2024年初中九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步講義（人教版）第11課 二次函數(shù)y=ax²+bx+c(a≠0)的圖象與性質(zhì)（教師版）

第11課二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與性質(zhì)目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)（1）會(huì)用描點(diǎn)法畫(huà)二次函數(shù)的圖象；會(huì)用配方法將二次函數(shù)的解析式寫(xiě)成的形式；（2）通過(guò)圖象能熟練地掌握二次函數(shù)的性質(zhì)；（3）經(jīng)歷探索與的圖象及性質(zhì)緊密聯(lián)系的過(guò)程，能運(yùn)用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，深刻理解數(shù)學(xué)建模思想以及數(shù)形結(jié)合的思想．知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01二次函數(shù)與之間的相互關(guān)系1．頂點(diǎn)式化成一般式

從函數(shù)解析式我們可以直接得到拋物線的頂點(diǎn)(h，k)，所以我們稱為頂點(diǎn)式，將頂點(diǎn)式去括號(hào)，合并同類(lèi)項(xiàng)就可化成一般式．2．一般式化成頂點(diǎn)式．對(duì)照，可知，．∴拋物線的對(duì)稱軸是直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是．【注意】1．拋物線的對(duì)稱軸是直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是，可以當(dāng)作公式加以記憶和運(yùn)用．2．求拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)通常用三種方法：配方法、公式法、代入法，這三種方法都有各自的優(yōu)缺點(diǎn)，應(yīng)根據(jù)實(shí)際靈活選擇和運(yùn)用．知識(shí)點(diǎn)02二次函數(shù)的圖象的畫(huà)法1．一般方法列表、描點(diǎn)、連線2．簡(jiǎn)易畫(huà)法：五點(diǎn)定形法步驟：(1)先根據(jù)函數(shù)解析式，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸，在直角坐標(biāo)系中描出頂點(diǎn)M，并用虛線畫(huà)出對(duì)稱軸．(2)求拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，當(dāng)拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，描出這兩個(gè)交點(diǎn)A、B及拋物線與y軸的交點(diǎn)C，再找到點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)D，將A、B、C、D及M這五個(gè)點(diǎn)按從左到右的順序用平滑曲線連結(jié)起來(lái)．【注意】當(dāng)拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)或無(wú)交點(diǎn)時(shí)，描出拋物線與y軸的交點(diǎn)C及對(duì)稱點(diǎn)D，由C、M、D三點(diǎn)可粗略地畫(huà)出二次函數(shù)圖象的草圖；如果需要畫(huà)出比較精確的圖象，可再描出一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)A、B，然后順次用平滑曲線連結(jié)五點(diǎn)，畫(huà)出二次函數(shù)的圖象，知識(shí)點(diǎn)03二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)1．二次函數(shù)圖象與性質(zhì)函數(shù)二次函數(shù)(a、b、c為常數(shù)，a≠0)圖象開(kāi)口方向向上向下對(duì)稱軸直線直線頂點(diǎn)坐標(biāo)增減性在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減?。辉趯?duì)稱軸的右側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大．簡(jiǎn)記：左減右增在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大；在對(duì)稱軸的右側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減?。?jiǎn)記：左增右減最大(小)值拋物線有最低點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，y有最小值，拋物線有最高點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，y有最大值，2．二次函數(shù)圖象的特征與a、b、c及b2-4ac的符號(hào)之間的關(guān)系項(xiàng)目字母字母的符號(hào)圖象的特征aa＞0開(kāi)口向上a＜0開(kāi)口向下bab＞0(a，b同號(hào))對(duì)稱軸在y軸左側(cè)ab＜0(a，b異號(hào))對(duì)稱軸在y軸右側(cè)cc=0圖象過(guò)原點(diǎn)c＞0與y軸正半軸相交c＜0與y軸負(fù)半軸相交b2-4acb2-4ac=0與x軸有唯一交點(diǎn)b2-4ac＞0與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)b2-4ac＜0與x軸沒(méi)有交點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)04求二次函數(shù)的最大（?。