全等三角形基本模型綜合訓(xùn)練(二)(原卷版+解析)(北師大版)

全等三角形基本模型綜合訓(xùn)練（二）1．如圖，將△ABC沿DE，EF翻折，頂點A，B均落在點O處，且EA與EB重合于線段EO，若∠CDO+∠CFO=，則∠C的度數(shù)為（

）A．40° B．41° C．42° D．43°2．如圖，已知正方形的邊長為3，點E是邊上一動點，連接，將繞點E順時針旋轉(zhuǎn)到，連接，則當(dāng)之和取最小值時，的周長為（

）A． B． C． D．3．如圖，△ABC中，∠A=30°，BC=3，△ABC的面積9，點D、E、F分別是三邊AB、BC、CA上的動點，則△DEF周長的最小值為（

）A．5 B．6 C．8 D．104．如圖，等邊三角形ABC的邊長為4，點D是AB邊的中點，點E是BC邊上的一個動點，以DE為邊作等邊三角形DEF，連接AF，則AF的最小值為（）A．2 B． C． D．5．如圖，P為等邊△ABC內(nèi)一點，∠APC=150°，且∠APD=30°，AP=6，CP=3，DP=7，則BD的長為______.6．如圖，以Rt△ABC的斜邊AB為一邊在△ABC同側(cè)作正方形ABEF．點O為AE與BF的交點，連接CO．若CA=2，CO=，那么CB的長為________．7．已知：如圖，BD為△ABC的角平分線，且BD=BC，E為BD延長線上的一點，BE=BA，過E作EF⊥AB，F(xiàn)為垂足，下列結(jié)論：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=EF=EC；④BA+BC=2BF，其中正確的結(jié)論有________（填序號）．

8．如圖，已知四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于點E，且AE＝(AB＋AD)，若∠D＝115°，則∠B＝________．9．已知在中，，，．點為邊上的動點，點F為邊上的動點，則線段的最小值是__________．10．在矩形ABCD中，AD，CD邊的中點分別為E，F(xiàn)，連接BF，CE交于點G，若，，則BG的長為______．11．如圖，已知∠AED＝∠ACB＝90°，AC=BC=3，AE=DE=1，點D在AB上，連接CE，點M，點N分別為BD，CE的中點，則MN的長為_____．12．如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分別過B，C向經(jīng)過點A的直線EF作垂線，垂足為E，F(xiàn)．（1）如圖1，當(dāng)EF與斜邊BC不相交時，請證明EF=BE+CF；（2）如圖2，當(dāng)EF與斜邊BC相交時，其他條件不變，寫出EF、BE、CF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3，猜想EF、BE、CF之間又存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，寫出猜想，不必說明理由．13．如圖①，在四邊形中，，，．點在邊上，，點是邊上一動點．以為斜邊作，若點在四邊形的邊上，則稱點是線段的“勾股點”．(1)如圖①，線段的中點到的距離是______．A．

B．

C．3

D．(2)如圖②，當(dāng)時，求的長度．(3)是否存在點，使線段恰好有兩個“勾股點”？若存在，請直接寫出的長度或取值范圍；若不存在，請說明理由．14．已知，，點P從點A出發(fā)，沿方向以每秒的速度向終點B運動，同時，動點Q從點B出發(fā)沿方向以每秒的速度向終點C運動，設(shè)運動的時間為t秒．(1)如上左圖，若，求t的值；(2)如上中圖，若，求t的值；(3)如上右圖，將沿翻折至處，當(dāng)t為何值時，四邊形為菱形？15．圖1是邊長分別為和的兩個等邊三角形紙片和疊放在一起（與重合）的圖形．(1)操作：固定，將繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)20°，連結(jié)AD，BE，如圖2，則______度，并直接寫出線段BE與AD的數(shù)量關(guān)系____．(2)操作：若將圖1中的，繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)120°，使點B、C、D在同一條直線上，連結(jié)AD、BE，如圖3．①線段BE與AD之間是否仍存在（1）中的結(jié)論？若是，請證明；若不是，請直接寫出BE與AD之間的數(shù)量關(guān)系；②求的度數(shù)．(3)若將圖1中的，繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一個角，當(dāng)?shù)扔诙嗌俣葧r，的面積最大？請直接寫出答案．16．知識再現(xiàn)：已知，如圖1，四邊形ABCD是正方形，點M、N分別在邊BC、CD上，連接AM、AN、MN，且，延長CB至G使，連接AG，根據(jù)三角形全等的知識，我們可以證明．(1)知識探究：如圖1中，作，垂足為點H，猜想AH與AB有什么數(shù)量關(guān)系？并進(jìn)行證明．(2)知識運用：如圖2，四邊形ABCD是正方形，E是邊BC的中點，F(xiàn)為邊CD上一點，，，求DF的長．(3)知識拓展：已知，于點D，且，，求CD的長．全等三角形基本模型綜合訓(xùn)練（二）1．如圖，將△ABC沿DE，EF翻折，頂點A，B均落在點O處，且EA與EB重合于線段EO，若∠CDO+∠CFO=，則∠C的度數(shù)為（

