2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)必修第一冊（配湘教版）教學(xué)課件 3.1.3 簡單的分段函數(shù)

第3章函數(shù)的概念與性質(zhì)3.1.3簡單的分段函數(shù)課標(biāo)要求1.通過具體實例,理解簡單的分段函數(shù).2.會求分段函數(shù)的函數(shù)值,能畫出分段函數(shù)的圖象.3.能在實際問題中列出分段函數(shù),并能解決有關(guān)問題.基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)目錄索引基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過知識點(diǎn)分段函數(shù)一般地,如果自變量在定義域的不同取值范圍內(nèi)時,函數(shù)由不同的解析式給出,這種函數(shù)叫作分段函數(shù).名師點(diǎn)睛學(xué)習(xí)分段函數(shù)應(yīng)注意:(1)分段函數(shù)是幾個函數(shù)拼成的一個函數(shù).(2)處理分段函數(shù)問題時,要首先確定自變量的取值屬于哪一個范圍,然后選取相應(yīng)的對應(yīng)關(guān)系.要注意寫解析式時各區(qū)間的端點(diǎn)能否取到,做到不重復(fù)、不遺漏.(3)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集,值域是分別求出各段上的值域后取并集.過關(guān)自診某市居民用水實行階梯水價.其中年用水量不超過180m3的部分,綜合用水單價為5元/m3;超過180m3但不超過260m3的部分,綜合用水單價為7元/m3.如果該市一居民年用水量為xm3,其要繳納的水費(fèi)為f(x)元.假設(shè)0≤x≤260,試寫出f(x)的解析式,并作出f(x)的圖象.解

如果x∈[0,180],則f(x)=5x;如果x∈(180,260],按照題意有f(x)=5×180+7(x-180)=7x-360.注意到f(x)在不同的區(qū)間上,解析式都是一次函數(shù)的形式,因此y=f(x)在每個區(qū)間上的圖象都是直線的一部分,又因為f(180)=5×180=900,f(260)=7×260-360=1

460,由此可作出函數(shù)的圖象,如圖所示.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一分段函數(shù)的求值(2)若f(x)=2,求x的值.

變式探究在本例已知條件下,若f(x)>0,求x的取值范圍.∴-2<x<0或0<x<2或x≥2,∴x的取值范圍是(-2,0)∪(0,+∞).規(guī)律方法

1.求分段函數(shù)的函數(shù)值的步驟(1)先確定所求值對應(yīng)的自變量屬于哪一段區(qū)間.(2)再代入該段對應(yīng)的解析式進(jìn)行求值,直到求出值為止.當(dāng)出現(xiàn)f(f(x0))的形式時,應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.2.已知函數(shù)值求自變量取值的步驟(1)先確定自變量可能存在的區(qū)間及其對應(yīng)的函數(shù)解析式.(2)再將函數(shù)值代入到不同的解析式中.(3)通過解方程求出自變量的值.(4)檢驗所求的值是否在所討論的區(qū)間內(nèi).探究點(diǎn)二分段函數(shù)的圖象【例2】

畫出下列函數(shù)的圖象,并寫出它們的值域:

(2)y=|x+1|+|x-3|.

規(guī)律方法

分段函數(shù)圖象的關(guān)注點(diǎn)(1)因為分段函數(shù)在定義域的不同區(qū)間內(nèi)解析式不一樣,所以它的圖象也由幾部分構(gòu)成,有的可以是光滑的曲線段,有的也可以是一些孤立的點(diǎn)或幾段線段,畫圖時要特別注意區(qū)間端點(diǎn)處對應(yīng)點(diǎn)的實虛之分.(2)對含有絕對值的函數(shù),要作出其圖象,首先根據(jù)絕對值的意義去掉絕對值符號,將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)來畫圖象.變式訓(xùn)練1已知函數(shù)f(x)=|x-1|-2.(1)用分段函數(shù)的形式表示f(x);(2)畫出f(x)的圖象;(3)寫出函數(shù)f(x)的值域.解

(1)當(dāng)x≥1時,f(x)=|x-1|-2=x-3;當(dāng)x<1時,f(x)=|x-1|-2=-x-1.

