專題12因式分解(原卷版+解析)

2022-2023學年人教版數(shù)學八年級上冊壓軸題專題精選匯編專題12因式分解考試時間：120分鐘試卷滿分：100分姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三總分得分評卷人得分一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2018秋?雨花區(qū)校級月考）已知a＝2018x+2018，b＝2018x+2019，c＝2018x+2020，則a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是（）A．0 B．1 C．2 D．32．（2019秋?天心區(qū)校級月考）把多項式（x﹣y）2﹣2（x﹣y）﹣8分解因式，正確的結(jié)果是（）A．（x﹣y+4）（x﹣y+2） B．（x﹣y﹣4）（x﹣y﹣2） C．（x﹣y﹣4）（x﹣y+2） D．（x﹣y+4）（x﹣y﹣2）3．（2022春?岳麓區(qū)校級期末）計算：652﹣352＝（）A．30 B．300 C．900 D．30004．（2022?長沙模擬）下列從左到右的變形，屬于因式分解的是（）A．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9 B．x2﹣9+x＝（x+3）（x﹣3）﹣x C．xy2﹣x2y＝xy（y﹣x） D．x2+5x+4＝x（x+5）+45．（2021秋?開福區(qū)校級期中）多項式3x2y2﹣12x2y4﹣6x3y3的公因式是（）A．3x2y2z B．x2y2 C．3x2y2 D．3x3y2z6．（2021秋?望城區(qū)期末）下列多項式能直接用完全平方公式進行因式分解的是（）A．4x2﹣4x+1 B．x2+2x﹣1 C．x2+xy+2y2 D．9+x2﹣4x7．（2021秋?開福區(qū)校級期末）下列各式因式分解正確的是（）A．x2+1＝（x+1）2 B．x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1） C．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3 D．x2+2x+1＝x（x+2）+18．（2019秋?芙蓉區(qū)校級月考）已知a、b、c是△ABC的三條邊，且滿足a2+bc＝b2+ac，則△ABC是（）A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形9．（2020秋?開福區(qū)校級月考）下列因式分解正確的是（）A．2ax2﹣4ax＝2a（x2﹣2x） B．（x﹣y）2＝x2﹣y2 C．x2+4xy+4y2＝（x+2y）2 D．m4﹣n4＝（m2+n2）（m2﹣n2）10．（2019?岳麓區(qū)校級開學）下列多項式能用完全平方公式進行因式分解的是（）A．a(chǎn)2﹣1 B．a(chǎn)2+4 C．a(chǎn)2+2a+1 D．a(chǎn)2﹣4a﹣4評卷人得分二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2022?開福區(qū)三模）因式分解25x﹣xy2＝．12．（2018秋?岳麓區(qū)校級期末）因式分解：2a2+8a+8＝．13．（2017春?芙蓉區(qū)校級月考）分解因式：﹣m3+2m2﹣m＝．14．（2020秋?長沙月考）分解因式：mx2﹣6mx+9m＝．15．（2019?天心區(qū)一模）因式分解：x3﹣9x＝．16．（2022?開福區(qū)一模）分解因式：x2﹣4x＝．17．（2019春?開福區(qū)月考）分解因式：2m2﹣8＝．18．（2021秋?開福區(qū)校級期末）已知x2﹣3x﹣1＝0，則2x3﹣3x2﹣11x+1＝．19．（2019秋?長沙縣期末）如圖所示，根據(jù)圖形把多項式a2+5ab+4b2因式分解＝．20．（2018秋?