第03章-隨機(jī)過程和隨機(jī)場

第3章隨機(jī)過程和隨機(jī)場3.1隨機(jī)過程及其分布函數(shù)3.2隨機(jī)過程的數(shù)字特征3.3隨機(jī)場的概念3.4隨機(jī)場的數(shù)字特征3.5隨機(jī)場的局部平均理論3.6隨機(jī)場的離散3.1

隨機(jī)過程及其分布函數(shù) 隨機(jī)過程也可以給出另一形式的定義：如果對于每一個固定的t1

T，X(t1)都是隨機(jī)變量(稱為截口隨機(jī)變量)，那么就稱X(t)是一隨機(jī)過程。

或者說，隨機(jī)過程X(t)是依賴于時間t的一族隨機(jī)變量。并將X(t1)叫做隨機(jī)過程X(t)在t1時刻的狀態(tài)。

基于隨機(jī)過程是以時間t為參數(shù)的一組隨機(jī)變量，我們可以將n維隨機(jī)向量的研究推廣到隨機(jī)過程。3.1隨機(jī)過程及其分布函數(shù)3.1

隨機(jī)過程及其分布函數(shù) 設(shè)X(t)是一隨機(jī)過程，對于每一個固定的t1

T，X(t1)是一個隨機(jī)變量，它的分布函數(shù)一般與t1有關(guān)，記作

稱為隨機(jī)過程X(t)的一維概率分布函數(shù)。成立，則稱f1(x1，t1)為隨機(jī)過程X(t)的一維概率密度函數(shù)。（3-1）（3-2） 如果存在函數(shù)f1(x1，t1)使得3.1

隨機(jī)過程及其分布函數(shù)顯然，只討論一維分布不足以完整描述隨機(jī)過程，為此引入二維隨機(jī)變量(X(t1)，X(t2))的分布函數(shù)，它一般依賴于t1和t2，記作

稱為隨機(jī)過程X(t)的二維概率分布函數(shù)。成立，則稱為隨機(jī)過程的二維概率密度函數(shù)。（3-3）（3-4）如果存在函數(shù)f2(x1，x2；t1，t2)使

3.1

隨機(jī)過程及其分布函數(shù) 一般地，對于任意有限個時刻t1,t2,…,tn

T，將

稱為隨機(jī)過程X(t)的n維概率分布函數(shù)。使上式成立的函數(shù)fn稱為隨機(jī)過程X(t)的n維概率密度函數(shù)。（3-5）（3-6）3.1

隨機(jī)過程及其分布函數(shù) 隨機(jī)過程X(t)的一維概率分布、二維概率分布，…，n維概率分布的全體稱為隨機(jī)過程的分布函數(shù)族。

隨機(jī)過程按其狀態(tài)X(t1)(任意的t1

T)連續(xù)與否可分為連續(xù)型隨機(jī)過程和離散型隨機(jī)過程；若按隨機(jī)過程的概率分布函數(shù)或概率密度函數(shù)的不同特性分類，則可分為獨立隨機(jī)過程、馬爾可夫(Markov)過程、獨立增量過程和平穩(wěn)隨機(jī)過程等。1.時域數(shù)字特征

3.2隨機(jī)過程的數(shù)字特征 設(shè)X(t)是一隨機(jī)過程，固定t1,X(t1)是一個隨機(jī)變量，它的均值(或數(shù)學(xué)期望)一般與t1有關(guān)，記作

式中f1(x1，t1)是X(t)的一維概率密度函數(shù)，并稱mX(t)為隨機(jī)過程X(t)的均值。（3-7）3.2隨機(jī)過程的數(shù)字特征 均值mX(t)表示隨機(jī)過程X(t)在各個時刻的擺動中心，對于整個過程，mX(t)則表示了X(t)的所有樣本函數(shù)xi(t)的擺動中心的時域軌跡，如圖3-1所示：圖3-1隨機(jī)過程X(t)的方差定義為

方差的平方根σX(t)叫做隨機(jī)過程X(t)的標(biāo)準(zhǔn)差，它表示隨機(jī)（3-8）過程X(t)在時刻t對于均值mX(t)的偏離程度，見圖3-1。

