2025屆湖南省常德芷蘭實驗學(xué)校高二上數(shù)學(xué)期末預(yù)測試題含解析

2025屆湖南省常德芷蘭實驗學(xué)校高二上數(shù)學(xué)期末預(yù)測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．過拋物線的焦點的直線交拋物線于兩點,點是原點,若;則的面積為（）A. B.C. D.2．已知拋物線的焦點為F，，點是拋物線上的動點，則當(dāng)?shù)闹底钚r，=（）A.1 B.2C. D.43．金剛石的成分為純碳，是自然界中存在的最堅硬物質(zhì)，它的結(jié)構(gòu)是由8個等邊三角形組成的正八面體.若某金剛石的棱長為2，則它外接球的體積為（）A. B.C. D.4．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)現(xiàn)，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線稱為歐拉線．已知的頂點，，若其歐拉線的方程為，則頂點的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.5．等差數(shù)列前項和，已知，，則的值是（）.A. B.C. D.6．在正方體中，，則（）A. B.C. D.7．在三棱錐中，平面，，，，Q是邊上的一動點，且直線與平面所成角的最大值為，則三棱錐的外接球的表面積為（）A. B.C. D.8．等比數(shù)列中，，則（）A. B.C.2 D.49．如圖，已知雙曲線的左右焦點分別為、，，是雙曲線右支上的一點，，直線與軸交于點，的內(nèi)切圓半徑為，則雙曲線的離心率是（）A. B.C. D.10．已知拋物線的焦點為F，過點F分別作兩條直線，直線與拋物線C交于A、B兩點，直線與拋物線C交于D、E兩點，若與的斜率的平方和為2，則的最小值為（）A.24 B.20C.16 D.1211．已知數(shù)列的通項公式為，且數(shù)列是遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.12．已知三棱柱中，，，D點是線段上靠近A的一個三等分點，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知為等比數(shù)列的前n項和，若，，則_____________.14．我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家，某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水，計劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案．通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，則a=______________15．已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)上存在極大值M，證明：.16．以點為圓心，為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓C：的離心率為，點為橢圓C上一點（1）求橢圓C的方程；（2）若M，N是橢圓C上的兩個動點，且的角平分線總是垂直于y軸，求證：直線MN的斜率為定值18．（12分）已知橢圓的離心率為，右焦點F到上頂點的距離為.（1）求橢圓的方程；（2）是否存在過點F且與x軸不垂直的直線與橢圓交于A、B兩點，使得點C（）在線段AB的中垂線上？若存在，求出直線l：若不存在，說明理曲.19．（12分）已知函數(shù)（Ⅰ）討論函數(shù)的極值點的個數(shù)（Ⅱ）若，，求的取值范圍20．（12分）若函數(shù)與的圖象有一條與直線平行的公共切線，求實數(shù)a的值21．（12分）已知圓的圓心為，且圓經(jīng)過點（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若圓：與圓恰有兩條公切線，求實數(shù)的取值范圍22．（10分）已知命題p：直線與雙曲線的右支有兩個不同的交點，命題q：直線與直線平行.（1）若，判斷命題“”的真假；（2）若命題“”為真命題，求實數(shù)k的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】拋物線焦點為，準(zhǔn)線方程為，由得或所以，故答案為C考點：1、拋物線的定義；2、直線與拋物線的位置關(guān)系2、B【解析】根據(jù)拋物線定義，轉(zhuǎn)化，要使有最小值，只需最大，即直線與拋物線相切，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，求出斜率，然后求出點坐標(biāo)，即可求解.【詳解】由題知，拋物線的準(zhǔn)線方程為，，過P作垂直于準(zhǔn)線于，連接，由拋物線定義知.由正弦函數(shù)知，要使最小值，即最小，即最大，即直線斜率最大，即直線與拋物線相切.設(shè)所在的直線方程為：，聯(lián)立拋物線方程：，整理得：則，解得即，解得，代入得或，再利用焦半徑公式得故選：B.