專題02二次根式運(yùn)算及運(yùn)用(原卷版+解析)

專題02二次根式運(yùn)算及運(yùn)用專題說(shuō)明專題說(shuō)明二次根式運(yùn)算及運(yùn)用是本章節(jié)考試必考考點(diǎn)，也是為學(xué)習(xí)后面內(nèi)容打下扎實(shí)基礎(chǔ)。主要在解答題中的計(jì)算題或者材料閱讀題為主。這個(gè)專題難度不大，但很重要，需要反復(fù)練習(xí)鞏固?！究键c(diǎn)刨析】考點(diǎn)1：分母有理化分母有理化：分母中的根號(hào)化去，叫做分母有理化有理化因式：如果兩個(gè)二次根式相乘的積不含二次根式，那么這兩個(gè)二次根式為有理化因式。有理化因式確定方法如下：①單項(xiàng)分母：利用.②兩項(xiàng)分母：利用平方差公式如：考點(diǎn)2：二次根式的混合運(yùn)算考點(diǎn)3：二次根式的大小比較方法1：公式法：將括號(hào)外的因數(shù)移到根號(hào)內(nèi)，比較被開(kāi)方數(shù)的大小平方法：將二次根式平方，去掉根號(hào)，再比較大小方法2：倒數(shù)法：下把元二次根式寫出他的倒數(shù)，通過(guò)比較兩者間倒數(shù)的大小，倒數(shù)的則原二次根式反而小。考點(diǎn)4：二次根式的化簡(jiǎn)求值【典例分析】【考點(diǎn)1：分母有理化】【典例1】（2022秋?豐城市校級(jí)期末）在進(jìn)行二次根式簡(jiǎn)化時(shí)，我們有時(shí)會(huì)碰上如，，一樣的式子，其實(shí)我們還可將其進(jìn)一步簡(jiǎn)化：＝；（一）＝＝；（二）＝＝＝；（三）以上這種化簡(jiǎn)的步驟叫做分母有理化還可以用以下方法化簡(jiǎn)：＝＝＝；（四）（1）化簡(jiǎn)＝＝（2）請(qǐng)用不同的方法化簡(jiǎn)．①參照（三）式得＝②步驟（四）式得＝（3）化簡(jiǎn)：+++…+．【變式1-1】（2022春?西寧期末）【觀察】；﹣1；【感悟】在二次根式的運(yùn)算中，需要運(yùn)用分式的基本性質(zhì)，將分母轉(zhuǎn)化為有理數(shù)，這就是分母有理化．像上述解題過(guò)程中與+1與﹣1相乘的積都不含二次根式，我們可以將這兩個(gè)式子稱為互為有理化因式．【運(yùn)用】（1）的有理化因式是；﹣2的有理化因式是；（2）將下列各式分母有理化：①；②．【典例1-2】（2021秋?渭濱區(qū)期末）（一）閱讀下面內(nèi)容：＝＝；＝＝﹣；＝＝﹣2．（二）計(jì)算：（1）；（2）（n為正整數(shù)）．（3）+++…+．【典例1-3】（2022春?瀏陽(yáng)市期中）閱讀下列運(yùn)算過(guò)程：①＝＝，②＝＝＝數(shù)學(xué)上把這種將分母中的根號(hào)去掉的過(guò)程稱作“分母有理化”．模仿上述運(yùn)算過(guò)程，完成下列各題：（1）（2）+++…+．【考點(diǎn)2：二次根式的混合運(yùn)算】【典例2】（2022秋?豐澤區(qū)校級(jí)期末）計(jì)算：（1）；（2）．【變式2-1】（2022秋?渠縣校級(jí)期末）計(jì)算：（1）﹣（2+）2．（2）3﹣﹣．【變式2-2】（2022秋?二道區(qū)校級(jí)期末）計(jì)算：（1）；（2）．【變式2-3】（2022秋?通川區(qū)校級(jí)期末）計(jì)算：（1）（﹣）（+）+；（2）．【變式2-4】（2022秋?邯山區(qū)期末）計(jì)算：（1）（+1）（﹣1）+﹣（）0；（2）（﹣）×+|﹣2|﹣（）﹣1．【考點(diǎn)3：二次根式的大小比較】【典例3】（2021秋?岳麓區(qū)校級(jí)月考）比較二次根式的大?。憨?﹣3（填“＜”、“＝”、“＞”）．【變式3-1】（2020秋?昌平區(qū)期末）比較大?。海?）5；（2）．【變式3-2】（2021秋?市北區(qū)期末）比較大?。海ㄟx填“＞”、“＝”、“＜”）．【典例4】比較與的大小，并說(shuō)明理由；【變式4-1】比較與的大小.