（人教A版）2021年新高二數學暑假講義-第六講 函數的奇偶性和周期性

第六講函數的奇偶性和周期性

【基礎知識】

I.函數的奇偶性

奇偶性定義圖象特點

設函數y=/(x)的定義域為Q,如果對O內的任意一個

奇函數x,都有一且一一x)=—Ax),則這個函數叫做關于原點對稱

奇函數

設函數y=g(x)的定義域為。，如果對。內的任意一

偶函數個x,者B有一刀￡￡>,且w(—X)=R(X),則這個函數叫做關于y軸對稱

偶函數

2.函數的周期性

⑴周期函數：對于函數y=/U),如果存在一個非零常數T,使得當x取定義域內的任何值時，

都有/U+Q=/k),那么就稱函數y=/(x)為周期函數，稱T為這個函數的周期.

⑵最小正周期：如果在周期函數的所有周期中存在一個最小的正數,那么這個最小正數就

叫做/U)的最小正周期.

［微點提醒］

1.(1)如果一個奇函數火x)在原點處有定義，即.*0)有意義，那么一定有;(0)=0.

(2)如果函數式X)是偶函數，那么兀￥)="刈.

2.奇函數在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調性；偶函數在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調

性.

3.函數周期性常用結論

對7U)定義域內任一自變量的值上

(1)若_/^+。)=一/(*),則T=2a(a〉0).

(2)右./(x+a)=/、(、)~,則T=2a(a>0).

(3)若./U+a)=一12丁，則T=2a(a>0).

4.對稱性的三個常用結論

⑴若函數y=/(x+a)是偶函數，則函數y=*x)的圖象關于直線x=a對稱.

(2)若對于R上的任意x都有/(2a—x)=/(x)或1一x)=_/(2a+x),則y=y(x)的圖象關于直線x=a

對稱.

⑶若函數y=*x+b)是奇函數，則函數y=/(x)關于點S，0)中心對稱.

【考點剖析】

考點一函數的奇偶性及應用

【典例1-11下列四個函數中既是奇函數，又是增函數的是()

A.=B./(x)-x3+x2

X

c./(%)=-%1x|D./(x)=-lg(Vx2+l-%j

【答案】D

【詳解】

對于A,定義域為(0,+。)，不關于原點對稱，所以不具奇偶性，故A錯誤；

對于B,因為/(1)=2,/(-1)=0,所以/(X)為非奇非偶函數，故B錯誤;

對于C,因為"1)=—1,/(-1)=1,所以/(x)不是增函數，故C錯誤；

對于D,定義域為R,

=愴(&+17)=-/(力,

、'yX'+l+X

所以/(x)是奇函數，

/(X)=-lg(J'+I一x)=1g

令〃=Jf+1+X為增函數，

y=1g〃也是增函數,

所以y(x)=—ig(G7T-%)是增函數.

故D正確.

故選：D.

【典例1-2】已知函數“X)為R上的奇函數，當x>()時，/(%)=-%；若。=().355,b=log02so.3,

c=10go.32.5，則()

A./(/?)</(?)</(c)B.f(c)<f(b)<f(a)

C.f(c)<f(a)<f(b)D./(a)<2)</(c)

【答案】D

【詳解】

當x>0時，/(x)=-x,由奇函數的性質知，

/(x)=-x，xeR，函數單調遞減；

又aMO/S>i，=log0250.3e(0,1),c=log032.5<0

則a>b>c

由函數單減知,/(a)</(/?)</(c)

故選：D

11「7一

【跟蹤訓練1】偶函數/(X)滿足/(彳一幻=/0+5),且在％€-,4時，〃x)=log2無一1,則/(-2-1)=

()

A.log27—2B.1C.log23—2D.log27—1

【答案】A

【詳解】

因為函數是偶函數，/(g-x)=/(x+g)，

所以/(-X)=/(X+g+；)=f(x+1)=fix)

所以函數的周期為1,

所以/(-2-')=/(_$=W)=/(1)=log2|-l=log27-2.

故選：A.

【跟蹤訓練2】設/(x)為定義在R上的奇函數，當》》0時，/(幻=1(唱2(%+1)+奴2一。+1(。為常數),

則不等式/(3x+5)>-2的解集為()

A.(9,一1)B.(-1,+oo)C.(^?,-2)D.(-2,+8)

【答案】D

【詳解】

解：???/(x)為定義在R上的奇函數,

2

因為當X..0時，/(x)=log2(x+l)+ax-6T+1,

所以/(0)=1—a=0,

故。=1,7?。)=1082(工+1)+/在［0,+8)上單調遞增，根據奇函數的性質可知/(x)在R上單調遞增，

因為/。)=2,所以==一2,

由不等式.f(3x+5)>—2=/(—1)可得，3x+5>—1,解可得，x>—2,

故解集為(-2,內))

故選：D.

