點(diǎn)（點(diǎn)產(chǎn)

靠近點(diǎn)S）.

（1）求證：/W〃平面MQC；

（2）求多面體MPQCN的體積.

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10.如圖，四邊形中，△/8C是等腰直角三角形，ACLBC,是邊長為2的

正三角形，以4c為折痕，將4c?向上折疊到△O/C的位置，使點(diǎn)D在平面/8C內(nèi)

的射影在上，再將向下折疊到△￡4c的位置，使平面E4C_L平面48a形成

幾何體DABCE.

（1）點(diǎn)、F在BC上,若。尸〃平面口C,求點(diǎn)尸的位置；

（2）求直線48與平面所成角的余弦值.

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11.如圖，直三棱柱BCr-AHE中，。為E”的中點(diǎn)，AB=BF,BF_CF,AB=BF=CF=

2.

(I)求證：AFYBH,

(ID求平面力OC與平面45C所成角的余弦值.

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12.在如圖所示的幾何體中，四邊形48co是菱形，NAW=120°,AEl^ABCD,AE

//CF.

(1)求證：〃平面48E；

(2)若AD=AE=2CF=2,求該幾何體的表面積.

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13.如圖，在四棱錐P-48CQ中，△為。是等邊三角形，平面為平面48。，底面

力88是直角梯形，AD//BC,已知.40=280=4,ZBAD=60°.

(I)若E為為的中點(diǎn)，求證：8E〃平面PCQ：

(II)求二面角B-PC-D的正弦值.

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14.已知在平行四邊形力8CO中，AD=2,AB=V3,NADC=￡如圖，DE//CF,且DE

b

=3,CF=4,ZDCF=p且平面48CZ)_L平面CDEE

(I)求證：/C_L平面CDEF；

(II)求二面角D-AE-C的余弦值.

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15.如圖，已知四棱錐尸-4BCD中，AD//BC,AB=CD,AD=2BC=2PC=2,PD=W，

ZJDC=60°.

(1)求證：BPLCD；

(2)若BP=&,求直線PC與平面玄。所成角的正弦值.

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16.如圖，在四棱錐P-48CO中，△孫。是等邊三角形，平面為0_L平面4BC。，底面

488是直角梯形，AD//BC,已知.4D=28C=4,ZBAD=60Q.

(I)若E為為的中點(diǎn)，求證：〃平面PCQ；

(II)求四棱錐P-ABCD的體積.

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17.如圖，在直三棱柱48C-4出Ci中，AB=BC=AA\fABLBC,。為48的中點(diǎn)，E為

BC上一點(diǎn)，滿足CE=2E￡

(1)求證：4c〃平面8。&

(2)求二面角5i?/C?Ci的余弦值.

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18.已知在平行四邊形力BCD中，AD=2,AB=V3,NADC=%如圖，DE//CF,且。E

=3,CF=4,ZDCF=且平面48CZ)-L平面CDEH

(I)求證：彳C_L平面CDEF；

(II)求四棱錐尸-48CO的體積.

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19.如圖所示，在四棱錐E-MCZ)中，四邊形/8CO是直角梯形，48=/￡=8。=%。=1,

BC〃AD,平面48CD,40=90°,N為。石的中點(diǎn).

(1)求證：NC〃平面￡48；

(2)求二面角力?CN-。的余弦值.

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20.如圖，在多面體48CD瓦'中，四邊形48C。、四邊形彳CFE均為菱形，NBAD=NEAC

=120°.

(1)求證：平面8。尸_L平面/CFE；

(2)若BE=DE,求二面角C-8尸-E的余弦值.

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21.如圖所示，在三棱錐”CO中，AB=BC=BD=2,AD=2?NCBA=NCBD=^,點(diǎn)

E,尸分別為80的中點(diǎn).

(I)求證：平面/CQJ_平面8CE；

(II)求四面體CQE產(chǎn)的體積.

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22.如圖，在棱長為3的正方體中，過頂點(diǎn)5作平面a交44|于七點(diǎn)，交BBi于F點(diǎn)、,使

得出￡*=1,BF=\.

(I)求證：/C〃平面a；

(II)求點(diǎn)O到平面a的距離.

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23.已知△NBC,AB=BC,ZCBA=60°,沿著邊C3把△NBC進(jìn)行翻折，使平面力8。與

平面08c垂直，△D8C可由△48。翻折得到.回答下列問題.

