2023-2024學(xué)年河南省開封市高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省開封市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．本試卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標(biāo)號．回答非選擇題時，將〖答案〗寫在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知，，且，則（）A. B. C.2 D.6〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋?，，所以，所?故選：B.2.一批產(chǎn)品中次品率為，隨機(jī)抽取1件，定義，則（）A.0.05 B.0.5 C.0.95 D.0.095〖答案〗A〖解析〗.故選：A.3.已知等差數(shù)列中，，，則（）A. B. C.0 D.1〖答案〗B〖解析〗設(shè)公差，因?yàn)椋?，所以，所?故選：B.4.曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，則，所以函數(shù)在點(diǎn)處切線斜率，則切線方程為，即切線方程為，故選：D.5.已知的展開式中第3項(xiàng)與第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則這兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是（）A.21 B.42 C.84 D.168〖答案〗A〖解析〗由，可得展開式通項(xiàng)公式為，因?yàn)榈恼归_式中第3項(xiàng)與第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，所以，解得，所以.故選：A.6.在圓上任意取一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線段，為垂足．當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動時，線段的中點(diǎn)的軌跡方程是（當(dāng)點(diǎn)經(jīng)過圓與軸的交點(diǎn)時，規(guī)定點(diǎn)與點(diǎn)重合）（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，依題意點(diǎn)在圓上，可得，所以點(diǎn)的軌跡方程為.故選：D.7.已知函數(shù)有兩個不同的極值點(diǎn)，，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)，所以，令，由題意得在上2個解，，故，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)適合題意；故選：C.8.在棱長為1的正四面體ABCD中，M是BC的中點(diǎn)，且，，則直線AM與CN夾角的余弦值的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖所示，延長，使得，由題意點(diǎn)在線段上（不包含端點(diǎn)），選取為基底，由題意，而，從而，，，所以，設(shè)，因?yàn)椋?，而，因?yàn)?，設(shè)，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時，的最小值為，所以當(dāng)且僅當(dāng)時，.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.由成對樣本數(shù)據(jù)，且得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，其中（單位：cm）為女生的身高，（單位：cm）為其父親的身高，則（）A.直線必經(jīng)過點(diǎn)B.直線至少經(jīng)過點(diǎn)，且中的一點(diǎn)C.已知父親的身高為，其女兒身高的估計(jì)值為D.兩位父親身高相差，則他們女兒的身高相差〖答案〗AC〖解析〗對于A：回歸直線必經(jīng)過樣本中心點(diǎn)，故A正確；對于B：回歸直線可不過任意一點(diǎn)，且，故B錯誤；對于C：已知父親的身高為，其女兒身高的估計(jì)值為，故C正確；對于D：兩位父親的身高相差，則他們女兒的身高的估計(jì)值相差，故D錯誤.故選：AC.10.已知為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，為等比數(shù)列的前n項(xiàng)積，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗BCD〖解析〗對于A，設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，若，則，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，，故D正確.故選：BCD.11.過拋物線上一點(diǎn)P作圓的切線，切點(diǎn)為A，B，則（）A.的最大值為 B.的最大值為C.可能取到3 D.可能取到4〖答案〗AD〖解析〗對于AB，圓的圓心為，半徑為，設(shè)，，要使最大，只需最大，即只需，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，所以的最大值為，的最大值為，故A正確，B錯誤；對于CD，由以上分析可知，的取值范圍是，的取值范圍是，顯然，，由等面積法有，所以，又的取值范圍是，所以的取值范圍是，故C錯誤，D正確.故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知圓，則圓C的半徑_________．〖答案〗2〖解析〗由圓，整理可得：，則圓的半徑為.故〖答案〗為：2.13.已知雙曲線的一條漸近線方程為，則橢圓的離心率為_________．〖答案〗〖解析〗由題意得雙曲線的漸近線方程為，所以，這意味著，所以.故〖答案〗為：.14.學(xué)校要安排一場文藝晚會的8個節(jié)目的演出順序，2個集體節(jié)目分別安排在第1個和最后1個，還有3個音樂節(jié)目、2個舞蹈節(jié)目、1個小品節(jié)目，要求同類節(jié)目不能連續(xù)安排，則共有_________種不同的排法（填寫數(shù)字）．〖答案〗240〖解析〗第一步：2個集體節(jié)目共有種排法；第二步：設(shè)先后順序?yàn)榈?，2，3，4，5，6，7，8場，第一類：將3個音樂節(jié)目排在第2，4，6場，再排剩下的節(jié)目共有種排法；第二類：將3個音樂節(jié)目排在第2，4，7場，再排剩下的節(jié)目共有種排法；第三類：將3個音樂節(jié)目排在第2，5，7場，再排剩下節(jié)目共有種排法；第四類：將3個音樂節(jié)目排在第3，5，7場，再排剩下的節(jié)目共有種排法；綜上所述，滿足題意的排法共有種.故〖答案〗為：240.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知橢圓C的兩個焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，且經(jīng)過點(diǎn)．