流體力學(xué)-第一講-場論與張量分析初步

流體力學(xué)-第一講場論與張量分析初步流體力學(xué)-第一講場論與張量分析初步流體力學(xué)-第一講場論與張量分析初步工程流體力學(xué)從實用角度，對工程中涉及的問題建立相應(yīng)的理論基礎(chǔ)，并進(jìn)行計算。靜力學(xué)運動學(xué)以理想流體為主動力學(xué)引言以理論分析為主，討論實際流體運動規(guī)律。運動學(xué)動力學(xué)高等流體力學(xué)以實際流體為主對于實際流體討論了管流阻力計算,是在理想流體得出規(guī)律基礎(chǔ)上進(jìn)行修正,并結(jié)合實驗.1/6/20212工程流體力學(xué)從實用角度，對工程中涉及的問題建立相應(yīng)的理論基礎(chǔ)，并進(jìn)行計算。靜力學(xué)運動學(xué)以理想流體為主動力學(xué)引言以理論分析為主，討論實際流體運動規(guī)律。運動學(xué)動力學(xué)高等流體力學(xué)以實際流體為主對于實際流體討論了管流阻力計算,是在理想流體得出規(guī)律基礎(chǔ)上進(jìn)行修正,并結(jié)合實驗.10/16/20242主要內(nèi)容：第一章場論與張量分析初步第二章流體運動學(xué)第三章流體力學(xué)基本方程組第四章粘性流動基礎(chǔ)第五章Navier-Stokes方程的解第六章邊界層理論第七章流體的旋渦運動第八章湍流理論10/16/20243第一章場論與張量分析初步第一節(jié)

場論簡述第二節(jié)

張量初步第三節(jié)雅可比行列式10/16/20244第一節(jié)

場論簡述

基本概念場的幾何表示標(biāo)量場的梯度向量的散度向量的旋度哈密頓算子▽和場論的基本運算公式10/16/20245一

基本概念1.場（field）：設(shè)在空間中的某一區(qū)域內(nèi)定義標(biāo)量函數(shù)或矢量函數(shù)，則稱定義在此空間區(qū)域內(nèi)的函數(shù)為場。標(biāo)量場（scalarfield）：向量場（vectorfield）：g=f(r,t)均勻場（homogeneousfield）：非均勻場（non-homogenousfield）：定常流場（steadyfield）：非定常流場(unsteadyfield)：10/16/20246(1)標(biāo)量:是一維的量，它只須1個數(shù)量及單位來表示，它獨立于坐標(biāo)系的選擇。流體的溫度，密度等均是標(biāo)量。(2)向量(矢量):不僅有數(shù)量的大小而且有指定的方向，它必須由某一空間坐標(biāo)系的3個坐標(biāo)軸方向的分量來表示,因此向量是三維的量。速度,加速度是向量.常用黑體字母x、u表示空間坐標(biāo)位置向量和流速向量。也用類似表示。10/16/20247對于笛卡兒坐標(biāo)，X的3個分量為x1，x2，x3。而三個坐標(biāo)方向的單位分別用e1，e2，e3表示。有時也常用i，,j，k表示。因此位置向量和速度向量可以寫為：向量的加減：10/16/20248矢量的標(biāo)量積(數(shù)量積)（點積）(內(nèi)積)：功:當(dāng)力F作用在質(zhì)點上使之移動一無限小位移ds,此力所做功定義為力在位移方向的投影乘以位移的大小.10/16/2024910/16/202410矢量的矢量積(向量積)（叉乘）(外積)：

組成平行四邊行的面積右手法則，拇指方向即為c方向，由a指向b10/16/202411平面面積可作為一個向量10/16/202412數(shù)量三重積：

循環(huán)置換向量次序,結(jié)果不變.改變循環(huán)向量次序,符號改變.10/16/202413數(shù)量三重積幾何意義：作為平行六面體的體積。10/16/202414向量三重積：

