重慶市兩江育才中學(xué)2025屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

重慶市兩江育才中學(xué)2025屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知A(3,1)，B(－1,2)，若∠ACB的平分線方程為y＝x＋1，則AC所在的直線方程為()A.y＝2x＋4 B.y＝x－3C.x－2y－1＝0 D.3x＋y＋1＝02．已知，則的周期為（）A. B.C.1 D.23．已知函數(shù)的圖象，給出以下四個(gè)論斷①的圖象關(guān)于直線對(duì)稱②圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為③在區(qū)間上是減函數(shù)④可由向左平移個(gè)單位以上四個(gè)論斷中正確的個(gè)數(shù)為（）A.3 B.2C.1 D.04．已知，，且，，，那么的最大值為（）A. B.C.1 D.25．如果函數(shù)在上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，那么“”是“函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件6．已知三棱錐的三條棱,,長(zhǎng)分別是3、4、5，三條棱,,兩兩垂直，且該棱錐4個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，則這個(gè)球的表面積是A B.C. D.都不對(duì)7．將函數(shù)的圖象先向左平移，然后將所得圖象上所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），則所得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為A. B.C. D.8．若兩直線與平行，則它們之間的距離為A. B.C. D.9．已知偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則的解集是（）A. B.或C.或 D.或10．過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線方程是（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．如圖，已知圓柱的軸截面是矩形，，是圓柱下底面弧的中點(diǎn)，是圓柱上底面弧的中點(diǎn)，那么異面直線與所成角的正切值為_(kāi)_________12．若實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為_(kāi)__________13．已知曲線且過(guò)定點(diǎn)，若且，則的最小值為_(kāi)____14．已知函數(shù)的零點(diǎn)依次為a，b，c，則＝________15．以等邊三角形每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段弧，三段弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形.勒洛三角形是由德國(guó)機(jī)械工程專家、機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)家勒洛首先發(fā)現(xiàn)，所以以他的名字命名.一些地方的市政檢修井蓋、方孔轉(zhuǎn)機(jī)等都有應(yīng)用勒洛三角形.如圖，已知某勒洛三角形的一段弧的長(zhǎng)度為，則該勒洛三角形的面積為_(kāi)__________.16．一個(gè)扇形周長(zhǎng)為8，則扇形面積最大時(shí)，圓心角的弧度數(shù)是__________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．旅行社為某旅行團(tuán)包飛機(jī)去旅游，其中旅行社的包機(jī)費(fèi)為元.旅行團(tuán)中的每個(gè)人的飛機(jī)票按以下方式與旅行社結(jié)算：若旅行團(tuán)的人數(shù)不超過(guò)人時(shí)，飛機(jī)票每張?jiān)蝗袈眯袌F(tuán)的人數(shù)多于人時(shí)，則予以優(yōu)惠，每多人，每個(gè)人的機(jī)票費(fèi)減少元，但旅行團(tuán)的人數(shù)最多不超過(guò)人.設(shè)旅行團(tuán)的人數(shù)為人，飛機(jī)票價(jià)格元，旅行社的利潤(rùn)為元.（1）寫出每張飛機(jī)票價(jià)格元與旅行團(tuán)人數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)旅行團(tuán)人數(shù)為多少時(shí)，旅行社可獲得最大利潤(rùn)？求出最大利潤(rùn).18．已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P滿足若點(diǎn)P為曲線C，求此曲線的方程；已知直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，且與中的曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線l的方程19．某學(xué)校對(duì)高一某班的名同學(xué)的身高（單位：）進(jìn)行了一次測(cè)量，將得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)分組后（每組為左閉右開(kāi)區(qū)間），畫出如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求直方圖中的值，估計(jì)全班同學(xué)身高的中位數(shù)；（2）若采用分層抽樣的方法從全班同學(xué)中抽取了名身高在內(nèi)的同學(xué)，再?gòu)倪@名同學(xué)中任選名去參加跑步比賽，求選出的名同學(xué)中恰有名同學(xué)身高在內(nèi)的概率.20．設(shè)函數(shù)，（1）求函數(shù)的值域；（2）設(shè)函數(shù)，若對(duì)，，，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍21．