復(fù)數(shù)及其表示

1復(fù)變函數(shù)授課教師2復(fù)變函數(shù)的地位

世界著名數(shù)學(xué)家M.Kline指出：19世紀(jì)最獨(dú)特的創(chuàng)造是復(fù)變函數(shù)理論。象微積分的直接擴(kuò)展統(tǒng)治了18世紀(jì)那樣，該數(shù)學(xué)分支幾乎統(tǒng)治了19世紀(jì)。它曾被稱為這個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)享受，也曾作為抽象科學(xué)中最和諧的理論。3空氣動(dòng)力學(xué)流體力學(xué)電學(xué)熱學(xué)復(fù)變函數(shù)在電路原理、自動(dòng)控制原理以及“信號與系統(tǒng)”方面有著重要的應(yīng)用。復(fù)變函數(shù)論復(fù)變函數(shù)的應(yīng)用43）應(yīng)用于計(jì)算滲流問題。例如：大壩、鉆井的浸潤曲線。2）求解偏微分方程。1）應(yīng)用于積分的計(jì)算。54）應(yīng)用于計(jì)算繞流問題中的壓力、力矩。5）應(yīng)用于平面熱傳導(dǎo)問題、電(磁)場強(qiáng)度。例如：熱爐中溫度的計(jì)算。6）Laurent級數(shù)應(yīng)用于數(shù)字信號處理。利用Laurent級數(shù)直接寫出離散數(shù)字信號的Z變換。

比如俄國的茹柯夫斯基在設(shè)計(jì)飛機(jī)的時(shí)候，就用復(fù)變函數(shù)論解決了飛機(jī)機(jī)翼的結(jié)構(gòu)問題，他在運(yùn)用復(fù)變函數(shù)論解決流體力學(xué)和航空力學(xué)方面的問題上也做出了貢獻(xiàn)。

6復(fù)變函數(shù)的主要內(nèi)容1復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)2解析函數(shù)3復(fù)變函數(shù)積分4級數(shù)5留數(shù)及應(yīng)用6共形映射7§1-1復(fù)數(shù)及其運(yùn)算一、復(fù)數(shù)及其代數(shù)運(yùn)算二Δ、復(fù)數(shù)的表示法三、復(fù)數(shù)的乘冪與方根第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)8一、復(fù)數(shù)的概念9復(fù)數(shù)

虛部記作：Im(z)=y實(shí)部記作：Re(z)=x10例解令11

兩個(gè)復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的實(shí)部和虛部分別相等.注意兩個(gè)數(shù)如果不全是實(shí)數(shù),不能比較大小復(fù)數(shù)相等12和與差：積：商：復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算13

實(shí)部相同而虛部絕對值相等符號相反的兩個(gè)復(fù)數(shù)稱為共軛復(fù)數(shù),例解共軛復(fù)數(shù)14復(fù)數(shù)和與積的運(yùn)算性質(zhì)15共軛復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì):16例1解17例2證18二、復(fù)數(shù)的表示方法（1）定義表示形式19（2）復(fù)數(shù)的平面表示法20顯然成立：（3）復(fù)數(shù)的向量表示法21復(fù)數(shù)和與差的模的性質(zhì)共軛復(fù)數(shù)的幾何性質(zhì)22注意1輻角不確定，沒有輻角.注意2復(fù)數(shù)輻角的定義23輻角主值242526利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系復(fù)數(shù)可以表示成（4）復(fù)數(shù)的三角表示法27利用Euler公式（5）復(fù)數(shù)的指數(shù)表示法28例1將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式:解故29故30例2證31兩邊同時(shí)開方得32例3求下列方程所表示的曲線:解33化簡后得解解34(6)擴(kuò)充復(fù)平面與復(fù)球面35

球面上的點(diǎn),除去北極N外,與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)之間存在著一一對應(yīng)的關(guān)系.我們用球面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù).

球面上的北極N

不能對應(yīng)復(fù)平面上的定點(diǎn)，但球面上的點(diǎn)離北極N

越近，它所表示的復(fù)數(shù)的模越大.36

我們規(guī)定:復(fù)數(shù)中有一個(gè)唯一的“無窮大”與復(fù)平面上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)相對應(yīng),記作.

因而,球面上的北極N就是復(fù)數(shù)無窮大的幾何表示.37包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的復(fù)平面稱為擴(kuò)充復(fù)平面.

不包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的復(fù)平面稱為有限復(fù)平面,或簡稱復(fù)平面.

球面上的每一個(gè)點(diǎn)與擴(kuò)充復(fù)平面的每一個(gè)點(diǎn)構(gòu)成了一一對應(yīng),這樣的球面稱為復(fù)球面.38小結(jié)復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的表示定義平面點(diǎn)表示P(x,y)

平面向量表示OP=(x,y)