2024年初中九年級數(shù)學(xué)上冊同步講義（人教版）第11課 二次函數(shù)y=ax²+bx+c(a≠0)的圖象與性質(zhì)（教師版）

第11課二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與性質(zhì)目標導(dǎo)航目標導(dǎo)航課程標準（1）會用描點法畫二次函數(shù)的圖象；會用配方法將二次函數(shù)的解析式寫成的形式；（2）通過圖象能熟練地掌握二次函數(shù)的性質(zhì)；（3）經(jīng)歷探索與的圖象及性質(zhì)緊密聯(lián)系的過程，能運用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決簡單的實際問題，深刻理解數(shù)學(xué)建模思想以及數(shù)形結(jié)合的思想．知識精講知識精講知識點01二次函數(shù)與之間的相互關(guān)系1．頂點式化成一般式

從函數(shù)解析式我們可以直接得到拋物線的頂點(h，k)，所以我們稱為頂點式，將頂點式去括號，合并同類項就可化成一般式．2．一般式化成頂點式．對照，可知，．∴拋物線的對稱軸是直線，頂點坐標是．【注意】1．拋物線的對稱軸是直線，頂點坐標是，可以當(dāng)作公式加以記憶和運用．2．求拋物線的對稱軸和頂點坐標通常用三種方法：配方法、公式法、代入法，這三種方法都有各自的優(yōu)缺點，應(yīng)根據(jù)實際靈活選擇和運用．知識點02二次函數(shù)的圖象的畫法1．一般方法列表、描點、連線2．簡易畫法：五點定形法步驟：(1)先根據(jù)函數(shù)解析式，求出頂點坐標和對稱軸，在直角坐標系中描出頂點M，并用虛線畫出對稱軸．(2)求拋物線與坐標軸的交點，當(dāng)拋物線與x軸有兩個交點時，描出這兩個交點A、B及拋物線與y軸的交點C，再找到點C關(guān)于對稱軸的對稱點D，將A、B、C、D及M這五個點按從左到右的順序用平滑曲線連結(jié)起來．【注意】當(dāng)拋物線與x軸只有一個交點或無交點時，描出拋物線與y軸的交點C及對稱點D，由C、M、D三點可粗略地畫出二次函數(shù)圖象的草圖；如果需要畫出比較精確的圖象，可再描出一對對稱點A、B，然后順次用平滑曲線連結(jié)五點，畫出二次函數(shù)的圖象，知識點03二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)1．二次函數(shù)圖象與性質(zhì)函數(shù)二次函數(shù)(a、b、c為常數(shù)，a≠0)圖象開口方向向上向下對稱軸直線直線頂點坐標增減性在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)時，y隨x的增大而減小；在對稱軸的右側(cè)，即當(dāng)時，y隨x的增大而增大．簡記：左減右增在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)時，y隨x的增大而增大；在對稱軸的右側(cè)，即當(dāng)時，y隨x的增大而減?。営洠鹤笤鲇覝p最大(小)值拋物線有最低點，當(dāng)時，y有最小值，拋物線有最高點，當(dāng)時，y有最大值，2．二次函數(shù)圖象的特征與a、b、c及b2-4ac的符號之間的關(guān)系項目字母字母的符號圖象的特征aa＞0開口向上a＜0開口向下bab＞0(a，b同號)對稱軸在y軸左側(cè)ab＜0(a，b異號)對稱軸在y軸右側(cè)cc=0圖象過原點c＞0與y軸正半軸相交c＜0與y軸負半軸相交b2-4acb2-4ac=0與x軸有唯一交點b2-4ac＞0與x軸有兩個交點b2-4ac＜0與x軸沒有交點知識點04求二次函數(shù)的最大（小）值的方法如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大(或最小)值，即當(dāng)時，．【注意】如果自變量的取值范圍是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自變量的取值范圍x1≤x≤x2內(nèi)，若在此范圍內(nèi)，則當(dāng)時，，若不在此范圍內(nèi)，則需要考慮函數(shù)在x1≤x≤x2范圍內(nèi)的增減性，如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而增大，則當(dāng)x＝x2時，；當(dāng)x＝x1時，，如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而減小，則當(dāng)x＝x1時，；當(dāng)x＝x2時，，如果在此范圍內(nèi)，y值有增有減，則需考察x＝x1，x＝x2，時y值的情況．能力拓展能力拓展考法01二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)【典例1】如圖所示是二次函數(shù)的圖象，以下結(jié)論：①；②；③的兩個根是，；④，其中正確的是（