(I)直線4c與平面48。所成角的余弦值；

(II)二面角A-BD-C的余弦值.

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24.如圖，四棱錐尸-48CQ,底面四邊形月8C。為梯形，且滿足力。=1,AB=CD=3,BC

=4且.4D〃bC,尸￡>_1底面/28.設(shè)平面以。與平面P8。的交戰(zhàn)為/.

(I)求/與平面PQC所成的角；

(II)已知尸0=1,求平面R18與平面P0C所成的銳二面角的余弦值.

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25.如圖，在三棱臺(tái)NBC-H8'C'中，已知平面488'A'J_平面力8C,ACX.BC.Z

CBA=*四邊形月54A,是等腰梯形，AB-ZA'B'-2BB',E,尸分別為月5,A'

C的中點(diǎn).

(1)求證：EF.LAC；

(2)求直線M與平面XCC'T所成角的正弦值.

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26.如圖，△ABC為正三角形，半圓。以線段8c為直徑，0是能上的動(dòng)點(diǎn)(不包括點(diǎn)比

C),平面平面88.

(1)是否存在點(diǎn)。，使得5Q_L4C?若存在，求出點(diǎn)。的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.

(2)若NCBD=30°,求二面角40-C的余弦值.

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27.如圖，△XBC是正三角形，D,E,尸分別是線段48,BC,力。的中點(diǎn)，現(xiàn)將△40戶和

△CEF分別沿著。尸，笈尸折起，使得4,。兩點(diǎn)在尸點(diǎn)重合，得到四棱錐尸-BE尸D.

(1)證明：平面08尺L平面8E尸。；

(2)設(shè)正三角形力8c的邊長為4,求三棱錐尸-P5E的體積.

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28.如圖，在四棱錐尸-488中，底面488為正方形，△%。為等邊三角形，平面為。

_L平面PCD.

(I)證明：直線CO_L平面以。；

(II)若48=2,0為線段產(chǎn)￡的中點(diǎn)，求三棱錐。PCD的體積.

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29.如圖，在四棱錐尸-48CO中，AD1AB,并且6C=24)=2J8=2,PM=烏,

點(diǎn)P在平面ABCD內(nèi)的投影恰為BD的中點(diǎn)M.

(I)證明：8PJL平面PCD；

(II)求點(diǎn)/到平面PC。的距離.

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30.如圖，在四棱錐尸-4BCD中，已知為_L平面48CZ),且四邊形488為直角梯形，Z

ABC-zlBAD=AD-2,AB-BC-V.

(1)當(dāng)四棱錐尸-48。。的體積為1時(shí)，求異面直線4c與尸。所成角的大??；

(2)求證：CD_L平面為C.

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31.如圖所示，在三棱錐力-BCD中，AB=BC=BD=2,AD=?W，NCBA=2CBD=q,

點(diǎn)E,尸分別為4D,8。的中點(diǎn).

(1)求證：小〃平面48C；

(II)求平面8CE與平面ZC尸所成銳二面角的余弦值.

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32.如圖，在四棱錐尸-48C。中，AD//BC,ADLAB,并且BC=2AD=24B,點(diǎn)P在平

面48co內(nèi)的投影恰為BD的中點(diǎn)M.

(I)證明：C0J?平面P8Q：

(II)若PM=4D,求直線必與。所成角的余弦值.

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33.如圖，在三棱錐尸-48C中，序_1_底面48C,△NBC是邊長為2的正三角形，側(cè)棱尸B

與底面所成的角為￡

4

(1)求三棱錐P-ABC的體積匕

(2)若。為P8的中點(diǎn)，求異面直線以與CQ所成角的大小.

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34.如圖1,在三棱柱小8Ci中，已知48_L/C,AB=AC=T,44]=2,且力4_1平

面49C,過出，C，5三點(diǎn)件平面截此三棱柱，械得一個(gè)三棱錐和一個(gè)四棱錐（如圖2）.

（I）求異面直線8a與44i所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)表示）;

（2）求四棱錐8-4。。出的體積和表面積.

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35.如圖，在矩形488中，將△4CZ）沿對(duì)角線4C折起，使點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)E的位置，且/E

工BE.

