人教版九年級數(shù)學上冊《24.4弧長和扇形面積》同步測試題及答案

第第頁人教版九年級數(shù)學上冊《24.4弧長和扇形面積》同步測試題及答案任務一弧長公式的應用子任務1弧長公式的實際應用母題1圖中實線部分是半徑為9m的兩條等弧組成的游泳池.若每條弧所在的圓都經(jīng)過另一個圓的圓心,則游泳池的周長為()A.12πmB.18πmC.20πmD.24πm變式練1：中國高鐵的飛速發(fā)展,已成為中國式現(xiàn)代化建設的重要標志.如圖,這是高鐵線路在轉(zhuǎn)向處所設計的圓曲線(即圓弧),高鐵列車在轉(zhuǎn)彎時的曲線起點為A,曲線終點為B,過點A,B的兩條切線相交于點C,列車在從A到B行駛的過程中轉(zhuǎn)角α為60°.若圓曲線的半徑OA=1.8千米,則這段圓曲線AB的長為()A.π2千米 B.3πC.3π5千米 D.3π子任務2求圖形滾動問題中的路徑長母題2如圖,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,邊CD在直線l上,將矩形ABCD沿直線l做無滑動翻滾,當點A第一次翻滾到點A1位置時,點A經(jīng)過的路線長為.【關(guān)鍵點撥】變式練2：如圖,在菱形ABCD中,AB=2,∠C=60°,菱形ABCD在直線l上向右做無滑動的翻滾,每繞著一個頂點旋轉(zhuǎn)60°叫一次操作,則經(jīng)過45次這樣的操作,菱形中心O所經(jīng)過的路徑總長為.(結(jié)果保留π)任務二利用圓錐的側(cè)面展開圖求最短距離母題3如圖,有一圓錐形糧倉,其正視圖是邊長為4m的正△ABC,糧倉母線AC的中點P處有一老鼠正在偷吃糧食.此時,小貓正在點B處,它要沿圓錐側(cè)面到達點P處捕捉老鼠,則小貓經(jīng)過的最短路程為()A.5m B.35mC.6m D.25m變式練3：如圖,圓錐的底面半徑為2,母線AC的長為6,點D為AC的中點,一只螞蟻從底面的點B處出發(fā),沿著圓錐側(cè)面爬到D處,則螞蟻爬行的最短路線長為.任務三不規(guī)則圖形面積的求法子任務1等積變換法母題4如圖,A是半徑為1的☉O外的一點,OA=2,AB是☉O的切線,B是切點,弦BC∥OA,連接AC,則陰影部分的面積等于()A.2π9 B.C.π6+38 D.π【關(guān)鍵點撥】變式練4：如圖,AB是☉O的直徑,弦CD⊥AB,∠C=30°,CD=23,則陰影部分圖形的面積為()A.4π B.2πC.π D.2π子任務2割補法母題5如圖,在半徑為2,圓心角為90°的扇形內(nèi),以BC為直徑作半圓,交弦AB于點D,連接CD,則陰影部分的面積為()A.π-1 B.2π-1C.2π-2 D.π-2變式練5：如圖,在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=4,將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)30°后得到△ADE,點B經(jīng)過的路徑為BD,則圖中陰影部分的面積為.子任務3化零為整法母題6如圖,以四邊形ABCD各個頂點為圓心,1cm長為半徑畫弧,則圖中陰影部分的面積之和是cm2(結(jié)果保留π).變式練6：如圖,分別以五邊形ABCDE的頂點為圓心,1為半徑作五個圓,則圖中陰影部分的面積之和為()A.3π2 B.C.7π2 D.子任務4構(gòu)造法母題7如圖,正方形ABCD的邊長為1,分別以正方形的四個頂點為圓心,邊長為半徑,在正方形內(nèi)畫圓弧,求圖中陰影部分的面積.變式練7：山西著名工藝品平遙推光漆器外觀古樸雅致、閃光發(fā)亮,繪飾金碧輝煌,以手掌推出光澤而得名.圖1是平遙推光漆器的一種圖案,圖2是選取其某部分并且放大后的示意圖.四邊形ABCD是邊長為2的正方形,分別以正方形的四個頂點為圓心,12對角線的長為半徑畫弧,四條弧相交于點O,則圖中陰影部分的面積為()A.2π-4 B.π-2C.2π D.14任務四與圖形滾動有關(guān)的計算母題8歸納猜想:同學們,讓我們一起進行一次研究性學習.(1)如圖1,已知正三角形ABC的中心為O,半徑為R,將其沿直線l向右翻滾,當正三角形翻滾一周時,其中心O經(jīng)過的路程是多少?圖1(2)如圖2,將半徑為R的正方形沿直線l向右翻滾,當正方形翻滾一周時,其中心O經(jīng)過的路程是多少?圖2(3)猜想:如圖3,把半徑為R的正多邊形沿直線l翻滾一周,其中心O所經(jīng)過的路程是多少?請說明理由.圖3(4)進一步猜想:當將任意圓的內(nèi)接多邊形沿直線l翻滾一周時,其外心所經(jīng)過的路程是不是一個定值?為什么?請以任意三角形(如圖4)為例說明.圖4變式練8：如圖,正六邊形硬紙片ABCDEF在桌面上由圖1的起始位置沿直線l不滑行地翻滾一周后到圖2的位置,若正六邊形的邊長為2cm,求正六邊形的中心O運動的路程長.參考答案母題1D變式練1C提示:∵CA,CB是切線∴OA⊥AC,OB⊥CB,∴∠OAC=∠OBC=90°,∴∠AOB+∠ACB=180°,∵∠ACB+α=180°,∴∠AOB=α=60°,∴AB的長=60π×1.8180=3π5.