數(shù)學(xué)北師大版（2019）必修第二冊 6.51直線與平面垂直 課件

6.5.1直線與平面垂直課標(biāo)闡釋

1.借助常見幾何體了解直線與平面垂直的定義,了解直線與平面所成角的概念.(數(shù)學(xué)抽象,幾何直觀)2.掌握直線與平面垂直的性質(zhì)定理,并會(huì)用定理證明相關(guān)問題.(邏輯推理)3.掌握直線與平面垂直的判定定理,并會(huì)用定理判定線面垂直.(邏輯推理)4.會(huì)求簡單的空間距離問題(點(diǎn)面距離、線面距離、面面距離).(數(shù)學(xué)運(yùn)算)思維脈絡(luò)

激趣誘思知識點(diǎn)撥制作一個(gè)三角形硬紙片,按照下面的步驟進(jìn)行操作,過△ABC的頂點(diǎn)A翻折紙片,得到折痕AD,再將翻折后的紙片豎起放置在桌面上(BD,DC與桌面接觸),如圖所示.問題一:此時(shí)的折痕AD與桌面垂直嗎?問題二:如何翻折才能讓折痕AD與桌面所在平面垂直呢?由此你能得出什么結(jié)論?激趣誘思知識點(diǎn)撥一、直線與平面垂直

定義如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直,那么稱直線l與平面α垂直記法l⊥α有關(guān)概念直線l稱為平面α的垂線,平面α稱為直線l的垂面,它們唯一的公共點(diǎn)P稱為垂足圖示

畫法畫直線與平面垂直時(shí),通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直激趣誘思知識點(diǎn)撥名師點(diǎn)析過一點(diǎn)垂直于已知平面的直線有且只有一條,該點(diǎn)與垂足間的線段稱為這個(gè)點(diǎn)到該平面的垂線段,垂線段的長度稱為這個(gè)點(diǎn)到該平面的距離.微思考空間兩條直線垂直一定相交嗎?提示不一定相交,空間兩條直線垂直分為兩種情況:一種是相交垂直,一種是異面垂直.微練習(xí)直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直,則(

)A.l和α相互平行 B.l和α相互垂直C.l在平面α內(nèi) D.不能確定答案D文字語言垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行符號語言圖形語言

激趣誘思知識點(diǎn)撥二、直線與平面垂直的性質(zhì)

名師點(diǎn)析一條直線與一個(gè)平面平行時(shí),這條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離,叫作這條直線到這個(gè)平面的距離,如果兩個(gè)平面平行,那么其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離都相等,我們把它叫作這兩個(gè)平行平面間的距離.激趣誘思知識點(diǎn)撥微思考垂直于同一平面的兩條垂線一定共面嗎?提示共面,由線面垂直的性質(zhì)定理可知這兩條直線是平行的,故能確定一個(gè)平面.微練習(xí)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,若直線l(與直線BB1不重合)⊥平面A1C1,則(

)A.B1B⊥l B.B1B∥lC.B1B與l異面但不垂直 D.B1B與l相交但不垂直解析因?yàn)锽1B⊥平面A1C1,又因?yàn)閘⊥平面A1C1,所以l∥B1B.答案B激趣誘思知識點(diǎn)撥三、直線與平面所成的角