（1）求證：平面平面乂8C；

Q1rlJ

（2）若8c=3,三棱錐5-4EC的體積為手，求點(diǎn)E到平面/8C的距離.

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36.如圖，在直三棱柱44C-力向G中，是正三角形，點(diǎn)。在棱481上，旦89=

3B\D,點(diǎn)￡>為aCi的中點(diǎn).

(1)證明：平面小￡>EJ_平面BCCiBi；

(2)若BBT=30,48=2,求點(diǎn)C到平面小。6的距離.

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37.如圖所示，在直三棱柱力8C-小田。中，底面是等腰直角三角形，N4C8=90°,CA

=CB=CCi=2.息D,D分別是棱，4C,4cl的中點(diǎn).

(1)求證：D,B,Bi，D\四點(diǎn)共面；

(2)求直線BC\與平面DBB\D\所成角的大小.

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38.如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是等腰梯形,48〃8,CZ)=248=4,4。=V5,

△SCO是等腰直角三角形，SC=SD,SA=3.

(I)證明：平面SCO_L平面48CO；

(II)若平面SAD與平面SCB的交線為/,求二面角C-1-D的余弦值.

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39.如圖，在矩形片8c。中，將A/IC。沿對(duì)角線/C折起，使點(diǎn)0到達(dá)點(diǎn)E的位置，且4E

±5￡.

(1)求證：平面平面X8C；

(2)若EB=小,三棱錐8-NEC的體積為三求二面角E--8的余弦值.

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40.如圖，在三棱柱力8C-418cl中，P，。分別是441，C8上一點(diǎn)，且/1尸=2為］,CQ

=2QB.

(1)證明：/?！ㄆ矫鍯尸81；

(2)若三棱柱48c?4與。為直三棱柱，且/由=3,BC=BA=V15,AC=2?求點(diǎn)

B到平面CPBi的距離.

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41.如圖，在四棱錐尸-48CO中，底面力8co是正方形，AB=2,PO_L平面488，PB

與底面/8CO所成的角為45°,過4)的平面分別與P氏PC交于點(diǎn)￡F.

(I)求證：EF±DC；

2V2\PE\

(II)若二面角尸-40-E所成角的余弦值為一二，求舄的值,

3\EB\

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42.在四棱柱48CO-力山中，四邊形/18CO是平行四邊形，AA\=AC=\,NABC=

30°,BC=2,平面48為/iJL平面/區(qū)。＞,M,N分別為4C,N8的中點(diǎn).

(I)求證：MN〃平面小8。；

(H)若cosN/iC8=*,求二面角C-MN-。的余弦值.

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43.如圖所示，三棱柱中，平面力平面”C,44|_L/C,AA\=AB=

BC=2,D,d分別為,4C,,41cl的中點(diǎn)，口/區(qū)4c=30°.

(I)求證：DD\VBCx

(II)求二面角B\-DA\-Ci的余弦值.

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44.如圖，四棱錐尸-45CQ的底面為正方形，PC=PA=^PD=y[SAD.E,尸分別是口,

尸。的中點(diǎn).

（1）證明：E/LL平面PCZ）；

（II）求二面角A-CE-F的余弦值.

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45.如圖，在四棱錐尸-/BC0中，等邊三角形為。所在平面與梯形/8C。所在平面垂直,

且CD//AB,AD=BD=2,DC=/18=點(diǎn)G為4PAD的重心，AC與BD交于點(diǎn)M.

(1)求證：GM〃平面PC。；

(2)求點(diǎn)C到平面心。的距嘀.

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46.如圖，直三棱柱小8￡-48C中，AB=AC=\tZ.BAC=A\A=4,點(diǎn)”為線段由4

的中點(diǎn).

⑴求直三棱柱A\B\C\-ABC的體積;

（2）求異面直線6M與囪G所成的角的大小.（結(jié)果用反三角表示）

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47.如圖，已知直角梯形48CQ,BC//AD,BC=CD=2,AD=4,/BCD=90°,點(diǎn)E為

4D的中點(diǎn)，觀將三角形48E沿BE折疊，得到四棱錐其中NHEO=120°,

點(diǎn)M為40的中點(diǎn).

(1)求證：48〃平面EMC；

(2)若點(diǎn)N為8c的中點(diǎn)，求四面體HMN8的體積.