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A為單位圓與x軸正半軸的交點(diǎn)，點(diǎn)P為單位圓上的一點(diǎn)，且，點(diǎn)P沿單位圓按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角后到達(dá)點(diǎn).（1）求陰影部分的面積；（2）當(dāng)時(shí)，求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】設(shè)點(diǎn)A（3,1）關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，即，所以直線的方程為，聯(lián)立解得，即,又，所以邊AC所在的直線方程為，選C.點(diǎn)睛：本題主要考查了直線方程的求法，屬于中檔題．解題時(shí)要結(jié)合實(shí)際情況，準(zhǔn)確地進(jìn)行求解2、A【解析】利用兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)，代入周期計(jì)算公式即可求得周期.【詳解】，周期為：故選：A【點(diǎn)睛】本題考查兩角和的正弦公式，三角函數(shù)的最小正周期，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】利用代入檢驗(yàn)法可判斷①②③的正誤，利用圖象變換可判斷④的正誤.【詳解】，故的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故①正確.，故的圖象的對(duì)稱中心不是，故②錯(cuò)誤.，當(dāng)，，而在為減函數(shù)，故在為減函數(shù)，故③正確.向左平移個(gè)單位后所得圖象對(duì)應(yīng)的解析式為，當(dāng)時(shí)，此函數(shù)的函數(shù)值為，而，故與不是同一函數(shù)，故④錯(cuò)誤.故選：B.4、C【解析】根據(jù)題意，由基本不等式的性質(zhì)可得，即可得答案.【詳解】根據(jù)題意，，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即的最大值為1.故選：5、A【解析】由零點(diǎn)存在性定理得出“若，則函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)”舉反例即可得出正確答案.【詳解】由零點(diǎn)存在性定理可知，若，則函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)而若函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，則不一定成立，比如在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，但所以“”是“函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)”的充分而不必要條件故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了充分不必要條件的判斷，屬于中檔題.6、B【解析】長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱分別為，且它的八個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則長(zhǎng)方體的對(duì)角線就是球的直徑，長(zhǎng)方體的對(duì)角線為球的半徑為則這個(gè)球的表面積為故選點(diǎn)睛：本題考查的是球的體積和表面積以及球內(nèi)接多面體的知識(shí)點(diǎn)．由題意長(zhǎng)方體的外接球的直徑就是長(zhǎng)方體的對(duì)角線，求出長(zhǎng)方體的對(duì)角線，就是求出球的直徑，然后求出球的表面積即可7、C【解析】把原函數(shù)解析式中的換成，得到y(tǒng)=sin2x+π6-π3的圖象，再把的系數(shù)變成原來(lái)的【詳解】將函數(shù)y=sin2x-π3的圖象先向左平移，得到然后將所得圖象上所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到y(tǒng)=sin1故選：C8、D【解析】根據(jù)兩直線平行求得值，利用平行線間距離公式求解即可【詳解】與平行,,即直線為,即故選D【點(diǎn)睛】本題考查求平行線間距離.當(dāng)直線與直線平行時(shí),；平行線間距離公式為，因此兩平行直線需滿足,9、B【解析】由已知和偶函數(shù)的性質(zhì)將不等式轉(zhuǎn)化為，再由其單調(diào)性可得，解不等式可得答案【詳解】因?yàn)?，則，所以，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，解得或，所以不等式的解集為或，故選：B10、D【解析】先由題意設(shè)所求直線為：，再由直線過(guò)點(diǎn)，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)樗笾本€與直線平行，因此，可設(shè)所求直線為：，又所求直線過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所求直線方程為：.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查求直線的方程，熟記直線方程的常見(jiàn)形式即可，屬于基礎(chǔ)題型.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】取圓柱下底面弧AB的另一中點(diǎn)D，連接C1D，AD，因?yàn)镃是圓柱下底面弧AB中點(diǎn)，所以AD∥BC，所以直線AC1與AD所成角等于異面直線AC1與BC所成角，因?yàn)镃1是圓柱上底面弧A1B1的中點(diǎn)，所以C1D⊥圓柱下底面，所以C1D⊥AD，因?yàn)閳A柱的軸截面ABB1A1是矩形，AA1=2AB所以C1D＝2AD，所以直線AC1與AD所成角的正切值為2，所以異面直線AC1與BC所成角的正切值為2故答案為：2.點(diǎn)睛：求兩條異面直線所成角關(guān)鍵是作為這兩條異面直線所成角，作兩條異面直線所成角的方法是：將其中一條一條直線平移與另一條相交相交或是將兩條異面直線同時(shí)平移到某個(gè)位置使他們相交，然后再同一平面內(nèi)求相交直線所成角，值得注意的是：平移后相交所得的角必須容易算出，因此平移時(shí)要求選擇恰當(dāng)位置.12、【解析】由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求出的值，再由基本不等式計(jì)算即可得答案【詳解】由題意，得：，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)）故答案為：13、【解析】由指數(shù)函數(shù)圖象所過(guò)定點(diǎn)求出，利用“1”的代換湊配出定值后用基本不等式得出最小值．