）A．40° B．41° C．42° D．43°【答案】B【詳解】解：如圖，連接AO、BO．由折疊的性質(zhì)可得EA=EB=EO，∴∠AOB=90°，∠OAB+∠OBA=90°，∵DO=DA，F(xiàn)O=FB，∴∠DAO=∠DOA，∠FOB=∠FBO，∴∠CDO=2∠DAO，∠CFO=2∠FBO，又∵∠CDO+∠CFO=98°，∴2∠DAO+2∠FBO=98°，∴∠DAO+∠FBO=49°，∴∠CAB+∠CBA=∠DAO+∠OAB+∠OBA+∠FBO=139°，∴∠C=180°﹣（∠CAB+∠CBA）=180°﹣139°=41°，故選B．2．如圖，已知正方形的邊長為3，點E是邊上一動點，連接，將繞點E順時針旋轉(zhuǎn)到，連接，則當(dāng)之和取最小值時，的周長為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：連接BF，過點F作FG⊥AB交AB延長線于點G，∵將ED繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°到EF，∴EF⊥DE，且EF=DE，∴△AED≌△GFE（AAS），∴FG=AE，∴F點在BF的射線上運動，作點C關(guān)于BF的對稱點C'，∵EG=DA，F(xiàn)G=AE，∴AE=BG，∴BG=FG，∴∠FBG=45°，∴∠CBF=45°，∴BF是∠CBC′的角平分線，即F點在∠CBC′的角平分線上運動，∴C'點在AB的延長線上，當(dāng)D、F、C'三點共線時，DF+CF=DC'最小，在Rt△ADC'中，AD=3，AC'=6，∴DC'=3，∴DF+CF的最小值為3，∴此時的周長為．故選：A．3．如圖，△ABC中，∠A=30°，BC=3，△ABC的面積9，點D、E、F分別是三邊AB、BC、CA上的動點，則△DEF周長的最小值為（

）A．5 B．6 C．8 D．10【答案】B【詳解】解：作點關(guān)于的對稱點，作點關(guān)于的對稱點，連接，交于點，交于點，連接，，，如圖所示：由對稱性可知，，，的周長，，，，，，，當(dāng)時，最短，此時的周長最小，，的面積9，，的周長最小值為6，故選：B．4．如圖，等邊三角形ABC的邊長為4，點D是AB邊的中點，點E是BC邊上的一個動點，以DE為邊作等邊三角形DEF，連接AF，則AF的最小值為（）A．2 B． C． D．【答案】B【詳解】解：當(dāng)AF⊥AB時，AF的值最小，過D作DG⊥BC，∵DG⊥BC，AF⊥AB∴∠DGB=∠DGE=∠DAF=90°∴∠B+∠BDG=90°，∠GDE+∠DEG=90°∵△ABC和△DEF都是等邊三角形∴DF=EF，∠B=∠FDE=60°，∠BDG=30°∴∠ADF+∠GDE=180°-∠BDG-∠FDE=180°-60°-30°=90°∴∠ADF=∠DEG又∵∠DGE=∠DAF=90°，DE=DF∴△DEG≌△FDA（AAS）∴AF=DG

故選：B．5．如圖，P為等邊△ABC內(nèi)一點，∠APC=150°，且∠APD=30°，AP=6，CP=3，DP=7，則BD的長為______.【答案】2.【詳解】將△CPA繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△CEB，連接EP，∴CE=CP，∠ECB=∠PCA，∠CEB=∠CPA=150°，BE=AP=6，∵等邊△ABC，∴∠ACP+∠PCB=60°，∴∠ECB+∠PCB=60°,即∠ECP=60°，∴△ECP為等邊三角形，∴∠CPE=∠CEP=60°，PE=6，∴∠DEB=90°，∵∠APC=150°，∠APD=30°，∴∠DPC=120°，∴∠DPE=180°，即D、P、E三點共線，∴ED=3+7=10，∴BD==2.故答案為2.6．如圖，以Rt△ABC的斜邊AB為一邊在△ABC同側(cè)作正方形ABEF．點O為AE與BF的交點，連接CO．若CA=2，CO=，那么CB的長為________．【答案】+2【詳解】如圖，在BC上截取BD=AC=2，連接OD，∵四邊形AFEB是正方形，∴AO=BO，∠AOB=∠ACB=90°，∴∠CAO=90°-∠ACH，∠DBO=90°-∠BHO，∵∠ACH=∠BHO，∴∠CAO=∠DBO，∴△ACO≌△BDO，∴DO=CO=，∠AOC=∠BOD，∵∠BOD+∠AOD=90°，∴∠AOD+∠AOC=90°，即∠COD=90°，∴CD=，∴BC=BD+CD=．故答案為：．7．已知：如圖，BD為△ABC的角平分線，且BD=BC，E為BD延長線上的一點，BE=BA，過E作EF⊥AB，F(xiàn)為垂足，下列結(jié)論：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=EF=EC；④BA+BC=2BF，其中正確的結(jié)論有________（填序號）．