）A．③④ B．①② C．②③ D．②③④【答案】C【詳解】解：①由圖象可知：，，由對稱軸可知：，∴，∴，故①錯誤；②由對稱軸可知：，∴，∵拋物線過點，∴，∴，∴，故②正確；③由對稱軸為直線，拋物線過點，∴拋物線與x軸的另一個交點為，∴的兩個根是，，故③正確；④由圖象可知，當(dāng)時，，∴，故④錯誤；故選：C．【即學(xué)即練】如圖，拋物線的對稱軸為，下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．當(dāng)時，隨的增大而減小 D．當(dāng)時，隨的增大而減小【答案】C【詳解】拋物線開口向上，因此a＞0，故A選項不符合題意．拋物線與y軸的交點在y軸的負半軸上，因此c＜0，故B選項不符合題意．拋物線開口向上，因此在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減小，故C選項符合題意．拋物線開口向上，因此在對稱軸右側(cè)y隨x的增大而增大，故D選項不符合題意．故選C【典例2】已知4a-2b+c=0，9a+3b+c=0，則二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象頂點可能在（

）A．第一或第四象限 B．第三或第四象限C．第一或第二象限 D．第二或第三象限【答案】A【詳解】解：∵4a-2b+c=0，9a+3b+c=0，∴此二次函數(shù)過點（-2，0），（3，0），∴拋物線的對稱軸為直線x=，∴二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的頂點可能在第一或第四象限．故選：A．【即學(xué)即練】關(guān)于拋物線，下列說法錯誤的是（

）A．當(dāng)時，對稱軸是軸 B．當(dāng)時，經(jīng)過坐標原點C．不論為何值，都過定點 D．時，對稱軸在軸的左側(cè)【答案】D【詳解】解：A、拋物線，當(dāng)時，對稱軸是直線，即軸，故選項A正確，不符合題意，B、當(dāng)時，過點，故選項B正確，不符合題意，C、當(dāng)時，，此時解析式中的正好可以消掉，故選項C正確，不符合題意，D、拋物線的對稱軸是直線，當(dāng)時，對稱軸在軸右側(cè)，故選項D錯誤，符合題意，故選：D．考法02二次函數(shù)的最值【典例3】已知二次函數(shù)y=2x2?4x?1在0≤x≤a時，y取得的最大值為15，則a的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【詳解】解：∵二次函數(shù)y=2x2-4x-1=2（x-1）2-3，∴拋物線的對稱軸為x=1，頂點（1，-3），∵1>0，開口向上，∴在對稱軸x=1的右側(cè)，y隨x的增大而增大，∵當(dāng)0≤x≤a時，即在對稱軸右側(cè)，y取得最大值為15，∴當(dāng)x=a時，y=15，∴2（a-1）2-3=15，解得：a=4或a=-2（舍去），故a的值為4．故選：D．【即學(xué)即練】已知二次函數(shù)＝﹣+2x+4，關(guān)于該函數(shù)在﹣2≤x≤2的取值范圍內(nèi)，下列說法正確的是（）A．有最大值4，有最小值0 B．有最大值0，有最小值﹣4C．有最大值4，有最小值﹣4 D．有最大值5，有最小值﹣4【答案】D【詳解】∵二次函數(shù)＝﹣+2x+4＝﹣+5，∴該函數(shù)的對稱軸是直線＝1，函數(shù)圖象開口向下，∴當(dāng)﹣2≤x≤2時，x＝1時取得最大值5，當(dāng)x＝﹣2時，取得最小值﹣4，故選：D．【典例4】已知二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c，當(dāng)x＞0時，函數(shù)的最小值為﹣3，當(dāng)x≤0時，函數(shù)的最小值為﹣2，則b的值為（