【跟蹤訓練3】設/(x)=log2(—'―+1)是奇函數，若函數g(x)圖象與函數/(x)圖象關于直線N=x對稱,

x+a

則g(x)的值域為()

,1、一」、z11、

A.(-oo,--)U(-,+0°)B.

C.(—℃,—2)U(2,+°o)D.(—2,2)

【答案】A

【詳解】

因為/(X)=10g2(—5-+l),

x+a

所以一--l-l=1+尤±4〉0可得或x>-a,

x+ax+a

所以/(x)的定義域為{x|x<一a—l或x>-a},

因為f(x)是奇函數，定義域關于原點對稱，所以一a—1=。，解得a=—

2

所以/(x)的定義域為(—8,-3ud,+8),

22

因為函數g(x)圖象與函數/(X)圖象關于直線y=x對稱，

所以g(x)與/(X)互為反函數，

故g(x)的值域即為了。)的定義域(-<?,-!)u(［，+<?).

故選：A.

考點二函數的周期性及其應用

【典例2-1】已知函數/(x)的定義域為R,且滿足/(x+y)+/(x—))=2/(x)/(y)，且/(g)=9

/(0)。0,則/(2021)=().

A.2021B.1C.0D.-1

【答案】C

【詳解】

令x=y=0,則/(0)+〃0)=2/(0)/(0),

故2/⑼(40)-1)=0,

故〃。)=1，("0)=0舍)

令X=y=；，則〃1)+/(0)=2嗎)佃，

故/⑴=0.

??./(x+l)+/(x-l)=2/(x)/(l)=0,

即/(x+l)=-/(x-l)=/(x+2)=-/(x)=/(x+4)=/(x),

故/(X)的周期為4,即/(X)是周期函數.

.??/(2021)=/(1)=0.

故選：C.

【典例2-2】已知函數/(X)的定義域為R,“X+2)為偶函數，〃2%+1)為奇函數，則()

A.=0B./(-1)=0C.42)=0D."4)=0

【答案】B

【詳解】

因為函數/(X+2)為偶函數，則"2+x)=/(2r),可得〃x+3)=〃l—x),

因為函數/(2x+l)為奇函數，則/(I—2x)=—/(2X+1),所以，/。一x)=—/(X+1),

所以，/(%+3)=—/(x+l)=/(x-l),BP/(x)=/(x+4),

故函數/(x)是以4為周期的周期函數，

因為函數尸(x)=〃2x+l)為奇函數,則尸(0)=/。)=0,

故/(—1)=一/。)=。，其它三個選項未知.

故選：B.

【跟蹤訓練1】已知函數/(x)是定義在R上的偶函數，滿足/(x+2)=/(x),當xw［O,l］時，

/(x)=cos^x,則函數y=/(x)TX的零點個數是()

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【詳解】

?."(x+2)=/(x),則函數“X)是周期丁=2的周期函數.

又???函數/(x)是定義在R上的偶函數，且xw［O,l］時，〃x)=cos］x,

(兀)兀

.?.當Xe［—1,0)時，/(.V)=/(-X)=cosI--XI=cos-X,

令/(x)-|x|=0,則函數y=的零點個數即為函數y=/'(x)和g(x)=兇的圖象交點個數,

分別作出函數y=〃x)和g(x)=|x|的圖象，如下圖，

顯然/(x)與g(x)在［-1,0)上有1個交點，在［0,1］上有一個交點,

當國>1時,g(x)>l,而/(x)Wl,

所以X>1或x<-l時，/(X)與g(x)無交點.

綜上，函數y=F(x)和g(x)=W的圖象交點個數為2,即函數y=f(x)—國的零點個數是2.

故選：A

【跟蹤訓練2】已知/(x)是定義在R上的奇函數，且滿足/(x)=/(l—X),則

/(2018)+/(2019)+/(2020)=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】B

【詳解】

解：???/(x)是R上的奇函數，K/(x)=/(l-x),

/(x+1)=/(-%)=-/(%),

'■/(x+2)=/(x),

A/(x)的周期為2,

/(2018)=/(0+2x1009)=/(0)=0,

且/(2019)+/(2020)=/(2019)+/(1-2020)=/(2019)-/(2019)=0,

/(2018)+/(2019)+/(2020)=0.