天心區(qū)校級月考）把多項式ax2+2axy+ay2分解因式的結(jié)果是．評卷人得分三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2021秋?長沙縣期末）因式分解：（1）x（a﹣1）+（1﹣a）；（2）3m2+6mn+3n2．22．（8分）（2021秋?開福區(qū)校級期末）仔細閱讀下面例題，解答問題：例題：已知二次三項式x2﹣4x+m有一個因式是x+3，求另一個因式以及m的值．解：設(shè)另一個因式為x+n，則x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），即x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n，∴，解得．故另一個因式為x﹣7，m的值為﹣21．仿照上面的方法解答下面問題：已知二次三項式x2+3x﹣k有一個因式是x﹣5，求另一個因式以及k的值．23．（8分）（2021秋?長沙縣期末）方法探究：已知二次多項式x2﹣4x﹣21，我們把x＝﹣3代入多項式，發(fā)現(xiàn)x2﹣4x﹣21＝0，由此可以推斷多項式中有因式（x+3）．設(shè)另一個因式為（x+k），多項式可以表示成x2﹣4x﹣21＝（x+3）（x+k），則有x2﹣4x﹣21＝x2+（k+3）x+3k，因為對應(yīng)項的系數(shù)是對應(yīng)相等的，即k+3＝﹣4，解得k＝﹣7，因此多項式分解因式得：x2﹣4x﹣21＝（x+3）（x﹣7）．我們把以上分解因式的方法叫“試根法”．問題解決：（1）對于二次多項式x2﹣4，我們把x＝代入該式，會發(fā)現(xiàn)x2﹣4＝0成立；（2）對于三次多項式x3﹣x2﹣3x+3，我們把x＝1代入多項式，發(fā)現(xiàn)x3﹣x2﹣3x+3＝0，由此可以推斷多項式中有因式（x﹣1），設(shè)另一個因式為（x2+ax+b），多項式可以表示成x3﹣x2﹣3x+3＝（x﹣1）（x2+ax+b），試求出題目中a，b的值；（3）對于多項式x3+4x2﹣3x﹣18，用“試根法”分解因式．24．（8分）（2021秋?望城區(qū)期末）（1）將一個多項式分組后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法是分組分解法．例如：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（a+b）（m+n）．①分解因式：ab﹣2a﹣2b+4；②若a，b（a＞b）都是正整數(shù)且滿足ab﹣2a﹣2b﹣4＝0，求2a+b的值；（2）若a，b為實數(shù)且滿足ab﹣a﹣b﹣1＝0，整式M＝a2+3ab+b2﹣9a﹣7b，求整式M的最小值．25．（8分）（2021秋?長沙期中）閱讀理解：若x滿足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．解：設(shè)9﹣x＝a，x﹣4＝b，則（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．遷移應(yīng)用：（1）若x滿足（2020﹣x）2+（x﹣2022）2＝10，求（2020﹣x）（x﹣2022）的值；（2）如圖，點E，G分別是正方形ABCD的邊AD、AB上的點，滿足DE＝k，BG＝k+1（k為常數(shù)，且k＞0），長方形AEFG的面積是，分別以GF、AG作正方形GFIH和正方形AGJK，求陰影部分的面積．26．（6分）（2021秋?開福區(qū)校級期中）閱讀下面材料，在代數(shù)式中，我們把一個二次多項式化為一個完全平方式與一個常數(shù)的和的方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學方法，它不僅可以將一個看似不能分解的多項式因式分解，還能求代數(shù)式最大值，最小值等問題．