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48.如圖，在三棱錐尸-48c中，△/8C為正三角形，點(diǎn)。，E分別為AC,%的中點(diǎn)，其

中以=產(chǎn)8=4魚，PC=AC=4.

(1)證明：平面平面18C；

V6

(2)若點(diǎn)尸是線段AC上異于點(diǎn)0的一點(diǎn)，直線AE與平面8E/所成角的正弦值為二,

4

磷的值.

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49.如圖，在四棱錐尸-48C。中，四邊形48co是梯形，AB//CD,48_L8C，且乃1=尸。

=BC=CD=T,AB=2,PC-75.

(1)證明：8O_L平面均。；

(2)求直線40與平面06c所成角的正弦值.

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50.在四棱錐P-"CO中，PA=PC=2,底面”8是菱形，AB=2yf3,N48C=60°.

(I)求證：ACA-PBx

(II)求四棱錐P-ABCD的體積.

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2022年山西省高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：立體幾何

參考答案與試題解析

1.如圖，在直四棱柱/8C0-A曲C］。中，底面49CQ為等腰梯形，AB=CD,AA\=AD

=2BC,ZDAB=60°,M,N分別為由。，CG的中點(diǎn).

（1）證明：MN〃平面ABCD；

（2）求直線MN與平面MCQ所成角的正弦值.

【解答】解：（1）證明：連接力5,AC,

由題意知側(cè)面ADD\Ai是正方形，

為小。的中點(diǎn)，???”為加）1的中點(diǎn),

???義為CG的中點(diǎn)，:?MN〃AC,

???MNC平面43CO,4Cu平面N8CO,

???MN〃平面ABCD.

（2）過點(diǎn)4作。8_1_力。于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作。E〃力小，交小Di于點(diǎn)、E,

則OE_L平面力BCD,OE.LAD,OE1OB,

以。為原點(diǎn)，OB,OD,OE所在直線分別為“z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

如圖，設(shè)44i=4O=28C=4,

則出（0,-1,4）,C（V3,2,0）,D（0,3,0）,D\（0,3,4）,

5

)f\

2NV3『-2J

x22X

TV33TLT

.?.MN=(—,0),MC=(V3,1,-2),MD=(0,2,-2),

22

設(shè)平面A/CO的法向量為藐=(a,b,c),

則,阿.巴=V5a+b—2c=0,取kI,得蔡=(4,i,i)是平面MCZ)的一個(gè)法向

(M。jn=2b-2c=03

量,

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設(shè)直線MN與平面MCD所成角為0,

制.a2。

則sinO=七~=r-=-7-.

???直線用N與平面MCD所成角的正弦值為度.

7

2.如圖，在四棱錐中，底面48co為矩形，△相。為等腰直角三角形，SA=SD

=2打，48=2,尸是8C的中點(diǎn)，二面角S-4。-8的大小等于120°.

（1）在4。上是否存在點(diǎn)E,使得平面SM_L平面Z88,若存在，求出點(diǎn)E的位置；

若不存在，請(qǐng)說明理由；

（2）求直線S力與平面S8C所成角的正弦值.

【解答】解：（1）在線段4。上存在點(diǎn)E滿足題意，且E為的中點(diǎn).

如圖，連接EF,SE,SF,

:四邊形力38是矩形，???力3_1_4。，

又E、尸分別是力。、8。的中點(diǎn)，

:,EF〃AB,ADA,EF,

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為等腰直角三角形，SA=SD,E為力。的中點(diǎn),

:.SEL4D,

?:SECEF=E,SE、EFu平面S￡1產(chǎn)，

???4D_L平面SEF,

???/￡)<=平面/4C￡),；?平面SE產(chǎn)_L平面48C。，

故力。上存在中點(diǎn)E,使得平面SEF_L平面/BCD

(2)由(1)知，SE上RD,EFLAD,

，NS￡■廠為二面角S-4。-8的平面角，即NSE"=120°.

以E為原點(diǎn)，EA、即所在的直線分別為小y軸，作&J_平面力BCO,建立如圖所示的

空間直角坐標(biāo)系，

在等腰RtZXS%。中，SA=SD=2V2,：.AD=4,SE=2,

，S(0,-1,V3),A(2,0,0),B(2,2,0),C(-2,2,0),

：,SA=(2,1,-V3),SB=(2,3,-V3),SC=(-2,3,一百)，

設(shè)平面甌的法向量為;1=Q,y,z),則戶應(yīng)=°,即+3y-絲=0,

In-5C=01-2X4-3y-V3z=0

令歹=1,則x=0,z=V3,An=(0>1,V3)>

設(shè)直線SA與平面SBC所成角為0,

T—>

e--SZn1-3J?

