專題20模型構(gòu)造專題反比例函數(shù)中k的幾何意義有關(guān)的解題模型之五大類型

專題20模型構(gòu)造專題：反比例函數(shù)中k的幾何意義有關(guān)的解題模型之五大類型【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"13"\h\u【典型例題】 1【類型一反比例函數(shù)中利用k值求三角形的面積】 1【類型二反比例函數(shù)中利用k值求等腰三角形的面積】 5【類型三反比例函數(shù)中利用k值求平行四邊形的面積】 8【類型四反比例函數(shù)中利用k值求矩形的面積】 12【類型五反比例函數(shù)中利用k值求陰影部分的面積】 15【典型例題】【類型一反比例函數(shù)中利用k值求三角形的面積】例題：（2023春·海南海口·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)A為反比例函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，過A作軸于B，的面積為（

）

A．2 B．2 C．1 D．【答案】D【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的系數(shù)的幾何意義，即可得出解．【詳解】解：由題意，得：的面積；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查已知反比例函數(shù)的系數(shù)，求特殊圖形的面積，熟練掌握反比例函數(shù)的系數(shù)的幾何意義，是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·遼寧阜新·九年級阜新實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，則的面積是（

）

A． B．1 C．2 D．4【答案】B【分析】連接，根據(jù)平行線之間的距離處處相等可得，再根據(jù)k的幾何意義即可得解．【詳解】解：如圖，連接，

∵軸，∴，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義，解題的關(guān)鍵是應(yīng)用平行線間的距離處處相等得到和的面積相等．2．（2023秋·甘肅蘭州·九年級?？计谀┤鐖D，兩個反比例函數(shù)和在第一象限的圖象分別是和，設(shè)點(diǎn)P在上，軸于點(diǎn)A，交于B，則的面積為（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根據(jù)反比例函數(shù)y系數(shù)的幾何意義得到，，然后利用進(jìn)行計算即可．【詳解】解：∵軸于點(diǎn)A，交于點(diǎn)B，∴，，∴．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義：從反比例函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)向軸和軸作垂線，垂線與坐標(biāo)軸所圍成的矩形面積為．3．（2023春·河南新鄉(xiāng)·八年級統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)A在雙曲線點(diǎn)B在雙曲線上，軸，點(diǎn)C是x軸上一點(diǎn)，連接，．若的面積是4，則k的值為（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】連接、，設(shè)與y軸交點(diǎn)為M，得到，再利用反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，得到，，然后根據(jù)列方程求出k的值，即可得到答案．【詳解】解：如圖，連接、，設(shè)與y軸交點(diǎn)為M，軸，軸，，點(diǎn)A在雙曲線點(diǎn)B在雙曲線上，，，，，解得：，，，故選：A．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了考查了反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，熟記反比例函數(shù)面積與k的關(guān)系是解題關(guān)鍵．4．（2023春·江蘇徐州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)在雙曲線上，點(diǎn)B在雙曲線上，且軸，則的面積等于．

【答案】1【分析】延長交軸于，連接、，可求，，即可求解．【詳解】解：如圖，延長交軸于，連接、，

軸，，，，故答案：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)中的幾何意義，理解的幾何意義是解題的關(guān)鍵．【類型二反比例函數(shù)中利用k值求等腰三角形的面積】例題：（2023春·浙江嘉興·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過正的頂點(diǎn)P，則的面積為．

【答案】【分析】過點(diǎn)作，設(shè)，則，，由為正三角形可得，，求解即可．【詳解】解：過點(diǎn)作，如下圖：

設(shè)，則，，∵為正三角形，，∴，．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·河南駐馬店·九年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A在反比例函數(shù)第二象限內(nèi)的圖象上，點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上，若，則的面積為．

【答案】4【分析】過A作于H，依據(jù)可得的面積為2，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：如圖，過A作于H，

∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)第二象限內(nèi)的圖象上，∵的面積為，∵，∴的面積為．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義：反比例函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線，這一點(diǎn)和垂足以及坐標(biāo)原點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積是，且保持不變．2．（2023秋·貴州銅仁·九年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)在反比例函數(shù)第一象限內(nèi)的圖象上，點(diǎn)在軸的正半軸上．若是等邊三角形，則的面積為．【答案】2【分析】過點(diǎn)A作軸于C，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，再根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義得到即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)A作軸于C，∵點(diǎn)在反比例函數(shù)第一象限內(nèi)的圖象上，是等邊三角形，∴，∴，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義、等邊三角形的性質(zhì)，熟知反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義是解答的關(guān)鍵．【類型三反比例函數(shù)中利用k值求平行四邊形的面積】例題：（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)的圖象上的一點(diǎn)，過點(diǎn)A作平行四邊形，使點(diǎn)B、C均在x軸上，點(diǎn)D在y軸上，則平行四邊形的面積為．【答案】6【分析】作于，根據(jù)四邊形為平行四邊形得軸，則可判斷四邊形為矩形，所以，根據(jù)反比例函數(shù)的幾何意義得到，據(jù)此即可得到答案．【詳解】解：過點(diǎn)A作于，如圖，四邊形為平行四邊形，軸，四邊形為矩形，，∵，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，解題的關(guān)鍵是掌握從反比例函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)向軸和軸作垂線，垂線與坐標(biāo)軸所圍成的矩形面積為．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·河南駐馬店·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，的頂點(diǎn)A、B在x軸上，頂點(diǎn)D在y軸上，頂點(diǎn)C在第一象限，反比例函數(shù)的分支過點(diǎn)C，若的面積為6，則．【答案】6【分析】過點(diǎn)C作于點(diǎn)E，連接，利用平行四邊形的性質(zhì)，證明，得到，進(jìn)而得到，再根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，即可求出的值．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作于點(diǎn)E，連接，，∴，，，在和中，，，，，，設(shè)，點(diǎn)C在第一象限，，，，，，反比例函數(shù)的分支過點(diǎn)C，，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，作輔助線構(gòu)造全等三角形，利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題是解題關(guān)鍵．2．（2023春·江蘇宿遷·八年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形是平行四邊形，點(diǎn)A、B分別在反比例函數(shù)和的圖像上，點(diǎn)C、D都在x軸上，則的面積為．

【答案】10【分析】過點(diǎn)A作規(guī)于E，過點(diǎn)B作規(guī)于F，設(shè)與y軸交于G，MJ，，再根據(jù)平等四邊形與矩形的性質(zhì)得出，即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作規(guī)于E，過點(diǎn)B作規(guī)于F，

∵，∴，即，∵，，∴，∴四邊形是矩形，四邊形是矩形，∴，∵點(diǎn)A、B分別在反比例函數(shù)和的圖像上，∴，，∴，∴．故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的系數(shù)k的幾何意義，平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的系數(shù)k的幾何意義是解題的關(guān)鍵．3．（2023·安徽亳州·九年級專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)A是雙曲線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)A作x軸的平行線交雙曲線于點(diǎn)B，作軸于點(diǎn)C，連接，若四邊形為平行四邊形，則k的值是．【答案】【分析】延長交y軸于點(diǎn)D，過B作軸，結(jié)合反比例函數(shù)k的幾何意義即可得到答案；【詳解】解：延長交y軸于點(diǎn)D，過B作軸，∵點(diǎn)A是雙曲線，軸，∴，，∵四邊形為平行四邊形，∴，∵軸，軸，軸，∴，∵點(diǎn)B在上，∴，解得：，故答案為；【點(diǎn)睛】本題考查反比函數(shù)k的幾何意義，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形對角線將四邊形分成兩個全等的三角形得到面積．【類型四反比例函數(shù)中利用k值求矩形的面積】例題：（2023·廣東佛山·佛山市汾江中學(xué)?？既＃┤鐖D，是函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，則四邊形的面積是．

【答案】【分析】直接根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義求解．【詳解】解：∵是函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，又，∴四邊形是矩形∴矩形的面積．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義：在反比例函數(shù)圖象中任取一點(diǎn)，過這一個點(diǎn)向軸和軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·山東濱州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)在雙曲線上，點(diǎn)在雙曲線上，且軸，點(diǎn)、在軸上，若四邊形為矩形，則它的面積為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】延長交軸于點(diǎn)，根據(jù)反比例函數(shù)的幾何意義可得答案．【詳解】解：延長交軸于點(diǎn)，則軸，四邊形是矩形，如圖：∵點(diǎn)在雙曲線上，點(diǎn)在雙曲線上，∴，，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，熟練掌握過反比例函數(shù)上一點(diǎn)作坐標(biāo)軸垂線組成的四邊形面積為是解答本題的關(guān)鍵．2．（2023秋·九年級課時練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是反比例函數(shù)的圖象上的一點(diǎn)，則矩形的面積為．【答案】【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的幾何意義，直接求出即可．【詳解】解：∵點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，∴矩形的面積，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的幾何意義，理解反比例函數(shù)的幾何意義并熟練運(yùn)用是解題關(guān)鍵．3．（2023春·山東菏澤·九年級統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，若點(diǎn)與點(diǎn)是反比例函數(shù)的圖象上的兩點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，設(shè)矩形的面積為，矩形的面積為，則與的大小關(guān)系為：（填“”，“”或“”）．【答案】【分析】根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義可求出與的值．【詳解】∵點(diǎn)A與點(diǎn)B是反比例函數(shù)的圖象上的兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)M，軸于點(diǎn)N，過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)G，軸于點(diǎn)H，∴，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)k的幾何意義，掌握數(shù)形結(jié)合的思想是解決本題的關(guān)鍵．【類型五反比例函數(shù)中利用k值求陰影部分的面積】例題：（2023·黑龍江佳木斯·統(tǒng)考三模）如圖，設(shè)點(diǎn)作反比例函數(shù)的圖象上，軸于點(diǎn)，交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)A，軸于點(diǎn)，交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)，則四邊形的面積為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意得，，，即可得四邊形的面積．【詳解】解：∵點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，軸于點(diǎn)，交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)A，軸于點(diǎn)，交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)，∴，，，∴四邊形的面積為：，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)中k的幾何意義，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握反比例函數(shù)中k的幾何意義．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·河南洛陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，兩個反比例函數(shù)和（其中）在第一象限內(nèi)的圖象依次是和，設(shè)點(diǎn)P在上，軸于點(diǎn)C，交于點(diǎn)A，軸于點(diǎn)D，交于點(diǎn)B，則四邊形的面積為．