例如：求代數(shù)式：x2﹣12x+2020的最小值解：原式＝x2﹣12x+62﹣62+2020＝（x﹣6）2+1984∵（x﹣6）2≥0，∴當x＝6時，（x﹣6）2的值最小，最小值為0，∴（x﹣6）2+1984≥1984，∴當（x﹣6）2＝0時，（x﹣6）2+1984的值最小，最小值為1984，∴代數(shù)式：x2﹣12x+2020的最小值是1984．例如：分解因式：x2﹣120x+3456解：原式＝x2﹣2×60x+602﹣602+3456＝（x﹣60）2﹣144＝（x﹣60）2﹣122＝（x﹣60+12）（x﹣60﹣12）＝（x﹣48）（x﹣72）．（1）分解因式x2﹣46x+520；（2）若y＝﹣x2+2x+1313，求y的最大值；（3）當m，n為何值時，代數(shù)式m2﹣2mn﹣2m+2n2﹣4n+2030有最小值，并求出這個最小值．27．（7分）（2019秋?天心區(qū)月考）如果一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個正整數(shù)為“神秘數(shù)”．如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20這三個數(shù)都是神秘數(shù)．（1）28是神秘數(shù)嗎？為什么？（2）設(shè)兩個連續(xù)偶數(shù)為2k+2和2k（其中k取非負整數(shù)），由這兩個連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的神秘數(shù)是4的倍數(shù)嗎？為什么？（3）①若長方形相鄰兩邊長為兩個連續(xù)偶數(shù)，試說明其周長一定為神秘數(shù)．②在①的條件下，面積是否為神秘數(shù)？為什么？28．（9分）（2019秋?開福區(qū)校級期末）我們知道，任意一個正整數(shù)n都可以進行這樣的分解：n＝p×q（p，q是正整數(shù)，且p≤q），在n的所有這種分解中，如果p，q兩因數(shù)之差的絕對值最小，我們就稱p×q是n的最佳分解．并規(guī)定：F（n）＝．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因為12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）＝．（1）如果一個正整數(shù)m是另外一個正整數(shù)n的平方，我們稱正整數(shù)m是完全平方數(shù)．求證：對任意一個完全平方數(shù)m，總有F（m）＝1；（2）如果一個兩位正整數(shù)t，t＝10x+y（1≤x≤y≤9，x，y為自然數(shù)），交換其個位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)減去原來的兩位正整數(shù)所得的差為36，那么我們稱這個數(shù)t為“吉祥數(shù)”，求所有“吉祥數(shù)”；（3）在（2）所得“吉祥數(shù)”中，求F（t）的最大值．2022-2023學年人教版數(shù)學八年級上冊壓軸題專題精選匯編專題12因式分解考試時間：120分鐘試卷滿分：100分一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2018秋?雨花區(qū)校級月考）已知a＝2018x+2018，b＝2018x+2019，c＝2018x+2020，則a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是（）A．0 B．1 C．2 D．3【思路引導】根據(jù)題目中的式子，可以求得a﹣b、a﹣c、b﹣c的值，然后對所求式子變形，利用完全平方公式進行解答．【完整解答】解：∵a＝2018x+2018，b＝2018x+2019，c＝2018x+2020，∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝＝＝＝＝3，故選：D．2．（2019秋?天心區(qū)校級月考）把多項式（x﹣y）2﹣2（x﹣y）﹣8分解因式，正確的結(jié)果是（）A．