┲档姆椒ㄈ绻宰兞康娜≈捣秶侨w實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大(或最小)值，即當(dāng)時(shí)，．【注意】如果自變量的取值范圍是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自變量的取值范圍x1≤x≤x2內(nèi)，若在此范圍內(nèi)，則當(dāng)時(shí)，，若不在此范圍內(nèi)，則需要考慮函數(shù)在x1≤x≤x2范圍內(nèi)的增減性，如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而增大，則當(dāng)x＝x2時(shí)，；當(dāng)x＝x1時(shí)，，如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而減小，則當(dāng)x＝x1時(shí)，；當(dāng)x＝x2時(shí)，，如果在此范圍內(nèi)，y值有增有減，則需考察x＝x1，x＝x2，時(shí)y值的情況．能力拓展能力拓展考法01二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)【典例1】如圖所示是二次函數(shù)的圖象，以下結(jié)論：①；②；③的兩個(gè)根是，；④，其中正確的是（

）A．③④ B．①② C．②③ D．②③④【答案】C【詳解】解：①由圖象可知：，，由對(duì)稱軸可知：，∴，∴，故①錯(cuò)誤；②由對(duì)稱軸可知：，∴，∵拋物線過(guò)點(diǎn)，∴，∴，∴，故②正確；③由對(duì)稱軸為直線，拋物線過(guò)點(diǎn)，∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，∴的兩個(gè)根是，，故③正確；④由圖象可知，當(dāng)時(shí)，，∴，故④錯(cuò)誤；故選：C．【即學(xué)即練】如圖，拋物線的對(duì)稱軸為，下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小 D．當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小【答案】C【詳解】拋物線開(kāi)口向上，因此a＞0，故A選項(xiàng)不符合題意．拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，因此c＜0，故B選項(xiàng)不符合題意．拋物線開(kāi)口向上，因此在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減小，故C選項(xiàng)符合題意．拋物線開(kāi)口向上，因此在對(duì)稱軸右側(cè)y隨x的增大而增大，故D選項(xiàng)不符合題意．故選C【典例2】已知4a-2b+c=0，9a+3b+c=0，則二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象頂點(diǎn)可能在（

）A．第一或第四象限 B．第三或第四象限C．第一或第二象限 D．第二或第三象限【答案】A【詳解】解：∵4a-2b+c=0，9a+3b+c=0，∴此二次函數(shù)過(guò)點(diǎn)（-2，0），（3，0），∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=，∴二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的頂點(diǎn)可能在第一或第四象限．故選：A．【即學(xué)即練】關(guān)于拋物線，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸是軸 B．當(dāng)時(shí)，經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)C．不論為何值，都過(guò)定點(diǎn) D．時(shí)，對(duì)稱軸在軸的左側(cè)【答案】D【詳解】解：A、拋物線，當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸是直線，即軸，故選項(xiàng)A正確，不符合題意，B、當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)，故選項(xiàng)B正確，不符合題意，C、當(dāng)時(shí)，，此時(shí)解析式中的正好可以消掉，故選項(xiàng)C正確，不符合題意，D、拋物線的對(duì)稱軸是直線，當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸在軸右側(cè)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，符合題意，故選：D．考法02二次函數(shù)的最值【典例3】已知二次函數(shù)y=2x2?4x?1在0≤x≤a時(shí)，y取得的最大值為15，則a的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【詳解】解：∵二次函數(shù)y=2x2-4x-1=2（x-1）2-3，∴拋物線的對(duì)稱軸為x=1，頂點(diǎn)（1，-3），∵1>0，開(kāi)口向上，∴在對(duì)稱軸x=1的右側(cè)，y隨x的增大而增大，∵當(dāng)0≤x≤a時(shí)，即在對(duì)稱軸右側(cè)，y取得最大值為15，∴當(dāng)x=a時(shí)，y=15，∴2（a-1）2-3=15，解得：a=4或a=-2（舍去），故a的值為4．故選：D．【即學(xué)即練】已知二次函數(shù)＝﹣+2x+4，關(guān)于該函數(shù)在﹣2≤x≤2的取值范圍內(nèi)，下列說(shuō)法正確的是（）A．有最大值4，有最小值0 B．有最大值0，有最小值﹣4C．有最大值4，有最小值﹣4 D．有最大值5，有最小值﹣4【答案】D【詳解】∵二次函數(shù)＝﹣+2x+4＝﹣+5，∴該函數(shù)的對(duì)稱軸是直線＝1，函數(shù)圖象開(kāi)口向下，∴當(dāng)﹣2≤x≤2時(shí)，x＝1時(shí)取得最大值5，當(dāng)x＝﹣2時(shí)，取得最小值﹣4，故選：D．【典例4】已知二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c，當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)的最小值為﹣3，當(dāng)x≤0時(shí)，函數(shù)的最小值為﹣2，則b的值為（