【答案】/【分析】根據(jù)反比例函數(shù)k值的意義，求出四邊形的面積和，的面積即可得出答案．【詳解】解：∵，，∴四邊形的面積為：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)k值的意義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)中的k值與矩形和三角形的面積關(guān)系．2．（2023·河北石家莊·校聯(lián)考模擬預(yù)測）點(diǎn)，，在反比例函數(shù)（常數(shù)，）圖象上的位置如圖所示，分別過這三個點(diǎn)作軸、軸的平行線．圖中所構(gòu)成的陰影部分面積從左到右依次為，，．，若四邊形的面積是27，則的值為；若，則的值為；若，則的值為．

【答案】2727【分析】利用反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義可得，根據(jù)求解，然后利用列方程求解即可得到答案．【詳解】解：由題意知：四邊形是矩形，若四邊形的面積是27，∵在反比例函數(shù)（常數(shù)，）圖象上，且四邊形的面積是27，∴；若，同理：矩形，矩形的面積都為，∴；若，，，，∴故答案為：27，27，【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義，熟知反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·八年級單元測試）如圖，已知正方形的面積為9，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)在y軸上，點(diǎn)B在函數(shù)（，）圖象上，點(diǎn)P是函數(shù)（，）圖象上異于點(diǎn)B的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)E、F．設(shè)矩形和正方形不重合部分的面積為S．

(1)點(diǎn)B的坐標(biāo)是______，k=______；(2)當(dāng)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)求出S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式．【答案】(1)，9(2)點(diǎn)的坐標(biāo)（，6）或（6，）(3)【分析】（1）由正方形的面積公式求出正方形的邊長，確定出及的長，得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，將B的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中即可求出k值；（2）分兩種情況考慮：①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的左邊時，不重合部分為矩形，將P的坐標(biāo)代入第一問確定出的反比例函數(shù)解析式中，得到的值，根據(jù)P及B的坐標(biāo)，表示出與，利用矩形的面積公式表示出矩形的面積，將的值及已知的面積代入，即可求出m的值，進(jìn)而得到n的值，確定出此時P的坐標(biāo)；②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的右邊時，不重合部分為矩形，由P及B的坐標(biāo)表示出及，利用矩形的面積公式表示出矩形的面積，將的值及已知的面積代入求出n的值，進(jìn)而求出m的值，確定出此時P的坐標(biāo)，綜上，得到所有滿足題意的P的坐標(biāo)．（3）分兩種情況考慮：①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的左邊時，不重合部分為矩形，將P的坐標(biāo)代入第一問確定出的反比例函數(shù)解析式中，得到的值，根據(jù)P及B的坐標(biāo)，表示出與，利用矩形的面積公式表示出矩形的面積，化簡即可得到S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式；②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的右邊時，不重合部分為矩形，由P及B的坐標(biāo)表示出及，利用矩形的面積公式表示出矩形的面積，化簡即可得到S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，綜上，可得到S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式．

【詳解】（1）∵正方形的面積為9，，．又∵點(diǎn)在函數(shù)（，）的圖象上，．故答案為：，9．（2）

分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)時，矩形和正方形不重合部分為矩形．∵在函數(shù)上，∴．∵，，∴，又，∴，解得：，可得，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)時，矩形和正方形不重合部分為