2025屆廣東省揭陽市惠來縣一中高二數(shù)學第一學期期末聯(lián)考模擬試題含解析

2025屆廣東省揭陽市惠來縣一中高二數(shù)學第一學期期末聯(lián)考模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若實數(shù)滿足約束條件，則最小值為（）A.-2 B.-1C.1 D.22．已知圓：，點是直線：上的動點，過點引圓的兩條切線、，其中、為切點，則直線經(jīng)過定點（）A. B.C. D.3．阿基米德（公元前287年~公元前212年）不僅是著名的物理學家，也是著名的數(shù)學家，他利用“逼近法”得到的橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓C的對稱軸為坐標軸，焦點在y軸上，且橢圓C的離心率為，面積為6π，則橢圓C的標準方程為（）A. B.C. D.4．在公比為為q等比數(shù)列中，是數(shù)列的前n項和，若，則下列說法正確的是（）A. B.數(shù)列是等比數(shù)列C. D.5．已知數(shù)列的前n項和為，，，則（）A. B.C.1025 D.20496．函數(shù)在（0，e]上的最大值為（）A.－1 B.1C.0 D.e7．復數(shù)的共軛復數(shù)是A. B.C. D.8．紫砂壺是中國特有的手工制造陶土工藝品,其制作始于明朝正德年間.紫砂壺的壺型眾多,經(jīng)典的有西施壺、掇球壺、石瓢壺、潘壺等.其中,石瓢壺的壺體可以近似看成一個圓臺(即圓錐用平行于底面的平面截去一個錐體得到的).下圖給出了一個石瓢壺的相關數(shù)據(jù)(單位:cm),那么該壺的容量約為（）A.100 B.C.300 D.4009．已知向量分別是直線的方向向量，若，則（）A. B.C. D.10．三個實數(shù)構成一個等比數(shù)列，則圓錐曲線的離心率為（）A. B.C.或 D.或11．f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當x＜0時，f（x）g（x）+f（x）g（x）＜0且f（﹣1）＝0則不等式f（x）g（x）＜0的解集為A.（﹣1，0）∪（1，+∞） B.（﹣1，0）∪（0，1）C.（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D.（﹣∞，﹣1）∪（0，1）12．橢圓的離心率為（）A B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若拋物線上一點到其準線的距離為4，則拋物線的標準方程為___________.14．在等比數(shù)列中，已知，則________15．已知函數(shù)，設，且函數(shù)有3個不同的零點，則實數(shù)k的取值范圍為___________.16．若橢圓的焦點在軸上，且長軸長是短軸長的2倍，則______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設數(shù)列的前項和為，已知，且.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）若，是否存在正整數(shù)，使得對任意恒成立?若存在、求的值；若不存在，說明理由.18．（12分）（1）已知雙曲線的離心率為2，求E的漸近線方程；（2）已知F是拋物線的焦點，是C上一點，且，求C的方程.19．（12分）如圖，在直三棱柱中，平面?zhèn)让妫?（1）求證：；（2）若直線與平面所成的角為，請問在線段上是否存在點，使得二面角的大小為，若存在請求出的位置，不存在請說明理由.20．（12分）已知函數(shù)，.（1）當時，求函數(shù)的極值；（2）若存在，使不等式成立，求實數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知橢圓的離心率，過橢圓C的焦點且垂直于x軸的直線截橢圓所得到的線段的長度為1（1）求橢圓C的方程；（2）直線交橢圓C于A、B兩點，若y軸上存在點P，使得是以AB為斜邊的等腰直角三角形，求的面積的取值范圍22．（10分）已知函數(shù)，且a0（1）當a=1時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）記函數(shù)，若函數(shù)有兩個零點，①求實數(shù)a的取值范圍；②證明：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標代入目標函數(shù)得答案【詳解】由約束條件作出可行域如圖，聯(lián)立，解得，由，得，由圖可知，當直線過時，直線在軸上的截距最小，有最小值為故選：B2、D【解析】根據(jù)圓的切線性質(zhì)，結(jié)合圓的標準方程、圓與圓的位置關系進行求解即可.