）A．6 B．2 C．﹣2 D．﹣3【答案】C【詳解】解：二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的開(kāi)口向上，當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)的最小值為－3，當(dāng)x≤0時(shí)，函數(shù)的最小值為－2，該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸所在直線在y軸的右側(cè)，，，且時(shí)，y=c=－2，，，解得，．故選C．【即學(xué)即練】已知拋物線過(guò)（1，m），（-1，3m）兩點(diǎn)，若，且當(dāng)時(shí)，y的最小值為-6，則m的值是（

）A．4 B．2 C．–2 D．-4【答案】C【詳解】解：將點(diǎn)（1，m），（-1，3m）代入拋物線，得1+b+c=m，1-b+c=3m，∴b=-m，c=2m-1則，對(duì)稱軸為，∵a=1＞0∴最小值在x=-處，最小值為-6，∴=-6，=4c+24，將b=-m，c=2m-1代入，得-8m-20=0解得m=-2或m=10又∴m=-2故選：C.考法03二次函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用【典例5】已知A(?3，?2)，B(1，?2)，拋物線y=ax2+bx+c(a>0)頂點(diǎn)在線段AB上運(yùn)動(dòng)，形狀保持不變，與x軸交于C，D兩點(diǎn)（C在D的右側(cè)），下列結(jié)論：①c≥?2

；②當(dāng)x>0時(shí)，一定有y隨x的增大而增大；③若點(diǎn)D橫坐標(biāo)的最小值為?5，點(diǎn)C橫坐標(biāo)的最大值為3；④當(dāng)四邊形ABCD為平行四邊形時(shí)，a=．其中正確的是（

）A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④【答案】D【詳解】解：∵點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(-3，-2)和(1，-2)，∴線段AB與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，-2)，又∵拋物線的頂點(diǎn)在線段AB上運(yùn)動(dòng)，拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，c)，∴C≥-2，(頂點(diǎn)在y軸上時(shí)取“=”)，故①正確；∵拋物線的頂點(diǎn)在線段AB上運(yùn)動(dòng)，開(kāi)口向上，∴當(dāng)x＞1時(shí)，一定有y隨x的增大而增大，故②錯(cuò)誤；若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)最小值為-5，則此時(shí)對(duì)稱軸為直線x=-3，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)最大值為1+2=3，故③正確；令y=0，則ax2+bx+c=0，設(shè)該方程的兩根為x1，x2，則x1+x2=-，x1x2=，∴CD2=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，，∴，即，∵四邊形ACDB為平行四邊形，∴CD=AB=1-（-3)=4，∴=42=16，解得a=，故④正確；綜上所述，正確的結(jié)論有①③④．故選：D．【即學(xué)即練】如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)，P為AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則有以下結(jié)論：①拋物線的對(duì)稱軸為直線；②拋物線的最大值為；③；④OP的最小值為．則正確的結(jié)論為（

）A．①②④ B．①② C．①②③ D．①③④【答案】D【詳解】解：∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，故①正確；設(shè)拋物線關(guān)系式為：，∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴-4a=2，解得：，∴拋物線關(guān)系式為：，∴當(dāng)時(shí)，y有最大值，故②錯(cuò)誤；∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)A坐標(biāo)為（4，0），∴AB=5．當(dāng)x=0時(shí)，y=2，∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，2），∴，∵，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，故③正確；當(dāng)OP⊥AC時(shí)，OP取最小值，此時(shí)根據(jù)三角形的面積可得，∴，解得OP=，∴OP的最小值為．故④正確；故正確的有：①③④，故選：D．【典例6】已知拋物線的解析式為（m為常數(shù)），則下列說(shuō)法正確的是____________．