3.2隨機(jī)過程的數(shù)字特征 設(shè)X(t1)和X(t2)是隨機(jī)過程X(t)在時刻t1和t2時的狀態(tài)，則

為隨機(jī)過程X(t)的自相關(guān)函數(shù),簡稱相關(guān)函數(shù)?？梢姡韵嚓P(guān)函數(shù)是概率密度函數(shù)的二階原點矩。（3-9）3.2隨機(jī)過程的數(shù)字特征類似地，將

稱為隨機(jī)過程X(t)的自協(xié)方差函數(shù)，簡稱協(xié)方差函數(shù)。它是概率密度函數(shù)的二階中心矩。顯然，在式(3-10)中令t1=t2=t，得

即同一時刻的自協(xié)方差函數(shù)就是該時刻的方差。（3-10）（3-11）3.2隨機(jī)過程的數(shù)字特征 在實際問題中，有時需要考慮兩個不同的隨機(jī)過程之間的概率特性，描述這一概率特性的數(shù)字特征是互相關(guān)函數(shù)和互協(xié)方差函數(shù)。 設(shè)X(t)，Y(t)為兩個隨機(jī)過程，則稱

為隨機(jī)過程X(t)和Y(t)的互相關(guān)函數(shù),

式中f11(x，t1；y，t2)為隨機(jī)過程X(t)和Y(t)的聯(lián)合概率密度函數(shù)。（3-12）3.2隨機(jī)過程的數(shù)字特征類似地，稱

為隨機(jī)過程X(t)和Y(t)的互協(xié)方差函數(shù)?；ハ嚓P(guān)函數(shù)描述兩個隨機(jī)過程在時域上的相關(guān)性，即表達(dá)了兩個隨機(jī)過程在不同時刻的概率相關(guān)程度。（3-13）3.2隨機(jī)過程的數(shù)字特征 如果隨機(jī)過程X(t)和Y(t)對于任意的t1和t2都有

則稱隨機(jī)過程X(t)和Y(t)是不相關(guān)的。 事實上，如果兩個隨機(jī)過程是相互獨立的，則它們必然不相關(guān)；但從不相關(guān)一般不能推出相互獨立的結(jié)論。不過，對于兩個正態(tài)過程而言，不相關(guān)與相互獨立是完全一致的。（3-14）3.2隨機(jī)過程的數(shù)字特征 協(xié)方差函數(shù)與相關(guān)函數(shù)之間存在如下關(guān)系：（3-15）（3-16）由上式可知，對于均值為零的隨機(jī)過程，相關(guān)函數(shù)與協(xié)方差函數(shù)相同。3.2隨機(jī)過程的數(shù)字特征 對于隨機(jī)過程X(t)，如果其均值等于常數(shù)，自相關(guān)函數(shù)僅僅是時間間隔τ=t2–t1的函數(shù)(而與t1，t2無關(guān))，即

則稱X(t)為寬平穩(wěn)過程,簡稱平穩(wěn)過程。對于嚴(yán)格要求有限維概率分布函數(shù)都不隨時間發(fā)生變化的一類過程稱為嚴(yán)平穩(wěn)過程。3.2隨機(jī)過程的數(shù)字特征 對于兩個平穩(wěn)過程X(t)和Y(t)，如果它們的互相關(guān)函數(shù)僅僅是時間間隔τ=t2–t1的函數(shù)(而與t1，t2無關(guān))，即

則稱X(t)和Y(t)是平穩(wěn)相關(guān)的。

（3-17）注意到過程的方差函數(shù)是以t1=t2=t為前提定義的，所以對于平穩(wěn)隨機(jī)過程，有

（3-18）3.2隨機(jī)過程的數(shù)字特征

平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)具有下列基本性質(zhì)：(a)對稱性：(b)非負(fù)定性：即對任意數(shù)組t1，t2，…，tn和任意函數(shù)g(t)，有

（3-19）（3-20）3.2隨機(jī)過程的數(shù)字特征(c)有界性：

上式表明，RX(τ)在RX(0)處取得極大值。(d)若隨機(jī)過程X(t)不包含周期分量，則有

（3-21）（3-22）3.2隨機(jī)過程的數(shù)字特征 典型的平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)曲線如圖所示。3.2隨機(jī)過程的數(shù)字特征2.頻域數(shù)字特征