（x﹣y+4）（x﹣y+2） B．（x﹣y﹣4）（x﹣y﹣2） C．（x﹣y﹣4）（x﹣y+2） D．（x﹣y+4）（x﹣y﹣2）【思路引導】根據(jù)十字相乘法的分解方法，要把x﹣y看作是個整體．【完整解答】解：（x﹣y）2﹣2（x﹣y）﹣8，＝（x﹣y﹣4）（x﹣y+2）．故選：C．3．（2022春?岳麓區(qū)校級期末）計算：652﹣352＝（）A．30 B．300 C．900 D．3000【思路引導】利用平方差公式進行計算，即可得出答案．【完整解答】解：652﹣352＝（65+35）（65﹣35）＝100×30＝3000，故選：D．4．（2022?長沙模擬）下列從左到右的變形，屬于因式分解的是（）A．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9 B．x2﹣9+x＝（x+3）（x﹣3）﹣x C．xy2﹣x2y＝xy（y﹣x） D．x2+5x+4＝x（x+5）+4【思路引導】把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解．由定義判斷即可．【完整解答】解：A．從左到右的變形是整式乘法，不是因式分解，故A不符合題意；B．等式的右邊不是幾個整式的積的形式，不是因式分解，故B不符合題意；C．是因式分解，故C符合題意；D．等式的右邊不是幾個整式的積的形式，不是因式分解，故D不符合題意．故選：C．5．（2021秋?開福區(qū)校級期中）多項式3x2y2﹣12x2y4﹣6x3y3的公因式是（）A．3x2y2z B．x2y2 C．3x2y2 D．3x3y2z【思路引導】根據(jù)公因式的概念即可得出答案．【完整解答】解：多項式3x2y2﹣12x2y4﹣6x3y3的公因式是3x2y2，故選：C．6．（2021秋?望城區(qū)期末）下列多項式能直接用完全平方公式進行因式分解的是（）A．4x2﹣4x+1 B．x2+2x﹣1 C．x2+xy+2y2 D．9+x2﹣4x【思路引導】利用完全平方公式進行分解逐一判斷，即可解答．【完整解答】解：A、4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2，故A符合題意；B、x2+2x+1＝（x+1）2，故B不符合題意；C、x2+xy+y2＝（x+y）2，故C不符合題意；D、9+x2﹣6x＝（x﹣3）2，故D不符合題意；故選：A．7．（2021秋?開福區(qū)校級期末）下列各式因式分解正確的是（）A．x2+1＝（x+1）2 B．x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1） C．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3 D．x2+2x+1＝x（x+2）+1【思路引導】利用提公因式法，公式法進行分解逐一判斷即可．【完整解答】解：A．x2+1，不能分解，故A不符合題意；B．x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1），故B符合題意；C．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3，不是因式分解，故C不符合題意；D．x2+2x+1＝（x+1）2，故D不符合題意；故選：B．8．（2019秋?芙蓉區(qū)校級月考）已知a、b、c是△ABC的三條邊，且滿足a2+bc＝b2+ac，則△ABC是（）A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形【思路引導】已知等式左邊分解因式后，利用兩數(shù)相乘積為0兩因式中至少有一個為0得到a＝b，即可確定出三角形形狀．【完整解答】解：已知等式變形得：（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，即（a﹣b）（a+b﹣c）＝0，∵a+b﹣c≠0，∴a﹣b＝0，即a＝b，則△ABC為等腰三角形．