專題01網(wǎng)格中求正弦和余弦(原卷版+解析)

專題01網(wǎng)格中求正弦和余弦1．在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D都在格點(diǎn)上，AB與CD相交于點(diǎn)O，則∠AOD的正弦值為（）A． B． C． D．2．如圖，在2×2正方形網(wǎng)格中，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的△ABC的面積等于，則sin∠CAB＝（）A． B． C． D．3．如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)、、、都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，、相交于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．4．如圖，點(diǎn)A，B，C在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則sin∠BAC等于（）A． B． C． D．5．如圖，在邊長(zhǎng)1正網(wǎng)格中，A、B、C都在網(wǎng)格線上，AB與CD相交于點(diǎn)D，則是（

）A． B． C． D．6．如圖，點(diǎn)A，B，C在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則sin∠BAC=（

）A． B． C． D．7．如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，的頂點(diǎn)都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，那么的值為（

）．A． B． C． D．8．如圖，在正方形網(wǎng)格中，△ABC的位置如圖，其中點(diǎn)A、B、C分別在格點(diǎn)上，則sinA的值是（）A． B． C． D．9．如圖，在5×4的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是l，△ABC的頂點(diǎn)都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，則cos∠BAC的值為（）A． B． C． D．10．在正方形網(wǎng)格中，△ABC的位置如圖所示，則cos∠B的值為（

）A． B． C． D．11．三角形在方格紙中的位置如圖所示，則的值是（

）A． B． C． D．12．如圖，△ABC的頂點(diǎn)都是正方形網(wǎng)格中的格點(diǎn)，則cos∠ABC等于（

）A． B． C． D．13．如圖是一個(gè)3×2的長(zhǎng)方形網(wǎng)格，組成網(wǎng)格的小長(zhǎng)方形長(zhǎng)為寬的2倍，△ABC的頂點(diǎn)都是網(wǎng)格中的格點(diǎn)，則cos∠ABC的值是（）A． B． C． D．14．如圖，△ABC的頂點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則cos∠BAC的值為（

）A． B． C． D．15．如圖，在下列網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A、B、O都在格點(diǎn)上，則的正弦值是（