關(guān)鍵點睛：本題考查拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是要將取最小值轉(zhuǎn)化為直線斜率最大，再轉(zhuǎn)化為拋物線的切線，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.3、A【解析】求得外接球的半徑，進(jìn)而計算出外接球體積.【詳解】設(shè)，正八面體的棱長為，根據(jù)正八面體的性質(zhì)可知：，所以是外接球的球心，且半徑，所以外接球的體積為.故選：A4、A【解析】設(shè)，計算出重心坐標(biāo)后代入歐拉方程，再求出外心坐標(biāo)，根據(jù)外心的性質(zhì)列出關(guān)于的方程，最后聯(lián)立解方程即可.【詳解】設(shè)，由重心坐標(biāo)公式得，三角形的重心為，，代入歐拉線方程得：，整理得：①的中點為，，的中垂線方程為，即聯(lián)立，解得的外心為則，整理得：②聯(lián)立①②得：，或，當(dāng)，時，重合，舍去頂點的坐標(biāo)是故選：A【點睛】關(guān)鍵點睛：解決本題的關(guān)鍵一是求出外心，二是根據(jù)外心的性質(zhì)列方程.5、C【解析】由題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，故，故，故選6、A【解析】根據(jù)空間向量基本定理，結(jié)合空間向量加法的幾何意義進(jìn)行求解即可.【詳解】因為，而，所以有，故選：A7、C【解析】由平面，直線與平面所成角的最大時，最小，也即最小，，由此可求得，從而得，得長，然后取外心，作，取H為的中點，使得，則易得，求出的長即為外接球半徑，從而可得面積【詳解】三棱錐中，平面，直線與平面所成角為，如圖所示；則，且的最大值是，，的最小值是，即A到的距離為，，，在中可得，又，，可得；取的外接圓圓心為，作，取H為的中點，使得，則易得，由，解得，，，，由勾股定理得，所以三棱錐的外接球的表面積是.【點睛】本題考查求球的表面積，解題關(guān)鍵是確定球的球心，三棱錐的外接球心在過各面外心且與此面垂直的直線上8、D【解析】利用等比數(shù)列的下標(biāo)特點，即可得到結(jié)果.【詳解】∵，∴，∴，∴.故選：D9、D【解析】根據(jù)給定條件結(jié)合直角三角形內(nèi)切圓半徑與邊長的關(guān)系求出雙曲線實半軸長a，再利用離心率公式計算作答.【詳解】依題意，，的內(nèi)切圓半徑，由直角三角形內(nèi)切圓性質(zhì)知：，由雙曲線對稱性知，，于是得，即，又雙曲線半焦距c=2，所以雙曲線的離心率.故選：D【點睛】結(jié)論點睛：二直角邊長為a，b，斜邊長為c的直角三角形內(nèi)切圓半徑.10、C【解析】設(shè)兩條直線方程，與拋物線聯(lián)立，求出弦長的表達(dá)式，根據(jù)基本不等式求出最小值【詳解】拋物線的焦點坐標(biāo)為，設(shè)直線：，直線：，聯(lián)立得：，所以，所以焦點弦，同理得：，所以，因為，所以，故選：C11、C【解析】利用遞增數(shù)列的定義即可.【詳解】由，∴，即是小于2n+1的最小值，∴，故選：C12、A【解析】在三棱柱中，，轉(zhuǎn)化為結(jié)合已知條件計算即可.【詳解】在三棱柱中，滿足，且，則，，D點是線段上靠近A的一個三等分點，則，由向量的減法運(yùn)算得，.故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：在三棱柱中，，由向量的減法運(yùn)算得，再展開利用數(shù)量積運(yùn)算.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、30【解析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)得，，也成等比，即可求得結(jié)果.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，，，構(gòu)成首項為10，公比為1的等比數(shù)列，所以【點睛】本題考查等比數(shù)列性質(zhì)，考查基本求解能力，屬基礎(chǔ)題.14、3##【解析】由頻率之和等于1，即矩形面積之和為1可得.【詳解】由題知，解得.故答案為：0.315、（1）在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減；（2）詳見解析.【解析】（1）求得，利用和即可求得函數(shù)的單調(diào)性區(qū)間；（2）求得函數(shù)的解析式，求，對的情況進(jìn)行分類討論得到函數(shù)有極大值的情形，再結(jié)合極大值點的定義進(jìn)行替換、即可求解.【詳解】（1）由題意，函數(shù)，則，當(dāng)時，令，所以函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，即，解得或，令，即，解得，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間中單調(diào)遞減，當(dāng)時，令，即，解得或，令，即，解得，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2）由函數(shù)，則，令，可得令，解得，當(dāng)時.