2025屆山東省臨沂市羅莊區(qū)七校聯(lián)考高二數(shù)學第一學期期末質(zhì)量檢測試題含解析

2025屆山東省臨沂市羅莊區(qū)七校聯(lián)考高二數(shù)學第一學期期末質(zhì)量檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知直線與圓交于A，B兩點，O為原點，且，則實數(shù)m等于（）A. B.C. D.2．已知空間向量，，且與互相垂直，則k的值是（）A.1 B.C. D.3．已知F是拋物線的焦點，直線l是拋物線的準線，則F到直線l的距離為（）A.2 B.4C.6 D.84．橢圓離心率是（）A. B.C. D.5．如圖，正方形與矩形所在的平面互相垂直，在上，且平面，則M點的坐標為（）A. B.C. D.6．已知，則條件“”是條件“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件.7．已知函數(shù)，則（）A.1 B.2C.3 D.58．在空間直角坐標系中，已知點M是點在坐標平面內(nèi)的射影，則的坐標是（）A. B.C. D.9．已知拋物線C：，則過拋物線C的焦點，弦長為整數(shù)且不超過2022的直線的條數(shù)是（）A.4037 B.4044C.2019 D.202210．圍棋起源于中國，據(jù)先秦典籍世本記載：“堯造圍棋，丹朱善之”，至今已有四千多年歷史．圍棋不僅能抒發(fā)意境、陶冶情操、修身養(yǎng)性、生慧增智，而且還與天象易理、兵法策略、治國安邦等相關(guān)聯(lián)，蘊含著中華文化的豐富內(nèi)涵．在某次國際圍棋比賽中，規(guī)定甲與乙對陣，丙與丁對陣，兩場比賽的勝者爭奪冠軍，根據(jù)以往戰(zhàn)績，他們之間相互獲勝的概率如下：甲乙丙丁甲獲勝概率乙獲勝概率丙獲勝概率丁獲勝概率則甲最終獲得冠軍的概率是（）A.0.165 B.0.24C.0.275 D.0.3611．若數(shù)列滿足，，則該數(shù)列的前2021項的乘積是（）A. B.C.2 D.112．已知向量，，且，則實數(shù)等于（）A.1 B.2C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)變量x，y滿足約束條件則的最大值為___________.14．經(jīng)過兩直線l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交點P，且與直線l3：3x－4y＋5＝0垂直的直線l的方程為________15．已知函數(shù)，，當時，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為_______16．已知、是空間內(nèi)兩個單位向量，且，如果空間向量滿足，且，，則對于任意的實數(shù)、，的最小值為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知公差不為0的等差數(shù)列，前項和為，首項為，且成等比數(shù)列.（1）求和；（2）設(shè)，記，求.18．（12分）已知圓C：（1）若過點的直線l與圓C相交所得的弦長為，求直線l的方程；（2）若P是直線：上的動點，PA，PB是圓C的兩條切線，A，B是切點，求四邊形PACB面積的最小值19．（12分）已知函數(shù)，當時，有極大值3（1）求的值；（2）求函數(shù)的極小值20．（12分）已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)，其中為指數(shù)函數(shù)且的圖象過點（1）求的表達式；（2）若對任意的．不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；21．（12分）三棱錐各棱長為2，E為AC邊上中點（1）證明：面BDE；（2）求二面角的正弦值22．（10分）已知拋物線的焦點為，經(jīng)過點的直線與拋物線交于兩點，其中點A在第一象限；（1）若直線的斜率為，求的值；（2）求線段的長度的最小值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)給定條件求出，再求出圓O到直線l的距離即可計算作答.【詳解】圓的圓心O，半徑，因，則，而，則，即是正三角形，點O到直線l的距離，因此，，解得，所以實數(shù)m等于.故選：A2、D【解析】由＝0可求解【詳解】由題意，故選：D3、B【解析】根據(jù)拋物線定義即可求解【詳解】由得，所以F到直線l的距離為故選：B4、C【解析】將方程轉(zhuǎn)化為橢圓的標準方程，求得a，c，再由離心率公式求得答案.【詳解】解：由得，所以，則，所以橢圓的離心率，故選：C.5、A【解析】設(shè)點的坐標為，由平面,可得出，利用空間向量數(shù)量積為0求得、的值，即可得出點的坐標.【詳解】設(shè)點的坐標為，,,，，則，,，平面,即，所以，，解得，所以，點的坐標為，故選：A.6、A【解析】若命題，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件【詳解】因為，所以，所以.故選：A7、C【解析】利用導數(shù)的定義，以及運算法則，即可求解.【詳解】，，所以，所以故選：C8、C【解析】點在平面內(nèi)的射影是坐標不變，坐標為0的點.【詳解】點在坐標平面內(nèi)的射影為，故點M的坐標是故選：C9、A【解析】根據(jù)已知條件，結(jié)合拋物線的性質(zhì)，先求出過焦點的最短弦長，再結(jié)合拋物線的對稱性，即可求解【詳解】∵拋物線C：，即，由拋物線的性質(zhì)可得，過拋物線焦點中，長度最短的為垂直于y軸的那條弦，則過拋物線C的焦點，長度最短的弦的長為，由拋物線的對稱性可得，弦長在5到2022之間的有共有條，故弦長為整數(shù)且不超過2022的直線的條數(shù)是故選：A10、B【解析】先求出甲第一輪勝出的概率，再求出甲第二輪勝出的概率，即可得出結(jié)果.【詳解】甲最終獲得冠軍的概率，故選：B.11、C【解析】先由數(shù)列滿足，，計算出前5項，可得，且，再利用周期性即可得到答案.【詳解】因為數(shù)列滿足，，所以，同理可得，…所以數(shù)列每四項重復出現(xiàn)，即，且，而，所以該數(shù)列的前2021項的乘積是.故選：C.12、C【解析】利用空間向量垂直的坐標表示計算即可得解【詳解】因向量，，且，則，解得，所以實數(shù)等于.