【跟蹤訓練3】已知定義在R上的奇函數“X)滿足〃x)=/(2-x).當時,

/(x)=log2(x+7),則“2021)=()

A.3B.-3C.-5D.5

【答案】A

【詳解】

由條件可知，/(-x)=-J(x),K/(x)=/(2-x),

即/(2-X)=—/(T),即/(2+x)=-〃x),

那么/(x+4)=―/(x+2)=/(x),所以函數/(x)是周期為4的函數，

/(2021)=/(505x4+l)=/(l)=log28=3.

故選：A

考點三函數性質的綜合運用

【典例3-1】已知某函數的部分圖象大致如圖所示，則下列函數中最合適的函數是（）

B./(x)=sin(e*-

D.=cos(e*

【答案】D

【詳解】

解：對于A：/(x)=sin(e*+er),/(0)=sin(e°+e°)=sin2>0,故A錯誤；

對于B：/(x)=sin(ev-e-v),則/(-x)=sin=-sin(x),故

/(%)=sin("-e-')為奇函數，故B錯誤；

對于C：/(x)=cos(ev-e-J:),則/(0)=cos[°-e°)=cos0=l,故C錯誤；

對于D：/(x)=cos(e*+e-*),/(O)=cos(e°+e°)=cos2<0,JLf(-x)=cos^e~x+ex^=/(x),

即/(x)=cos(ex+e'x)為偶函數，滿足條件；

故選：D

函數/（月=匚區(qū)

【典例3-2】的部分圖象大致為（)

COSX

【詳解】

根據題意，/(切=巴區(qū)，必有COSXH0,則有XWR乃+工，

cosx2

在區(qū)間(一4,萬)上，有XN±W，排除C,

在區(qū)間(0,1)上，X2-|JC|=X2-X=X(X-1)<0,cosx>0,/(x)<0,排除BD.

故選：A.

【跟蹤訓練1】已知y=/(x)為奇函數且對任意xeR,/(x+2)=/(-x),若當xe[0,l]時,

/(x)=log2(x+a),則”2021)=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【詳解】

解：因為y=/(x)為奇函數，即/(一力=一/(力,

因為對任意xeR,/(x+2)=/(-x)=-/(x),

所以〃x+4)=/(x),

當xe［O,l］時，/(x)=log2(x+a),

所以/(。)=1。82。=。，

所以a=1,則/(2021)=/(505x4+l)=/(I)=log22=l.

故選：C.

【跟蹤訓練2］已知/(x)=ax2+bx是定義在［a-1,2a］上的偶函數，那么y=/(優(yōu)+b)的最大值是

()

1「4

A.1B.—C.-y/3D.—

327

【答案】D

【詳解】

解：根據題意，/(%)=公2+加是定義在出一1,勿］卜一的偶函數，則有(a—l)+2a=3a-l=0,則。=：,

同時/(一元)=/(X)，即G?+法=〃(-X)2+伙-X),則有力X=0,必有力=0，

17?

則其定義域為［-§,-］.

112122

貝Ijy=/(a"+?="(?”］,設'=(§)",若-/申'3)則有〃…一1叫3>0，

2

在區(qū)間［-噢3§，+8)上，f〉0且為減函數，

Io

/。)=§/在區(qū)間(0,上為增函數，

則y=/?)"］在［T%：，+8)上為減函數，其最大值為/(2)=3,

33327

故選：D.

【跟蹤訓練3】已知函數/(x)是定義在R上的奇函數，滿足/(x+2)=/(—x),且當工目0,1］時，

/(x)=log2(x+l),則函數>的零點個數是()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【詳解】

由〃》+2)=/(-力可得/。)關于1=1對稱，

由函數“X)是定義在R上的奇函數，

所以〃x+2)=/(-x)=-/(x)=—[一/G—2)]=/U-2),

所以/(x)的周期為4,

把函數y=/(可一/的零點問題即y=/⑴―V=。的解，

即函數V=/(x)和y=V的圖像交點問題，

根據fW的性質可得如圖所得圖形，結合y=/的圖像，

由圖像可得共有3個交點，故共有3個零點,

故選：B.

【真題演練】

1.(2021.全國高考真題(文))設/(x)是定義域為H的奇函數，且〃l+x)=/(—x).若/

3

)

511

A.——B.——C.一

333

【答案】C

【詳解】

由題意可得：f

]_

而f

3

故《|）

3

2.（2021?全國高考真題（理））設函數/（x）的定義域為R,/（X+1）為奇函數，/（X+2）為偶函數,

當xe[l,2]時，f（x）=ax2+b.若/（0）+/（3）=6,則八彳=（）

I2J

、93八75

D.

