線代課件等多個(gè)

第三章矩陣的初等變換與線性方程組一消元法二矩陣的初等變換四小結(jié)五思考第一節(jié)矩陣的初等變換三應(yīng)用舉例課前復(fù)習(xí)1、矩陣的逆2、分塊對(duì)角矩陣1）2）3）若4）若則則3、線性方程組的幾種形式4、與的乘法引例求解線性方程組一、消元法解線性方程組④①②③解④①②③①②③④①②③③①①④②③④①②③③②②④②④①②③③③④即其中ｃ為任意常數(shù).總結(jié)1、上述解方程組的方法稱(chēng)為高斯消元法．2、始終把方程組看作一個(gè)整體變形，用三種變換（1）交換方程次序；（2）以不等于０的數(shù)乘某個(gè)方程；（3）一個(gè)方程的ｋ倍加到另一個(gè)方程．3、這三種變換均可逆.4、方程組的變換可以看成矩陣的變換.1、定義下面三種變換稱(chēng)為矩陣的初等行變換.（1）互換兩行：（2）數(shù)乘某行：（3）倍加某行：二、矩陣的初等變換（ElementaryTransformation）定義矩陣的初等列變換與初等行變換統(tǒng)稱(chēng)為矩陣的初等變換．同理，把換成可定義矩陣的初等列變換.ERTECTET初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類(lèi)型相同．逆變換逆變換逆變換定義經(jīng)過(guò)有限次初等變換變成矩陣，如果矩陣就稱(chēng)矩陣，記作等價(jià)關(guān)系的性質(zhì)：具有上述三條性質(zhì)的關(guān)系就稱(chēng)為等價(jià)．（1）反身性：（2）對(duì)稱(chēng)性：（3）傳遞性：利用初等行變換可把矩陣化為行階梯形矩陣.利用初等行變換，也可把矩陣化為行最簡(jiǎn)形矩陣.定理利用初等行變換，再利用初等列變換最后可把矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)形矩陣.一初等矩陣三小結(jié)第二節(jié)初等矩陣二應(yīng)用舉例２、子式與階子式３、秩的定義及性質(zhì)課前復(fù)習(xí)１、矩陣的初等變換（Elementarytransformation）初等行(列)變換（1）（2）則稱(chēng)為矩陣的最高階非零子式.記為或.最高階非零子式的階數(shù)稱(chēng)為矩陣的秩，４、經(jīng)過(guò)有限次初等變換變成矩陣，如果矩陣就稱(chēng)矩陣，記作５、矩陣等價(jià)具有的性質(zhì)利用初等行變換可把矩陣化為行階梯形矩陣.利用初等行變換，也可把矩陣化為行最簡(jiǎn)形矩陣.６、利用初等行變換，再利用初等列變換最后可把矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)形矩陣.相應(yīng)的，三種初等變換對(duì)應(yīng)著三種初等方陣.一、初等矩陣的概念定義１、對(duì)調(diào)就稱(chēng)為初等矩陣.記作２、數(shù)乘記作３、倍加記作基本事實(shí)相當(dāng)于相當(dāng)于相當(dāng)于相當(dāng)于相當(dāng)于相當(dāng)于初等矩陣的應(yīng)用又因此類(lèi)似的因此又因此因此又求下面矩陣的逆矩陣解：對(duì)（AE）進(jìn)行初等行變換化為（EA-1）故三、矩陣的秩1、子陣與階子式將矩陣的某些行和列劃去（可以只劃去某些行和列），剩下的元素按原來(lái)的順序構(gòu)成的新矩陣叫做矩陣的子矩陣.中，任取行列在矩陣位于這些行與列交叉處的個(gè)元素，依照它們?cè)谥械奈恢么涡虿蛔兌玫碾A行列式，稱(chēng)為矩陣的一個(gè)定義定義階子式.矩陣共有個(gè)階子式.最低階為階，最高階為階.定義（1）（2）則稱(chēng)為矩陣的最高階非零子式.記為或.（1）性質(zhì)：（2）（3）（4）階方陣，（5）其中（6）最高階非零子式的階數(shù)稱(chēng)為矩陣的秩，如：矩陣取第1行、第3行和第1列、第4列交叉處的元素，二階子式是組成的的最高階子式是3階，共有4個(gè)3階子式.易見(jiàn)而在這個(gè)矩陣中,都是矩陣的子矩陣.定義階方陣，為滿(mǎn)秩陣.，則稱(chēng)定義，則稱(chēng)為行滿(mǎn)秩陣；，則稱(chēng)為列滿(mǎn)秩陣；結(jié)論矩陣的秩最高階非零子式的階數(shù)行階梯形矩陣非零行的行數(shù)行最簡(jiǎn)形矩陣非零行的行數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形矩陣中單位矩陣的階數(shù)，則稱(chēng)為降秩陣.定義所有與等價(jià)的矩陣的集合稱(chēng)為一個(gè)等價(jià)類(lèi).注：（１）所有矩陣可以劃分為個(gè)等價(jià)類(lèi).（３）化為行階梯形矩陣或行最簡(jiǎn)形矩陣，僅能用初等行變換，而化為標(biāo)準(zhǔn)形矩陣時(shí)，初等行變換和初等列變換均可使用.（４）任一矩陣的行最簡(jiǎn)形矩陣與標(biāo)準(zhǔn)形矩陣唯一.（５）標(biāo)準(zhǔn)形矩陣是等價(jià)類(lèi)中最簡(jiǎn)單的矩陣.（２）同型同秩矩陣等價(jià).例１解計(jì)算A的3階子式，

用定義求矩陣的秩并非易事，后面我們將用初等變換法去求矩陣的秩.應(yīng)用舉例解例２并求的一個(gè)最高階非零子式.設(shè)，求矩陣的秩，把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣：求的一個(gè)最高階非零子式知的一個(gè)最高階非零子式為３階，的階子式共有個(gè)，考察的行階梯形矩陣記則矩陣的行階梯形矩陣為中４個(gè)子式中必有３階非零子式易驗(yàn)證

Ａ的一個(gè)最高階非零子式.例３設(shè)其中求解分析：直接將化為階梯形矩陣即可，故例4

將下列矩陣?yán)贸醯茸儞Q化為行階梯形,再化為行最簡(jiǎn)形,最后化為標(biāo)準(zhǔn)形.并求其秩.

注意：化矩陣為行階梯形或行最簡(jiǎn)形時(shí)僅能用初等行變換.化矩陣為標(biāo)準(zhǔn)形時(shí)，初等行變換和初等列變換均可以使用.依次為行階梯形和行最簡(jiǎn)形矩陣。最后得到的矩陣是的標(biāo)準(zhǔn)形，依次為秩顯然為３.２、子式與階子式３、秩的定義及性質(zhì)五、小結(jié)１、矩陣的初等變換（Elementarytransformation）初等行(列)變換（1）（2）則稱(chēng)為矩陣的最高階非零子式.記為或.最高階非零子式的階數(shù)稱(chēng)為矩陣的秩，４、經(jīng)過(guò)有限次初等變換變成矩陣，如果矩陣就稱(chēng)矩陣，記作５、矩陣等價(jià)具有的性質(zhì)利用初等行變換可把矩陣化