）A． B． C． D．16．如圖，在正方形網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)A、B、C、D都在格點(diǎn)上，AB與CD相交于點(diǎn)O，則∠AOC的正弦值是__．17．如圖，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，則cosA的值為_(kāi)______．18．如圖所示，是放置在正方形網(wǎng)格中的一個(gè)角，則的值是________．19．如圖所示方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，其中有三個(gè)格點(diǎn)A、B、C，則sin∠ABC=_____．20．如圖是4×4的正方形網(wǎng)格，點(diǎn)C在∠BAD的一邊AD上，且A、B、C為格點(diǎn)，sin∠BAD的值是___________．21．如圖在邊長(zhǎng)相同的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、O在小正方形的頂點(diǎn)上，則______．22．如圖，在4×4的正方形方格圖形中，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則∠BAC的余弦值是____．23．如圖，在6x6的正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上，則cos∠BAC的值是_____．24．如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，AB、CD相交于點(diǎn)O，則cos∠AOD=___．25．如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格圖中有△ABC，則∠ABC的余弦值為_(kāi)____．26．如圖，∠AOB是放置在正方形網(wǎng)格中的一個(gè)角，則cos∠AOB的值是_____．27．如圖，在5×5的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A、B、C都在格點(diǎn)上，則cos∠BAC的值為_(kāi)____．28．如圖，在的正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1）中，的頂點(diǎn)都在小正方形的格點(diǎn)上，則_______．29．如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，點(diǎn)A,B,C都在小正方形的頂點(diǎn)上，則∠ABC的正弦值為_(kāi)___．專題01網(wǎng)格中求正弦和余弦1．在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D都在格點(diǎn)上，AB與CD相交于點(diǎn)O，則∠AOD的正弦值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可知，的中點(diǎn)也在格點(diǎn)上，連接，先利用勾股定理可得，，再根據(jù)等腰三角形的判定與性質(zhì)可得，然后根據(jù)相似三角形的判定可證，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，從而可得，最后在中，根據(jù)正弦的定義可得，由此即可得出答案．【詳解】解：如圖，由題意可知，的中點(diǎn)也在格點(diǎn)上，連接，，，是等腰直角三角形，（等腰三角形的三線合一），，，又，，，即，，在中，，則，即的正弦值為，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握解直角三角形的方法是解題關(guān)鍵．2．如圖，在2×2正方形網(wǎng)格中，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的△ABC的面積等于，則sin∠CAB＝（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】過(guò)C作CD⊥AB，根據(jù)勾股定理得：AC=AB==，S△ABC=4---=，即CD?AB=，所以CD=，解得：CD=，則sin∠CAB==，故選B．3．如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)、、、都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，、相交于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接BE、AE．根據(jù)格點(diǎn)先求出AB、AE、BE，再利用正方形對(duì)角線的性質(zhì)判斷CD與BE關(guān)系與△ABE的形狀，最后求出∠ABE的余弦值．【詳解】解：如圖，連接、．則：，．、、都是正方形的對(duì)角線，．，．，是直角三角形．．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，掌握勾股定理和直角三角形的邊角間關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．4．如圖，點(diǎn)A，B，C在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則sin∠BAC等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，做出合適的輔助線，然后根據(jù)勾股定理的逆定理，可以得到△ACD的形狀，從而可以求得sin∠BAC的值．【詳解】解：連接CD，點(diǎn)D在格點(diǎn)上，如右圖所示：設(shè)每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為a，則CDa，ACa，AD2a，∴CD2+AD2＝（a）2+（2a）2＝（a）2＝AC2，∴△ACD是直角三角形，∴sin∠BAC＝sin∠CAD，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是判斷出△ACD的形狀．5．如圖，在邊長(zhǎng)1正網(wǎng)格中，A、B、C都在網(wǎng)格線上，AB與CD相交于點(diǎn)D，則是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將∠ADC轉(zhuǎn)化成其他相等的角，在直角三角形中，利用正弦函數(shù)值的定義求解即可．【詳解】延長(zhǎng)CD交正方形的另一個(gè)頂點(diǎn)為E，連接BE，如下圖所示：由題意可知：∠BED=90°，∠ADC=∠BDE，根據(jù)正方形小格的邊長(zhǎng)及勾股定理可得：BE=，BD=，∴在Rt△BDE中，，∴，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理和求解正弦值，熟練地找到角所在的直角三角形，利用正弦函數(shù)值的定義進(jìn)行求解，是解決本題的關(guān)鍵．6．如圖，點(diǎn)A，B，C在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則sin∠BAC=（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作BD⊥AC于D，根據(jù)勾股定理求出AB、AC，利用三角形的面積求出BD，最后在直角△ABD中根據(jù)三角函數(shù)的意義求解．【詳解】解：如圖，作BD⊥AC于D，由勾股定理得，，∵，∴，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，解直角三角形，三角形的面積，三角函數(shù)的意義等知識(shí)，根據(jù)網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形和利用三角形的面積求出BD是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．7．如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，的頂點(diǎn)都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，那么的值為（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)D，在中，利用勾股定理求得線段AC的長(zhǎng)，再按照正弦函數(shù)的定義計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)D，則，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的運(yùn)用以及銳角三角函數(shù)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．8．如圖，在正方形網(wǎng)格中，△ABC的位置如圖，其中點(diǎn)A、B、C分別在格點(diǎn)上，則sinA的值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理，可得AC的長(zhǎng)，根據(jù)正弦等于對(duì)邊比斜邊，可得答案．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，則∠CDA=90°∵BC＝2，∴S△ABC＝BC×4＝4，∵AB＝＝4，S△ABC＝BA×CD∴CD＝∵AC＝＝2，∴在RtABC中,∠CDA=90°sinA＝=