功率譜密度是描述隨機(jī)過程統(tǒng)計規(guī)律的最主要的數(shù)字特征。 在一般意義上，功率譜密度是隨機(jī)過程協(xié)方差函數(shù)的付里葉譜分解的結(jié)果。但對于平穩(wěn)隨機(jī)過程，由于其均值為常數(shù),可以方便地化為均值為零的隨機(jī)過程，因此，其功率譜密度即為自相關(guān)函數(shù)的付里葉變換結(jié)果。3.2隨機(jī)過程的數(shù)字特征 平穩(wěn)隨機(jī)過程X(t)的自功率譜密度定義為如下的付里葉變換：其付里葉逆變換為

（3-23）（3-24）3.2隨機(jī)過程的數(shù)字特征 平穩(wěn)過程的自譜密度SX(ω)具有下列基本性質(zhì)：(a)SX(ω)為非負(fù)函數(shù)，即

(b)SX(ω)為實的偶函數(shù)，即

（3-25）（3-26）3.2隨機(jī)過程的數(shù)字特征 平穩(wěn)隨機(jī)過程X(t)和Y(t)的互相關(guān)函數(shù)RXY(τ)的付里葉變換稱為X(t)和Y(t)的互功率譜密度，定義為

顯然，其逆變換為

（3-27）（3-28）3.2隨機(jī)過程的數(shù)字特征3.2隨機(jī)過程的數(shù)字特征 平穩(wěn)過程的互譜密度SXY(ω)不再是實的、正的偶函數(shù)，但它具有以下性質(zhì)：(a) ，即SXY(ω)和SYX(ω)互為共軛函數(shù)。(b)Re[SXY(ω)]和Re[SYX(ω)]是ω的偶函數(shù)；Im[SXY(ω)]和Im[SYX(ω)]是ω的奇函數(shù)，這里的Re[]表示實部，Im[]表示虛部。3.2隨機(jī)過程的數(shù)字特征(c)互譜密度與自譜密度之間滿足以下不等式：（3-29） 隨機(jī)場是隨機(jī)過程的概念在空間域上的推廣。隨機(jī)過程X(t)的基本參數(shù)是時間變量t，而隨機(jī)場X(u)的基本參數(shù)是位置向量u=(x,y,z)。因此，隨機(jī)場可以視為定義在一個場域參數(shù)集上的隨機(jī)變量系。

對于場域參數(shù)集內(nèi)的任一點ui都有隨機(jī)變量X(ui)與其對應(yīng)。隨機(jī)變量X(ui)稱為隨機(jī)場X(u)在位置ui的狀態(tài)。3.3

隨機(jī)場的概念3.3隨機(jī)場的概念

隨機(jī)場處于離散狀態(tài)抑或連續(xù)狀態(tài)取決于隨機(jī)變量X(ui)是離散的或是連續(xù)的。顯然，若不考慮參數(shù)的物理意義，隨機(jī)過程即可視為一維隨機(jī)場。 理論上隨機(jī)場的參數(shù)集可以同時包含位置向量和時間變量，但在實際應(yīng)用中，一般只考慮僅包含位置向量的隨機(jī)場，并記為{X(u)；u

D

Rn}，其中D為X(u)的定義域(或場域)，Rn為n維歐幾里得空間。位置向量u可以包含一個、二個或三個分量，相應(yīng)地稱隨機(jī)場X(u)為一維、二維或三維隨機(jī)場。3.3隨機(jī)場的概念

隨機(jī)場的概率特性也可以用其n維分布函數(shù)族來描述，并將n維隨機(jī)向量的研究推廣應(yīng)用于隨機(jī)場。 對于任意有限個位置向量

稱為隨機(jī)場X(u)的n維概率分布函數(shù)。3.3隨機(jī)場的概念

使得下式

成立的函數(shù)fn稱為隨機(jī)場X(u)的n維概率密度函數(shù)。 在理論上可以通過隨機(jī)場的分布函數(shù)族來研究隨機(jī)場的概率特性，但不適用于實際應(yīng)用。因此，需要研究隨機(jī)場的數(shù)字特征。 設(shè)X(u)是一隨機(jī)場，固定u1，則X(u1)是一個隨機(jī)變量，其均值為