【詳解】因為、是圓的兩條切線，所以，因此點、在以為直徑的圓上，因為點是直線：上的動點，所以設，點，因此的中點的橫坐標為：，縱坐標為：，，因此以為直徑的圓的標準方程為：，而圓：，得：，即為直線的方程，由，所以直線經(jīng)過定點，故選：D【點睛】關鍵點睛：由圓的切線性質(zhì)得到點、在以為直徑的圓上，運用圓與圓的位置關系進行求解是解題的關鍵.3、D【解析】設橢圓的方程為，根據(jù)題意得到和，求得的值，即可求解.【詳解】由題意，橢圓的焦點在軸上，可設橢圓的方程為，因為橢圓C的離心率為，可得，又由，即，解得，又因為橢圓的面積為，可得，即，聯(lián)立方程組，解答，所以橢圓方程為.故選：D.4、D【解析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式、前項和公式的基本量運算，即可得到答案；【詳解】，，故A錯誤；，，顯然數(shù)列不是等比數(shù)列，故B錯誤；，故C錯誤；，，故D成立；故選：D5、B【解析】根據(jù)題意得，進而根據(jù)得數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項為，再根據(jù)等比數(shù)列求和公式求解即可.【詳解】解：因為數(shù)列的前n項和為滿足，所以當時，，解得，當時，，即所以，解得或，因為，所以.所以，，所以當時，，所以，即所以數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項為，所以故選：B6、A【解析】對函數(shù)求導，然后求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求出函數(shù)的最大值【詳解】由，得，當時，，當，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當時，取得最大值，故選：A7、B【解析】因,故其共軛復數(shù).應選B.考點：復數(shù)的概念及運算.8、B【解析】根據(jù)圓臺的體積等于兩個圓錐的體積之差，即可求出【詳解】設大圓錐的高為，所以，解得故故選：B【點睛】本題主要考查圓臺體積的求法以及數(shù)學在生活中的應用，屬于基礎題9、C【解析】由題意，得，由此可求出答案【詳解】解：∵，且分別是直線的方向向量，∴，∴，∴，故選：C【點睛】本題主要考查向量共線的坐標表示，屬于基礎題10、D【解析】根據(jù)三個實數(shù)構成一個等比數(shù)列，解得，然后分，討論求解.【詳解】因為三個實數(shù)構成一個等比數(shù)列，所以，解得，當時，方程表示焦點在x軸上的橢圓，所以，所以，當時，方程表示焦點在y軸上的雙曲線，所以，所以，故選：D11、A【解析】構造函數(shù)h（x）＝f（x）g（x），由已知得當x＜0時，h（x）＜0，所以函數(shù)y＝h（x）在（﹣∞，0）單調(diào)遞減，又因為f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，得函數(shù)y＝h（x）為R上的奇函數(shù)，所以函數(shù)y＝h（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，得到f（x）g（x）＜0不等式的解集【詳解】設h（x）＝f（x）g（x），因為當x＜0時，f（x）g（x）+f（x）g（x）＜0，所以當x＜0時，h（x）＜0，所以函數(shù)y＝h（x）在（﹣∞，0）單調(diào)遞減，又因為f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，所以函數(shù)y＝h（x）為R上的奇函數(shù)，所以函數(shù)y＝h（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，因為f（﹣1）＝0，所以函數(shù)y＝h（x）的大致圖象如下：所以等式f（x）g（x）＜0的解集為（﹣1，0）∪（1，+∞）故選A【點睛】本題考查導數(shù)乘法法則、導數(shù)的符號與函數(shù)單調(diào)性的關系；奇函數(shù)的單調(diào)性在對稱區(qū)間上一致，屬于中檔題12、D【解析】根據(jù)橢圓方程先寫出標準方程，然后根據(jù)標準方程寫出便可得到離心率.【詳解】解：由題意得：，，故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先由拋物線的方程求出準線的方程，然后根據(jù)點到準線的距離可求，進而可得拋物線的標準方程.【詳解】拋物線的準線方程為，點到其準線的距離為，由題意可得，解得，故拋物線的標準方程為.