西工大、西交大自動控制原理-第二章-控制系統(tǒng)的數(shù)學模型-2

控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖(blockdiagram)是描述系統(tǒng)各元部件之間信號傳遞關(guān)系的數(shù)學圖形，表示了系統(tǒng)中各變量間的因果關(guān)系以及對各變量所進行的運算。通過對系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖進行等效變換（equivalenttransform）后，可求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖是控制理論中描述復雜系統(tǒng)的一種簡便方法?？刂葡到y(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖概述2-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖

1信號線：信號線是帶有箭頭的直線。箭頭表示信號的流向。在直線上可寫出信號的時間函數(shù)或是其拉氏變換。一系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的組成2引出點（或測量點）：引出點表示把一路信號分兩路或多路引出的位置。從同一位置引出的信號彼此間在數(shù)值和性質(zhì)方面完全相同。

3比較點（或綜合點）：

比較點表示對兩個以上的信號進行加減運算，“＋”號表示相加，“－”號表示相減。通常情況下，“＋”號可省略不寫。

4方框（或環(huán)節(jié)）：方框表示對信號進行的數(shù)學變換，方框中寫入元部件或系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。顯然，方框的輸出量等于方框的輸入變量與傳遞函數(shù)的乘積，即：例：已知速度控制系統(tǒng)如下圖所示，試繪制速度控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。SM負載TG功率放大器速度控制系統(tǒng)二繪制控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解：系統(tǒng)由比較電路、放大器、電動機、減速器、測速發(fā)電機等組成。SM負載TG功率放大器速度控制系統(tǒng)速度控制系統(tǒng)方塊圖如下輸出量

比較元件

放大元件

執(zhí)行元件

被控對象

測量元件輸入量解：系統(tǒng)由比較電路、放大器、電動機、減速器、測速發(fā)電機等組成。

首先考慮負載效應(yīng)分別列寫速度控制系統(tǒng)的各元部件的運動方程，并在零初始條件下，進行拉氏變換，求得傳遞函數(shù)，并用方框來表示：(1)運算放大器1：(2)運算放大器2：(3)功率放大器：(4)直流電動機：(5)齒輪系：(6)測速發(fā)電機：按信號的流向把各方框圖連接起來：由此得到速度控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。例題畢。繪制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的一般步驟1考慮負載效應(yīng)分別列寫系統(tǒng)各元部件的微分方程或傳遞函數(shù)；2用方框圖表示上述方程；3根據(jù)各元部件的信號流向，依次用信號線將各方框連接起來，就得到了系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的特點

1系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖實質(zhì)上是系統(tǒng)方塊圖與數(shù)學方程兩者的結(jié)合2系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖補充了原理圖所缺少的定量描述3系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖避免了純數(shù)學的抽象運算4由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，可以更方便的求得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)等效變換實際上對應(yīng)于運動方程中消去中間變量的過程。所謂的“等效”是指輸入量與輸出量間的數(shù)學關(guān)系不變。等效簡化也就是找出合并方框、簡化方框圖的規(guī)則。方框圖簡化的一般思路是：移動引出點或比較點，使方框間連接成為三種基本連接的一種，再按一定法則進行方框運算、合并。在簡化的過程中應(yīng)堅持“等效原則”，保持變換前后變量間關(guān)系保持等效。三結(jié)構(gòu)圖的等效變換和化簡1串聯(lián)方框的等效簡化若前一方框的輸出為后一方框的輸入，則這兩個方框為串聯(lián)連接。若兩個方框，有相同的輸入量，輸出量等于兩個方框的代數(shù)和，則兩方框為并聯(lián)連接。2并聯(lián)方框的等效簡化若兩個方框如下圖所示形式連接，則稱為反饋連接。“+”號為正反饋，表示輸入信號與反饋信號相加；“-”則表示相減，為負反饋。3反饋連接方框的等效簡化稱為閉環(huán)傳遞函數(shù)，是反饋連接方框的等效傳遞函數(shù)，式中負號對應(yīng)正反饋連接，正號對應(yīng)負反饋連接。3反饋連接方框的等效簡化引出點的前移：若要將引出點由方框后移至方框的前面，為保持信號的等效，要在移動后的信號線上加入一個引出點所越過的方框。4引出點的移動引出點的后移：若要將引出點由方框前面移至方框的后面，為保持信號的等效，要在移動后的信號線上加入一個引出點所越過的方框的倒數(shù)。4引出點的移動比較點的前移：若要將比較點由方框后移至方框的前面，為保持信號的等效，要在移動后的信號線上加入一個比較點所越過的方框的倒數(shù)。5比較點的移動比較點的后移：若要將比較點由方框前移至方框的后面，為保持信號的等效，要在移動后的信號線上加入一個比較點所越過的方框。5比較點的移動相鄰的比較點可以互換或合并。（相鄰是指兩個比較點間沒有引出點、方框等，直接由信號線連接）5比較點的移動例引出點的移動

A2A1A3C例綜合點的移動錯！無用！A1A2ab例作用分解四、自動控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)及其求取

任何一個自動控制系統(tǒng)，經(jīng)過結(jié)構(gòu)圖的等效變換，可化為如下所示的典型形式：R(s)R(s)圖中：R(s)--------控制信號（參考輸入）

