第4章 指數(shù)與對數(shù)（重點突破）（解析版）-2022-2023學年高一數(shù)學上學期章節(jié)復習敲重點（蘇教版2019必修第一冊）

第4章指數(shù)與對數(shù)

重點一、指數(shù)運算

【自主梳理】

1.指數(shù)幕的概念

⑴根式

如果一個數(shù)的〃次方等于。(〃>1且〃0N)那么這個數(shù)叫做。的〃次實數(shù)方根.也就是，若非=4,則%叫

做，其中?>1且〃WN*.式子％叫做,這里n叫做，々叫做

⑵根式的性質

①當〃為奇數(shù)時，正數(shù)的〃次實數(shù)方根是一個正數(shù)，負數(shù)的〃次實數(shù)方根是一個負數(shù)，這時，。的〃次實數(shù)

方根用符號表示.

②當N為偶數(shù)時，正數(shù)的〃次實數(shù)方根有兩個，它們互為相反數(shù)，這時，正數(shù)。的正的〃次實數(shù)方根用符

號表示，負的〃次實數(shù)方根用符號表示.正負兩個〃次實數(shù)方根可以合寫成3>0).

③(般片一.

/—[a,?>0,

④當”為偶數(shù)時，n超=同=八

⑤當7!為奇數(shù)時，加=____.

⑥負數(shù)沒有偶次方根.

⑦零的任何次方根都是零.

2.有理指數(shù)累

(1)分數(shù)指數(shù)寤的表示

①正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)鼎是

an=(a>0,m,n>l).

②正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)塞是

_m

a"==(a>0,m,〃￡N*,〃>1).

③0的正分數(shù)指數(shù)哥是一，0的負分數(shù)指數(shù)基無意義.

(2)有理指數(shù)累的運算性質

①""=(a>0,s,reQ).

②(a7=3>0,s,f￡Q).

③(而)'=(a>0,b>0,/EQ).

【自主梳理參考答案】

1.(1)。的〃次實數(shù)方根根式根指數(shù)被開方數(shù)

⑵①缶②缶-缶±y[a③a⑤o2.⑴①缶^②-'"@0

a

⑵①爐"②爐'③a歸

【自我檢測】

1、下列結論中正確的有（填序號）.

3

①當。<0時，（a?）*=蘇；

②紙二同：

③函數(shù)>=。一2戶一（3工一7）°的定義域是（2,+助；

④若1（XT=5,1（？=2,則2a+6=l.

2、若心1,歷>0,且$+。"=2啦，則不一4”的值為.

3--3--3--

3.已知a=（—）3,6=（一）4,c=（一）4,則a、b、c的大小關系為

442

4化簡直號庫.（心方>（））的結果為____________.

仇犍

5、N層右§+4、0-8?妤

【自我檢測參考答案】

1.④

33

解析只有④正確.①中央0時，商戶>o,a3<0,所以（。2戶加3；②中，〃為奇數(shù)時且。<0時，加=

a；③中定義域為［2,令U3，4-00）.

2.2

解析（ab-a~b）2=（ab-^a~b）2—4=4,

'：a>\,b>0,：.d>-a~b=2.

3.c<b<a

311

解析???>=（?”單調遞減，且一鏟一了6,

31313

???（?-5>@一"（炭

艮1a>b>1,又0<c<1?c<b<a.

4、a

，原式=3.

課堂活動區(qū)突破考點研析熱點

探究點一根式

例1.求下列各式的值：

⑴而于;(2賬前7；⑶軻不(4)府訪.

a-b(a>b)

【答案】-3；V10；4一3；p(a=b)

b-a(a<b)

【解析】熟練掌握基本根式的運算，特別注意運算結果的符號.

⑴^7=一3；

⑵y(_io)2=M；

：3).(3—萬)4=|3—萬|二萬一3：

a-b(a>b)

[4)y[(a-b)2=\a-b\=^0(a=b)

b-a(a<b)

【變式遷移1】計算下列各式的值：

(1)⑵#(一9)2；(3)*"4)6；(4)癡_2)8.

⑷…心2)

【答案】(1)-2；(2)3；(3)4一4；

2-a(a<2)

例2.計算：(1))5+2遙+乃-48-^6-4&；

⑵

【答案】2夜;2夜.