則smO=|cos<SA,n>\=|-=\-===—\=彳，

\SA|n|V4+1+3X24

故直線SA與平面SBC所成角的正弦值為

3.如圖，三棱錐E-8CQ中，△ECQ為正三角形，平面ECD_L平面BCQ,BC=DC=^BD

=2,M,N分別是線段石。和8。的中點(diǎn).

(I)求點(diǎn)。到平面8DE的距離；

(II)求直線EV與平面MC8所成角的正弦值.

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￡

【解答】解：(I)???平面ECD_L平面88,且△EC。為正三角形，8=2,

點(diǎn)E到平面BCD的距離為代，

???8C=OC=￥8O=2,???△5CO是等腰直角三角形，

:?SdBCD=如C?OC=2.

在△8QE中，BE=BD=2A/2,DE=2,

:?SdBDE=x2xy/7=y/7.

設(shè)C到平面BDE的距離為d,

,**VE-BCD=VC-BDE>

Xy/3X2=:xdx>J7,解得d=

2\[21

故點(diǎn)C到平面BDE的距離為7一.

(ID以C為原點(diǎn)，CD、C8所在的直線分別為x、y軸，作Cz_L平面8CZ),建立如圖

所示的空間直角坐標(biāo)系，

則5(0,2,0),C(0,0,0),D(2,0,0),M0,—),￡(1,0,V3),N(1,

22

1,0),

TT3T

:,EN=(0,1,-V3),CM=(-,0,—),CB=(0,2,0),

22

(tr(3y[3

>5=0,即尹+2z=0,

n?CB=0(2y=0

令x=l,則歹=0,z=—V3,=(1?0,—V3),

設(shè)直線EN與平面MBC所成角為仇

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-?tENn33

則sin0=|cos<EN,n>|=|—~~-1=5-^=］，

|EN|-|n|NX/，

故直線EN與平面所成角的正弦值為；

4.如圖，在三棱柱48C-38cl中，平面由4CCi_L平面/8C,△/BC和△出4c都是正

三角形，。是48的中點(diǎn)

（1）求證：平面小OC；

（2）求直線48與平面。CG所成角的正切值.

【解答】（1）證明：連接4G，交出C于E,連接。E,

???四邊形4MCC］是平行四邊形，

???￡是力Ci的中點(diǎn)，

???。是48的中點(diǎn)，:.DE//BC1，

???。氏平面由。。，8cle平面小QC,

???8G〃平面小0c.

（2）解：取4c的中點(diǎn)0,連接力］。，B0,

和△力MC都是正三角形，：.A\0A.AC,B0A-AC,

,:平面A1ACC1I平面ABC,平面JiJCCiA平面ABC=AC,

???4O_L平面48C,：.A\O1BO,

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以。為原點(diǎn)，。8、。。、0/1所在直線分別為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

—V31

設(shè)4C=2,則4(0,-1,0),B(V3,0,0),C(0,1,0),D(―,一，0),C\(0,

22

2,V3/

A),=”

「T3

(

Co=--DC1=(-堪,

220),,G),

則pm=o,即j“W=。

設(shè)平面DCC\的法向量為n=(x,y,z),

n-DCi=01—彳％+9+^z=0

令x=3,則y=V5,z=-Ln=(3,V3,-1),

設(shè)直線NB與平面DCC\所成的角為e,則sin。=|cos<45,n>\=|--=|---|=

\AB\\n\2x7y9+3+1

2/3

7T5，

/.tan0=2\/3,

故直線AB與平面DCC\所成角的正切值為26.