①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在拋物線上；②對(duì)于任意的實(shí)數(shù)m，都是方程的一個(gè)根；③若，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大；④已知點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，拋物線與線段有兩個(gè)交點(diǎn)．【答案】②【詳解】解：拋物線（為常數(shù)）中，當(dāng)時(shí)，拋物線，若，則，點(diǎn)不在拋物線上，即①說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意，方程即，或，解得，，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，都是方程的一個(gè)根，即②說(shuō)法正確，符合題意，拋物線（為常熟）中，，開(kāi)口向上，對(duì)稱軸是直線，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，即若，，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，不一定正確，即③說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意，拋物線（為常數(shù)）中，當(dāng)時(shí)，，解得，，拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為、，當(dāng)時(shí)，，“④已知點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，拋物線與線段有兩個(gè)交點(diǎn)”的說(shuō)法錯(cuò)誤，（因?yàn)楫?dāng)時(shí)只有一個(gè)交點(diǎn)），不符合題意，綜上所述，說(shuō)法正確的是②，故答案為：②．【即學(xué)即練】如圖，已知拋物線與x軸相交于于點(diǎn)，，與軸的交于點(diǎn)．點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系第一象限內(nèi)的拋物線上運(yùn)動(dòng)，設(shè)的面積為．下列結(jié)論：①；②；③，其中，正確結(jié)論的序號(hào)是________．（所有正確的序號(hào)都填上）【答案】①②③【詳解】∵拋物線與x軸相交于于點(diǎn)，，∴令y=0得：，解得：，∴A（-1，0），B（3，0），∴AB=4故①正確；∵拋物線與y軸相交于于點(diǎn)C，∴令x=0得：y=6，∴C（0，6），∴OC=6，故②正確；過(guò)點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，如圖1所示．設(shè)直線的解析式為，將、代入，得，解得，直線的解析式為．點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系第一象限內(nèi)的拋物線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，當(dāng)時(shí)，面積取最大值，最大值為．故③正確，故答案為：①②③．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1．拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（m，3），則代數(shù)式的值為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【詳解】解：將點(diǎn)（m，3）代入中得，，故代數(shù)式的值為3，故選：D．2．二次函數(shù)（a≠0）中x，y的部分對(duì)應(yīng)值如下表：x…﹣2﹣1012…y…0﹣4﹣6﹣6﹣4…則該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為（）A．y軸 B．直線x＝ C．直線x＝1 D．直線x＝【答案】B【詳解】解：由圖表可知：x=0時(shí)，y=-6，x=1時(shí)，y=-6，∴二次函數(shù)的對(duì)稱軸為：，故選：B．3．若二次函數(shù)y＝x2+2x+k的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，y1），（﹣2，y2），則y1，y2與的大小關(guān)系為（）A．y1＞y2 B．y1＝y(tǒng)2 C．y1＜y2 D．不能確定【答案】A【詳解】解：當(dāng)x＝1時(shí)，y1＝x2+2x+k＝1+2+k＝k+3；當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y2＝x2+2x+k＝4﹣4+k＝k，所以y1＞y2．故選：A．4．已知(﹣4，y1)，(2.5，y2)，(5，y3)是拋物線y＝﹣3x2﹣6x+m上的點(diǎn)，則y1、y2、y3的大小關(guān)系是（）A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y3＞y2 D．y2＞y1＞y3【答案】A【詳解】解：∵y＝﹣3x2﹣6x+m，∴拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝﹣1，∴與直線x＝﹣1距離越近的點(diǎn)的縱坐標(biāo)越大，∵﹣1﹣（﹣4）＜2.5﹣（﹣1）＜5﹣（﹣1），∴y1＞y2＞y3，故選：A．5．已知函數(shù)y＝a﹣2ax﹣1（a是常數(shù)，a≠0），下列結(jié)論正確的是（