3.4隨機(jī)場的數(shù)字特征式中f1(x1，u1)是X(u)的一維概率密度函數(shù)。均值mX(u)表示隨機(jī)場X(u)所有樣本函數(shù)xi(u)的平均中心點的場域曲面。（3-30）3.4隨機(jī)場的數(shù)字特征

設(shè)X(u1)和X(u2)是隨機(jī)場X(u)在u1和u2的狀態(tài)，則

稱為隨機(jī)場X(u)的自相關(guān)函數(shù)，簡稱為相關(guān)函數(shù)。（3-31）3.4隨機(jī)場的數(shù)字特征

為隨機(jī)場X(u)的自協(xié)方差函數(shù)，簡稱為協(xié)方差函數(shù)。類似地，稱（3-32） 協(xié)方差函數(shù)與相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系為

（3-33）3.4隨機(jī)場的數(shù)字特征

一個隨機(jī)場，若任意平移位置坐標(biāo)，其所有的聯(lián)合概率分布函數(shù)保持不變，則稱該隨機(jī)場為均勻隨機(jī)場，或嚴(yán)格齊次隨機(jī)場。 在實際應(yīng)用中，一般只考慮隨機(jī)場的二階統(tǒng)計特性，因此，僅要求其具有二階均勻性。3.4隨機(jī)場的數(shù)字特征

一個隨機(jī)場，若滿足

mX(u)=常數(shù)(3-34)則稱此隨機(jī)場是廣義均勻的，或廣義齊次的。若無特別聲明，本書以后所述的隨機(jī)場均指這類隨機(jī)場，并稱之為二階均勻隨機(jī)場，或二階齊次隨機(jī)場。(3-35)3.4隨機(jī)場的數(shù)字特征

一個隨機(jī)場，對于任意的點組u1，u2

，…，um

D，如果繞通過原點的任一軸的旋轉(zhuǎn)變換使隨機(jī)場的聯(lián)合概率密度函數(shù)保持不變，則稱該隨機(jī)場為各向同性隨機(jī)場。若只考慮隨機(jī)場的二階統(tǒng)計特性，在滿足式(3-34)和(3-35)的條件下還滿足

則稱該隨機(jī)場是廣義各向同性隨機(jī)場。可見這類隨機(jī)場的概率特性與方向無關(guān)，而只與距離有關(guān)。

(3-36) 對于均勻隨機(jī)場，可以將其定義的空間區(qū)域劃分為若干個隨機(jī)場單元，再將連續(xù)的隨機(jī)場離散為隨機(jī)變量集合，以便在隨機(jī)有限元法中應(yīng)用。 在討論隨機(jī)場的離散方法之前，先以一維隨機(jī)場為例介紹隨機(jī)場的局部平均理論。

3.5隨機(jī)場的局部平均理論3.5隨機(jī)場的局部平均理論

局部平均與方差函數(shù) 設(shè)X(t)為一維連續(xù)參數(shù)均勻隨機(jī)場，其均值為mX，方差為σX2，隨機(jī)場X(t)在一個離散單元[t–T/2，t+T/2]上的局部平均定義如下：

式中T是局部平均單元的長度，XT

(t)稱為局部平均隨機(jī)場。隨機(jī)場X(t)與XT

(t)的關(guān)系如圖3-3所示。

(3-37)3.5隨機(jī)場的局部平均理論

由圖3-3可見，XT

(t)的均值不變(亦為mX)，其方差由下式得到：

式中γ(t)稱為X(t)的方差函數(shù)，它表示在局部平均意義下對“點方差”

σX2的折減。

(3-38)3.5隨機(jī)場的局部平均理論

3.5隨機(jī)場的局部平均理論

方差函數(shù)γ(t)為一無量綱函數(shù)，它具有下列性質(zhì)：

γ(T)

0 (3-39)γ(0)=1 (3-40)γ(–T)=γ(|T|)=γ(T) (3-41)方差函數(shù)γ(T)與相關(guān)函數(shù)ρ(τ)存在以下關(guān)系：