（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線l與平行，且與C有且只有一個公共點(diǎn)，求l的方程．解：（1）由于橢圓的焦點(diǎn)在軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由橢圓的定義知，，可得，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:.（2）已知，所以，設(shè)直線方程為，由方程組消去，得，該方程的判別式，由，得，此時與有且只有一個公共點(diǎn)，所以的方程為:.16.已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，在中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入2個數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個新的等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）插入的數(shù)構(gòu)成一個新數(shù)列，求該數(shù)列前項(xiàng)的和．解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由題意知：，，所以，所以的通項(xiàng)公式是.（2）數(shù)列的通項(xiàng)公式為，記數(shù)列與前項(xiàng)的和分別為，則.17.在《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．如圖，已知陽馬中，側(cè)棱底面；且，在的中點(diǎn)中選擇一個記為點(diǎn)，使得四面體為鱉臑．（1）確定點(diǎn)的位置，并證明四面體為鱉臑；（2）若底面是邊長為1的正方形，求平面與平面夾角的余弦值．解：（1）點(diǎn)是的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，又因?yàn)榈酌妫酌妫?，又，，平面，所以平面，又平面，所以，由，，平面，所以平面，又平面，所以，所以，所以四面體為鱉臑；（2）如圖，分別以所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，則，則，設(shè)平面一個法向量為，則，令，則，所以平面一個法向量為，設(shè)平面一個法向量為，則，令，則，所以平面一個法向量為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為．18.在11分制乒乓球比賽中，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束．甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時甲得分的概率為p，乙發(fā)球時甲得分的概率為，各球的結(jié)果相互獨(dú)立．已知在某局雙方平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個球該局比賽結(jié)束，且．（1）求p的值；（2）求再打2個球甲新增的得分Y的分布列和均值；（3）記事件“，且甲獲勝”的概率為，求．解：（1）由題意可知，對應(yīng)的事件為“甲連贏兩球或乙連贏兩球”，所以，解之得.（2）的可能取值為0，1，2，的分布列為：，，，012所以.（3）且甲獲勝，就是平后，兩人又打了個球該局比賽結(jié)束，且這個球的得分情況為：前個球是每兩球甲、乙各得1分，最后第個球均為甲得分；且甲獲勝，就是平后，兩人又打了個球該局比賽結(jié)束，且這個球的得分情況為：前個球是每兩球甲、乙各得1分，最后第個球均為甲得分.按照甲先發(fā)球，甲、乙各得1分的概率為，所以，且，所以是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以.19.已知函數(shù)的定義域?yàn)镈，其中．對于點(diǎn)，設(shè)．若在處取最小值，則稱點(diǎn)為M的“f最近點(diǎn)”．（1）若，，，求M的“f最近點(diǎn)”；（2）已知函數(shù)，，，證明：對任意，既是的“f最近點(diǎn)”，也是的“f最近點(diǎn)”．解：（1）當(dāng)，，，，，由，得，由，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得最小值，又，所以M的“f最近點(diǎn)”為；（2）設(shè)設(shè)既是的“f最近點(diǎn)”，也是的“f最近點(diǎn)”，由題意，在處取最小值，所以對任意，，即①，，即②，由①+②得，，所以，所以，所以對任意，既是的“f最近點(diǎn)”，也是的“f最近點(diǎn)”.河南省開封市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．本試卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標(biāo)號．回答非選擇題時，將〖答案〗寫在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知，，且，則（）A. B. C.2 D.6〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，，，所以，所?故選：B.2.一批產(chǎn)品中次品率為，隨機(jī)抽取1件，定義，則（）A.0.05 B.0.5 C.0.95 D.0.095〖答案〗A〖解析〗.故選：A.3.已知等差數(shù)列中，，，則（）A. B. C.0 D.1〖答案〗B〖解析〗設(shè)公差，因?yàn)?，，所以，所?故選：B.4.曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，則，所以函數(shù)在點(diǎn)處切線斜率，則切線方程為，即切線方程為，故選：D.5.已知的展開式中第3項(xiàng)與第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則這兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是（）A.21 B.42 C.84 D.168〖答案〗A〖解析〗由，可得展開式通項(xiàng)公式為，因?yàn)榈恼归_式中第3項(xiàng)與第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，所以，解得，所以.故選：A.6.在圓上任意取一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線段，為垂足．當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動時，線段的中點(diǎn)的軌跡方程是（當(dāng)點(diǎn)經(jīng)過圓與軸的交點(diǎn)時，規(guī)定點(diǎn)與點(diǎn)重合）（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，依題意點(diǎn)在圓上，可得，所以點(diǎn)的軌跡方程為.