，函數(shù)在單調(diào)遞增，此時，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時不存在極大值，當(dāng)時，令解得，令，解得，所以上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因為在上存在極大值，所以，解得，因為，易證明，存在時，，存在使得，當(dāng)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，即，，由，所以【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，以及不等式的證明，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論、及邏輯推理能力與計算能力，對于此類問題，通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題16、【解析】直接根據(jù)已知寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得解.【詳解】解：由題得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）根據(jù)橢圓的離心率公式，結(jié)合代入法進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系、斜率公式進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】橢圓的離心率，又，∴∵橢圓C：經(jīng)過點，解得，∴橢圓C的方程為；【小問2詳解】∵∠MPN的角平分線總垂直于y軸，∴MP與NP所在直線關(guān)于直線對稱．設(shè)直線MP的斜率為k，則直線NP的斜率為∴設(shè)直線MP的方程為，直線NP的方程為設(shè)點，由消去y，得∵點在橢圓C上，則有，即同理可得∴，又∴直線MN的斜率為【點睛】關(guān)鍵點睛：由∠MPN的角平分線總垂直于y軸，得到MP與NP所在直線關(guān)于直線對稱是解題的關(guān)鍵.18、（1）（2）存在，【解析】（1）由題意可得，，求得的值即可求解；（2）由（1）得，假設(shè)存在滿足條件的直線：，代入橢圓方程消去可得、，由中點坐標(biāo)公式可得中點的坐標(biāo)，由求得的值即可求解.小問1詳解】由題意可得，，，解得，，所以橢圓的方程為【小問2詳解】由（1）得，假設(shè)存在滿足條件的直線：，代入橢圓方程整理可得，設(shè)，，則，，可得，則線段的中點坐標(biāo)為，所以，則，解得：，所以存在直線，且直線的方程為19、（Ⅰ）答案見解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）求得，分，和三種情況討論，求得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值的概念，即可求解；（Ⅱ）由不等式，轉(zhuǎn)化為當(dāng)時，不等式恒成立，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.【詳解】（Ⅰ）由題意，函數(shù)的定義域為，且，當(dāng)時，令，解得，令，解得或，故在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，所以有一個極值點；當(dāng)時，令，解得或，令，得，故在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以有一個極值點；當(dāng)時，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以沒有極值點綜上所述，當(dāng)時，有個極值點；當(dāng)時，沒有極值點.（Ⅱ）由，即，可得，即當(dāng)時，不等式恒成立，設(shè)，則設(shè)，則因為，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以所以的取值范圍是.【點睛】對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題3、根據(jù)恒成求解參數(shù)的取值時，一般涉及分類參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，通常要設(shè)出導(dǎo)數(shù)的零點，難度較大.20、或3【解析】設(shè)出切點，先求和平行且和函數(shù)相切的切線，再將切線和聯(lián)立，求出的值.【詳解】設(shè)公共切線曲線上的切點坐標(biāo)為，根據(jù)題意，得公共切線的斜率，所以，所以與函數(shù)的圖像相切的切點坐標(biāo)為，故可求出公共切線方程為由直線和函數(shù)的圖像也相切，得方程，即關(guān)于x的方程有兩個相等的實數(shù)根，所以，解得或321、（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)給定條件求出圓C的半徑，再直接寫出方程作答.(2)由給定條件可得圓C與圓O相交，由此列出不等式求解作答.【小問1詳解】依題意，圓C的半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是：.【小問2詳解】圓：的圓心，半徑為，因圓與圓恰有兩條公切線，則有圓O與圓C相交，即，而，因此有，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.22、（