）A．6 B．2 C．﹣2 D．﹣3【答案】C【詳解】解：二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的開口向上，當(dāng)x＞0時，函數(shù)的最小值為－3，當(dāng)x≤0時，函數(shù)的最小值為－2，該函數(shù)圖象的對稱軸所在直線在y軸的右側(cè)，，，且時，y=c=－2，，，解得，．故選C．【即學(xué)即練】已知拋物線過（1，m），（-1，3m）兩點，若，且當(dāng)時，y的最小值為-6，則m的值是（

）A．4 B．2 C．–2 D．-4【答案】C【詳解】解：將點（1，m），（-1，3m）代入拋物線，得1+b+c=m，1-b+c=3m，∴b=-m，c=2m-1則，對稱軸為，∵a=1＞0∴最小值在x=-處，最小值為-6，∴=-6，=4c+24，將b=-m，c=2m-1代入，得-8m-20=0解得m=-2或m=10又∴m=-2故選：C.考法03二次函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用【典例5】已知A(?3，?2)，B(1，?2)，拋物線y=ax2+bx+c(a>0)頂點在線段AB上運動，形狀保持不變，與x軸交于C，D兩點（C在D的右側(cè)），下列結(jié)論：①c≥?2

；②當(dāng)x>0時，一定有y隨x的增大而增大；③若點D橫坐標的最小值為?5，點C橫坐標的最大值為3；④當(dāng)四邊形ABCD為平行四邊形時，a=．其中正確的是（

）A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④【答案】D【詳解】解：∵點A，B的坐標分別為(-3，-2)和(1，-2)，∴線段AB與y軸的交點坐標為(0，-2)，又∵拋物線的頂點在線段AB上運動，拋物線與y軸的交點坐標為(0，c)，∴C≥-2，(頂點在y軸上時取“=”)，故①正確；∵拋物線的頂點在線段AB上運動，開口向上，∴當(dāng)x＞1時，一定有y隨x的增大而增大，故②錯誤；若點D的橫坐標最小值為-5，則此時對稱軸為直線x=-3，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，點C的橫坐標最大值為1+2=3，故③正確；令y=0，則ax2+bx+c=0，設(shè)該方程的兩根為x1，x2，則x1+x2=-，x1x2=，∴CD2=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2，根據(jù)頂點坐標公式，，∴，即，∵四邊形ACDB為平行四邊形，∴CD=AB=1-（-3)=4，∴=42=16，解得a=，故④正確；綜上所述，正確的結(jié)論有①③④．故選：D．【即學(xué)即練】如圖，已知拋物線經(jīng)過點，，與y軸交于點，P為AC上的一個動點，則有以下結(jié)論：①拋物線的對稱軸為直線；②拋物線的最大值為；③；④OP的最小值為．則正確的結(jié)論為（