有關(guān)概念對應(yīng)圖形斜線一條直線與平面α相交,但不與這個(gè)平面垂直,這條直線稱為這個(gè)平面的斜線,如圖中直線PA

斜足斜線和平面的交點(diǎn),圖中點(diǎn)A投影過斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面作垂線,過垂足和斜足的直線稱為斜線在這個(gè)平面上的投影,圖中斜線PA在平面α上的射影為直線AO激趣誘思知識點(diǎn)撥直線與平面所成的角定義:平面的一條斜線與它在平面上的投影所成的銳角,圖中∠PAO規(guī)定:一條直線垂直于平面,它們所成的角是直角;一條直線與平面平行,或在平面內(nèi),它們所成的角是0°的角名師點(diǎn)析1.直線與平面所成的角是通過線線角來刻畫的.2.直線(斜線)與平面內(nèi)的直線所成的角是不唯一的,而斜線與它在平面上的投影所成的角是唯一的,也是斜線與平面內(nèi)的直線所成角中最小的一個(gè).激趣誘思知識點(diǎn)撥微思考直線與平面所成的角θ的取值范圍是什么?提示一條直線垂直于平面,我們說它們所成的角等于90°;一條直線和平面平行,或在平面內(nèi),我們說它們所成的角等于0°.因此,直線與平面所成的角θ的范圍是0°≤θ≤90°.激趣誘思知識點(diǎn)撥微練習(xí)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,直線AB1與平面ABCD所成的角等于

;AB1與平面DCC1D1所成的角等于

.

解析∠B1AB為直線AB1與平面ABCD所成的角即45°;直線AB1與平面DCC1D1平行,即所成的角為0°.答案45°

0°激趣誘思知識點(diǎn)撥四、直線與平面垂直的判定

文字語言如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直,那么該直線與此平面垂直符號語言l⊥a,l⊥b,a?α,b?α,a∩b=P?l⊥α圖形語言

激趣誘思知識點(diǎn)撥名師點(diǎn)析

理解線面垂直的判定定理注意以下幾點(diǎn)(1)定理可表述為“線線垂直,則線面垂直”.(2)“兩條相交直線”是關(guān)鍵詞,一定不要忽視這個(gè)條件,否則將導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤,即“線不在多,相交就行”.(3)要證明一條直線與一個(gè)平面垂直,只需在平面內(nèi)找到兩條相交直線和該直線垂直即可,至于這兩條相交直線是否和已知直線有公共點(diǎn)無關(guān)緊要.(4)線面垂直的判定定理與線面垂直的定義往往在證題過程中要反復(fù)交替使用.激趣誘思知識點(diǎn)撥微思考若把定理中的“兩條相交直線”改為“兩條直線”,直線與平面一定垂直嗎?提示當(dāng)這兩條直線平行時(shí),直線可與平面平行或相交或在平面內(nèi),但不一定垂直.激趣誘思知識點(diǎn)撥微判斷判斷(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”).(1)如果一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線,那么這條直線和這個(gè)平面垂直.(

)(2)若直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線,則這條直線與平面垂直.(

)(3)若直線垂直于梯形的兩腰所在的直線,則這條直線垂直于兩底邊所在的直線.(

)(4)若直線垂直于梯形的兩底邊所在的直線,則這條直線垂直于兩腰所在的直線.(

)答案(1)×

(2)×

(3)√

(4)×激趣誘思知識點(diǎn)撥微練習(xí)若三條直線OA,OB,OC兩兩垂直,則直線OA垂直于(

)A.平面OAB

B.平面OACC.平面OBC D.平面ABC答案C探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測證明直線與平面垂直例1如圖所示,AB⊥BC,△ABC所在平面外有一點(diǎn)S,且SA=SB=SC,AC中點(diǎn)為D.求證:SD⊥平面ABC.證明因?yàn)镾A=SC,D為AC中點(diǎn),所以SD⊥AC.在Rt△ABC中,AD=DC=BD,又SA=SB,所以△SDA≌△SDB.所以∠SDA=∠SDB,即SD⊥DB.又AC∩BD=D,所以SD⊥平面ABC.探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測反思感悟

判定直線與平面垂直,可以用定義,就是證明這條直線與平面內(nèi)的任一直線垂直,但這種方法一般不用.最常用也最好用的是直線與平面垂直的判定定理,根據(jù)定理,只需證明這條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直即可.另外,判定直線與平面垂直還有如下兩個(gè)結(jié)論可用:(1)兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面,則另一條也垂直于這個(gè)平面.(2)若一條直線與兩平行平面中的一個(gè)面垂直,則它與另一個(gè)平面也垂直.探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測延伸探究在本例條件下,若AB=BC,求證:BD⊥平面SAC.證明因?yàn)锽A=BC,D為AC中點(diǎn),所以BD⊥AC.因?yàn)镾D⊥平面ABC,BD?平面ABC,所以BD⊥SD,因?yàn)锳C與SD都在平面SAC內(nèi)且相交,所以BD⊥平面SAC.探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測求直線與平面所成的角例2如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,A1B與平面AA1D1D所成的角為

.