C(s)---------被控信號（輸出）

ε(s)---------偏差信號

F(s)----------擾動信號

B(s)----------反饋信號（一）開環(huán)傳遞函數(shù)1、定義當反饋線斷開，并使F(s)=0，系統(tǒng)工作在開環(huán)狀態(tài)，將反饋信號B(s)的拉氏變換與偏差信號ε(s)拉氏變換之比定義為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。R(s)2、開環(huán)傳遞函數(shù)的求取若令：為前向通路傳遞函數(shù)，則：可見：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)Gk(s)等于前向通路傳遞函數(shù)G(s)=G1(s)G2(s)與反饋通道傳遞函數(shù)H(s)的乘積。C(S)G1(s)H(s)R(S)ε(s)B(S)G2(s)F(s)（二）閉環(huán)傳遞函數(shù)

1、定義：系統(tǒng)輸出量C(s)的拉氏變換與系統(tǒng)輸入量

R(s)的拉氏變換之比定義為系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。

系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)分為對控制量的閉環(huán)傳遞函數(shù)和對擾動量的閉環(huán)傳遞函數(shù)。

對控制量的閉環(huán)傳遞函數(shù)記為：

對擾動量的閉環(huán)傳遞函數(shù)記為：C(S)G1(s)H(s)R(S)ε(s)B(S)G2(s)F(s)2、對控制量r(t)的閉環(huán)傳遞函數(shù)的求取令f(t)=0對單位反饋系統(tǒng)，H(s)=1有：C(S)G1(s)H(s)R(S)ε(s)B(S)G2(s)F(s)3、對擾動量f(t)的閉環(huán)傳遞函數(shù)фf(t)的求取

此時令r(t)=0，為了求取方便，可將系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖變形，畫為：G2(s)H(s)-1G1(s)F(s)R(s)=0C(s)單位反饋系統(tǒng)H(s)=1,有4、系統(tǒng)的輸出量當系統(tǒng)同時存在控制量（參考輸入）r(t)和擾動量f(t)時，應(yīng)用疊加原理，得：其中Cr(s)=ф(s)R(s)為系統(tǒng)單獨在r(t)作用下的輸出；

Cf(s)=фf(s)F(s)為系統(tǒng)單獨在f(t)作用下的輸出。C(S)G1(s)H(s)R(S)ε(s)B(S)G2(s)F(s)例：已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，試求系統(tǒng)的傳遞函

數(shù)和。解：可應(yīng)用線性疊加原理，首先令，則系統(tǒng)方框圖可表示為：

化簡內(nèi)回路：得到：

-1再令，則系統(tǒng)方框圖可表示為：

再令，則系統(tǒng)方框圖可表示為：可將方框和方框間的比較點后移至方框和方框間：再化簡內(nèi)回路

可將方框后的比較點后移至主通道上：再化簡內(nèi)回路得到：最后可得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：例題畢。可與原結(jié)構(gòu)圖相比較（三）系統(tǒng)的偏（誤）差傳遞函數(shù)

1、定義

系統(tǒng)偏差量的拉氏變換ζ(s)與系統(tǒng)輸入信號的拉氏變換R(s)(或F(s))之比，定義為系統(tǒng)的偏（誤）差傳遞函數(shù)。

根據(jù)輸入信號的不同，也應(yīng)把系統(tǒng)偏差傳遞函數(shù)分為對控制量（參考輸入)的偏差傳遞函數(shù)，記為：和對被擾動量的偏差傳遞函數(shù)，記為：C(S)G1(s)H(s)R(S)ε(s)B(S)G2(s)F(s)2、對控制信號（參考輸入）r(t)的偏差傳遞函數(shù)的求取

為求取方便，可將系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖變形為如下形式：

H(s)G2(s)H(s)R(s)ε(s)F(s)C(s)此時令f(t)=0注意：上式只適用于單位反饋系統(tǒng)。單位反饋時，3、對擾動信號f(t)的偏差傳遞函數(shù)此時令r(t)=0單位反饋時，H(s)=1,可得C(S)G1(s)H(s)R(S)ε(s)B(S)G2(s)F(s)4、系統(tǒng)的偏差量根據(jù)疊加原理，有：其中：為在r(t)單獨作用下的偏差；為在f(t)單獨作用下的偏差。（四）系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式閉環(huán)傳遞函數(shù)分母都相同，均為D(s)=1+G(s)H(s)，稱為系統(tǒng)的閉環(huán)特征多項式；方程式D(s)=0稱為系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式，其根稱為系統(tǒng)的閉環(huán)特征根，即為閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點。本章要求1學會列寫常見元件（電路、電機、機械等）的數(shù)學模型；2學會列寫一般自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型；

3牢固掌握傳遞函數(shù)的概念；

4熟練掌握自動控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的簡化，并會求取自動控制系統(tǒng)的各種傳遞函數(shù)；

*5了解自動控制系統(tǒng)的信號流圖；并會用Mason公式求取系統(tǒng)的傳遞函數(shù)本章小結(jié)線性定常系統(tǒng)/元件數(shù)學模型微分方程傳遞函數(shù)結(jié)構(gòu)圖建立小偏差法線性化求解定義建立零極點分布與響應(yīng)特性模型之間的聯(lián)系結(jié)構(gòu)圖化簡例1：對彈簧-阻尼器系統(tǒng)的建模問題

取A,B兩點分別進行受力分析。對A點有對B點有將上兩式拉氏變換例1：對彈簧-阻尼器系統(tǒng)的建模問題

已知系統(tǒng)方程組如下，試繪制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求閉環(huán)傳遞函數(shù)。附：matlab應(yīng)用（一）1、matlab中傳遞