【解析】對于(1)需把各項被開方數(shù)變?yōu)橥耆椒叫问?，然后再利用根式運算性質求解.對于(2),

則應分子、分母同乘以分母的有理化因式.

U)j5+26+j7-4G-j6-40

=J(6)2+2gx&+(a)2+,22-2x2百+(6)2-&2-2乂2&+(&)2

=J(百+應)2+J(2_>/5)2-J(2一應)2

=|>/3+>/2|+|2->/3|-|2-V2|

=V3+V2+2-V3-(2-V2)

=272

V2-1亞+1

=---------------+---------------

(a+1)(夜-1)(V2-1)(72+1)

=72-1+72+1

=20

【變式遷移I]化簡：(I)5/3-25/2+^/(1-V2)3+V(l-V2)4;

：2)-2x+1—x]x~+6x+9(|x|<3)

—2.x—2(—3<x<1),

【答案】(1)V2-1；(2)

-4(l<x<3).

探究點一、指數(shù)運算、化簡、求值

例3.用分數(shù)指數(shù)幕形式表示下列各式(式中a>0)：

(1)ci2,yfci；(2)a3-A/?；(3)；(4)］匕與,

51135

【答案】由；?。骸?/p>

【解析】先將根式寫成分數(shù)指數(shù)基的形式，再利用基的運算性質化簡即可.

1埒5

⑴a2yfa=a2=a=a^\

I—23+211

：2)a3yja2=a3cP=a=?3；

-----i_323

：3)yjayIa=(aa^y=(a^)2=a^.

：4)解法一：從里向外化為分數(shù)指數(shù)昂

=J4

解法二：從外向里化為分數(shù)指數(shù)辱.

5

【變式遷移1】把下列根式用指數(shù)形式表示出來，并化簡

[1)a--\p2a；廠x廠

yJX'\JX

132

【答案】（1）2歷/：（2）x1.

【變式遷移2】把下列根式化成分數(shù)指數(shù)幕:

（1）我反⑵7^石伍＞0）;（3）及?詬；（4）

23H3

【答案】2法；/；/A；￡3

【解析】（1）

_2H

(3)b3^=b3^=M

例4.計算下列各式:

27--49--2

(1)(―)3-(—)05+(0.008)3x—

8925

【解析】⑴原式=磷8尸-一等49尸-+(若1()00)-3乂42

/r/yO4J

32x1123x(—)3133

[2)原式二C|)2-4X(-A)+1-(^)3=|+1+1-|=|.

【變式遷移1】計算下列各式：

42

50256

1)(1)-X(-2)0+8-XV2+(V2XV3)；(2)2)一“%?+(>2秒

a3+2Vab+4b3"

【答案】112；a.

36623

【解析】⑴原式=8--X1+(2)4X2^+(23)X(32)=2+2^+2X3=112;

2111?

-miaa(a-8b)!a*§"a-8b)

⑵原式=———■..x~——r*/~=a.

(出)2+2g3b3+(2力3)2a3一處3⑷1_(七3)3

【變式遷移2】計算下列各式：

,3田▼15m

【答案】21+-----

4

【解析】原式=16+指+5+2>/6+-8=21+史區(qū).

44

例5.計算:

m+m~1+2

⑵

m2+m2

(74^)3

T

o.r2(?V3)2

11A

[答案](1)—；(2)tn2+m2；(3)—

225

【解析】

tn2+m2

m+m-]+21)

'2)—I―F=--~~=m+tn2；

m2+ni2m2+m2

-2x(--)2x23_4

原式=22

102-25

10…(?2)./小

舉一反三：

【變式遷移1】計算化簡下列式子

(。＞0)

G.療

【答案】疝或后

2_1_25_

【解析】原式23=。6或0/

注意：當n為偶數(shù)時，海=|。|=1"（"‘°）

-2-2_?-2

【變式遷移2】化簡「2+）'2_2

x3+y3x3—y3

【答案】-2恒

孫

【解析】應注意到一與M之間的關系，對分子使用乘法公式進行因式分解,

2

原式=

十）一y

22222222

=(一)2--?y§+()，5)2一[*3)2+x3+(y3)2]

=-2(xyp=-2恒.