【變式4-2】請(qǐng)你靈活運(yùn)用上面介紹的方法，比較每組中兩個(gè)無(wú)理數(shù)的大．①﹣與﹣；②+與+；【考點(diǎn)4：二次根式的化簡(jiǎn)求值】【典例5】（2022春?湖北期末）求值：已知x＝﹣1，求x2+5x﹣6的值．（2）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中m＝．【變式5-1】（2022春?長(zhǎng)順縣月考）先化簡(jiǎn)，再求值．（6x+）﹣（4y+），其中x＝，y＝3．【變式5-2】（2022春?汝南縣月考）先化簡(jiǎn)，再求值：x+y2﹣（x2﹣5x），其中．【變式5-3】（2022秋?城關(guān)區(qū)校級(jí)期末）先化簡(jiǎn)，后求值：，其中．【夯實(shí)基礎(chǔ)】1．（2012春?仁壽縣校級(jí)期中）比較二次根式的大?。?3．2．（2021秋?大豐區(qū)期末）比較大?。?7．（填“＞”、“＝”、“＜”）3．（2021秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考）比較大?。海ㄌ睢埃尽薄埃健薄埃肌保?．（2022秋?倉(cāng)山區(qū)校級(jí)期末）計(jì)算：（1）．（2）．5．（2022秋?宣漢縣校級(jí)期末）計(jì)算．（1）；（2）．6．（2022秋?青浦區(qū)校級(jí)期末）計(jì)算：．7．（2022秋?南關(guān)區(qū)校級(jí)期末）計(jì)算：（﹣2）×．8．（2022秋?沙坪壩區(qū)期末）計(jì)算：（1）（x+2）2﹣x（x+4）；（2）．9．（2022秋?北碚區(qū)校級(jí)期末）計(jì)算：．10．（2022秋?臨湘市期末）計(jì)算：（1）﹣22+﹣2×；（2）．11．（2022秋?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)期末）計(jì)算：．12．（2022秋?中寧縣期末）化簡(jiǎn)計(jì)算：（1）﹣2；（2）．13．（2020?羅湖區(qū)校級(jí)一模）先化簡(jiǎn)，再求值：÷（a﹣），其中a＝3，b＝2﹣．14．先化簡(jiǎn)，再求值：（1）﹣，其中x＝﹣；（2）÷（1﹣），其中a＝2+，b＝2﹣．15．（2022?東平縣校級(jí)開(kāi)學(xué)）化簡(jiǎn)計(jì)算（1）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【能力提升】16．（2022?杭州模擬）在進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)時(shí)，我們有時(shí)會(huì)碰上如這樣的式子，其實(shí)我們還需要將其進(jìn)一步化簡(jiǎn)：．以上這種化簡(jiǎn)的步驟叫做分母有理化．也可以用如下方法化簡(jiǎn)：．（1）請(qǐng)用兩種不同的方法化簡(jiǎn)；（2）選擇合適的方法化簡(jiǎn)（n為正整數(shù)）；（3）求的值．專題02二次根式運(yùn)算及運(yùn)用專題說(shuō)明專題說(shuō)明二次根式運(yùn)算及運(yùn)用是本章節(jié)考試必考考點(diǎn)，也是為學(xué)習(xí)后面內(nèi)容打下扎實(shí)基礎(chǔ)。主要在解答題中的計(jì)算題或者材料閱讀題為主。這個(gè)專題難度不大，但很重要，需要反復(fù)練習(xí)鞏固?！究键c(diǎn)刨析】考點(diǎn)1：分母有理化分母有理化：分母中的根號(hào)化去，叫做分母有理化有理化因式：如果兩個(gè)二次根式相乘的積不含二次根式，那么這兩個(gè)二次根式為有理化因式。有理化因式確定方法如下：①單項(xiàng)分母：利用.