故答案為：.14、2【解析】由等比數(shù)列的相關性質(zhì)進行求解.【詳解】由等比數(shù)列的相關性質(zhì)得：故答案為：215、【解析】由題意畫出函數(shù)圖象，把函數(shù)有3個不同的零點的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)有3個交點的問題，分為和時分類討論即可.【詳解】作出函數(shù)的圖象如下圖所示，要使函數(shù)有3個不同的零點，則函數(shù)和函數(shù)有三個交點，由已知得函數(shù)恒過點,當時，過點時，函數(shù)和函數(shù)有三個交點，將代入得，即，當時，與相切時，此時函數(shù)和函數(shù)有兩個交點，如圖所示，，設此時的切點為，則直線的斜率為，直線的方程為，將點代入得，解得，此時的斜率為，將逆時針旋轉(zhuǎn)至和平行時，即為的位置時，函數(shù)和函數(shù)有三個交點，此時，故的范圍為，綜上所述實數(shù)k的取值范圍為.故答案為：.16、4【解析】根據(jù)橢圓焦點在軸上方程的特征進行求解即可.【詳解】因為橢圓的焦點在軸上，所以有，因為長軸長是短軸長的2倍，所以有，故答案為：4三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由已知條件有，根據(jù)等比數(shù)列的定義即可證明；（2）由（1）求出及，進而可得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解的最小值，從而可得答案.【小問1詳解】證明：因為，所以，又因為，所以，所以數(shù)列是首項為2公比為2的等比數(shù)列；【小問2詳解】解：由（1）知，，所以，所以，檢驗時也滿足上式，所以,所以，令，所以，故當即時，取得最小值，所以.18、（1）；（2）.【解析】（1）由可知，即可求出，故可得漸近線方程；（2）利用點在拋物線上及其拋物線的定義列方程求解即可.【詳解】（1）∵E的離心率，∴，即，解得，故E的漸近線方程為.（2）∵是C上一點，∴①，由拋物線的定義可知②，兩式聯(lián)立可得，解得則C的方程為.19、（1）證明見解析（2）存在，點E為線段中點【解析】(1)通過作輔助線結(jié)合面面垂直的性質(zhì)證明側(cè)面，從而證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標系，求出相關點的坐標,再求相關的向量坐標，求平面的法向量，利用向量的夾角公式求得答案.【小問1詳解】證明：連接交于點，因，則由平面?zhèn)让?，且平面?zhèn)让?，得平面，又平面，所以三棱柱是直三棱柱，則底面ABC，所以.又，從而側(cè)面，又側(cè)面，故.【小問2詳解】由(1).平面，則直線與平面所成的角,所以，又，所以假設在線段上是否存在一點E，使得二面角的大小為,由是直三棱柱，所以以點A為原點，以AC、所在直線分別為x，z軸,以過A點和AC垂直的直線為y軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，則，且設，，得所以，設平面的一個法向量，由，得：，取,由(1)知平面，所以平面的一個法向量,所以，解得,∴點E為線段中點時，二面角的大小為.20、（1）函數(shù)在上遞增，在上遞減，極大值為，無極小值（2）【解析】（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，再根據(jù)導數(shù)的符號求得單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)極值的定義即可得解；（2）若存在，使不等式成立，問題轉(zhuǎn)化為，令，，利用導數(shù)求出函數(shù)的最大值即可得出答案.【小問1詳解】解：當時，，則，當時，，當時，，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，所以函數(shù)的極大值為，無極小值；【小問2詳解】解：若存在，使不等式成立，則，即，則問題轉(zhuǎn)化為，令，，，當時，，當時，，所以函數(shù)在遞增，在上遞減，所以，所以.21、（1）（2）【解析】（1）由條件可得，解出即可；（2）設，，取AB的中點，聯(lián)立直線與橢圓的方程消元，算出，，然后可算出，然后由可得，然后表示出的面積可得答案.小問1詳解】令，得，所以，解得，，所以橢圓C的方程：【小問2詳解】設，，取AB的中點，因為為以AB為斜邊的等腰直角三角形，所以且，聯(lián)立得，則∴又∵，∴，且，，∴，由得，∴∴22、（1）函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，+)上單調(diào)遞減（2）①；②證明見解析【解析】（1）求導，