【答案】①②④【詳解】解：①∵BD為△ABC的角平分線，∴∠ABD=∠CBD，在△ABD和△EBC中，,∴△ABD≌△EBC（SAS），∴①正確；②∵BD為△ABC的角平分線，BD=BC，BE=BA，∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA，∵△ABD≌△EBC，∴∠BCE=∠BDA，∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，∴②正確；③∵∠BCE=∠BDA，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∠BDA=∠DAE+∠BEA，∠BCD=∠BEA，∴∠DCE=∠DAE，∴△ACE為等腰三角形，∴AE=EC，∵△ABD≌△EBC，∴AD=EC，∴AD=AE=EC，∵BD為△ABC的角平分線，EF⊥AB，而EC不垂直與BC，∴EF≠EC，∴③錯誤；④過E作EG⊥BC于G點，∵E是BD上的點，∴EF=EG，在Rt△BEG和Rt△BEF中，,∴Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），∴BG=BF，在Rt△CEG和Rt△AFE中，,∴Rt△CEG≌Rt△AFE（HL），∴AF=CG，∴BA+BC=BF+FA+BG-CG=BF+BG=2BF，∴④正確．故答案為①②④．8．如圖，已知四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于點E，且AE＝(AB＋AD)，若∠D＝115°，則∠B＝________．【答案】65°【詳解】試題分析：如圖，在AB上截取AF=AD，連接CF，∵AC平分∠BAD，AC為公共邊，∴△AFC≌△ADC，∴∠ADC=∠AFC，∵AE=（AB+AD），AF=AD，∴AF+EF=（AF+BF+AF），∴EF=BF，∴EF=BE，∵CE⊥AB，∴∠ABC=∠BFC，∴∠ADC+∠ABC=180°，∵∠D=115°，∴∠B=65°．9．已知在中，，，．點為邊上的動點，點F為邊上的動點，則線段的最小值是__________．【答案】【詳解】解：如圖作F點關(guān)于AC的對稱點，連接A并延長交BC延長線于點B′，作BD⊥AB′于點D，由對稱性可得EF=E，由垂線段的性質(zhì)可得B到AB′的最短距離為BD，∴EF+EB=E+EB=B≥BD，Rt△ABC中，∠BAC=90°-∠ABC=15°，∴∠BAD=2∠BAC=30°，Rt△ABD中，AB=5，∠BDA=90°，∠BAD=30°，∴BD=，∴線段的最小值是，故答案為：；10．在矩形ABCD中，AD，CD邊的中點分別為E，F(xiàn)，連接BF，CE交于點G，若，，則BG的長為______．【答案】【詳解】解：如圖，延長AD交BF的延長線于M．∵AD，CD邊的中點分別為E，F(xiàn)，，∴，．∵，∴．∵四邊形ABCD是矩形，∴，，∴，．在與中，∴，∴．設(shè)，則．∵，∴，，∴，∴．∵，，，∴，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，∴．∵，∴，∴．故答案為：．11．如圖，已知∠AED＝∠ACB＝90°，AC=BC=3，AE=DE=1，點D在AB上，連接CE，點M，點N分別為BD，CE的中點，則MN的長為_____．【答案】【詳解】解：連接DN并延長DN交AC于F，連接BF，如圖，∵∠AED＝∠ACB＝90°，AC=BC=3，AE=DE=1，，，，∵點N為CE的中點，，在和中，，，，∵點M為BD的中點，是的中位線，，，，在和中，，，．12．如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分別過B，C向經(jīng)過點A的直線EF作垂線，垂足為E，F(xiàn)．（1）如圖1，當(dāng)EF與斜邊BC不相交時，請證明EF=BE+CF；（2）如圖2，當(dāng)EF與斜邊BC相交時，其他條件不變，寫出EF、BE、CF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3，猜想EF、BE、CF之間又存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，寫出猜想，不必說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2)EF=BE-CF，理由見解析；（3）EF=CF-BE，理由見解析.【詳解】（1）證明：∵BE⊥EA，CF⊥AF，∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，∴∠EAB+∠CAF=90°，∠EBA+∠EAB=90°，∴∠CAF=∠EBA，在△ABE和△CAF中，∴△BEA≌△AFC（AAS），∴EA=FC，BE=AF，∴EF=EA+AF=BE+CF．（2）證明：∵BE⊥EA，CF⊥AF，∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，∴∠EAB+∠CAF=90°，∠ABE+∠EAB=90°，∴∠CAF=∠ABE，在△ABE和△ACF中，，∴△BEA≌△AFC（AAS），∴EA=FC，BE=AF，∵EF=AF-AE，∴EF=BE-CF．（3）EF=CF-BE，理由是：∵BE⊥EA，CF⊥AF，∴∠BAC=∠BEA=∠CFA=90°，∴∠EAB+∠CAF=90°，∠ABE+∠EAB=90°，∴∠CAF=∠ABE，在△ABE和△ACF中，，∴△BEA≌△AFC（AAS），∴EA=FC，BE=CF，∵EF=EA-AF，∴EF=CF-BE．13．如圖①，在四邊形中，，，．點在邊上，，點是邊上一動點．以為斜邊作，若點在四邊形的邊上，則稱點是線段的“勾股點”．(1)如圖①，線段的中點到的距離是______．A．