4242

【答案】D

【詳解】

因為/（X+1）是奇函數，所以/（一%+口=一/^+口①；

因為/（x+2）是偶函數，所以〃x+2）=〃—x+2）②.

令》=1,由①得：/（0）=—/（2）=—（4。+。），由②得：/（3）=/（l）=a+匕，

因為/（0）+/（3）=6,所以-（4a+b）+a+b=6=>a=-2,

令x=0,由①得：/（1）=一/（1）=>/（1）=0=>8=2,所以/（力=一2/+2.

思路一：從定義入手.

圖

所以?-同=!.

思路二：從周期性入手

由兩個對稱性可知，函數/(X)的周期7=4.

所以尼H｝卜-同《

3.(2021?全國高考真題(文))下列函數中是增函數的為()

A./(%)=-%B.=C./(x)=%2D.f(x)=也

【答案】D

【詳解】

對于A,/(x)=-x為R上的減函數，不合題意，舍.

對于B,y(x)=-為R上的減函數，不合題意，舍.

對于C,"尤)=尤2在(—8,0)為減函數，不合題意，舍.

對于D,〃力=取為R上的增函數，符合題意，

故選：D.

1

4.(2021?浙江高考真題)己知函數〃工)=%29+_*(幻=$抽X,則圖象為如圖的函數可能是()

4

.【

7rq7TX

A.y=/(x)+g(x)B.y=f(x)-g

4

c.y=/(x)g(x)D.>=與2

/(x)

【答案】D

【詳解】

對于A,y=/(x)+g(x)—；=f+sinx,該函數為非奇非偶函數，與函數圖象不符，排除A；

2

對于B,y=/(x)-1g(%)--=x-sinx,該函數為非奇非偶函數，與函數圖象不符，排除B；

對于C,y=/(x)g(x)=+(sinx,則y'=2xsinx+(Y+；］cosx,

6(2y\S

當?￥=一時，y——X----F――H—X>0,與圖象不符，排除C.

422(164)2

故選：D.

5.(2021.全國高考真題)已知函數/(x)的定義域為R,/(x+2)為偶函數，〃2x+l)為奇函數，則()

A.mB./(-l)=oc."2)=0D./(4)=0

【答案】B

【詳解】

因為函數“X+2)為偶函數,則"2+x)=.f(2-x),可得〃x+3)=〃l—x),

因為函數/(2x+l)為奇函數，則〃l_2x)=_/(2x+l),所以，=

所以，/(x+3)=—/(x+l)=/(x-l),即/(x)=/(x+4),

故函數是以4為周期的周期函數，

因為函數E(x)=/(2x+l)為奇函數，則尸(。)=/(1)=0,

故/(-1)=—/(1)=。,其它三個選項未知.

故選：B.

【過關檢測】

I.給定函數/(x)=尤+2,g(x)=4—x2,對于VxeR,用M(尤)表示/(x),g(x)中的較小者，記為

M(x)=min{/(x),g(x)},則M(x)的最大值為()

A.0B.1C.3D.4

【答案】C

【詳解】

解：令x+2<4—x"即/+了_2<0,解得—2<x<1.

x+2,xe(-2,1)

所以M(x)={，/riv

4-x,xe(-oo,-2］u［l,+oo)

當一2cx<1時，M(x)<M⑴=3,

當x..2或內，一1時，M(x)z=A^l)=3,

所以函數M(x)的最大值為3,

故選：C.

2.已知函數〃x)在定義域R上單調，且f(/(x)+2x)=l,則/(-2)的值為()

A.3B.1C.0D.-1

【答案】A

【詳解】

因為函數/(x)在定義域R上單調，且f(f(x)+2x)=1,

所以/(x)+2x為常數，不妨設/(x)+2x=f,則/(x)=t—2x

由/(/(x)+2x)=l得/⑺="2r=l,解得：f=-l,

所以.f(x)=-2x—l,

所以/(—2)=—2(—2)—1=3.

故選：A

3.已知函數〃x)是定義在［泉［J上的奇函數.當xe0弓)時，"x)+/'(x)tanx>0,則不等式

cosx?/［尤+、)+sin尤?/(一x)>0的解集為()

nn7171

A.B.C.D.

2,~~62，-4-r°.