母題26π提示:∵四邊形ABCD是矩形,AB=4,BC=3∴BC=AD=3,∠ADC=90°,對角線AC=BD=5.∵根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知,∠ADA'=90°,AD=A'D=BC=3∴點A第一次翻滾到點A'位置時,點A經(jīng)過的路線長為90π×3180=同理,點A'第一次翻滾到點A″位置時,點A'經(jīng)過的路線長為90π×4180=點A″第一次翻滾到點A1位置時,點A″經(jīng)過的路線長為90π×5180=則當點A第一次翻滾到點A1位置時,點A經(jīng)過的路線長為3π2+2π+5π2=故答案為6π.變式練2103π+5π提示:在菱形ABCD中,AB=2,∠C=60°所以第一、二次旋轉(zhuǎn)形成弧的半徑是3,圓心角是60°所以第一、二次旋轉(zhuǎn)的弧長和=60π×3180+60π×3180=2因為第三次旋轉(zhuǎn)形成弧的半徑是1,圓心角是60°所以第三次旋轉(zhuǎn)的弧長=60π×1180=因為一個周期為3所以45÷3=15所以菱形中心O所經(jīng)過的路徑總長為15×23π3+π3=故答案為103π+5π.母題3D提示:設圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為n.∵圓錐形糧倉的正視圖是邊長為4m的正△ABC∴圓錐的底面周長是4π,則4π=n∴n=180°,即圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是180°.在圓錐側(cè)面展開圖中,AP=2,AB=4,∠BAP=90°.∴BP=AB2+AP2=故小貓經(jīng)過的最短距離是25m.故選D.變式練333提示:把圓錐沿母線AB展開得到它的側(cè)面積為扇形BAB',C'點為弧BB'的中點,如圖設∠BAB'=n°根據(jù)題意得,2π×2=n°×π×6180°,解得∴∠BAC'=60°∴△BAC'為等邊三角形∵點D為AC的中點∴點D'為AC'的中點∴BD'⊥AC',∴AD'=3∴BD'=62-3∴螞蟻爬行的最短路線長為33.故答案為33.母題4B提示:如圖,連接OB,OC,過點O作OD⊥BC于點D.∵BC∥OA∴點A到BC的距離等于點O到BC的距離∴S△BOC=S△ABC∴陰影部分的面積=扇形OBC的面積.∵AB是☉O的切線∴OB⊥AB.∵OA=2,OB=OC=1∴∠OAB=30°∴∠AOB=60°.又∵BC∥OA∴∠OBC=∠AOB=60°∴△BOC為等邊三角形∴∠COB=60°∴扇形OBC的面積=60π×12∴陰影部分的面積為π6故選B.變式練4D母題5A提示:在Rt△ACB中,AB=22+22∵BC是半圓的直徑∴∠CDB=90°在等腰Rt△ACB中,CD垂直平分AB,CD=BD=2∴D為半圓的中點∴S陰影部分=S扇形ACB-S△ADC=14π×22-12×(2)2=π-故選A.變式練525π12提示:由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,△AED的面積=△ABC∴圖中陰影部分的面積=△AED的面積+扇形ADB的面積-△ABC的面積=扇形ADB的面積=30π×=25π12故答案為25π12母題6π變式練6C提示:n邊形的內(nèi)角和為(n-2)×180°圓形的空白部分的面積之和S=3×180π×12所以圖中陰影部分的面積之和為5π-3π2=7π故選C.母題7解:如圖,在圖中標注點E,連接BE,CE,并標注各部分的面積分別為m,n,陰影部分的面積為z由題意得4m+4n+z=12,①2m+n=12-π4×12,3m+2n=12-2×π6×12-12×32×1,由③-②得,m+n=33-π將④代入①得z=3+π?33變式練7A提示:正方形的對角線長為22+2扇形的半徑為222故兩塊空白部分的面積為22-12π×(2)2=4-所以四塊空白部分的面積為2(4-π)=8-2π所以陰影部分的面積為22-(8-2π)=2π-4.故選A.母題8解:(1)當正三角形ABC向右翻滾一周時,其中心O經(jīng)過的路線是三條圓心角為120°的等弧所以其中心O經(jīng)過的路程為120°πR180°×3=(2)當正方形ABCD向右翻滾一周時,其中心O經(jīng)過的路線是四條圓心角為90°的等弧所以其中心O經(jīng)過的路程為90°πR180°×4=(3)當正n邊形向右翻滾一周時,其中心O經(jīng)過的路線是n條圓心角為360°n所以其中心O經(jīng)過的路程為360°nπR(4)是定值2πR,理由如下:在△ABC中,設∠A=α,∠B=β,∠C=γ,△ABC的外接圓☉O的半徑為R,把△ABC沿直線l向右翻滾一周時,其外心O經(jīng)過的路線是三條弧,如圖,當AC邊與直線l重合時,點C與點C'重合,點A與點A'重合,點B與點B'重合,連接CO,C'O',則∠ACO=∠A'C'O',所以∠OCO'=∠ACA'=180°-γ,所