故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的運(yùn)用以及銳角三角函數(shù)的定義，正確作出輔助線構(gòu)造∠A所在的直角三角形是解題的關(guān)鍵．9．如圖，在5×4的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是l，△ABC的頂點(diǎn)都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，則cos∠BAC的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】過(guò)C作CD⊥AB于D，首先根據(jù)勾股定理求出AC，然后在RtΔACD中即可求出cos∠BAC的值．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，∵AD＝3，CD＝4，∴由勾股定理可知：，∴cos∠BAC＝，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的運(yùn)用以及銳角三角函數(shù)，要注意三種銳角三角函數(shù)的區(qū)別，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．10．在正方形網(wǎng)格中，△ABC的位置如圖所示，則cos∠B的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作AD垂直BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D得出△ABD為等腰直角三角形，再根據(jù)45°角的cos值即可得出答案.【詳解】作AD垂直BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D則△ABD為等腰直角三角形，∠B=45°∴故答案選擇B.【點(diǎn)睛】本題考查的是銳角三角函數(shù)，比較簡(jiǎn)單，需要理解并記憶特殊銳角三角函數(shù)值.11．三角形在方格紙中的位置如圖所示，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)確定出α所在的直角三角形，然后利用勾股定理列式求出斜邊的長(zhǎng)，再根據(jù)銳角的余弦等于鄰邊比斜邊列式即可．【詳解】解：由圖可知，α所在的直角三角形的兩直角邊分別為3、4，根據(jù)勾股定理，斜邊，∵α的鄰邊為4，∴.故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，確定出α所在的直角三角形是解題的關(guān)鍵．12．如圖，△ABC的頂點(diǎn)都是正方形網(wǎng)格中的格點(diǎn)，則cos∠ABC等于（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由格點(diǎn)可得∠ABC所在的直角三角形的兩條直角邊為2，4，∴斜邊為，∴cos∠ABC=，故選：B．13．如圖是一個(gè)3×2的長(zhǎng)方形網(wǎng)格，組成網(wǎng)格的小長(zhǎng)方形長(zhǎng)為寬的2倍，△ABC的頂點(diǎn)都是網(wǎng)格中的格點(diǎn)，則cos∠ABC的值是（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】試題分析：如圖，由6塊長(zhǎng)為2、寬為1的長(zhǎng)方形，可得∠D=90°，AD=3×1=3，BD=2×2=4，因此在Rt△ABD中，AB==5，因此可得cos∠ABC=．故選D．考點(diǎn)：銳角三角函數(shù)14．如圖，△ABC的頂點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則cos∠BAC的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，過(guò)B作BD⊥AC，交AC延長(zhǎng)線于D，利用勾股定理可求出AB的長(zhǎng)，利用余弦函數(shù)的定義即可得答案.【詳解】如圖，設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，過(guò)B作BD⊥AC，交AC延長(zhǎng)線于D，∵BD=4，AD=3，∴AB===5，∴cos∠BAC==，故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的定義，在直角三角形中，銳角的正弦是角的對(duì)邊與斜邊的比；余弦是角的鄰邊與斜邊的比；正切是角的對(duì)邊與鄰邊的比；余切是角的鄰邊與對(duì)邊的比；熟練掌握各三角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵.15．如圖，在下列網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A、B、O都在格點(diǎn)上，則的正弦值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】取格點(diǎn)C，連接AC，BC，觀察圖象可知，O，B，C共線，∠ACO=90°，利用勾股定理求得AC和AO的長(zhǎng)，根據(jù)正弦的定義即可求解．【詳解】解：取格點(diǎn)C，連接AC，BC，觀察圖象可知，O，B，C共線，∠ACO=90°，則AC=，AO=2，sin∠AOB=．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運(yùn)用：在直角三角形中，銳角的正弦為對(duì)邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對(duì)邊比鄰邊．16．如圖，在正方形網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)A、B、C、D都在格點(diǎn)上，AB與CD相交于點(diǎn)O，則∠AOC的正弦值是__．【答案】【分析】如圖，連接BE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F，證明再利用勾股定理及等面積法求解從而可得答案．【詳解】解：如圖，連接BE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F．∵BD∥CE．BD＝CE．∴四邊形DBEC是平行四邊形．∴BE∥DC．∴∠ABE＝∠AOC．∵，．∴．在Rt△BEF中，∵，∴sin∠AOC＝．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，求解銳角的正弦，掌握構(gòu)造直角三角形求解銳角的正弦是解題的關(guān)鍵．17．如圖，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，則cosA的值為_(kāi)______．【答案】【分析】連接BD，根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出△ABD的形狀，再由銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，連接BD，∵BD2=12+12=2，AB2=12+32=10，AD2=22+22=8，2+8=10，∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°，∴．