解析因?yàn)锳B⊥平面AA1D1D,所以∠AA1B就是A1B與平面AA1D1D所成的角,在Rt△AA1B中,∠BAA1=90°,AB=AA1,所以∠AA1B=45°,所以A1B與平面AA1D1D所成的角是45°.答案45°探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測反思感悟

求直線與平面所成角的方法(1)尋找過斜線上一點(diǎn)與平面垂直的直線.(2)連接垂足和斜足得到斜線在平面上的投影,斜線與其投影所成的銳角或直角即為所求的角.(3)把該角歸結(jié)在某個(gè)三角形中,通過解三角形,求出該角.探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練1如圖所示,三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB,則直線PB與平面ABC所成角的度數(shù)為

.

解析因?yàn)镻A⊥平面ABC,所以斜線PB在平面ABC上的投影為AB,所以∠PBA即為直線PB與平面ABC所成的角.在△PAB中,∠BAP=90°,PA=AB,所以∠PBA=45°,即直線PB與平面ABC所成的角等于45°.答案45°探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測直線與平面垂直的性質(zhì)的應(yīng)用例3如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AB⊥平面PAD,AD=AP,E是PD的中點(diǎn),M,N分別在AB,PC上,且MN⊥AB,MN⊥PC.證明:AE∥MN.探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測證明因?yàn)锳B⊥平面PAD,AE?平面PAD,所以AE⊥AB.又AB∥CD,所以AE⊥CD.因?yàn)锳D=AP,E是PD的中點(diǎn),所以AE⊥PD.又CD∩PD=D,CD?平面PCD,PD?平面PCD,所以AE⊥平面PCD.因?yàn)镸N⊥AB,AB∥CD,所以MN⊥CD.又因?yàn)镸N⊥PC,PC∩CD=C,PC?平面PCD,CD?平面PCD,所以MN⊥平面PCD,所以AE∥MN.探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測反思感悟

證明線線平行的常用方法(1)利用線線平行定義:證共面且無公共點(diǎn).(2)利用基本事實(shí)4:證兩線同時(shí)平行于第三條直線.(3)利用線面平行的性質(zhì)定理:把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面平行.(4)利用線面垂直的性質(zhì)定理:把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面垂直.(5)利用面面平行的性質(zhì)定理:把證線線平行轉(zhuǎn)化為證面面平行.探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練2如圖,α∩β=l,PA⊥α,PB⊥β,垂足分別為A,B,a?α,a⊥AB.求證:a∥l.證明因?yàn)镻A⊥α,l?α,所以PA⊥l.同理PB⊥l.因?yàn)镻A∩PB=P,PA?平面PAB,PB?平面PAB,所以l⊥平面PAB.又因?yàn)镻A⊥α,a?α,所以PA⊥a.因?yàn)閍⊥AB,PA∩AB=A,PA?平面PAB,AB?平面PAB,所以a⊥平面PAB.所以a∥l.探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測距離問題探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測反思感悟

求點(diǎn)到平面距離的基本步驟(1)找到或作出要求的距離;(2)使所求距離在某一個(gè)三角形中;(3)在三角形中根據(jù)三角形的邊角關(guān)系求出距離.探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測1.(多選)在空間中,下列哪些命題是正確的(

)A.平行于同一條直線的兩條直線互相平行B.垂直于同一條直線的兩條直線互相平行C.平行于同一個(gè)平面的兩條直線互相平行D.垂直于同一個(gè)平面的兩條直線互相平行答案AD探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測2.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,與AD1垂直的平面是(

)A.平面DD1C1CB.平面A1DB1C.平面