）A．若a＞0，則當(dāng)x≥1時(shí)，y隨x的增大而減小 B．若a＜0，則當(dāng)x≤1時(shí)，y隨x的增大而增大C．當(dāng)a＝1時(shí)，函數(shù)圖像過(guò)點(diǎn)（﹣1，1） D．當(dāng)a＝﹣2時(shí)，函數(shù)圖像與x軸沒(méi)有交點(diǎn)【答案】B【詳解】解：A、拋物線的對(duì)稱軸為直線：，則若a＞0，則當(dāng)x≥1時(shí)，y隨x的增大而增大，選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；B、拋物線的對(duì)稱軸為直線：，若a＜0，則當(dāng)x≤1時(shí)，y隨x的增大而增大，選項(xiàng)說(shuō)法正確，符合題意；C、當(dāng)，時(shí)，，則當(dāng)a＝1時(shí)，函數(shù)圖像不經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣1，1），選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；D、當(dāng)a＝﹣2時(shí)，，，則函數(shù)圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；故選B．6．已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，有以下4個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【詳解】解：①拋物線開(kāi)口向下，，∵，∴，，拋物線與軸的交點(diǎn)在軸的正半軸，，，故錯(cuò)誤；②觀察函數(shù)圖象，可知：當(dāng)時(shí)，，，故錯(cuò)誤．③拋物線的對(duì)稱軸為，拋物線與軸的交點(diǎn)在軸的正半軸，當(dāng)時(shí)，，，故正確；④拋物線與軸有2個(gè)交點(diǎn)，△，故正確．故選：B．7．已知二次函數(shù)y=x2－4x－m的最小值是1，則m=_______．【答案】-5【詳解】解：由知，當(dāng)x=2時(shí)，y有最小值為-4-m，∵該函數(shù)的最小值為1，∴-4-m=1，解得：m=-5，故答案為：-5．8．二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，，若當(dāng)時(shí)．隨著的增大而減小，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】且【詳解】解：將代入得①，將代入得②，由②①得，，，拋物線的對(duì)稱軸為直線，當(dāng)時(shí)．隨著的增大而減小，時(shí)，，解得，時(shí)，，解得，故答案為：且．9．已知拋物線y=ax2－2ax－3+2a2（a<0）．(1)求這條拋物線的對(duì)稱軸；(2)若該拋物線的頂點(diǎn)在x軸上，求拋物線的函數(shù)解析式；【答案】(1)x=1(2)y=－x2+2x－1【詳解】（1）解：∵拋物線，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1；（2）由（1）可得，∵拋物線的頂點(diǎn)在x軸上，∴，解得，=－1，∵a<0，∴a=－1，∴拋物線的解析式為．10．已知拋物線．(1)寫(xiě)出它的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)當(dāng)為何值時(shí)，函數(shù)取得最大值，請(qǐng)求出這個(gè)最大值．【答案】(1)拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱軸是直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值是3．【詳解】（1）解：∵－1＜0，∴拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱軸是直線，∵，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)是；（2）∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值是3．題組B能力提升練1．將二次函數(shù)的圖象先向右平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，所得圖象的函數(shù)解析式為，則、的值為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【詳解】由題意可得新拋物線的頂點(diǎn)為，∴原拋物線的頂點(diǎn)為，設(shè)原拋物線的解析式為，代入得：，∴，．故選：D．2．如圖是二次函數(shù)y＝ax2﹣x＋a2﹣9圖象，圖象過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則a的值是（

）A．a(chǎn)＝3 B．a(chǎn)＝－3 C．a(chǎn)＝－9 D．a(chǎn)＝3或a＝﹣3【答案】A【詳解】解：∵拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，∴a2-9=0，解得a=3或a=-3，∵拋物線開(kāi)口向上，∴a=3，故選：A．3．已知二次函數(shù)，當(dāng)函數(shù)值y隨x值的增大而增大時(shí)，x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：∵∵開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為x=1，∴x＞1時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而增大．故選：B．4．已知拋物線的最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則拋物線的表達(dá)式是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：∵拋物線的最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，∴，即∴，當(dāng)m=1時(shí)，拋物線為．故選：B．5．