5.如圖，在等腰直角三角形4QP中，己知力=錄AD=3fB,C分別是力P,。尸上的點(diǎn),

E是CO的中點(diǎn)，KBC//AD.現(xiàn)將△尸8c沿8C折起，使得點(diǎn)尸在平面上的射影

(1)若B,。分別是力P、。夕的中點(diǎn)，求證：平面以CJ_平面尸CD

(2)請(qǐng)判斷是否存在一種折法，使得直線PB與平面ABCD所成角的余弦值是直線PB

與平面處E所成角的正弦值的等倍？若存在，求出48的長；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【解答】(1)證明：???點(diǎn)尸在平面488上的射影為點(diǎn)4

，為平面力BCQ,

???CDu平面48CO,：.R41CD,

??,等腰RtZ\4DP,且。為QP的中點(diǎn),

/.JC±CD,

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'：PA^AC=A,PA.4Cu平面以C,

...CD_L平面PAC,

又CDu平面PC。，???平面R/C_L平面PCD

(2)解：：玄，平面48cZ),

???48尸為直線P8與平面48co所成的角，設(shè)其大小為a,則cosa=^

過點(diǎn)B作交AE于點(diǎn)、M,連接

???"_L平面/8m：.PALBM>

又4ECE4=4,AE,以u(píng)平面以區(qū)

，氏/1_平面PAE,

...N8PM為直線尸8與平面均￡所成的角，設(shè)其大小為0,則sin。二器，

???直線PB與平面788所成憑的余弦值是直線PB與平面PAE所成角的正弦值的拶倍,

O

cosa=^^sinp,即AB=

設(shè)(0VfV3),則卷，，DE=&CD=/D=^,

設(shè)ZDAE=G,

DE—

在△力QE中，由正弦定理知,

sinz.DAEsinZ.AED

得sine=Mcos6,

sindsin^—■-8)

*.*sin20+cos20=I>K06(0,

:?BM=i,

j2t2-12t+36

又BM=%,

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???rJ6二？=霜,化簡(jiǎn)整理得，2?+/-3=0,解得，=1或一，(舍負(fù))，

，2^~12￡+36V262

故當(dāng)AB=｛時(shí)，直線PB與平面ABCD所成角的余弦值是直線PB與平面PAE所成角的

正弦值的手倍.

6.在直三棱柱4中，ZBJC=90°,AC=4B=AAi=2,設(shè)點(diǎn)M,N,P分別是

AB,BC,81cl的中點(diǎn).

(I)證明：44〃平面PMM

(II)若。為441上的動(dòng)點(diǎn)，試判斷三棱錐P-QMN的體積是否為定值？并說明理由.

【解答】(I)證明：..?點(diǎn)M,N,尸分別是48,BC,41cl的中點(diǎn)，???PN〃C。,

又?；441〃8],:?AA\〃PN,

???44i6平面尸MMPNu平面PMN,

平面PA/N；

(II)解：如圖，連接力N,AP,

根據(jù)等體積法可知，Vp.QMN=VQ.PMN,

由(I)可知，441〃平面PMM

又。為力由上的動(dòng)點(diǎn)，/.VQ.PMN=VA-PMN=Vp-AMN，

S4AMN=2X1X1=2，

即Vp.QMN=VQ-PMN=VA-PMN=Vp-AMN=X2X1

???若0為441上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐P-QMN的體積定值點(diǎn)

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1

7.在多面體力BCCMiBi中，四邊形力小為菱形，BC//B\C\,BC=^B\C\,A\C\=A\A,

ABLBiC,ZB\BA=60°,平面_L平面力8c.

(1)在棱48上是否存在點(diǎn)。使得48_L平面8iOC?若存在，請(qǐng)給予證明；若不存在,

請(qǐng)說明理由.

(2)求二面角G?4C?8的正弦值.

【解答】解：(1)在棱48上存在點(diǎn)O(。為棱45的中點(diǎn))，使得48_L平面81OC.

理由如下：

連接/8i，???四邊形485Ml為菱形，且N8i54=60°,

???△川9山是等邊三角形，

又。為4?的中點(diǎn)，；.BiO1AB,

“8_L8C，B\OHBiC=Bif8iOu平面8|OC,8Cu平面

???48J_平面810c.