故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了銳角三角函數(shù)和勾股定理，作出適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)建直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．18．如圖所示，是放置在正方形網(wǎng)格中的一個(gè)角，則的值是________．【答案】【分析】由題意可知，要求出答案首先需要構(gòu)造出直角三角形，連接AB，設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，可以求出OA、OB、AB的長(zhǎng)度，由勾股定理的逆定理可得是直角三角形，再根據(jù)三角函數(shù)的定義可以求出答案.【詳解】連接AB如圖所示：設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，∴==10，，，∴是直角三角形，∴，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的逆定理和正弦函數(shù)的定義，熟練掌握技巧即可得出答案.19．如圖所示方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，其中有三個(gè)格點(diǎn)A、B、C，則sin∠ABC=_____．【答案】【分析】首先過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，連接AC.進(jìn)而結(jié)合得出AD的長(zhǎng)，再利用銳角三角函數(shù)關(guān)系求出答案．【詳解】解：如圖所示：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，連接AC.∵∴解得：故sin∠ABC故答案為點(diǎn)睛：考查銳角三角函數(shù)，涉及三角形面積和勾股定理，根據(jù)面積求出是解題的關(guān)鍵.20．如圖是4×4的正方形網(wǎng)格，點(diǎn)C在∠BAD的一邊AD上，且A、B、C為格點(diǎn)，sin∠BAD的值是___________．【答案】【詳解】試題解析：連接BC，根據(jù)勾股定理，可求得AB=，BC=，AC=，根據(jù)勾股定理的逆定理，可得∠ABC=90°，∴sin∠BAD=．21．如圖在邊長(zhǎng)相同的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、O在小正方形的頂點(diǎn)上，則______．【答案】##【分析】延長(zhǎng)AB使得，根據(jù)勾股定理得出，結(jié)合余弦函數(shù)的定義（鄰邊比斜邊）求解即可得．【詳解】解：如圖所示，延長(zhǎng)AB使得，∴，，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】題目主要考查勾股定理解三角形及求角的余弦值，熟練掌握運(yùn)用勾股定理及余弦函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．22．如圖，在4×4的正方形方格圖形中，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則∠BAC的余弦值是____．【答案】【分析】先根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出△ABC的形狀，再由銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵AB2＝32+42＝25、AC2＝22+42＝20、BC2＝12+22＝5，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC為直角三角形，且∠ACB＝90°，則cos∠BAC，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理及其逆定理，熟知在一個(gè)三角形中，如果兩條邊長(zhǎng)的平方之和等于第三邊長(zhǎng)的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．23．如圖，在6x6的正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上，則cos∠BAC的值是_____．【答案】【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于D．利用勾股定理求出AB即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于D．∵AB＝＝5，在Rt△ABD中，cos∠BAC＝＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．24．如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，AB、CD相交于點(diǎn)O，則cos∠AOD=___．【答案】【分析】設(shè)右下角頂點(diǎn)為點(diǎn)F，取DF的中點(diǎn)E，連接BE，AE，由點(diǎn)B為CF的中點(diǎn)、點(diǎn)E為DF的中點(diǎn)可得出BE∥CD，進(jìn)而可得出∠AOD＝∠ABE，在△ABE中，由AB2＝AE2＋BE2可得出∠AEB＝90°，再利用余弦的定義即可求出cos∠ABE的值，此題得解．【詳解】解：設(shè)右下角頂點(diǎn)為點(diǎn)F，取DF的中點(diǎn)E，連接BE，AE，如圖所示．∵點(diǎn)B為CF的中點(diǎn)，點(diǎn)E為DF的中點(diǎn)，∴BE∥CD，∴∠AOD＝∠ABE．在△ABE中，AB＝，AE＝2，BE＝，∵AB2＝AE2＋BE2，∴∠AEB＝90°，∴cos∠ABE＝＝∴cos∠AOD＝故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形、勾股定理逆定理、余弦的定義、中位線以及平行線的性質(zhì)，構(gòu)造出含有一個(gè)銳角等于∠AOD的直角三角形是解題的關(guān)鍵．25．如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格圖中有△ABC，則∠ABC的余弦值為_(kāi)____．【答案】【分析】設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，求出AC、BC、AB的長(zhǎng)，利用勾股定理的逆定理證明∠CAB＝90°，再根據(jù)余弦定理即可得出答案．【詳解】解：設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，∵AC＝＝，BC＝＝5，AB＝＝2，∵AB2+AC2＝（2）2+（）2＝25，BC2＝52＝25，∴AB2+AC2＝BC2，∴∠CAB＝90°，∴cos∠ABC＝＝；故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查勾股