故選：C．9．（2020秋?開福區(qū)校級月考）下列因式分解正確的是（）A．2ax2﹣4ax＝2a（x2﹣2x） B．（x﹣y）2＝x2﹣y2 C．x2+4xy+4y2＝（x+2y）2 D．m4﹣n4＝（m2+n2）（m2﹣n2）【思路引導】分解因式就是把一個多項式化為幾個整式的積的形式．因此，要確定從左到右的變形中是否為分解因式，只需根據(jù)定義來確定．【完整解答】解：A、2ax2﹣4ax＝2ax（x﹣2），故本選項錯誤，不符合題意；B、結(jié)果不是乘積的形式，且也不相等，故本選項錯誤，不符合題意；C、x2+4xy+4y2＝（x+2y）2，故本選項正確，符合題意；D、還能再繼續(xù)分解因式：m4﹣n4＝（m2+n2）（m2﹣n2）＝（m2+n2）（m+n）（m﹣n），故本選項錯誤，不符合題意．故選：C．10．（2019?岳麓區(qū)校級開學）下列多項式能用完全平方公式進行因式分解的是（）A．a(chǎn)2﹣1 B．a(chǎn)2+4 C．a(chǎn)2+2a+1 D．a(chǎn)2﹣4a﹣4【思路引導】根據(jù)完全平方公式的特點：兩項平方項的符號相同，另一項是兩底數(shù)積的2倍，對各選項分析判斷后利用排除法求解．【完整解答】解：A、a2﹣1不符合完全平方公式法分解因式的式子特點，故錯誤；B、a2+4不符合完全平方公式法分解因式的式子特點，故錯誤；C、a2+2a+1＝（a+1）2，故正確；D、a2﹣4a﹣4＝（a﹣2）2﹣8，不符合完全平方公式法分解因式的式子特點，故錯誤．故選：C．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2022?開福區(qū)三模）因式分解25x﹣xy2＝x（5+y）（5﹣y）．【思路引導】先提公因式，再利用平方差公式繼續(xù)分解即可解答．【完整解答】解：25x﹣xy2＝x（25﹣y2）＝x（52﹣y2）＝x（5+y）（5﹣y），故答案為：x（5+y）（5﹣y）．12．（2018秋?岳麓區(qū)校級期末）因式分解：2a2+8a+8＝2（a+2）2．【思路引導】此多項式有公因式，應(yīng)先提取公因式，再對余下的多項式進行觀察，有3項，可采用完全平方公式繼續(xù)分解．【完整解答】解：原式＝2（a2+4a+4）＝2（a+2）2．故答案是：2（a+2）2．13．（2017春?芙蓉區(qū)校級月考）分解因式：﹣m3+2m2﹣m＝﹣m（m﹣1）2．【思路引導】原式提取﹣m后，利用完全平方公式分解即可．【完整解答】解：原式＝﹣m（m2﹣2m+1）＝﹣m（m﹣1）2．故答案為：﹣m（m﹣1）214．（2020秋?長沙月考）分解因式：mx2﹣6mx+9m＝m（x﹣3）2．【思路引導】先提取公因式m，再根據(jù)完全平方公式進行二次分解即可求得答案．完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2．【完整解答】解：mx2﹣6mx+9m＝m（x2﹣6x+9）＝m（x﹣3）2．故答案為：m（x﹣3）2．15．（2019?天心區(qū)一模）因式分解：x3﹣9x＝x（x+3）（x﹣3）．【思路引導】先提取公因式x，再利用平方差公式進行分解．【完整解答】解：x3﹣9x，＝x（x2﹣9），＝x（x+3）（x﹣3）．16．（2022?開福區(qū)一模）分解因式：x2﹣4x＝x（x﹣4）．【思路引導】直接提取公因式x進而分解因式得出即可．【完整解答】解：x2﹣4x＝x（x﹣4）．故答案為：x（x﹣4）．17．（2019春?開福區(qū)月考）分解因式：2m2﹣8＝2（m+2）（m﹣2）．【思路引導】先提取公因式2，再對余下的多項式利用平方差公式繼續(xù)分解因式．【完整解答】解：2m2﹣8，＝2（m2﹣4），＝2（m+2）（m﹣2）．故答案為：2（m+2）（m﹣2）．18．（2021秋?開福區(qū)校級期末）已知x2﹣3x﹣1＝0，則2x3﹣3x2﹣11x+1＝4．【思路引導】根據(jù)已知x2﹣3x﹣1＝0，可得x2＝3x+1．