(2)作出函數(shù)f(x)的圖象,如圖所示,(3)由圖可知函數(shù)的值域為[-2,+∞).探究點(diǎn)三根據(jù)分段函數(shù)圖象求解析式【例3】

已知函數(shù)y=f(x)的圖象由圖中的兩條射線和拋物線的一部分組成,則函數(shù)的解析式為

.

解析

根據(jù)圖象,設(shè)左側(cè)的射線對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=kx+b(x≤1).

∴左側(cè)射線對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=-x+2(x≤1).同理,當(dāng)x≥3時,對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=x-2(x≥3).再設(shè)拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)解析式為y=a(x-2)2+2(1≤x<3,a<0).∵點(diǎn)(1,1)在拋物線上,∴a+2=1,∴a=-1.∴當(dāng)1<x<3時,對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=-x2+4x-2(1<x<3).變式訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,則f(x)的解析式為

.探究點(diǎn)四分段函數(shù)在實際中的應(yīng)用【例4】

如圖,已知底角為45°的等腰梯形ABCD,底邊BC長為7cm,腰長為2

cm,當(dāng)一條垂直于底邊BC(垂足為F)的直線l從左至右移動(與梯形ABCD有公共點(diǎn))時,直線l把梯形分成兩部分,令BF=x(x>0),(1)試寫出直線l左邊部分的面積f(x)與x的函數(shù);(2)已知A={x|f(x)<4},求滿足集合A的x的取值范圍.解

(1)過A,D分別作AG⊥BC于點(diǎn)G,DH⊥BC于點(diǎn)H,如圖,因為四邊形ABCD是等腰梯形,底角為45°,AB=2

cm,所以BG=AG=DH=HC=2

cm.又BC=7

cm,所以AD=GH=3

cm.規(guī)律方法

分段函數(shù)實際問題的求解策略分段函數(shù)的意義是不同范圍內(nèi)的自變量x與y的對應(yīng)關(guān)系不同,從而需分段來表達(dá)它,其定義域、值域分別是各段定義域、值域的并集.解實際問題時要結(jié)合實際意義寫出定義域.變式訓(xùn)練3某市郊帶空調(diào)公共汽車的票價按下列規(guī)則制定:(1)乘坐汽車5千米以內(nèi),票價2元;(2)5千米以上,每增加5千米,票價增加1元(不足5千米按5千米計算).每兩個站點(diǎn)之間的距離為1千米,如果某空調(diào)公共汽車運(yùn)行路線中設(shè)20個站點(diǎn),求票價y(單位:元)關(guān)于里程x(單位:千米)的函數(shù)解析式,并畫出圖象.解

根據(jù)題意,如果某空調(diào)汽車運(yùn)行路線中設(shè)20個站點(diǎn)(包括起點(diǎn)站和終點(diǎn)站),那么汽車行駛的里程約為19千米,所以自變量x的取值范圍是{x∈N+|x≤19}.由空調(diào)汽車票價制定的規(guī)則,根據(jù)這個函數(shù)解析式,可畫出函數(shù)圖象,如圖所示.

學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)123456A.0 B.πC.π2 D.9B解析

f(f(-3))=f(0)=π.

123456C1234561234563.某單位為鼓勵職工節(jié)約用水,作出如下規(guī)定:每位職工每月用水不超過10立方米的,按每立方米3元收費(fèi);用水超過10立方米的,超過的部分按每立方米5元收費(fèi).某職工某月繳水費(fèi)55元,則該職工這個月實際用水為(

)A.13立方米

B.14立方米

C.15立方米

D.16立方米C解析

設(shè)該職工的月實際用水為x立方米,所繳水費(fèi)為y元,

由于該職工這個月的實際用水量超過10立方米,所以5x-20=55,解得x=15.故選C.123456(1)f(f(2))=

;

10(2)若f(f(a))=2,則a=

.

解析

f(2)=-22=-4,f(-4)=(-4)2+2×(-4)+2=10.

解析

若a>0,則f(a)=-a2<0,

若a≤0,則f(a)=a2+2a+2=(a