第十二章全等三角形（知識歸納題型突破）（原卷版）

第十二章全等三角形（知識歸納+題型突破）1.了解全等圖形與全等三角形的概念與性質(zhì)．2.掌握三角形全等的判定方法．3.掌握角平分線的性質(zhì)與判定．一全等圖形概念：形狀、大小相同的圖形放在一起能夠完全重合.全等圖形特征：①形狀相同.②大小相等.③對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等.小結(jié)：一個圖形經(jīng)過平移,翻折,旋轉(zhuǎn)后,位置變化了,但大小和形狀都沒有改變,即平移,翻折,旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等.二全等三角形概念：兩個能完全重合的三角形叫做全等三角形.記作:?ABC≌?A’B’C’讀作：?ABC全等于?A’B’C’對應(yīng)頂點：A和A’、B和B’、C和C’;對應(yīng)邊：AB和A’B’、BC和B’C’、AC和A’C’;對應(yīng)角：∠A和∠A’、∠B和∠B’、∠C和∠C’對應(yīng)元素的規(guī)律:(1)有公共邊的，公共邊是對應(yīng)邊；(2)有公共角的，公共角是對應(yīng)角；(3)有對頂角的，對頂角是對應(yīng)角；三、全等三角形的判定（重點）一般三角形直角三角形判定邊角邊（SAS）、角邊角（ASA）角角邊（AAS）、邊邊邊（SSS）具備一般三角形的判定方法斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等（HL）性質(zhì)對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等對應(yīng)中線相等，對應(yīng)高相等，對應(yīng)角平分線相等備注：1.判定兩個三角形全等必須有一組邊對應(yīng)相等.2.全等三角形周長、面積相等.四、證題的思路（難點）五、角平分線的性質(zhì)與判定概念：從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成完全相同的角，這條射線叫做這個角的角平分線.角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點到角兩邊的距離相等；數(shù)學(xué)語言：∵∠MOP=∠NOP，PA⊥OMPB⊥ON∴PA=PB判定定理：到角兩邊距離相等的點在角的平分線上．?dāng)?shù)學(xué)語言：∵PA⊥OMPB⊥ONPA=PB

∴∠MOP=∠NOP六、角平分線?？妓姆N輔助線：1.圖中有角平分線，可向兩邊作垂線.2.角平分線加垂線，三線合一試試看.

3.角平分線平行線，等腰三角形來添.

4.也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系出現(xiàn).題型一全等圖形識別例題：（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）下列各組中的兩個圖形屬于全等圖形的是（

）A．B．C． D．【鞏固訓(xùn)練】1．（2023春·廣東深圳·七年級北大附中深圳南山分校校考期中）下列四個選項中，不是全等圖形的是（

）A．B．C． D．2．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）請觀察下圖中的6組圖案，其中是全等形的是__________．3．（2023春·七年級課時練習(xí)）如圖，四邊形ABCD≌四邊形A′B′C′D′，若∠A＝110°，∠C＝60°，∠D′＝105°，則∠B＝__________．題型二全等三角形的概念和性質(zhì)例題：（2023春·江蘇鹽城·七年級?？计谥校┫铝姓f法中，正確的有（

）①形狀相同的兩個圖形是全等形②面積相等的兩個圖形是全等形③全等三角形的周長相等，面積相等④若，則，A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【鞏固訓(xùn)練】1．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）已知，且與是對應(yīng)角，和是對應(yīng)角，則下列說法中正確的是（

）A．與是對應(yīng)邊 B．與是對應(yīng)邊C．與是對應(yīng)邊 D．不能確定的對應(yīng)邊2．（2023秋·八年級課時練習(xí)）如圖，，且，，則的度數(shù)為______．3．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，，且，，，求和的度數(shù)．題型三添一個條件使兩三角形全等例題：（2023春·山西臨汾·七年級統(tǒng)考期末）如圖，B，F(xiàn)，E，D四點共線，，．若要使，則需要添加的條件是_______（只需添加一個你認為合適的條件即可）．

【鞏固訓(xùn)練】1．（2023春·廣東·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知，要判定，則需要補充的一個條件為______（只需補充一個）．

2．（2023春·廣東茂名·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點D，E分別在線段上，相交于點O，，要使，需添加一個條件是_____________（只需填一個即可）．