）A．①②④ B．①② C．①②③ D．①③④【答案】D【詳解】解：∵拋物線經(jīng)過點，，∴拋物線的對稱軸為直線，故①正確；設(shè)拋物線關(guān)系式為：，∵拋物線經(jīng)過點，∴-4a=2，解得：，∴拋物線關(guān)系式為：，∴當(dāng)時，y有最大值，故②錯誤；∴點B坐標為（-1，0），點A坐標為（4，0），∴AB=5．當(dāng)x=0時，y=2，∴點C坐標為（0，2），∴，∵，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，故③正確；當(dāng)OP⊥AC時，OP取最小值，此時根據(jù)三角形的面積可得，∴，解得OP=，∴OP的最小值為．故④正確；故正確的有：①③④，故選：D．【典例6】已知拋物線的解析式為（m為常數(shù)），則下列說法正確的是____________．①當(dāng)時，點在拋物線上；②對于任意的實數(shù)m，都是方程的一個根；③若，當(dāng)時，y隨x的增大而增大；④已知點，則當(dāng)時，拋物線與線段有兩個交點．【答案】②【詳解】解：拋物線（為常數(shù)）中，當(dāng)時，拋物線，若，則，點不在拋物線上，即①說法錯誤，不符合題意，方程即，或，解得，，對于任意實數(shù)，都是方程的一個根，即②說法正確，符合題意，拋物線（為常熟）中，，開口向上，對稱軸是直線，當(dāng)時，隨的增大而增大，即若，，當(dāng)時，y隨x的增大而增大，不一定正確，即③說法錯誤，不符合題意，拋物線（為常數(shù)）中，當(dāng)時，，解得，，拋物線與軸的交點坐標為、，當(dāng)時，，“④已知點，則當(dāng)時，拋物線與線段有兩個交點”的說法錯誤，（因為當(dāng)時只有一個交點），不符合題意，綜上所述，說法正確的是②，故答案為：②．【即學(xué)即練】如圖，已知拋物線與x軸相交于于點，，與軸的交于點．點在平面直角坐標系第一象限內(nèi)的拋物線上運動，設(shè)的面積為．下列結(jié)論：①；②；③，其中，正確結(jié)論的序號是________．（所有正確的序號都填上）【答案】①②③【詳解】∵拋物線與x軸相交于于點，，∴令y=0得：，解得：，∴A（-1，0），B（3，0），∴AB=4故①正確；∵拋物線與y軸相交于于點C，∴令x=0得：y=6，∴C（0，6），∴OC=6，故②正確；過點作軸，交于點，如圖1所示．設(shè)直線的解析式為，將、代入，得，解得，直線的解析式為．點在平面直角坐標系第一象限內(nèi)的拋物線上運動，點的坐標為，則點的坐標為，，，當(dāng)時，面積取最大值，最大值為．故③正確，故答案為：①②③．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．拋物線經(jīng)過點（m，3），則代數(shù)式的值為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【詳解】解：將點（m，3）代入中得，，故代數(shù)式的值為3，故選：D．2．二次函數(shù)（a≠0）中x，y的部分對應(yīng)值如下表：x…﹣2﹣1012…y…0﹣4﹣6﹣6﹣4…則該二次函數(shù)圖象的對稱軸為（）A．y軸 B．直線x＝ C．直線x＝1 D．直線x＝【答案】B【詳解】解：由圖表可知：x=0時，y=-6，x=1時，y=-6，∴二次函數(shù)的對稱軸為：，故選：B．3．若二次函數(shù)y＝x2+2x+k的圖象經(jīng)過點（1，y1），（﹣2，y2），則y1，y2與的大小關(guān)系為（）A．y1＞y2 B．y1＝y(tǒng)2 C．y1＜y2 D．不能確定【答案】A【詳解】解：當(dāng)x＝1時，y1＝x2+2x+k＝1+2+k＝k+3；當(dāng)x＝﹣2時，y2＝x2+2x+k＝4﹣4+k＝k，所以y1＞y2．故選：A．4．已知(﹣4，y1)，(2.5，y2)，(5，y3)是拋物線y＝﹣3x2﹣6x+m上的點，則y1、y2、y3的大小關(guān)系是（）A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y3＞y2 D．y2＞y1＞y3【答案】A【詳解】解：∵y＝﹣3x2﹣6x+m，∴拋物線開口向下，對稱軸為直線x＝﹣＝﹣1，∴與直線x＝﹣1距離越近的點的縱坐標越大，∵﹣1﹣（﹣4）＜2.5﹣（﹣1）＜5﹣（﹣1），∴y1＞y2＞y3，故選：A．5．已知函數(shù)y＝a﹣2ax﹣1（a是常數(shù)，a≠0），下列結(jié)論正確的是（