括號不能交換或移動10/16/202415二、場的幾何表示1、scalarfield：(1)用等值線（面）表示令：(2)它的疏密反映了標(biāo)量函數(shù)的變化情況等值線（等位面）圖變化快變化慢10/16/202416二、場的幾何表示2、

vectorfield：大小：標(biāo)量.可以用上述等位線(等位面)的概念來幾何表示。

方向：采用矢量線來幾何地表示。矢量線：線上每一點的切線方向與該點的矢量方向重合。矢量線的描述是從歐拉法引出10/16/202417矢量線方程：設(shè)是矢量線的切向元素，則據(jù)矢量線的定義有直角坐標(biāo)：

則有：10/16/202418所以有：（向量線方程）向量管：在場內(nèi)取任一非向量的封閉曲線C，通過C上每一點作矢（向）量線，則這些矢量曲線的區(qū)域為向量管。跡線的描述是從歐拉法引出10/16/202419三、標(biāo)量場的梯度方向?qū)?shù)：函數(shù)z=f(x,y)在一點P沿某一l方向的變化率Φ為x軸到l的轉(zhuǎn)角與方向?qū)?shù)關(guān)聯(lián)的是梯度與梯度關(guān)聯(lián)的是方向?qū)?shù)10/16/202420沿梯度方向的方向?qū)?shù)達(dá)到最大值10/16/202421直角坐標(biāo)系中：

是一個算子（operator），它具有向量與微分的雙重性質(zhì)，稱為哈密頓算子（Hamiltonoperator）物理量沿任一方向（其單位向量為n0）的變化率為：10/16/202422

梯度意義的證明：如圖，設(shè)方向單位向量

函數(shù)沿方向的變化為：

另：與同向時，最大MM1M'流場中兩相鄰等勢線沿梯度方向的方向?qū)?shù)達(dá)到最大值10/16/202423定理證明:a）滿足關(guān)系式：

證明：

=10/16/202424b)若任給一封閉曲線L，，且是矢徑的單值函數(shù)，則：證明：梯度的性質(zhì)：①標(biāo)量場不均勻程度的量度；②梯度方向和等位面的法線方向重合，指向函數(shù)值增大的方向。③在任一方向的變形等于該方向的方向?qū)?shù)。④梯度的方向是標(biāo)量變化最快的方向。10/16/20242510/16/202426四、向量的散度(divergence)1、預(yù)備知識a.向量通過曲面的通量（flux）：

b.Gauss定理：若在有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則：10/16/2024272、散度的定義

于是Gauss定理可以寫作：由封閉曲面s流出的通量可以看成是體積V的膨脹量。所以散度也就是流體的體積膨脹量。散度是標(biāo)量，而不是向量。10/16/20242810/16/202429例1：任一不可壓流場，，在流場中一點M取微元體，則密速（密度速度）變化量

點源：·Source點匯：·Sink例2：令有10/16/202430

五、向量的旋度（rotation）

1、預(yù)備知識1)向量的環(huán)量（Circulation）

10/16/2024312)Stokes定理：(L圍成S，S單連通）

向量為速度，為二元流動：當(dāng)封閉周線內(nèi)有渦束時，則沿封閉周線的速度環(huán)量等于該封閉周線內(nèi)所有渦束的旋渦強度之和。這就是斯托克斯（G·G·Stokes）定理。通式：

10/16/20243210/16/202433

2、旋度的定義 =

于是Stokes定理可以寫成：

10/16/202434

例題：

10/16/202435

六、

哈密頓算子▽和場論的基本運算公式

1、

哈密頓算子的定義：

它具有矢量和對它右邊的量微分的雙重性.因此：

10/16/2024362、

基本運算公式：

1)

2)

10/16/2024373）證明：令，

10/16/2024384）證明：注：

5）10/16/202439

6）證明：根據(jù)柯青法則

蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯青的運算法則：當(dāng)除了一個矢量之外，其他的矢量都是常數(shù)時，應(yīng)該這樣來變換表達(dá)式，以使得所有常矢量都位于算子之前，而變量則位于它之后。10/16/2024407）證明：