【變式遷移3】化簡下列式子：

(1)—3+產(2)“正+22(3)7x2+2x+l+^/X3-3X2+3X-1

y/2-yl2-y/3

【答案】2x/2+>/6：V18+V2；|2x(x--1)

-2(x<-1)

【解析】⑴原式=%3+揚=虛”揚=&(3+戶

2-V4-2V32-7(>^-1)2373

二行(3+6)2=6(12+65=20\R

一(3-6)(3+6)~6~

⑵???(曬+</2)2=(炳2+2炳.V2+而了

=718+2^18^2+V2=35/2+2^+V2=472+2^>0

???由平方根的定義得：j4&+2"=嫻+板

(3),,,\/x3-3x2+3x-l=[(x-1)3=x-1

x+l(x>-l)

辰+2x+1=|x+11="

-x-l(x<-l)

_2x(x>-1)

yjx2+2x+1+Vx3-3x2+3x-1

一[-2(x<-1)

提升訓練

33

1」Q+-_3

例6.已知12+工2=3,求X十X'的值.

X2+X~2-2

【答案】-

3

【解析】從已知條件中解出X的值，然后代入求值，這種方法是不可取的，而應設法從整體尋求結果

與條件/+x%=3的聯(lián)系，進而整體代入求值.

2_2

?：x^+x^=3,；.x+2+x-1=9.x+x-1=7

x2+2+x-2=49,X2+X-2=47

3_32_1

./+--3_*+

*'X2+X-2-2-47-2

3x(7-l)-3151

=45-45-3

【變式遷移1】求值：

1-1fl

(1)已知+X2=5,求土二的值；

X

⑵已知a>0,b>0?且a。=btb=9a,求a的值.

【答案】23；出

【解析】熟練掌握累的運算是關鍵問題.

2

1-1x+i

(1)由/+為2=5,兩邊同時平方得x+2+x/=25,整理得：x+x'=23,則有------=23；

X

￡￡a￡

(2)a>0,b>0,又<ab=ba,?二(/)%=(6")"=>a=M=>〃=(9。)3

8

Z.二養(yǎng)=/=32=。=旨

重點二、對數(shù)運算

【自主梳理】

自主梳理

1.對數(shù)的定義

如果,那么數(shù)人叫做以〃為底N的對數(shù)，記作,其中—叫做對數(shù)的底數(shù),

____叫做真數(shù).

2.對數(shù)的性質與運算法則

⑴對數(shù)的性質(。>0且嬌1)

①laog“N=___；②logj=；

③10&""=；?10gr^=.

(2)對數(shù)的重要公式

①換底公式：10gaN=(a,c均大于零且不等于1)；

②log力推廣log油log/log<d=.

(3)對數(shù)的運算法則

如果。>0且存1,M>0,N>0,那么

①10徹(MN)=；

③lo&M'=(〃￡R);

@logaM=log/M".

【自主梳理參考答案】

1.d=N(aX),且"1)b=log〃NaN2.⑴①N②0③N④1⑵@②logM⑶①log“M+

log/V②logaM—10g“N③川Og〃M

【自我檢測】

1.21og510+log50.25的值為.

2.設2a=5b=m,且十+：=2,則m的值為.

1

3.設a=logj2,b=ln2,c=5‘，則a,b,c大小關系為

2

4.21g5+1lg8+lg5-lg20+lg22=.

5.(lg2)2+lg21g50+1g25.

【自我檢測參考答案】

1.22Z\/T53.c<a<b

解析V^=log23>l,Iog2e>1,Iog23>log2e.

0<a<b<

:.-a>Tb>1,1.

?：a=Ioga2>log35=：?/.

b=ln2>ln#=W，**?^>2*

4g(2x5)=；lg10=1.

課堂活動區(qū)出破考點研析熱點________________________________________________

探究點一對數(shù)的概念

例1.求下列各式中x的取值范圍：

2

⑴log2(x-5)；(2)log(x_I)(x+2)；(3)log(r+I)(x-l).

【答案】(1)x>5；(2)x>l,Rrw2；(3)x>-l且

【解析】(1)由題意x-5>0,.?.x>5,即為所求.

x+2>0,

⑵由題意?

x-1>0,fix-1。1,

x>—2

81:x>l,且不工2.