故選：D.7.已知函數(shù)有兩個不同的極值點(diǎn)，，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)，所以，令，由題意得在上2個解，，故，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)適合題意；故選：C.8.在棱長為1的正四面體ABCD中，M是BC的中點(diǎn)，且，，則直線AM與CN夾角的余弦值的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖所示，延長，使得，由題意點(diǎn)在線段上（不包含端點(diǎn)），選取為基底，由題意，而，從而，，，所以，設(shè)，因?yàn)?，所以，而，因?yàn)?，設(shè)，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時，的最小值為，所以當(dāng)且僅當(dāng)時，.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.由成對樣本數(shù)據(jù)，且得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，其中（單位：cm）為女生的身高，（單位：cm）為其父親的身高，則（）A.直線必經(jīng)過點(diǎn)B.直線至少經(jīng)過點(diǎn)，且中的一點(diǎn)C.已知父親的身高為，其女兒身高的估計(jì)值為D.兩位父親身高相差，則他們女兒的身高相差〖答案〗AC〖解析〗對于A：回歸直線必經(jīng)過樣本中心點(diǎn)，故A正確；對于B：回歸直線可不過任意一點(diǎn)，且，故B錯誤；對于C：已知父親的身高為，其女兒身高的估計(jì)值為，故C正確；對于D：兩位父親的身高相差，則他們女兒的身高的估計(jì)值相差，故D錯誤.故選：AC.10.已知為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，為等比數(shù)列的前n項(xiàng)積，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗BCD〖解析〗對于A，設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，若，則，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，，故D正確.故選：BCD.11.過拋物線上一點(diǎn)P作圓的切線，切點(diǎn)為A，B，則（）A.的最大值為 B.的最大值為C.可能取到3 D.可能取到4〖答案〗AD〖解析〗對于AB，圓的圓心為，半徑為，設(shè)，，要使最大，只需最大，即只需，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，所以的最大值為，的最大值為，故A正確，B錯誤；對于CD，由以上分析可知，的取值范圍是，的取值范圍是，顯然，，由等面積法有，所以，又的取值范圍是，所以的取值范圍是，故C錯誤，D正確.故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知圓，則圓C的半徑_________．〖答案〗2〖解析〗由圓，整理可得：，則圓的半徑為.故〖答案〗為：2.13.已知雙曲線的一條漸近線方程為，則橢圓的離心率為_________．〖答案〗〖解析〗由題意得雙曲線的漸近線方程為，所以，這意味著，所以.故〖答案〗為：.14.學(xué)校要安排一場文藝晚會的8個節(jié)目的演出順序，2個集體節(jié)目分別安排在第1個和最后1個，還有3個音樂節(jié)目、2個舞蹈節(jié)目、1個小品節(jié)目，要求同類節(jié)目不能連續(xù)安排，則共有_________種不同的排法（填寫數(shù)字）．〖答案〗240〖解析〗第一步：2個集體節(jié)目共有種排法；第二步：設(shè)先后順序?yàn)榈?，2，3，4，5，6，7，8場，第一類：將3個音樂節(jié)目排在第2，4，6場，再排剩下的節(jié)目共有種排法；第二類：將3個音樂節(jié)目排在第2，4，7場，再排剩下的節(jié)目共有種排法；第三類：將3個音樂節(jié)目排在第2，5，7場，再排剩下節(jié)目共有種排法；第四類：將3個音樂節(jié)目排在第3，5，7場，再排剩下的節(jié)目共有種排法；綜上所述，滿足題意的排法共有種.故〖答案〗為：240.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知橢圓C的兩個焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，且經(jīng)過點(diǎn)．（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線l與平行，且與C有且只有一個公共點(diǎn)，求l的方程．解：（1）由于橢圓的焦點(diǎn)在軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由橢圓的定義知，，可得，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:.（2）已知，所以，設(shè)直線方程為，由方程組消去，得，該方程的判別式，由，得，此時與有且只有一個公共點(diǎn)，所以的方程為:.16.已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，在中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入2個數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個新的等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）插入的數(shù)構(gòu)成一個新數(shù)列，求該數(shù)列前項(xiàng)的和．解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由題意知：，，所以，所以的通項(xiàng)公式是.（2）數(shù)列的通項(xiàng)公式為，記數(shù)列與前項(xiàng)的和分別為，則.17.在《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．如圖，已知陽馬中，側(cè)棱底面；且，在的中點(diǎn)中選擇一個記為點(diǎn)，使得四面體為鱉臑．（1）確定點(diǎn)的位置，并證明四面體為鱉臑；（2）若底面是邊長為1的正方形，求平面與平面夾角的余弦值．解：（1）點(diǎn)是的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，又因?yàn)榈酌?，底面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，由，，平面，所以平面，又平面，所以，所以，所以四面體為鱉臑；（2）如圖，分別以所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，則，則，設(shè)平面一個法向量為，則，令，