可以利用這個等式對預求的代數(shù)式進行降次、化簡．【完整解答】解：2x3﹣3x2﹣11x+1＝2x×x2﹣3x2﹣11x+1＝2x×（3x+1）﹣3（3x+1）﹣11x+1＝6x2+2x﹣9x﹣3﹣11x+1＝6x2﹣18x﹣2＝6×（3x+1）﹣18x﹣2＝18x+6﹣18x﹣2＝4．故答案為4．19．（2019秋?長沙縣期末）如圖所示，根據(jù)圖形把多項式a2+5ab+4b2因式分解＝（a+b）（a+4b）．【思路引導】根據(jù)圖形和等積法可以對題目中的式子進行因式分解．【完整解答】解：由圖可知，a2+5ab+4b2＝（a+b）（a+4b），故答案為：（a+b）（a+4b）．20．（2018秋?天心區(qū)校級月考）把多項式ax2+2axy+ay2分解因式的結(jié)果是a（x+y）2．【思路引導】首先提取公因式a，再利用完全平方公式進行分解即可．【完整解答】解：原式＝a（x2+2xy+y2）＝a（x+y）2．故答案為：a（x+y）2．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2021秋?長沙縣期末）因式分解：（1）x（a﹣1）+（1﹣a）；（2）3m2+6mn+3n2．【思路引導】（1）利用提公因式法分解即可；（2）先提公因式，然后再利用完全平方公式繼續(xù)分解即可．【完整解答】解：（1）x（a﹣1）+（1﹣a）＝（a﹣1）（x﹣1）；（2）3m2+6mn+3n2．＝3（m2+2mn+n2）＝3（m+n）2．22．（8分）（2021秋?開福區(qū)校級期末）仔細閱讀下面例題，解答問題：例題：已知二次三項式x2﹣4x+m有一個因式是x+3，求另一個因式以及m的值．解：設(shè)另一個因式為x+n，則x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），即x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n，∴，解得．故另一個因式為x﹣7，m的值為﹣21．仿照上面的方法解答下面問題：已知二次三項式x2+3x﹣k有一個因式是x﹣5，求另一個因式以及k的值．【思路引導】設(shè)另一個因式為（x+p），得x2+3x+k＝（x+p）（x﹣5）＝x2+（p﹣5）x﹣5p，可知p﹣5＝3，﹣5p＝k，繼而求出p和k的值及另一個因式．【完整解答】解：另一個因式為x+p，由題意得：x2+3x﹣k＝（x+p）（x﹣5），即x2+3x﹣k＝x2+（p﹣5）x﹣5p，則有，解得，所以另一個因式為：（x+8）；k的值為40．23．（8分）（2021秋?長沙縣期末）方法探究：已知二次多項式x2﹣4x﹣21，我們把x＝﹣3代入多項式，發(fā)現(xiàn)x2﹣4x﹣21＝0，由此可以推斷多項式中有因式（x+3）．設(shè)另一個因式為（x+k），多項式可以表示成x2﹣4x﹣21＝（x+3）（x+k），則有x2﹣4x﹣21＝x2+（k+3）x+3k，因為對應(yīng)項的系數(shù)是對應(yīng)相等的，即k+3＝﹣4，解得k＝﹣7，因此多項式分解因式得：x2﹣4x﹣21＝（x+3）（x﹣7）．我們把以上分解因式的方法叫“試根法”．問題解決：（1）對于二次多項式x2﹣4，我們把x＝±2代入該式，會發(fā)現(xiàn)x2﹣4＝0成立；（2）對于三次多項式x3﹣x2﹣3x+3，我們把x＝1代入多項式，發(fā)現(xiàn)x3﹣x2﹣3x+3＝0，由此可以推斷多項式中有因式（x﹣1），設(shè)另一個因式為（x2+ax+b），多項式可以表示成x3﹣x2﹣3x+3＝（x﹣1）（x2+ax+b），試求出題目中a，b的值；（3）對于多項式x3+4x2﹣3x﹣18，用“試根法”分解因式．【思路引導】（1）將x＝±2代入即可；（2）由題意得x3﹣x2﹣3x+3＝x3﹣（1﹣a）x2﹣（a﹣b）x﹣b，再由系數(shù)關(guān)系求a、b即可；（3）多項式有因式（x﹣2），設(shè)另一個因式為（x2+ax+b），則x3+4x2﹣3x﹣18＝x3+（a﹣2）x2﹣（2a﹣b）x﹣2b，再由系數(shù)關(guān)系求a、b即可．