1,HXW2,

一、出的*1aT)2>°，

、3)由題盡，

x+1>O,Mx+lw1,

解得x>-l且I.

【變式遷移1】函數(shù)y=log2.g(x+2)的定義域為__________.

【答案】｛x|x>g且XH1?

探究點二、指數(shù)式與對數(shù)式互化及其應用

例2.將下列指數(shù)式與對數(shù)式互化：

1(\\2

31

[1)log216=4；(2)log,27=-3；(3)log^x=3；(4)5=125；(5)2"=—；(6)—=9.

32\3>

【解析】運用對數(shù)的定義進行互化.

<]、-33?

4

U)2=16；(2)-=27；(3)(6)=x：(4)log5125=3；(5)log2-=-1；(6)log19=-2.

【變式遷移1】求下列各式中x的值：

1,

2

(1)logl6x=--(2)logv8=6(3)lglOOO=x(4)-2Ine=x

【答案】(1)-；(2)V2；(3)3；(4)-4.

4

【解析】將對數(shù)式化為指數(shù)式，再利用指數(shù)冢的運算性質求出X.

———―2'(——).]

⑴x=(16)2=(42)2=42=4'*=-.

4

1?1

：2)X6=8,所以x=C?)Z=(8心=(23"=2務=應；

C3)10x=1000=103,于是x=3；

⑷由一21ne2=x,得一色二lne2,即e-/所以工=-4.

2

【變式遷移2】計算：log24;log28;log232^l：LK.

2

【解析】log24=log22=2;

3

log28=log22=3;

5

log232=log22=5.

探究點三、利用對數(shù)恒等式化簡求值

例3.不用計算器計算：

log3V27+lg25+lg4+7嘀2+(-9.8)°

13

【答案】—

2

3

【解析】原式=1嗎31+lg(25x4)+2+l

=-+lgl02+3

30c13

=-+2+3=—

22

【變式遷移1】求"典/球“*N的值⑶b,c￡R+,且不等于1,N>0)

［答案］N

【解析】將暴指數(shù)中的乘積關系轉化為事的暴，再進行運算.

〃logMogbck&.N=［(〃*與1。勖［啕”=(力喻。產』=*8。'=N

探究點四、積、商、塞的對數(shù)

例4.用log.x,logay,log“z表示下列各式

(l)logflf；(2)logfl(^);(3)log^;(4)loga^

【解析】(1)log“2=log〃x+loguy-log“z；

z

35

⑵log,C=log.X+log“y=31ogax+5log”y；

x

⑶】og“—=log”五Tog“(")=：Mg”-log。丁-log“z;

yz2

)〈

⑷log.=log”(fyTog“Vz=2log“x+log”y-glog,,z.

yjz23

【變式遷移1】求值

22

⑴21og525+3log264-8log101(2)lg21g50+(lg5)(3)lg25+lg21g50+(lg2)

【答案】⑴22；(2)1；(3)2.

【解析】(1)21og525+31og264-81og10l

26

=21og55+31og22-8x0=4+18-0=22.

⑵原式二lg2(l+lg5)+(lg5)2=lg2+lg21g5+(lg5)2=lg2+Ig5(Ig2+lg5)=lg2+lg5=l

⑶原式=21g5+lg2(1+Ig5)+(Ig2)2

=21g5+lg2+lg21g5+(lg2)2=l+lg5+lg2(Ig5+lg2)=l+lg5+lg2=2.

探究點五、換底公式的運用

例5.已知log”=。,1即=5,求log3645.

a+b

【答案】

2-a

【解析】

解法一：..?k)gi89=a,18"=5,二.k)g[85=b.

log45_log(9x5)_log9+log5_a+b_a+b

于是臉45=l81818l8

362a

logislog18(18x2)l+log182l+log|8更~

ft

解法二:vlogl89=tz,18=5,log185=bt

45_log]8(9x5)_log^g+logQ_K+』

于是*45=

1嗚83618；21og1818-logI892-a

--y

/,

解法三：:logI89=?J8=5，Ig9=6/lgl8,Ig5=/?lgl8,

Ig45_lg(9x5)_Ig9+lg5671gl8+Z?lgl8a+b

??log3645=

lg36.18221gl8-lg921gl8-?lgl82-a

lgv

解法四：???logi89=a,..180=9.