）A．若a＞0，則當(dāng)x≥1時，y隨x的增大而減小 B．若a＜0，則當(dāng)x≤1時，y隨x的增大而增大C．當(dāng)a＝1時，函數(shù)圖像過點（﹣1，1） D．當(dāng)a＝﹣2時，函數(shù)圖像與x軸沒有交點【答案】B【詳解】解：A、拋物線的對稱軸為直線：，則若a＞0，則當(dāng)x≥1時，y隨x的增大而增大，選項說法錯誤，不符合題意；B、拋物線的對稱軸為直線：，若a＜0，則當(dāng)x≤1時，y隨x的增大而增大，選項說法正確，符合題意；C、當(dāng)，時，，則當(dāng)a＝1時，函數(shù)圖像不經(jīng)過點（﹣1，1），選項說法錯誤，不符合題意；D、當(dāng)a＝﹣2時，，，則函數(shù)圖像與x軸有兩個交點，選項說法錯誤，不符合題意；故選B．6．已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，有以下4個結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【詳解】解：①拋物線開口向下，，∵，∴，，拋物線與軸的交點在軸的正半軸，，，故錯誤；②觀察函數(shù)圖象，可知：當(dāng)時，，，故錯誤．③拋物線的對稱軸為，拋物線與軸的交點在軸的正半軸，當(dāng)時，，，故正確；④拋物線與軸有2個交點，△，故正確．故選：B．7．已知二次函數(shù)y=x2－4x－m的最小值是1，則m=_______．【答案】-5【詳解】解：由知，當(dāng)x=2時，y有最小值為-4-m，∵該函數(shù)的最小值為1，∴-4-m=1，解得：m=-5，故答案為：-5．8．二次函數(shù)的圖象過點，，若當(dāng)時．隨著的增大而減小，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】且【詳解】解：將代入得①，將代入得②，由②①得，，，拋物線的對稱軸為直線，當(dāng)時．隨著的增大而減小，時，，解得，時，，解得，故答案為：且．9．已知拋物線y=ax2－2ax－3+2a2（a<0）．(1)求這條拋物線的對稱軸；(2)若該拋物線的頂點在x軸上，求拋物線的函數(shù)解析式；【答案】(1)x=1(2)y=－x2+2x－1【詳解】（1）解：∵拋物線，∴拋物線的對稱軸為直線x=1；（2）由（1）可得，∵拋物線的頂點在x軸上，∴，解得，=－1，∵a<0，∴a=－1，∴拋物線的解析式為．10．已知拋物線．(1)寫出它的開口方向、對稱軸和頂點坐標；(2)當(dāng)為何值時，函數(shù)取得最大值，請求出這個最大值．【答案】(1)拋物線開口向下，對稱軸是直線，頂點坐標是(2)當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，最大值是3．【詳解】（1）解：∵－1＜0，∴拋物線開口向下，對稱軸是直線，∵，∴頂點坐標是；（2）∵拋物線的頂點坐標是，∴當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，最大值是3．題組B能力提升練1．將二次函數(shù)的圖象先向右平移2個單位，再向下平移3個單位，所得圖象的函數(shù)解析式為，則、的值為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【詳解】由題意可得新拋物線的頂點為，∴原拋物線的頂點為，設(shè)原拋物線的解析式為，代入得：，∴，．故選：D．2．如圖是二次函數(shù)y＝ax2﹣x＋a2﹣9圖象，圖象過坐標原點，則a的值是（