【答案】D

4.已知定義在(0,+8)上的函數滿足礦(x)+(2-x)〃x)=《(x+lnx—1),則下列不等式一定正確

的是()

A.4/(1)<7；/^

B.4/(2)<ef(l)

D.e|嗎)<16〃2)

C.4叭2)>9/(3)

【答案】A

【詳解】

解：由4'(x)+(2-x)/(x)=J(x+lnx-l)，得

x2f(x)+(2x-x2)f(x)

----------------------=x+lnx-l，

設gab*1

［九(必2-［匕3卜2")+XW(X)7"(X)

「㈤2/

x2f(x)+(2x-x2)f(x)

=----------------------=x+Inx—1

設〃(x)=x+lnx-l,則/z(x)在(0,+oo)上為增函數，且妝1)=0,

則當x>l時，〃(x)>/?(l)=(),此;時g'(x)=/z(x)>0,此時函數g(x)為增函數，

當0cx<1時，/z(x)</J(1)=0,此時g'(x)=〃(x)<0,此時函數g(x)為減函數,

由g(2)＞g⑴，即空4＞犯，即4〃2)＞球⑴,

由江3)>g(2),得誓即位“2)<9/⑶，

e夕

由g(g)>g⑴,得/⑴,即4/(l)<&/[g),

一)，一

故選：A

5.我國著名數學家華羅庚曾說.“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔離分家萬事休.”

在數學的學習和研究中，有時可憑借函數的圖象分析函數解析式的特征已知函數/(X)在一%,4的大致

圖象如圖所示，則函數/(X)的解析式可能為()

A./(x)=ln|x|-cosxB./(x)=ln|x|-sinx

C./(x)=ln|x|4-cosxD./(x)=ln|x|+sinx

【答案】B

【詳解】

根據函數圖象可得其對應的函數為非奇非偶函數，而A,C中的函數為偶函數，故排除A,C.

設題干中函數圖象與X軸交點的橫坐標分別為為,吃，且玉<0<々，ft|x1|<x2.

對于B,令/(x)=ln|x|-sinx=(),即ln|止sinx,作出y=ln國和y=sinx的函數圖象，如圖所示:

由圖象可知，函數y=ln|x|-sinx的圖象與x軸交點的橫坐標滿足藥<0<%2，且歸|<%2，符合題意；

對D,令〃x)=ln|x|+sinx=O,EPln|x|=-sinx,作出y=ln|x|和y=-sin尤的函數圖象，如圖所示:

由圖象可知，函數y=ln|x|+sinx的圖象與x軸交點的橫坐標滿足為<0<%，且㈤>9，故D不符合題

意.

6.我國著名數學家華羅先生曾說：數缺形時少直觀，形缺數時難人微，數形結合百般好，隔離分家萬事休.

在數學的學習和研究中，常用函數的圖象來研究函數的性質，也常用函數的解析式來琢廊函數的圖象特征,

【答案】B

【詳解】

解：因為=定義域為R,〃_編=上立二=_±_=『5)，所以/(X)=YJ為偶

函數，函數圖象關于y軸對稱，故排除CD；

v-2

當時，e'->+00,x2->+oo,e-x->0,但是e，比爐增長速度快得多，所以------>0,故排除

ex+ex

A；

故選：B

7.對于函數y=/(x),其定義域為Q,如果存在區(qū)間［〃3同時滿足下列條件：①/'(X)在［加，川

上是單調函數;②當/(x)的定義域為阿，川時，值域也是［〃?，川，則稱區(qū)間加，川是函數/(x)的“K區(qū)

間''.若函數f(x)=口-a(?>0)存在“K區(qū)間”，則。的取值范圍為()

【答案】C

【詳解】

\J-m-a-=n

/(劃為減函數，所以《「

\yj-n-a=m

\y[-in-a=n[a=-n-^

兩式相減化筒得J二荷+J二=1.代人「，得＜

yj-n-a=ma=-m-

問題轉化為函數y=。與函數y=--x+l(x20)有兩個交點

。工X

2

結合圖像可知

故選：C

8.已知實數a,b,。滿足lna=e"=c，則。，b,。的大小關系為()

A.a>b>cB.c>b>a

C.b>c>aD.a>c>b

【答案】D

【詳解】

令/(x)=x—lnx(x>0),則/(x)=l-L

x

當0<x<l時，f(x)<O,f(x)單調遞減，

當l<x時，/'(x)>O,/(x)單調遞增，

所以/(x)2/(l)=l>0,

即x>lnx.

所以a>lna=c,c>lnc=lneb=￡>>

故選：D

9.已知實數x,y,z滿足e-v]nx=且In—=ze”，若y>l,則()

x

A.x>y>zB,x>z>y

c.y>z>xD.y>x>z

【答案】D

【詳解】