直線與拋物線在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖像可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：A、由拋物線可知，a＞0，b＜0，c＞0，則ac＞0，由直線可知，ac＞0，b＞0，故本選項(xiàng)不合題意；B、由拋物線可知，a＞0，b＞0，c＞0，則ac＞0，由直線可知，ac＞0，b＞0，故本選項(xiàng)符合題意；C、由拋物線可知，a＜0，b＜0，c＞0，則ac＜0，由直線可知，ac＞0，b＞0，故本選項(xiàng)不合題意；D、由拋物線可知，a＜0，b＞0，c＞0，則ac＜0，由直線可知，ac＜0，b＜0，故本選項(xiàng)不合題意．故選：B．6．二次函數(shù)（）的部分圖象如圖所示，圖象過(guò)點(diǎn)（，0），對(duì)稱軸為直線，下列結(jié)論：（1）；（2）；（3）；（4）若點(diǎn)A（，），點(diǎn)B（，），點(diǎn)C（，）在該函數(shù)圖象上，則；（5）m為任意實(shí)數(shù)，則．其中正確的結(jié)論有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】A【詳解】解：∵對(duì)稱軸為直線x=2，∴-=2，∴b=-4a，∴b+4a=0，∴（1）正確；∵經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1，0），∴a-b+c=0，∴c=b-a=-4a-a=-5a，∴4a+c-2b=4a-5a+8a=7a，∵a＜0，∴4a+c-2b＜0，∴4a+c＜2b，∴（2）不正確；∵5a+3c=5a-15a=-10a＞0，∴（3）正確；∵|-2-2|=4，|-2|=，|-2|=，∴y1＜y2＜y3，∴（4）不正確；當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)有最大值4a+2b+c，∴am2+bm+c≤4a+2b+c，∴（5）不正確；綜上所述：（1）（3）正確，故選：A．7．已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，自變量的取值范圍是______．【答案】x≤-2或x≥4【詳解】解：∵二次函數(shù)，∴拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為直線，∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)時(shí)，則，即，解得，或，∴當(dāng)時(shí)，自變量x的取值范圍是或，故答案為：或．8．如圖，拋物線的對(duì)稱軸為直線，點(diǎn)A，B均在拋物線上，且與x軸平行，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)____．【答案】(6，5)【詳解】∵AB與x軸平行，而點(diǎn)A，B均在拋物線上，∴點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線x=1對(duì)稱，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為，故答案為．9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2）．(1)求此拋物線的解析式和對(duì)稱軸．(2)在此拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PAC的周長(zhǎng)最小？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)y＝x2﹣x﹣2；對(duì)稱軸為x＝(2)存在，P的坐標(biāo)為（，﹣）【詳解】（1）解：設(shè)該拋物線的解析式為y＝ax2+bx+c，∵該拋物線過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），代入，得：解得：

∴此拋物線的解析式為y＝x2﹣x﹣2．∵拋物線解析式為y＝x2﹣x﹣2＝﹣∴拋物線的對(duì)稱軸為x＝．（2）解：存在，理由如下：連接PB由拋物線的對(duì)稱性得：PA＝PB∴△PAC的周長(zhǎng)PA+PC+AC＝PB+PC+AC，∴當(dāng)B、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，PB+PC最小，即當(dāng)B、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，△PAC的周長(zhǎng)最小，設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+m，將點(diǎn)B（4，0），點(diǎn)C（0，﹣2）代入，得，解得：，即直線BC的解析式為y＝x﹣2．令x＝，則有y＝﹣2＝﹣，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，﹣）．∴在此拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)P，使△PAC的周長(zhǎng)最小，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，﹣）．10．如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)當(dāng)0＜x＜3時(shí)，直接寫(xiě)出y的取值范圍；【答案】(1)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4）；(2)0＜y≤4【詳解】（1）解：將A（?1，0）和B（3，0）代入y＝?x2＋bx＋c，得，解得：，∴拋物線的解析式為：，∵，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4）；（2）∵當(dāng)x＝1時(shí)，y＝4；當(dāng)x＝3時(shí)，y＝0，∴由函數(shù)圖象可得：當(dāng)0＜x＜3時(shí)，0＜y≤4．