）A．a(chǎn)＝3 B．a(chǎn)＝－3 C．a(chǎn)＝－9 D．a(chǎn)＝3或a＝﹣3【答案】A【詳解】解：∵拋物線經(jīng)過原點，∴a2-9=0，解得a=3或a=-3，∵拋物線開口向上，∴a=3，故選：A．3．已知二次函數(shù)，當(dāng)函數(shù)值y隨x值的增大而增大時，x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：∵∵開口向上，對稱軸為x=1，∴x＞1時，函數(shù)值y隨x的增大而增大．故選：B．4．已知拋物線的最低點的縱坐標為，則拋物線的表達式是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：∵拋物線的最低點的縱坐標為，∴，即∴，當(dāng)m=1時，拋物線為．故選：B．5．直線與拋物線在同一平面直角坐標系中的圖像可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：A、由拋物線可知，a＞0，b＜0，c＞0，則ac＞0，由直線可知，ac＞0，b＞0，故本選項不合題意；B、由拋物線可知，a＞0，b＞0，c＞0，則ac＞0，由直線可知，ac＞0，b＞0，故本選項符合題意；C、由拋物線可知，a＜0，b＜0，c＞0，則ac＜0，由直線可知，ac＞0，b＞0，故本選項不合題意；D、由拋物線可知，a＜0，b＞0，c＞0，則ac＜0，由直線可知，ac＜0，b＜0，故本選項不合題意．故選：B．6．二次函數(shù)（）的部分圖象如圖所示，圖象過點（，0），對稱軸為直線，下列結(jié)論：（1）；（2）；（3）；（4）若點A（，），點B（，），點C（，）在該函數(shù)圖象上，則；（5）m為任意實數(shù)，則．其中正確的結(jié)論有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】A【詳解】解：∵對稱軸為直線x=2，∴-=2，∴b=-4a，∴b+4a=0，∴（1）正確；∵經(jīng)過點（-1，0），∴a-b+c=0，∴c=b-a=-4a-a=-5a，∴4a+c-2b=4a-5a+8a=7a，∵a＜0，∴4a+c-2b＜0，∴4a+c＜2b，∴（2）不正確；∵5a+3c=5a-15a=-10a＞0，∴（3）正確；∵|-2-2|=4，|-2|=，|-2|=，∴y1＜y2＜y3，∴（4）不正確；當(dāng)x=2時，函數(shù)有最大值4a+2b+c，∴am2+bm+c≤4a+2b+c，∴（5）不正確；綜上所述：（1）（3）正確，故選：A．7．已知二次函數(shù)，當(dāng)時，自變量的取值范圍是______．【答案】x≤-2或x≥4【詳解】解：∵二次函數(shù)，∴拋物線開口向上，對稱軸為直線，∴當(dāng)時，y隨x的增大而減小，當(dāng)時，y隨x的增大而增大，當(dāng)時，則，即，解得，或，∴當(dāng)時，自變量x的取值范圍是或，故答案為：或．8．如圖，拋物線的對稱軸為直線，點A，B均在拋物線上，且與x軸平行，其中點A的坐標為，則點B的坐標為_____．【答案】(6，5)【詳解】∵AB與x軸平行，而點A，B均在拋物線上，∴點A與點B關(guān)于直線x=1對稱，∵點A的坐標為，∴B點坐標為，故答案為．9．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2）．(1)求此拋物線的解析式和對稱軸．(2)在此拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PAC的周長最??？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，說明理由．【答案】(1)y＝x2﹣x﹣2；對稱軸為x＝(2)存在，P的坐標為（，﹣）【詳解】（1）解：設(shè)該拋物線的解析式為y＝ax2+bx+c，∵該拋物線過點A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），代入，得：解得：