②兩項(xiàng)分母：利用平方差公式如：考點(diǎn)2：二次根式的混合運(yùn)算考點(diǎn)3：二次根式的大小比較方法1：公式法：將括號(hào)外的因數(shù)移到根號(hào)內(nèi)，比較被開(kāi)方數(shù)的大小平方法：將二次根式平方，去掉根號(hào)，再比較大小方法2：倒數(shù)法：下把元二次根式寫出他的倒數(shù)，通過(guò)比較兩者間倒數(shù)的大小，倒數(shù)的則原二次根式反而小?？键c(diǎn)4：二次根式的化簡(jiǎn)求值【典例分析】【考點(diǎn)1：分母有理化】【典例1】（2022秋?豐城市校級(jí)期末）在進(jìn)行二次根式簡(jiǎn)化時(shí)，我們有時(shí)會(huì)碰上如，，一樣的式子，其實(shí)我們還可將其進(jìn)一步簡(jiǎn)化：＝；（一）＝＝；（二）＝＝＝；（三）以上這種化簡(jiǎn)的步驟叫做分母有理化還可以用以下方法化簡(jiǎn)：＝＝＝；（四）（1）化簡(jiǎn)＝＝（2）請(qǐng)用不同的方法化簡(jiǎn)．①參照（三）式得＝②步驟（四）式得＝（3）化簡(jiǎn)：+++…+．【解答】解：（1）＝＝，＝＝．故答案為：，；（2）①原式＝＝﹣．故答案為：﹣；②原式＝＝＝﹣．故答案為：﹣；（3）原式＝+++…+＝＝．【變式1-1】（2022春?西寧期末）【觀察】；﹣1；【感悟】在二次根式的運(yùn)算中，需要運(yùn)用分式的基本性質(zhì)，將分母轉(zhuǎn)化為有理數(shù)，這就是分母有理化．像上述解題過(guò)程中與+1與﹣1相乘的積都不含二次根式，我們可以將這兩個(gè)式子稱為互為有理化因式．【運(yùn)用】（1）的有理化因式是；﹣2的有理化因式是；（2）將下列各式分母有理化：①；②．【解答】解：（1）的有理化因式是；﹣2的有理化因式是，故答案為：；；（2）①＝＝＝；②＝＝＝﹣．【典例1-2】（2021秋?渭濱區(qū)期末）（一）閱讀下面內(nèi)容：＝＝；＝＝﹣；＝＝﹣2．（二）計(jì)算：（1）；（2）（n為正整數(shù)）．（3）+++…+．【解答】解：（二）（1）原式＝﹣；（2）﹣；（3）原式＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣+﹣＝﹣1＝9．【典例1-3】（2022春?瀏陽(yáng)市期中）閱讀下列運(yùn)算過(guò)程：①＝＝，②＝＝＝數(shù)學(xué)上把這種將分母中的根號(hào)去掉的過(guò)程稱作“分母有理化”．模仿上述運(yùn)算過(guò)程，完成下列各題：（1）（2）+++…+．【解答】解：（1）原式＝＝；（2）原式＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣+﹣＝﹣1＝10﹣﹣1＝9．【考點(diǎn)2：二次根式的混合運(yùn)算】【典例2】（2022秋?豐澤區(qū)校級(jí)期末）計(jì)算：（1）；（2）．【解答】解：（1）原式＝3﹣（2+2+1）+3﹣1＝3﹣3﹣2+3﹣1＝﹣1；（2）原式＝+6x?﹣x2?＝+2x﹣x2?＝+2x﹣＝3x．【變式2-1】（2022秋?渠縣校級(jí)期末）計(jì)算：（1）﹣（2+）2．（2）3﹣﹣．【解答】解：（1）原式＝4﹣（4+2+4）＝4﹣6﹣4＝﹣6；（2）原式＝6﹣3﹣＝．【變式2-2】（2022秋?二道區(qū)校級(jí)期末）計(jì)算：（1）；（2）．【解答】解：（1）原式＝2+2﹣3+＝3﹣；（2）原式＝﹣+＝2﹣+4＝+4．【變式2-3】（2022秋?通川區(qū)校級(jí)期末）計(jì)算：（1）（﹣）（+）+；（2）．【解答】解：（1）（﹣）（+）+＝5﹣7+＝﹣2+；（2）＝3﹣2+2﹣（1﹣2+2）＝5﹣2﹣3+2＝2．【變式2-4】（2022秋?邯山區(qū)期末）計(jì)算：（1）（+1）（﹣1）+﹣（）0；（2）（﹣）×+|﹣2|﹣（）﹣1．【解答】解：（1）原式＝3﹣1+2﹣1＝2+1；（2）原式＝﹣+2﹣﹣2＝﹣2+2﹣﹣2＝﹣3．【考點(diǎn)3：二次根式的大小比較】【典例3】（2021秋?岳麓區(qū)校級(jí)月考）比較二次根式的大小：﹣4﹣3（填“＜”、“＝”、“＞”）．