(2)由(1)知,4B_L平面8OC,：.ABLOC,

又平面488Mi_L平面ABC,平面ABBiAiC｝平面48c=48,

???OC_L平面488M1，0C_L5］。，

以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB,。。，OS所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

取81。的中點(diǎn)&連接力iE.CE,由題意知幾何體力8C-41B1E是三棱柱，

取出81中點(diǎn)。，連接。E,則。0。創(chuàng)/46，

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設(shè)A4i=2,貝ljO(0,0,0),力(-1,0,0),C(0,1,0),B\(0,0,V5),A\(-

2,0,V3),

：.OCX=0B1+5511+=0B1+2OA+2OC=(0,0,V3)+2(-1,0,0)+2(0,

1,0)=(-2,2,V3),

ACi(-2,2,V3),AC=(1,I,0),ACX=(-1,2,V3),

設(shè)平面4CC1的法向量瓶=(x，y,z),

則p^=%+y=。，取尸],得薪=(],?],V3),

m-AC]=—x+2y+\[3z=0

平面48c的一個(gè)法向量％=(0,0,1),

設(shè)一面角C1-4C-R的平面角為a

則30=黯=強(qiáng)Sin9=

V1O

???二面角Ci-AC-B的正弦值為《一.

8.在四棱錐P-48CQ中，側(cè)面以O(shè)_L底面48cZ),PA=AD=DC=6,AC=6^2,48=3,

C?！ㄆ矫嬉浴闦PAD=60°.

(I)求證：平面尸CO_L平面尸HC；

(II)求二面角P-BC-D的余弦值.

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【解答】解：(I)證明：VJD=DC=6,AC=6a,，/￡>2+。。2=%不，

???側(cè)面口。_L底面ABCD,側(cè)面以0n底面ABCD=AD,

???CZ)_L平面以O(shè),〈PQu平面玄。，：.CD±PDf

取PC和OC的中點(diǎn)分別為M和N,連接MMBM,

貝IJMN〃尸。，:,CD1MN,

〃平面以8,C?！ㄆ矫?88,平面玄BA平面/

:?CD〃AB,

??18=ND=3,???四邊形ABND為平行四邊形，

:?BN〃AD,:.CD1BN,

?:BNCMN=N,，。。_1平面8的，

??,8Mu平面8MN,:.CD1BM,

???8_1_平面以￡>,且以u(píng)平面以￡),

：.ABLPA,即△以8為直角三角形，PB=&2+32=3通,

*：PB=BC,且“是尸。的中點(diǎn)，???尸CLBM,

V/JCflCZ?=C,.??4A/_L平面PCD,

???8Mu平面尸8C,，平面PCZ)_L平面P8C.

(II)在△口。中，*：PA=AD=6,/以0=60°,

???△以。為等邊三角形，尸0=6,

取彳。的中點(diǎn)。，連接尸0,???尸。_L4Q,KP0=V62-32=3V3,

???平面為OJ?平面力8c。，平面均。n平面48co=力。，.?/。_1_平面/BCO,

過點(diǎn)尸作?”_L3C,交BC于點(diǎn)H,連接0”,

則NPHO即為三面角P-BC-D的平面角，

":PD=CD=6,CD±PD,???△PDC為等腰直角三角形，

PC=VCD2+PD2=V62+62=6A/2,

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???由(I)知PB=BC=3次,〃為尸C的中點(diǎn)，A5M1PC,

在RtA^A/C中，BM=>/BCz-MC2=J(36尸-(3V2)2=3V3,

在△P8C中，S"BC=JxxPC=-BC,

解得p〃=嚶，

,i?/DSPO373710

則msm/P"°F=返=丁

-s-

???Rt△尸〃。中，NPHO為銳角,

cosZPHO=乎，

V6

???二面角尸-BC-。的余弦值為了.

4

9.如圖，已知四棱錐S-48co的底面是邊長為2的正方形，且平面S/OJ■平面ABCD,M,

N分別為棱/。，3。的中點(diǎn)，SA=SD,SALSD,P,。為側(cè)棱SO上的三等分點(diǎn)(點(diǎn)尸

靠近點(diǎn)S).

(1)求證：PN〃平面MQC；

(2)求多面體A/P0CN的體積.

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s

【解答】證明：(1)如圖，連接M交CM于點(diǎn)心連接QR,

在正方形488中，???〃，N分別為8c的中點(diǎn)，，四邊形MNC。為矩形,

得R為的中點(diǎn)，

又。為尸。的中點(diǎn)，???PN〃少，

???0Ru平面M0C,PMt平面MQC,

；?PN〃平面MQC；

解：(2)連接SM,???加為NO的中點(diǎn)，SA=SD,