B．

C．3

D．(2)如圖②，當(dāng)時，求的長度．(3)是否存在點，使線段恰好有兩個“勾股點”？若存在，請直接寫出的長度或取值范圍；若不存在，請說明理由．【答案】(1)C；(2)；(3)或【解析】(1)如圖1，過點M作

MQ⊥AB交BA的延長線于點Q，過點O作

OE⊥BC，垂足為E，過點M作MF⊥BC，垂足為F，連接AC，∵AB=AD，CB=CD，AC=AC，，，，AM=2，∴△ABC≌△ADC，∴∠D=∠B=90°，AC=，∴∠DAC=∠BAC=∠QAM=60°，∠DCA=BCA=∠QMA=30°，∴∠DAC=∠BAC=60°，∠DCA=BCA=30°，∴QA=1，QM=，∵M(jìn)Q⊥AB，OE⊥BC，，∴四邊形MQBF是矩形，∴MF=QB=AB+QA=5+1=6,，∵M(jìn)F⊥CB，OE⊥BC，∴OE∥MF，∴，∵OM=ON，∴NE=EF，∴OE=MF=3，故選C．(2)過點M作MQ⊥AB交BA的延長線于點Q，∵點是線段的“勾股點”．∴∠MPN=90°，∴∠QPM=∠BNP，∴△QPM∽△BNP，∴，∵，∴BN=．(3)根據(jù)(2)得，BN=時，點是線段的“勾股點”．過點N作NG⊥DC，垂足為G，當(dāng)DM=DP=3時,點是線段的“勾股點”．∵點是線段的“勾股點”．∴∠MPN=90°，∴PG=GN,設(shè)BN=x，則NC=(),根據(jù)(2)，得∠NCG=60°，∴PG=GN=，GC=，∴+=，解得x=，故當(dāng)BN=或，線段恰好有兩個“勾股點”．14．已知，，點P從點A出發(fā)，沿方向以每秒的速度向終點B運動，同時，動點Q從點B出發(fā)沿方向以每秒的速度向終點C運動，設(shè)運動的時間為t秒．(1)如上左圖，若，求t的值；(2)如上中圖，若，求t的值；(3)如上右圖，將沿翻折至處，當(dāng)t為何值時，四邊形為菱形？【答案】(1)；(2)；(3)【解析】(1)解：由題意可得：，，，則，∵，∴，∴，∴，∴，∴．(2)過點P作交于E點，如圖，，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，解得：．(3)如圖，連接交于D，∵四邊形為菱形，∴，，∵點Q的速度是每秒，∴，過點P作于O，則四邊形是矩形，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵點P的運動速度是每秒，∴，∴，解得：．15．圖1是邊長分別為和的兩個等邊三角形紙片和疊放在一起（與重合）的圖形．(1)操作：固定，將繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)20°，連結(jié)AD，BE，如圖2，則______度，并直接寫出線段BE與AD的數(shù)量關(guān)系____．(2)操作：若將圖1中的，繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)120°，使點B、C、D在同一條直線上，連結(jié)AD、BE，如圖3．①線段BE與AD之間是否仍存在（1）中的結(jié)論？若是，請證明；若不是，請直接寫出BE與AD之間的數(shù)量關(guān)系；②求的度數(shù)．(3)若將圖1中的，繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一個角，當(dāng)?shù)扔诙嗌俣葧r，的面積最大？請直接寫出答案．【答案】(1)40，BE＝AD；(2)①存在，理由見詳解；②60°(3)當(dāng)α＝150°或330°時，的面積最大【解析】(1)∵△ABC和△CDE是等邊三角形，∴BC＝AC，