【完整解答】解：（1）當x＝±2時，x2﹣4＝0，故答案為：±2；（2）由題意可知x3﹣x2﹣3x+3＝（x﹣1）（x2+ax+b），∴x3﹣x2﹣3x+3＝x3﹣（1﹣a）x2﹣（a﹣b）x﹣b，∴1﹣a＝1，b＝﹣3，∴a＝0，b＝﹣3；（3）當x＝2時，x3+4x2﹣3x﹣18＝8+16﹣6﹣18＝0，∴多項式有因式（x﹣2），設(shè)另一個因式為（x2+ax+b），∴x3+4x2﹣3x﹣18＝（x﹣2）（x2+ax+b），∴x3+4x2﹣3x﹣18＝x3+（a﹣2）x2﹣（2a﹣b）x﹣2b，∴a﹣2＝4，2b＝18，∴a＝6，b＝9，∴x3+4x2﹣3x﹣18＝（x﹣2）（x2+6x+9）＝（x﹣2）（x+3）2．24．（8分）（2021秋?望城區(qū)期末）（1）將一個多項式分組后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法是分組分解法．例如：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（a+b）（m+n）．①分解因式：ab﹣2a﹣2b+4；②若a，b（a＞b）都是正整數(shù)且滿足ab﹣2a﹣2b﹣4＝0，求2a+b的值；（2）若a，b為實數(shù)且滿足ab﹣a﹣b﹣1＝0，整式M＝a2+3ab+b2﹣9a﹣7b，求整式M的最小值．【思路引導】（1）①模仿例題利用分組法進行因式分解即可；②利用①題結(jié)論進行討論計算；（2）由題意得ab＝a+b+1，然后將整式M進行配方部分因式分解就能求得此題結(jié)果．【完整解答】解：（1）①ab﹣2a﹣2b+4＝a（b﹣2）﹣2（b﹣2）＝（b﹣2）（a﹣2）；②∵ab﹣2a﹣2b﹣4＝ab﹣2a﹣2b+4﹣8＝0，由①可知：（b﹣2）（a﹣2）＝8，∵a，b（a＞b）都是正整數(shù)，∴a﹣2＞b﹣2，且a﹣2、b﹣2都為整數(shù)，可得，或或或解得，或，或（不合題意，舍去），或（不合題意，舍去），∴當a＝10，b＝3時，2a+b＝2×10+3＝20+3＝23，當a＝6，b＝4時，2a+b＝2×6+4＝12+4＝16，∴2a+b的值為23或16；（2）由ab﹣a﹣b﹣1＝0得，ab＝a+b+1，∴M＝a2+3（a+b+1）+b2﹣9a﹣7b＝a2+3a+3b+3+b2﹣9a﹣7b＝（a2﹣6a+9）+（b2﹣4b+4）﹣9﹣4+3＝（a﹣3）2+（b﹣2）2﹣10，∴整式M的最小值是﹣10．25．（8分）（2021秋?長沙期中）閱讀理解：若x滿足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．解：設(shè)9﹣x＝a，x﹣4＝b，則（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．遷移應(yīng)用：（1）若x滿足（2020﹣x）2+（x﹣2022）2＝10，求（2020﹣x）（x﹣2022）的值；（2）如圖，點E，G分別是正方形ABCD的邊AD、AB上的點，滿足DE＝k，BG＝k+1（k為常數(shù)，且k＞0），長方形AEFG的面積是，分別以GF、AG作正方形GFIH和正方形AGJK，求陰影部分的面積．【思路引導】（1）利用題干中所給的方法解答即可；（2）設(shè)正方形ABCD的邊長為x，則AE＝x﹣k，AG＝x﹣k﹣1，可得AE﹣AG＝1，AE?AG＝；利用題干中的方法可求得AE+AG，利用陰影部分的面積等于正方形GFIH與正方形AGJK的面積之差即可求得結(jié)論．【完整解答】解：（1）設(shè)a＝2020﹣x，b＝x﹣2022，則：a+b＝﹣2，a2+b2＝10．∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴10+2ab＝（﹣2）2．∴ab＝﹣3．∴（2020﹣x）（x﹣2022）＝﹣3．