又???18%=5,，45=5乂9=18/>?18“=18"+”.

4iog3645=x,則36*=45=18”"，

IQIQ1Q2

艮」36、=(y-y)X==18"",

|g2

^x\o^—=a+b.

a+ba+b

2-

…‘log1818-logI892-a

【變式遷移1】求值:⑴(log43+log83Xlog32+log92)；(2)logg9-log2732；(3)9小§

【答案】(1)-；(2)—；(3)—.

4925

【解析】(1)(log43+log83)(log32+log92)

log2log3log3)(log32+粵干)=J.log23log32=1

3)=(2?2

log3923ZOZ4

lg9lg3221g351g210

⑵log91og32=,??=-I?,=

827lg8lg2731g231g39

⑶法「*=中—舄唳

1

衿一.J-啕5=9Hg925=923

次—?一”-Qlog25

925

探究點六、對數(shù)運算法則的應用

例6.（2016春陜西期中）計算

16--454

⑴(―)+log3-+log3-

⑵Igl4-21g1+lg7-lgl8

3

3)log2(k)g232+log]w+log436)

24

^3+log,2_^l+log2

⑷s

27

【答案】(1)—;(2)0；(3)3；(4)44.

8

16--542)5427八27

【解析】(1)(―)4+log—+log—=4+陶-x-=—+0=一

o134354588

:2)原式:lg(2x7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(32x2)

=lg2+lg7-21g7+21g3+lg7-21g3-lg2=0

2

：3)原式二log2(5+log.?+log26)=log2(5-Iog2+log26)=log28=3

2424

⑷33+1端2一5”小2=33,3啕2—51.5嘀2=27x2—5x2=44.

【變式遷移1】計算下列各式的值

29

U)lg52+-lg8+lg5.1g20+(lg2)；(2)(lg2)3+31g2.1g5+(lg5)3.

【答案】(1)3；(2)I.

【解析】(1)原式=21g5+21g2+lg5(21g2+lg5)+(lg2)2=21gl0+(lg5+lg2)2=2+1=3；

：2)原式=(lg2+lg5)[(lg2)2Tg2?lg5+(lg5)2]+31g2?lg5=0g2『+21g2?lg5+(lg5)2

=(lg2+lg5)2=l.

一—,XG(-1,O)

【變式遷移2】已知/⑴7下\則/(bg43)=—.

4'”(0,1)

【答案】3

---,XG(—1,0)

【解析】???/*)={4、，

4\XG(0,1)

0<log43<l

,o3

.?./(log43)=4^=3,

故答案為：3

諜后練習區(qū)精題精練規(guī)范答題

一、指數(shù)運算

一、選擇題

L若則，1一6%+9工2等于()

A.3x-1B.l-3xC.(l-3x)2D.非以上答案

2.（2016山東模擬）若實數(shù)。＞0,則下列等式成立的是（)

I11

A.(-2)"=4B.2QT=C.(-2)°=-lD.(a-4)4=-

2aa

3,計算4吏7々3-2五的結果是()

A.32B.16C.64D.128

(_1V_1Vj.\

4化簡1+2與1+2市1+2飛1+2嗎1+2”,結果是()

C.1—2三D」|1一2多

2

A.VB.d8C.a4D.a2

6.若/<0,且。"+〃-"=2近，則，—a”的值等于()

A.V6B.±2C.-2D.2

二、填空題

7計算(產3r=.

8化簡Jz?_(2〃_l)(l<b<2)=.

9.計算:的結果是

三、解答題

10.（2016山東青州市期末）（1）化簡：（上＞+（空）°X（-2）-3；

2/3aa

21II

(2加。5).(一6a5涼)

：2）若a＞0,b＞。,化簡:1_5一（4。-1）.

-3a^

11.計算:

⑴1255+f—12+3435；

「/X-1--

i(23\2

⑵-0.0273+50x0.00164

4

12.計算下列各式:

a-ba+b-2a2b2

------T------7---T---

/+房a"加

x-\x+\x-x^

13.計算:2-----i-+-i--i

X3+X3+\X3+1x5-l

1.1r4-r-1+2

14.己知工24-x2=3,求:，的值.