題組C培優(yōu)拔尖練1．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y＝bx+c和反比例函數(shù)y＝在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：∵二次函數(shù)圖象開(kāi)口方向向下，∴a＜0，∵對(duì)稱軸為直線＞0，∴b＞0，∵與y軸的負(fù)半軸相交，∴c＜0，∴y=bx+c的圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，反比例函數(shù)y=圖象在第二四象限，只有D選項(xiàng)圖象符合．故選：D．2．若點(diǎn)A（﹣3，），B（1，），C（m，）在拋物線y＝ax2+4ax+c上，且＜＜，則m的取值范圍是（）A．﹣3＜m＜1 B．﹣5＜m＜﹣1或﹣3＜m＜1C．m＜﹣3或m＞1 D．﹣5＜m＜﹣3或﹣1＜m＜1【答案】D【詳解】解：拋物線y＝ax2+4ax+c的對(duì)稱軸為x＝﹣＝﹣2，∵點(diǎn)A（﹣3，y1），B（1，y2），C（m，y3）在拋物線y＝ax2+4ax+c上，且y1＜y3＜y2，∴當(dāng)a＜0，則|m+2|＜1且|m+2|＞3，（不存在）；當(dāng)a＞0，則1＜|m+2|＜3，解得﹣5＜m＜﹣3或﹣1＜m＜1．故選：D．3．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的大致圖象如圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的為（）A．b2﹣4ac＞0 B．a(chǎn)+b+c＞0C．a(chǎn)x2+bx+c≥﹣1 D．2a﹣b＝0【答案】D【詳解】解：由圖象可知，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，所以b2﹣4ac＞0，故選項(xiàng)A正確不符合題意；由圖象可知，當(dāng)x=1時(shí)，y>0，所以a+b+c＞0，故選項(xiàng)B正確不符合題意；由圖象可知，拋物線的最低點(diǎn)為(-2,-1)，所以ax2+bx+c≥﹣1，故選項(xiàng)C正確不符合題意；由圖象可知，拋物線的對(duì)稱軸為x=-2，，所以4a﹣b＝0，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤符合題意．故選：D．4．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．a(chǎn)bc＜0 B．a(chǎn)＋b＞m（am＋b）（m≠1）C．4a﹣2b＋c＜0 D．3a＋c＝1【答案】D【詳解】解：∵拋物線開(kāi)口向下，∴a＜0，∵拋物線對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，∵拋物線與y軸交點(diǎn)在x軸上方，∴c＞0，∴abc＜0，故A正確；當(dāng)x＝m（m≠1）時(shí)，y＝am2+bm+c，當(dāng)x＝1時(shí)，y有最大值為a+b+c，∴am2+bm+c＜a+b+c，∴am2+bm＜a+b，∴a+b＞m（am+b）（m≠1），故B正確；由圖象知，當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，故C正確；由圖象知，拋物線與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)大于﹣1小于0，對(duì)稱軸為x＝1，∴拋物線與x軸另一交點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于2小于3，∴當(dāng)x＝3時(shí)，y＜0，∴9a+3b+c＜0，∵b＝﹣2a，∴3a+c＜0，故D錯(cuò)誤；故選：D．5．二次函數(shù)（a，b，c是常數(shù)，）的自變量x與函數(shù)值y的部分對(duì)應(yīng)值如下表：x…012……tmn…且當(dāng)時(shí)，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值．有下列結(jié)論：①；②和3是關(guān)于x的方程的兩個(gè)根；③對(duì)稱軸為；④；其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【詳解】二次函數(shù)（a，b，c是常數(shù)，），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，．當(dāng)時(shí)，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，二次函數(shù)開(kāi)口向下，．，，，．（①結(jié)論符合題意）時(shí)，，是關(guān)于x的方程的根．對(duì)稱軸，，（③結(jié)論不符合題意）和3是關(guān)于x的方程的兩個(gè)根．（②結(jié)論符合題意）時(shí)，，時(shí)，，．．（④結(jié)論不符合題意）正確的結(jié)論有2個(gè)．故選：C．6．已知拋物線（c為常數(shù)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，當(dāng)時(shí)，則m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】∵過(guò)點(diǎn)(4,c)，∴16+4b+c=c，解得b=-4，∴，∴則拋物線的對(duì)稱軸為x=2，，∵(p,m)和(q,m)的函數(shù)值相等，∴(p,m)和(q,m)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，∴，即，∵，∴，解得：，將點(diǎn)(q,m)代入，有：，變形得：，∵函數(shù)的自變量范圍為，∴當(dāng)q=5時(shí)，m取最大值，m=c+5，當(dāng)q=時(shí)，m取最小值，，∴m的取值范圍為：，故選：B．7．已