∴此拋物線的解析式為y＝x2﹣x﹣2．∵拋物線解析式為y＝x2﹣x﹣2＝﹣∴拋物線的對稱軸為x＝．（2）解：存在，理由如下：連接PB由拋物線的對稱性得：PA＝PB∴△PAC的周長PA+PC+AC＝PB+PC+AC，∴當(dāng)B、P、C三點共線時，PB+PC最小，即當(dāng)B、P、C三點共線時，△PAC的周長最小，設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+m，將點B（4，0），點C（0，﹣2）代入，得，解得：，即直線BC的解析式為y＝x﹣2．令x＝，則有y＝﹣2＝﹣，即點P的坐標為（，﹣）．∴在此拋物線的對稱軸上存在點P，使△PAC的周長最小，此時點P的坐標為（，﹣）．10．如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0），B（3，0）兩點．(1)求拋物線的解析式和頂點坐標；(2)當(dāng)0＜x＜3時，直接寫出y的取值范圍；【答案】(1)，頂點坐標為（1，4）；(2)0＜y≤4【詳解】（1）解：將A（?1，0）和B（3，0）代入y＝?x2＋bx＋c，得，解得：，∴拋物線的解析式為：，∵，∴拋物線的頂點坐標為（1，4）；（2）∵當(dāng)x＝1時，y＝4；當(dāng)x＝3時，y＝0，∴由函數(shù)圖象可得：當(dāng)0＜x＜3時，0＜y≤4．題組C培優(yōu)拔尖練1．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y＝bx+c和反比例函數(shù)y＝在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：∵二次函數(shù)圖象開口方向向下，∴a＜0，∵對稱軸為直線＞0，∴b＞0，∵與y軸的負半軸相交，∴c＜0，∴y=bx+c的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，反比例函數(shù)y=圖象在第二四象限，只有D選項圖象符合．故選：D．2．若點A（﹣3，），B（1，），C（m，）在拋物線y＝ax2+4ax+c上，且＜＜，則m的取值范圍是（）A．﹣3＜m＜1 B．﹣5＜m＜﹣1或﹣3＜m＜1C．m＜﹣3或m＞1 D．﹣5＜m＜﹣3或﹣1＜m＜1【答案】D【詳解】解：拋物線y＝ax2+4ax+c的對稱軸為x＝﹣＝﹣2，∵點A（﹣3，y1），B（1，y2），C（m，y3）在拋物線y＝ax2+4ax+c上，且y1＜y3＜y2，∴當(dāng)a＜0，則|m+2|＜1且|m+2|＞3，（不存在）；當(dāng)a＞0，則1＜|m+2|＜3，解得﹣5＜m＜﹣3或﹣1＜m＜1．故選：D．3．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的大致圖象如圖，下列結(jié)論錯誤的為（）A．b2﹣4ac＞0 B．a(chǎn)+b+c＞0C．a(chǎn)x2+bx+c≥﹣1 D．2a﹣b＝0【答案】D【詳解】解：由圖象可知，拋物線與x軸有兩個交點，所以b2﹣4ac＞0，故選項A正確不符合題意；由圖象可知，當(dāng)x=1時，y>0，所以a+b+c＞0，故選項B正確不符合題意；由圖象可知，拋物線的最低點為(-2,-1)，所以ax2+bx+c≥﹣1，故選項C正確不符合題意；由圖象可知，拋物線的對稱軸為x=-2，，所以4a﹣b＝0，故選項D錯誤符合題意．故選：D．4．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．a(chǎn)bc＜0 B．a(chǎn)＋b＞m（am＋b）（m≠1）C．4a﹣2b＋c＜0 D．3a＋c＝1【答案】D【詳解】解：∵拋物線開口向下，∴a＜0，∵拋物線對稱軸為直線x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，∵拋物線與y軸交點在x軸上方，∴c＞0，∴abc＜0，故A正確；當(dāng)x＝m（m≠1）時，y＝am2+bm+c，當(dāng)x＝1時，y有最大值為a+b+c，∴am2+bm+c＜a+b+c，∴am2+bm＜a+b，∴a+b＞m（am+b）（m≠1），故B正確；由圖象知，當(dāng)x＝﹣2時，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，故C正確；由圖象知，拋物線與x軸的交點橫坐標大于﹣1小于0，對稱軸為x＝1，∴拋物線與x軸另一交點的橫坐標大于2小于3，∴當(dāng)x＝3時，y＜0，∴9a+3b+c＜0，∵b＝﹣2a，∴3a+c＜0，故D錯誤；故選：D．5．二次函數(shù)（a，b，c是常數(shù)，）的自變量x與函數(shù)值y的部分對應(yīng)值如下表：x…012……tmn…且當(dāng)時，其對應(yīng)的函數(shù)值．有下列結(jié)論：①；②和3是關(guān)于x的方程的兩個根；③對稱軸為；④；其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【詳解】二次函數(shù)（a，b，c是常數(shù)，），當(dāng)時，，當(dāng)時，，．當(dāng)時，其對應(yīng)的函數(shù)值，二次函數(shù)開口向下，．，，，．（①結(jié)論符合題意）時，，是關(guān)于x的方程的根．對稱軸，，（③結(jié)論不符合題意）和3是關(guān)于x的方程的兩個根．（②結(jié)論符合題意）時，，時，，．．（④結(jié)論不符合題意）正確的結(jié)論有2個．故選：C．6．已知拋物線（c為常數(shù)）經(jīng)過點，，，當(dāng)時，則m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】∵過點(4,c)，∴16+4b+c=c，解得b=-4，∴，∴則拋物線的對稱軸為x=2，，∵(p,m)和(q,m)的函數(shù)值相等，∴(p,m)和(q,m)關(guān)于拋物線對稱軸對稱，∴，即，∵，∴，解得：，將點(q,m)代入，有：，變形得：，∵函數(shù)的自變量范圍為，∴當(dāng)q=5時，m取最大值，m=c+5，當(dāng)q=時，m取最小值，，∴m的取值范圍為：，故選：B．7．已