(3-42)3.5隨機(jī)場的局部平均理論

2.相關(guān)偏度隨機(jī)場X(t)的相關(guān)偏度θ定義為：

將式(3-42)代入式(3-43)，可得計算相關(guān)偏度的公式為

隨機(jī)場的相關(guān)偏度θ也可通過隨機(jī)場的單邊譜密度G(ω)得到，即

(3-43)(3-44)(3-45)3.5隨機(jī)場的局部平均理論

3.隨機(jī)場的相關(guān)結(jié)構(gòu)對于均勻隨機(jī)場{X(u)；u

D

Rn}，由于其均值函數(shù)為一常數(shù)，故可化為以下形式：式中X0(u)為隨機(jī)場均值函數(shù)；Xε(u)表示均值為零的隨機(jī)場。 由于Xε(u)的協(xié)方函數(shù)與相關(guān)函數(shù)相同，所以，隨機(jī)場的相關(guān)結(jié)構(gòu)通常是指Xε(u)的協(xié)方差函數(shù)或相關(guān)函數(shù)。(3-46)3.5隨機(jī)場的局部平均理論

對于具體問題，隨機(jī)場的相關(guān)結(jié)構(gòu)常采用以下形式的相關(guān)函數(shù)：

（2）協(xié)調(diào)階躍型

（1）非協(xié)調(diào)階躍型

(3-47)(3-48)3.5隨機(jī)場的局部平均理論

（4）指數(shù)型（3）三角型

(3-49)(3-50)（5）二階AR型

(3-51)3.5隨機(jī)場的局部平均理論

上述6種相關(guān)系數(shù)表達(dá)式雖然差別很大，但它們所對應(yīng)的方差函數(shù)卻相差甚小[7]。可見，局部平均隨機(jī)場具有對原始隨機(jī)場的相關(guān)結(jié)構(gòu)不敏感的特點，這一特點為隨機(jī)有限元法解決工程實際問題帶來了方便。（6）高斯型(3-52) 隨機(jī)場的離散方法與有限單元法的離散方法類似，離散過程中主要考慮離散后隨機(jī)變量的數(shù)字特征。 按照離散后隨機(jī)變量與離散單元隨機(jī)場的關(guān)系，隨機(jī)場的離散方法主要有中心點法、局部平均法、形函數(shù)插值法、加權(quán)積分法和正交展開法等。3.6隨機(jī)場的離散3.6隨機(jī)場的離散 以圖3-4表示的二維隨機(jī)場為例，說明上述離散方法的基本思路。3.6隨機(jī)場的離散1.中心點法

中心點法是用隨機(jī)場在單元形心處的隨機(jī)變量值X(uc)表征該隨機(jī)場單元{X(u)，u

Ωi}的特性，即取

可見隨機(jī)場在每個單元內(nèi)部均為常量，且等于隨機(jī)場單元形心點的值。

(3-53) 按照上述原則，將原隨機(jī)場離散為隨機(jī)變量集合{Yi=X(uci)，i=1，2，…，n}，各變量的數(shù)字特征及相關(guān)特性由形心點隨機(jī)變量Yi相應(yīng)值確定。

3.6隨機(jī)場的離散2.局部平均法 對于一維隨機(jī)場X(t)，考慮任意兩個長度分別為T和T’的隨機(jī)場單元，如圖所示，

3.6隨機(jī)場的離散相應(yīng)的局部平均隨機(jī)場分別為：

可以證明，XT與XT’的協(xié)方差為：

可見，當(dāng)已知方差函數(shù)時，協(xié)方差矩陣可由上式計算得到。

(3-54)(3-55)(3-56)3.6隨機(jī)場的離散 設(shè)X(t1，t2)為二維連續(xù)參數(shù)均勻隨機(jī)場，考慮邊長為T1、T2的任一矩形單元D，矩形單元的形心坐標(biāo)為(t1i，t2i)，由圖3-6可以看出，隨機(jī)場在該矩形單元內(nèi)的局部平均為

與以上類似，對于二維隨機(jī)場討論如下：(3-57)3.6隨機(jī)場的離散3.6隨機(jī)場的離散 對于任意兩個