【詳解】令，，則，∴定點(diǎn)為，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)取得最小值.故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查用基本不等式求最值．“1”的代換是解題關(guān)鍵．14、【解析】根據(jù)對(duì)稱性得出，再由得出答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)與的圖象關(guān)于對(duì)稱，函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，所以，又，所以.故答案為：15、【解析】計(jì)算出等邊的邊長(zhǎng)，計(jì)算出由弧與所圍成的弓形的面積，進(jìn)而可求得勒洛三角形的面積.【詳解】設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為，則，解得，所以，由弧與所圍成的弓形的面積為，所以該勒洛三角形的面積.故答案為：.16、2【解析】設(shè)扇形的半徑為，則弧長(zhǎng)為，結(jié)合面積公式計(jì)算面積取得最大值時(shí)的取值，再用圓心角公式即可得弧度數(shù)【詳解】設(shè)扇形的半徑為，則弧長(zhǎng)為，，所以當(dāng)時(shí)取得最大值為4，此時(shí)，圓心角為（弧度）故答案為：2三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）當(dāng)旅游團(tuán)人數(shù)為或時(shí)，旅行社可獲得最大利潤(rùn)為元.【解析】（1）討論和兩種情況，分別計(jì)算得到答案.（2），分別計(jì)算最值得到答案.【詳解】（1）依題意得，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，；∴（2）設(shè)利潤(rùn)為，則.當(dāng)且時(shí)，，當(dāng)且時(shí)，，其對(duì)稱軸為因?yàn)?，所以?dāng)或時(shí)，.故當(dāng)旅游團(tuán)人數(shù)為或時(shí)，旅行社可獲得最大利潤(rùn)為元.【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的應(yīng)用能力和計(jì)算能力.18、（1）（2）或【解析】設(shè)，由動(dòng)點(diǎn)P滿足，列出方程，即可求出曲線C的方程設(shè)直線l在坐標(biāo)軸上的截距為a，當(dāng)時(shí)，直線l與曲線C有兩個(gè)公共點(diǎn)，已知矛盾；當(dāng)時(shí)，直線方程與圓的方程聯(lián)立方程組，根據(jù)由直線l與曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)，即可求出直線l的方程【詳解】設(shè)，點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P滿足，整理得：，曲線C方程為設(shè)直線l的橫截距為a，則直線l的縱截距也為a，當(dāng)時(shí)，直線l過(guò)，設(shè)直線方程為把代入曲線C的方程，得：，，直線l與曲線C有兩個(gè)公共點(diǎn)，已知矛盾；當(dāng)時(shí)，直線方程為，把代入曲線C的方程，得：，直線l與曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)，，解得，直線l的方程為或【點(diǎn)睛】本題主要考查了曲線軌跡方程的求法，以及直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中熟記直接法求軌跡的方法，以及合理使用直線與圓的位置關(guān)系是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題19、（1），中位數(shù)為（2）【解析】（1）利用頻率分布直方圖中所有矩形的面積之和為可求得的值，設(shè)中位數(shù)為，利用中位數(shù)左邊的矩形面積之和為列等式可求得的值；（2）分析可知所抽取的名學(xué)生，身高在的學(xué)生人數(shù)為，分別記為、、，身高在的學(xué)生人數(shù)為，記為，列舉出所有的基本事件，確定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【小問(wèn)1詳解】解：由圖可得，解得.設(shè)中位數(shù)為，前兩個(gè)矩形的面積之和為，前三個(gè)矩形的面積之和為，可知，所以，，解得，故估計(jì)全班同學(xué)身高的中位數(shù)為.【小問(wèn)2詳解】解：所抽取的名學(xué)生，身高在的學(xué)生人數(shù)為，身高在的學(xué)生人數(shù)為，設(shè)身高在內(nèi)的同學(xué)分別為、、，身高在內(nèi)的同學(xué)為，則這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間可記為，共包含個(gè)樣本點(diǎn)，記事件選出的名同學(xué)中恰有一名同學(xué)身高在內(nèi).則事件包含的基本事件有、、，共種，故.20、（1）；（2）.【解析】(1)由題可得，利用基本不等式可求函數(shù)的值域；(2)由題可求函數(shù)在上的值域，由題可知函數(shù)在上的值域包含于函數(shù)在上的值域，由此可求正實(shí)數(shù)a的取值范圍【小問(wèn)1詳解】∵，又，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，即函數(shù)的值域?yàn)椤拘?wèn)2詳解】∵，設(shè)，因?yàn)?，所以，函?shù)在上單調(diào)遞增，∴，即，設(shè)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)锳．由題意知，∵函數(shù)，函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)