3．（2023秋·八年級課時練習(xí)）如圖，已知，要使用“”證明，應(yīng)添加條件：______________；要使用“”證明，應(yīng)添加條件：_________________．題型四三角形全等的判定方法例題:（2023·云南玉溪·統(tǒng)考三模）如圖，點在一條直線上，，求證：．

【鞏固訓(xùn)練】1．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，已知，點分別在上，，．(1)求證：；(2)求證：．2．（2023春·全國·七年級期末）如圖，在中，D是延長線上一點，滿足，過點C作，且，連接并延長，分別交，于點F，G．

(1)求證：；(2)若，，求的長度．3．（2023·浙江溫州·溫州市第八中學(xué)校考三模）如圖，在和中，，點B為中點，．(1)求證：．(2)若，求的長．4．（2023秋·八年級課時練習(xí)）如圖，已知點是線段上一點，，．(1)求證：；(2)求證：．5．（2023春·七年級單元測試）如圖，已知相交于點O，，于點M，于點N，．(1)求證：；(2)試猜想與的大小關(guān)系，并說明理由．題型五角平分線的性質(zhì)與判定定理例題：（2022秋·河南開封·八年級校考階段練習(xí)）如圖，中，，的平分線交于點D，若，則點D到的距離是cm．

【鞏固訓(xùn)練】1．（2023春·貴州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知，射線平分，過點E作于點H，作于點F，并延長交于點G，連接．若，則的長為．

2．（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，已知垂足為，垂足為，，．

(1)求證：平分；(2)丁丁同學(xué)觀察圖形后得出結(jié)論：，請你幫他寫出證明過程．3．（2023秋·浙江·八年級專題練習(xí)）已知：如圖，在中，，D是上一點，于E，且．(1)求證：平分；(2)若，求的度數(shù)．4．（2023春·廣西北?！ぐ四昙壗y(tǒng)考期中）如圖，在中，的平分線與的外角平分線交于點，于點，于點．

(1)若，求點到直線的距離；(2)求證：點在的平分線上．題型六幾何動點中求使三角形全等的值例題：（2023春·新疆烏魯木齊·八年級烏市八中?？奸_學(xué)考試）如圖，在中，，，，點在直線上．點從點出發(fā)，在三角形邊上沿的路徑向終點運動；點從點出發(fā)，在三角形邊上沿的路徑向終點運動．點和分別以單位秒和單位秒的速度同時開始運動，在運動過程中，若有一點先到達終點時，該點停止運動，另一個點要繼續(xù)運動，直到兩點都到達相應(yīng)的終點時整個運動才能停止．在某時刻，分別過和作于點，于點，則點的運動時間等于_____秒時，與全等．【鞏固訓(xùn)練】1．（2023秋·八年級單元測試）如圖，已知線段，于點A，，射線于B，P點從B點向A運動，每秒走1m，Q點從B點向D運動，每秒走3m，P，Q同時從B出發(fā)，則出發(fā)___________秒后，在線段MA上有一點C，使與全等．2．（2023春·上海虹口·七年級上外附中?？计谀┤鐖D，，，為射線，，點P從點B出發(fā)沿向點C運動，速度為1個單位/秒，點Q從點C出發(fā)沿射線運動，速度為x個單位/秒；若在某時刻，能與全等，則______．

3．（2023春·陜西西安·七年級西安市第二十六中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖1，在長方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，點P從點B出發(fā)，以2cm/s的速度沿BC向點C運動，設(shè)點P的運動時間為ts，且t≤5（1）PC＝cm（用含t的代數(shù)式表示）（2）如圖2，當(dāng)點P從點B開始運動時，點Q從點C出發(fā)，以cm/s的速度沿CD向點D運動，是否存在這樣的v值，使得以A﹑B﹑P為頂點的三角形與以P﹑Q﹑C為頂點的三角形全等？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．題型七三角形全等判定與性質(zhì)綜合問題例題：（2020秋·廣東東莞·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，于，點在邊上，連接．

(1)求證：．(2)若，且的面積等于24，求的長．(3)若，直接寫出線段的數(shù)量關(guān)系：________．【鞏固訓(xùn)練】1．（2023春·遼寧丹東·七年級校聯(lián)考期末）如圖，在中，為上一點，為中點，連接并延長至點，使得，連．(1)求證：；(2)連接，若，平分，平分，求的度數(shù)．2．（2022秋·河南開封·八年級?？茧A段練習(xí)）