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)線性約束條件畫出可行域，把目標函數(shù)轉(zhuǎn)化為，然后根據(jù)直線在軸上截距最大時即可求出答案.【詳解】畫出可行域，如圖，由，得，由圖可知，當直線過點時，有最大值，且最大值為.故答案為：.14、4x＋3y－6＝0【解析】直接求出兩直線l1：x﹣2y+4=0和l2：x+y﹣2=0的交點P的坐標，求出直線的斜率，然后求出所求直線方程【詳解】由方程組可得P（0，2）∵l⊥l3，∴kl=﹣，∴直線l的方程為y﹣2=﹣x，即4x＋3y－6＝0故答案為：4x＋3y－6＝015、【解析】構(gòu)造新函數(shù)，求導根據(jù)導數(shù)大于等于零得到，構(gòu)造，求導得到單調(diào)區(qū)間，計算函數(shù)最小值得到答案.【詳解】當時，不等式恒成立，所以，所以在上是增函數(shù)，，則上恒成立，即在上恒成立，令，則，當時，，當時，，所以，所以故答案為：16、【解析】根據(jù)已知可設(shè)，，，根據(jù)已知條件求出、、的值，將向量用坐標加以表示，利用空間向量的模長公式可求得的最小值.【詳解】因為、是空間內(nèi)兩個單位向量，且，所以，，因為，則，不妨設(shè)，，設(shè)，則，，解得，則，因為，可得，則，所以，，當且僅當時，即當時，等號成立，因此，對于任意的實數(shù)、，的最小值為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）由題意解得等差數(shù)列的公差，代入公式即可求得和；（2）把n分為奇數(shù)和偶數(shù)兩類，分別去數(shù)列的前n項和.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為，由題有，即，解之得或0，又，所以，所以.【小問2詳解】，當為正奇數(shù)，，當為正偶數(shù)，，所以18、（1）或.（2）8【解析】（1）先判斷當斜率不存在時,不滿足條件；再判斷當斜率存在時,設(shè)利用垂徑定理列方程求出k，即可求出直線方程；（2）過P作圓C的兩條切線，切點分別為A、B，連結(jié)CA、CB，得到.判斷出當時,最小，四邊形PACB面積取得最小值.利用點到直線的距離公式求出，，即可求出四邊形PACB面積的最小值.【小問1詳解】圓C：化為標準方程為：，所以圓心為，半徑為r=4.（1）當斜率不存在時,x=1代入圓方程得,弦長為,不滿足條件；（2）當斜率存在時,設(shè)即.圓心C到直線l的距離，解得:或k=0,所以直線方程為或.【小問2詳解】過P作圓C的兩條切線，切點分別為A、B，連結(jié)CA、CB，則.因為,所以所以.所以當時,最小，四邊形PACB面積取得最小值.所以，所以，即四邊形PACB面積的最小值為8.19、（1）；（2）0【解析】（1）由題意得，則可得到關(guān)于實數(shù)的方程組，求解方程組，即可求得的值；（2）結(jié)合（1）中的值得出函數(shù)的解析式，即可利用導數(shù)求得函數(shù)的極小值.【詳解】（1），當時，有極大值3，所以，解得，經(jīng)檢驗，滿足題意，所以；（2）由（1）得，則，令，得或，列表得極小值極大值易知是函數(shù)的極小值點，所以當時，函數(shù)有極小值0【點睛】本題主要考查了函數(shù)的極值的概念，以及利用導數(shù)求解函數(shù)的極值，考查了學生對極值概念的理解與運算求解能力.20、（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)（且），因為的圖象過點，求得a的值，再根據(jù)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，利用f(0)=0即可求得n的值，得到f(x)的解析式，檢驗是奇函數(shù)即可；（2）將分式分離常數(shù)后，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可以判定f(x)在R上單調(diào)遞減，進而結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)將不等式轉(zhuǎn)化為二次不等式，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求得對于對任意的恒成立時a的取值范圍即可.【詳解】解：（1）由題意，設(shè)（且），因為的圖象過點，可得，解得，即，所以，又因為為上的奇函數(shù)，可得，即，解得，經(jīng)檢驗，符合，所以（2）由函數(shù)，可得在上單調(diào)遞減，又因為為奇函數(shù)，所以，所以，即，又因為對任意的，不等式恒成立，令，即對任意的恒成立，可得，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍為【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性，指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)和函數(shù)不等式恒成立問題，關(guān)鍵是利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性將不等式轉(zhuǎn)化為二次不等式在閉區(qū)間上恒成立問題，然后利用二次函數(shù)的圖象轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的端點值滿足的條件.另外注意，第一問中，利用特值f(0)=0求得解析式后，要注意檢驗對于任意的實數(shù)x，f(x)=-f(-x)恒成立.21、（1）證明見解析（2）【解析】(1)根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明；(2)建立如圖所示坐標系，則，易知平面BCD的法向量，利用空間向量法求出面BDE的法向量，結(jié)合向量的數(shù)量積計算即可得出結(jié)果.【小問1詳解】正四面體中各面分別是正三角形，E為AC邊上中點，，又平面，且，所以面BDE【小問2詳解】建立如圖所示坐標系，于是，，，，，易知平面BCD的法向量設(shè)面BDE的法向量，于是，令，則，，所以，所以，得所以二面角的正弦