XZY順變?yōu)檎孀優(yōu)樨?fù)10/16/202441在混合乘積中有兩個矢量相同，必然為010/16/20244210/16/2024433、哈密頓算子對積分的應(yīng)用：

由Gauss定理有：

10/16/202444由這些公式可以看出，只要把體積分中的哈密頓算子換成法向單位向量即是面積分的被積函數(shù)。推廣的高斯公式可以寫為：高斯公式（Gauss’stheorem）將體積分與面積分聯(lián)系起來，在流體力學(xué)中十分有用10/16/202445第二節(jié)

張量初步前言張量的定義張量的表示法幾種特殊的二階張量張量的運算10/16/202446一.

前言1、

指標(biāo)和符號1)自由指標(biāo)如矢量，其分量可表示為，；則稱為自由指標(biāo)。2)約定求和法則和啞指標(biāo)約定在同一項中，如有兩個指標(biāo)相同，就表示對該指標(biāo)從1到3求和。這個約定稱為愛因斯坦求和約定。這重復(fù)的指標(biāo)稱為啞指標(biāo)。如：10/16/20244710/16/2024482、符號(1)克羅內(nèi)克爾符號

各向同性張量，也就是說當(dāng)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動后，張量的分量不變10/16/202449具有替換下標(biāo)的作用10/16/202450(2)置換符號（）

（注：偶排列123，231，312）

(3)恒等式10/16/202451因為例題10/16/202452例題：例題：10/16/202453證明：

XZY順變?yōu)檎孀優(yōu)樨?fù)10/16/20245410/16/202455

1、張量的定義

張量是由一組分量所構(gòu)成的集合，這組分量在坐標(biāo)改變時應(yīng)滿足一定的坐標(biāo)變換關(guān)系，以保證該張量本身所描述的一個完整的幾何對象或物理量對象不隨坐標(biāo)的變換而變化。笛卡爾坐標(biāo)二、張量的定義

分別是新舊坐標(biāo)系的單位基矢量

為新舊坐標(biāo)之間不同坐標(biāo)軸夾角的方向余弦10/16/202456(1)對于流場中，標(biāo)量Φ在新舊坐標(biāo)中，量值不變。(2)對于流場中的矢量，新舊關(guān)系：基矢：

在新舊坐標(biāo)系中表示為：

于是：

其中是舊新坐標(biāo)中不同坐標(biāo)軸夾角的余弦。

新舊10/16/202457由式給出了矢量的另一種定義：對每一個直角坐標(biāo)系來說，有三個量，它根據(jù)（1）式變換到另一個坐標(biāo)系中的三個量中去，則此三個量定義一新的量，稱為矢量。若將矢量以坐標(biāo)變換的基礎(chǔ)定義（1）加以推廣，可得張量的定義。10/16/202458(3)流場中點的應(yīng)力狀態(tài)

它有9個分量來表示舊坐標(biāo)中應(yīng)力矢量：（2）新坐標(biāo)系中，應(yīng)力矢量（3）把（2）代入（3）有：（4）于是（5）而（6）j,l舊坐標(biāo)系i,k新坐標(biāo)系j,jl,lij10/16/202459凡符合可變換規(guī)律的物理量稱為二階張量。若在一直角坐標(biāo)系內(nèi)給定了3n個數(shù)，當(dāng)坐標(biāo)變換時，所得新的數(shù)則稱此3n個數(shù)為一個n階張量。

說明:標(biāo)量是零階張量，矢量是一階張量，應(yīng)力是二階張量。10/16/202460

三、張量的表示法

一階張量二階張量

10/16/202461四、幾種特殊的二階張量1．零張量：在任意直角坐標(biāo)系中各分量皆為零的量，以0表示2．單位張量：3．共軛張量：4．對稱張量：10/16/2024624．對稱張量：只有6個不同分量10/16/2024635．反對稱張量：只有3個不同分量10/16/20246410/16/2024656、并矢證明：為二階張量

（1）（2）要證是二階張量只需證明（3）

（1），（2）代入即是。10/16/202466例題1：？