（2）設(shè)正方形ABCD的邊長為x，則AE＝x﹣k，AG＝x﹣k﹣1，∴AE﹣AG＝1．∵長方形AEFG的面積是，∴AE?AG＝．∵（AE﹣AG）2＝AE2﹣2AE?AG+AG2，∴AE2+AG2＝1+＝．∵（AE+AG）2＝AE2+2AE?AG+AG2，∴（AE+AG）2＝，∴AE+AG＝．∴S陰影部分＝S正方形GFIH﹣S正方形AGJK＝AE2﹣AG2＝（AE+AG）（AE﹣AG）＝×1＝．26．（6分）（2021秋?開福區(qū)校級期中）閱讀下面材料，在代數(shù)式中，我們把一個二次多項式化為一個完全平方式與一個常數(shù)的和的方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學方法，它不僅可以將一個看似不能分解的多項式因式分解，還能求代數(shù)式最大值，最小值等問題．例如：求代數(shù)式：x2﹣12x+2020的最小值解：原式＝x2﹣12x+62﹣62+2020＝（x﹣6）2+1984∵（x﹣6）2≥0，∴當x＝6時，（x﹣6）2的值最小，最小值為0，∴（x﹣6）2+1984≥1984，∴當（x﹣6）2＝0時，（x﹣6）2+1984的值最小，最小值為1984，∴代數(shù)式：x2﹣12x+2020的最小值是1984．例如：分解因式：x2﹣120x+3456解：原式＝x2﹣2×60x+602﹣602+3456＝（x﹣60）2﹣144＝（x﹣60）2﹣122＝（x﹣60+12）（x﹣60﹣12）＝（x﹣48）（x﹣72）．（1）分解因式x2﹣46x+520；（2）若y＝﹣x2+2x+1313，求y的最大值；（3）當m，n為何值時，代數(shù)式m2﹣2mn﹣2m+2n2﹣4n+2030有最小值，并求出這個最小值．【思路引導】（1）把x2﹣46x+520化為x2﹣46x+232﹣9的形式，先用完全平方公式，再用平方差公式因式分解；（2）首先把y配方寫成y＝＝﹣（x﹣2）2+1314，根據(jù)平方的非負性得y的最大值；（3）用拆項的方法首先把多項式化為m2﹣2m（n+1）+（n+1）2+n2﹣6n+9+2020的形式，進一步分解因式，再根據(jù)平方的非負性求出多項式最小值．【完整解答】解：（1）x2﹣46x+520＝x2﹣46x+232﹣9＝（x﹣23）2﹣9＝（x﹣26）（x﹣20）；（2）y＝﹣x2+2x+1313＝﹣x2+2x﹣1+1314＝﹣（x2﹣2x+1）+1314＝﹣（x﹣1）2+1314，∵﹣（x﹣1）2≤0，∴﹣（x﹣1）2+1314≤1314，∴y的最大值1314；（3）m2﹣2mn﹣2m+2n2﹣4n+2030＝m2﹣2m（n+1）+（n+1）2+n2﹣6n+9+2020＝（m﹣n﹣1）2+（n﹣3）2+2020，當m﹣n﹣1＝0，n﹣3＝0時代數(shù)式有最小值，解得m＝4，n＝3，最小值為2020．27．（7分）（2019秋?天心區(qū)月考）如果一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個正整數(shù)為“神秘數(shù)”．如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20這三個數(shù)都是神秘數(shù)．（1）28是神秘數(shù)嗎？為什么？（2）設(shè)兩個連續(xù)偶數(shù)為2k+2和2k（其中k取非負整數(shù)），由這兩個連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的神秘數(shù)是4的倍數(shù)嗎？為什么？（3）①若長方形相鄰兩邊長為兩個連續(xù)偶數(shù)，試說明其周長一定為神秘數(shù)．②在①的條件下，面積是否為神秘數(shù)？為什么？【思路引導】（1）利用神秘數(shù)的定義判斷即可；（2）根據(jù)題意表示出兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，利用平方差公式化簡即可做出判斷；（3）①根據(jù)神秘數(shù)得定義，