X2+X-2-2

二、對數(shù)運算

一、選擇題

1.下列說法中錯誤的是（）

A.零和負數(shù)沒有對數(shù)B.任何一個指數(shù)式都可化為對數(shù)式

C.以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)D.以e為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)

2.有以下四個結論：①lg（IglO）=0；②In（Ine）=0；③若10=lgAs則戶10；④若e=lnx,則廣島

其中正確的是（）

A.①③B.②④C.①②D.③④

3.下列等式成立的有（）

①愴一!-=一2;②log3s=2；③210g25=5;④/叱=1;⑤變3=3;

1002

A.①②B.①②③C.②?④D.①@③④⑤

4.對數(shù)式log加2（5-。）=人中，實數(shù)a的取值范圍是（）

A.（QO,5）B.（2,5）C.（2,3）U（3,5）D.（2,loo）

5.若。＞0,awl,則下列說法正確的是（）

①若M=N,則log“M=log”N:②log“M=log”N,則M=N；

③log”A/’=log,則A/=N：④若A7=N,則log”A/?二log“

A.①③B.②④C.②D.①②③④

6.若lgx-lgy=a,則lg(；)3Tg(])3=()

3a

A.3aB.—ClC.aD.一

22

7.(2016春福建期末)已知5"=2,則Iog580—31og210=()

33

A./—3a—2B.----2C.a—2D.4。-----2

aa

8.^y=log56-log67-log78-log89-log910,則()

A.yG(0,1)B.ye(1,2)C.ye(2,3)D.ye(3,4)

9.計算210g63+log64的結果是()

A.log62B.2C.log63D.3

二、填空題

10.若log31；—1,則.

11.若log”2=〃2,log“3=n,a2nt+n=

12.若2。=5〃=10,則，+工=_______.

ab

三、解答題

13.設m=(2；)；-(一9.6)°-(3+§+(1.5)2；

n=log3也Z+lg25+lg4+7哨2.

求m+n的值.

14.計算下列各式的值：

U)(In5)°+(*°'+J(1-揚2_2峭2

⑵Iog2l-lg31og32-lg5.

課后練習區(qū)參考答案

一、指數(shù)運算

1.【答案】B

【解析】因為所以原式=|l-3x|=l—3x,故選B。

3

2.【答案】D

【解析】對于A,(-2)-2=-,故A錯誤，

4

對于B,2a3=--,故B錯誤，

對于C,(-2)°=1,故C錯誤；

J.1

對于D,4)4=一,故D正確，

a

故選D.

3.【答案】A

［解析］22(0+D.2"2右_2?應+2+A2&=25=32,故選Ao

4.【答案】A

=ifi-2^y

2

5.【答案】C

【解析】（航^）（做點~卜（打了=/?/

6.【答案】C

hb2h2h2h2b

【解析】因為a+a=2yfl,所以a+a+2=S,即a+a=6同理

（〃"一。-"）2=。2,，+。-2"-2=6—2=4,又因為力<0,所以一一。4<0,故。"一〃"=一2。

7.【答案】—.

16

792

［解析】原式=4（"一3乂"+3）=4-=4-=—

16

8.【答案】4b-\.

【解析】原式/J（揚_1>=枇-lQvb<2）.

9.【答案】中

【解析】原式二（6）"匕）=（73）-'=乎.

故答案為：.

3

10.【答案】3b-2a.

【解析】因為。<萬6,所以2。<36,原式（赤拓7=12。-3。=3人一2。

1。.【答案】（1）---r;（2）1

8。3

力3/1

【解析】（1）原式=—^xlx（-l）X-T=-----7?

8ab3面

(2)原式='26b236_(4〃_1)=4fl-(4d-l)=l.

—3

2_2111

11?【解析】⑴原式=(53)^+(2-4p+(73)3=(52+22+7)2=362=6.

2）原式:%喘聲力。＞＜（蔡

1-43

12.【解析】(I)原式1-----r=l+4=3.

(滬I

(11Y11\(11'

a2+b2a2-b2a2-b2

(2)原式------An——~~r

/+京。5―序

￡221

=a2-b2-Ca2-b^)

=0

13.【解析】原式二+（'?3+1一―L——J

x3+x3+1X3+1

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