【答案】＜【解答】解：＝48，＝36，∵48＞36，∴﹣4＜﹣3．故答案為：＜．【變式3-1】（2020秋?昌平區(qū)期末）比較大?。海?）5；（2）．【答案】（1）＜（2）＞【解答】解：（1）＝24，52＝25，∵24＜25，∴＜5．（2）＝13+2，＝13+2，∵13+2＞13+2，∴＞．故答案為：＜、＞．【變式3-2】（2021秋?市北區(qū)期末）比較大?。海ㄟx填“＞”、“＝”、“＜”）．【答案】＞【解答】解：2＝，即2＞，故答案為：＞．【典例4】比較與的大小，并說(shuō)明理由；【解答】﹣＜﹣【解答】﹣＜﹣．理由如下：∵＝+，＝+，而+＞+，∵＞，∴﹣＜﹣；【變式4-1】比較與的大小.【答案】＜【解答】＜【變式4-2】請(qǐng)你靈活運(yùn)用上面介紹的方法，比較每組中兩個(gè)無(wú)理數(shù)的大．①﹣與﹣；②+與+；【答案】①﹣＜﹣②+＜+【解答】①＝，＝，而＞，即＞，∴﹣＜﹣；②∵＝+，＝+，而+＞+，即＞，∴﹣＜﹣，∴+＜+；【考點(diǎn)4：二次根式的化簡(jiǎn)求值】【典例5】（2022春?湖北期末）求值：（1）已知x＝﹣1，求x2+5x﹣6的值．（2）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中m＝．【解答】解：（1）∵x＝﹣1，∴x2+5x﹣6＝（﹣1）2+5×（﹣1）﹣6＝5﹣2+1+5﹣5﹣6＝﹣5+3；（2）＝[﹣]÷＝（﹣）?＝?＝?＝，當(dāng)m＝時(shí)，原式＝＝．【變式5-1】（2022春?長(zhǎng)順縣月考）先化簡(jiǎn)，再求值．（6x+）﹣（4y+），其中x＝，y＝3．【解答】解：原式＝6+3﹣4﹣6＝﹣，當(dāng)x＝，y＝3時(shí)，原式＝﹣＝﹣．【變式5-2】（2022春?汝南縣月考）先化簡(jiǎn)，再求值：x+y2﹣（x2﹣5x），其中．【解答】解：原式＝2x+﹣x+5＝x+6，當(dāng)x＝，y＝4時(shí)，原式＝+6＝+6＝．【變式5-3】（2022秋?城關(guān)區(qū)校級(jí)期末）先化簡(jiǎn)，后求值：，其中．【解答】解：∵a＝+＝+，∴（a+）（a﹣）﹣a（a﹣6），＝a2﹣3﹣a2+6a，＝6a﹣3，＝6×（+）﹣3，＝3．【夯實(shí)基礎(chǔ)】1．（2012春?仁壽縣校級(jí)期中）比較二次根式的大?。?3．【答案】＜【解答】解：∵2＝＝，3＝＝，∴2＜3，故答案為：＜．2．（2021秋?大豐區(qū)期末）比較大?。?7．（填“＞”、“＝”、“＜”）【答案】＜【解答】解：（4）2＝48，72＝49，∴，故答案為：＜．3．（2021秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考）比較大?。海ㄌ睢埃尽薄埃健薄埃肌保敬鸢浮浚肌窘獯稹拷猓海剑僵仯剑僵?，∵﹣＞﹣，∴＜．故答案為：＜．4．（2022秋?倉(cāng)山區(qū)校級(jí)期末）計(jì)算：（1）．（2）．【解答】解：（1）＝（﹣）÷＝（﹣）÷＝﹣＝2﹣；（2））＝2﹣2+1＝2﹣1．5．（2022秋?宣漢縣校級(jí)期末）計(jì)算．（1）；（2）．【解答】解：（1）原式＝3×﹣（1+3﹣2）＝3×﹣4+2＝2﹣4+2＝4﹣4；（2）原式＝4﹣1+2﹣+3＝5+2．6．（2022秋?青浦區(qū)校級(jí)期末）計(jì)算：．【解答】解：＝﹣﹣2（2+）+1＝2﹣﹣4﹣2+1＝﹣．7．（2022秋?南關(guān)區(qū)校級(jí)期末）計(jì)算：（﹣2）×．【解答】解：（﹣2）×＝×﹣2×＝3﹣6．8．（2022秋?沙坪壩區(qū)期末）計(jì)算：（1）（x+2）2﹣x（x+4）；（2）．【解答】解：（1）原式＝x2+4x+4﹣（x2+4x）＝x2+4x+4﹣x2﹣4x＝4；（2）原式＝×﹣4×﹣6×＝3﹣12﹣3＝﹣12．9．（2022秋?北碚區(qū)校級(jí)期末）計(jì)算：．【解答】解：原式＝3﹣4﹣（2﹣2+1）＝3﹣4﹣3+2＝﹣4+2．10．（2022秋?臨湘市期末）計(jì)算：