2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)（配湘教版）教學(xué)課件 5.3.1 第3課時(shí) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性

第5章三角函數(shù)5.3.1第3課時(shí)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性課標(biāo)要求1.掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性,會(huì)判斷簡(jiǎn)單三角函數(shù)的奇偶性.2.掌握y=sinx,y=cosx的單調(diào)性,并能利用單調(diào)性比較大小.3.會(huì)求函數(shù)y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)的單調(diào)區(qū)間.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)目錄索引基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)知識(shí)點(diǎn)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性函數(shù)y=sinxy=cosx圖象

奇偶性由sin(-x)=-sinx知,正弦函數(shù)y=sinx是奇函數(shù)由cos(-x)=cosx知,余弦函數(shù)y=cosx是偶函數(shù)函數(shù)y=sinxy=cosx單調(diào)性在閉區(qū)間[-+2kπ,+2kπ](k∈Z)上都是增函數(shù),函數(shù)值從-1增大到1,在閉區(qū)間[+2kπ,+2kπ](k∈Z)上都是減函數(shù),函數(shù)值從1減小到-1在閉區(qū)間[2kπ,(2k+1)π](k∈Z)上是減函數(shù),函數(shù)值從1減小到-1;在閉區(qū)間[(2k+1)π,(2k+2)π](k∈Z)上是增函數(shù),函數(shù)值從-1增大到1函數(shù)y=sinxy=cosx對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)中心為(kπ,0)(k∈Z),對(duì)稱(chēng)軸為直線x=+kπ(k∈Z)在對(duì)稱(chēng)軸處取得最大值或最小值對(duì)稱(chēng)中心為(+kπ,0)(k∈Z),對(duì)稱(chēng)軸為直線x=kπ(k∈Z)在對(duì)稱(chēng)軸處取得最大值或最小值名師點(diǎn)睛對(duì)單調(diào)區(qū)間的理解(1)k取Z內(nèi)的每一個(gè)值,都對(duì)應(yīng)著一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間及單調(diào)遞減區(qū)間,這些區(qū)間是斷開(kāi)的.(2)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)不是定義域內(nèi)的單調(diào)函數(shù).過(guò)關(guān)自診

A.單調(diào)遞增

B.單調(diào)遞減C.先減后增

D.先增后減C2.下列關(guān)系式正確的是(

)A.sin11°<cos10°<sin168°B.sin168°<sin11°<cos10°C.sin11°<sin168°<cos10°D.sin168°<cos10°<sin11°C解析

∵sin

168°=sin(180°-12°)=sin

12°,cos

10°=sin(90°-10°)=sin

80°,由正弦函數(shù)的單調(diào)性,得sin

11°<sin

12°<sin

80°,即sin

11°<sin

168°<cos

10°.故選C.3.y=sinx和y=cosx在區(qū)間(m,n)(其中0<m<n<2π)上都單調(diào)遞減,你能確定m的最小值,n的最大值嗎?提示

由正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的單調(diào)性可知m的最小值是

,n的最小值是π.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一三角函數(shù)的奇偶性及其應(yīng)用【例1】

判斷下列函數(shù)的奇偶性:(1)f(x)=|sinx|+cosx;解

函數(shù)f(x)=|sin

x|+cos

x的定義域?yàn)镽.∵f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)=|sin

x|+cos

x=f(x),∴函數(shù)f(x)是偶函數(shù).規(guī)律方法

1.判斷函數(shù)奇偶性的常用方法:(1)定義法,即從f(-x)的解析式中拼湊出f(x)的解析式,再看f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否成立.(2)圖象法,即作出函數(shù)的圖象,由圖象的對(duì)稱(chēng)性確定其奇偶性.(3)驗(yàn)證法,即驗(yàn)證f(-x)+f(x)=0或f(-x)-f(x)=0(或

=±1,且f(x)不為0)是否成立.此法通常用于函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)的情形.2.判斷函數(shù)奇偶性時(shí),必須先判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).如果是,再驗(yàn)證f(-x)是否等于-f(x)或f(x),進(jìn)而再判斷函數(shù)的奇偶性;如果不是,那么該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).變式訓(xùn)練1判斷下列函數(shù)的奇偶性:(1)f(x)=xcos(π+x);(2)f(x)=sin(cosx).解

(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,∵f(x)=xcos(π+x)=-xcos

x,∴f(-x)=-(-x)cos(-x)=xcos

x=-f(x).∴f(x)為奇函數(shù).(2)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,∵f(-x)=sin[cos(-x)]=sin(cos

x)=f(x).∴f(x)為偶函數(shù).探究點(diǎn)二求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【例2】

求下列函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間:規(guī)律方法

與正弦函數(shù)、余弦函數(shù)有關(guān)的單調(diào)區(qū)間的求解技巧:(1)結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的圖象,熟記它們的單調(diào)區(qū)間;(2)確定函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)單調(diào)區(qū)間的方法:采用“換元”法整體代換,將ωx+φ看作一個(gè)整體,可令“z=ωx+φ”,即通過(guò)求y=Asin

z的單調(diào)區(qū)間求出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.若ω<0,則可利用誘導(dǎo)公式將x的系數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)檎龜?shù).變式訓(xùn)練2探究點(diǎn)三單調(diào)性在三角函數(shù)中的應(yīng)用1.利用單調(diào)性比較三角函數(shù)值的大小【例3】

比較下列各組數(shù)的大小:(1)sin220°與sin230°;解

因?yàn)楹瘮?shù)y=sin

x在90°~270°上單調(diào)遞減,且90°<220°<230°<270°,所以sin

220°>sin

230°.規(guī)律方法

用正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的單調(diào)性比較大小時(shí),應(yīng)先將異名化同名,把不在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的角用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間,再利用單調(diào)性來(lái)比較大小.2.已知三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)問(wèn)題

D規(guī)律方法

根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間M求解析式中的參數(shù)范圍問(wèn)題,主要是根據(jù)已知函數(shù)的解析式求出函數(shù)相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間I,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為M?I,列不等式組求解.變式訓(xùn)練3A學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)1234561.函數(shù)f(x)=sin(-x)是(

)A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)A解析

因?yàn)閤∈R,且f(-x)=sin

x=-sin(-x)=-f(x),所以f(x)為奇函數(shù).1234562.函數(shù)y=2sin(x+)是(

)A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)B123456C1234561234564.函數(shù)y=1-sin的單調(diào)遞增區(qū)間是