2024屆湖南省衡陽市祁東縣高三第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省衡陽市祁東縣2024屆高三第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.若集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗依題得，則．故選：C.2.雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題可知雙曲線的漸近線方程為，即．故選：B.3.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗令，則，故，．故選：A.4.在研究變量與之間的關(guān)系時，進(jìn)行實驗后得到了一組樣本數(shù)據(jù)利用此樣本數(shù)據(jù)求得的經(jīng)驗回歸方程為，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)和誤差較大，剔除這兩對數(shù)據(jù)后，求得的經(jīng)驗回歸方程為，且則（）A.8 B.12 C.16 D.20〖答案〗C〖解析〗設(shè)沒剔除兩對數(shù)據(jù)前的平均數(shù)分別為，，剔除兩對數(shù)據(jù)后的平均數(shù)分別為，，因為，所以，，則，所以，又因為，所以，解得.故選：C.5.函數(shù)零點的個數(shù)為（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗C〖解析〗令，可得，則函數(shù)零點的個數(shù)為與的交點個數(shù)，顯然與均關(guān)于對稱，又當(dāng)時，，當(dāng)時，，再結(jié)合兩個函數(shù)的圖象，可得與有5個交點，故函數(shù)零點的個數(shù)為5，故C正確.故選：C.6.如果方程能確定y是x的函數(shù)，那么稱這種方式表示的函數(shù)是隱函數(shù)．隱函數(shù)的求導(dǎo)方法如下：在方程中，把y看成x的函數(shù)，則方程可看成關(guān)于x的恒等式，在等式兩邊同時對x求導(dǎo)，然后解出即可．例如，求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將方程的兩邊同時對x求導(dǎo)，則（是中間變量，需要用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則），得．那么曲線在點處的切線方程為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由給定定義得，對左右兩側(cè)同時求導(dǎo)，可得，將點代入，得，解得，故切線斜率為，得到切線方程為，化簡得方程為，故B正確.故選：B.7.如圖，正四棱臺容器的高為12cm，，，容器中水的高度為6cm．現(xiàn)將57個大小相同、質(zhì)地均勻的小鐵球放入容器中（57個小鐵球均被淹沒），水位上升了3cm，若忽略該容器壁的厚度，則小鐵球的半徑為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗正四棱臺容器的高為12cm，，，正四棱臺容器內(nèi)水的高度為6cm，由梯形中位線的性質(zhì)可知水面正方形的邊長為，其體積為；放入鐵球后，水位高為9cm，沿作個縱截面，從分別向底面引垂線，如圖，其中是底面邊長10cm，是容器的高為12cm，是水的高為9cm，由截面圖中比例線段的性質(zhì)，可得,此時水面邊長為4cm，此時水的體積為，放入的57個球的體積為，設(shè)小鐵球的半徑為，則，解得.故選：A.8.設(shè)，是橢圓（）的左、右焦點，過的直線與交于，兩點，若，，則的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗不妨設(shè)，，，則，．又，所以，化簡得，顯然，所以，解得，，所以，，故，解得，故離心率為．故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知復(fù)數(shù)，，均不為0，則下列說法正確的是（）A.若復(fù)數(shù)滿足，且，則B.若復(fù)數(shù)滿足，則C.若，則D.若復(fù)數(shù)，滿足，則〖答案〗ABD〖解析〗對于A選項，令，a，，則，因為，且，所以，則，故，故A正確；對于B選項，令，則由，得，所以，故B正確；對于C選項，令，，此時，，，故C錯誤；對于D選項，令，，則，所以，，故D正確.故選：ABD.10.已知內(nèi)角的對邊分別為為的重心，，則（）A. B.C.的面積的最大值為 D.的最小值為〖答案〗BC〖解析〗是的重心，延長交于點，則是中點，，A錯；由得，所以，又，即所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，，，C正確；由得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以的最小值是，D錯．故選：BC．11.已知函數(shù)和函數(shù)的定義域均為，若的圖象關(guān)于直線對稱，，，且，則下列說法正確的是（）A.為偶函數(shù)B.C.若在區(qū)間上的〖解析〗式為，則在區(qū)間上的〖解析〗式為D.〖答案〗AD〖解析〗由的圖象關(guān)于直線對稱,可知即所以圖象關(guān)于軸對稱,故A正確.由可得又,所以可知的圖象關(guān)于對稱，所以，所以是周期為4的周期函數(shù)，則故B錯誤.當(dāng)時,又因為所以即在區(qū)間上的〖解析〗式為故C錯誤.因為，，所以，所以，所以.故D正確.故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．把〖答案〗填在答題卡中的橫線上．12.已知，過點恰好只有一條直線與圓E：相切，則________，該直線的方程為________．〖答案〗1〖解析〗若過點恰好只有一條直線與圓E：相切，則一定在圓上，可得，解得(其它根舍去)，故，而易知圓心為，半徑為，又直線斜率為，設(shè)該直線的斜率為，顯然兩直線必定垂直，故得，則直線方程為，化簡得直線方程為.13.4名男生和2名女生隨機(jī)站成一排，每名男生至少與另一名男生相鄰，則不同的排法種數(shù)為________．〖答案〗〖解析〗4名男生先排，共有種，2名女生再排，共有種，再將2名女生插空到男生中，若兩名女生一起，可排最左邊，中間，最右邊，共有3種；若兩名女生分開排，則有種；所以一共有種.14.在長方體中，，平面平面，則截四面體所得截面面積的最大值為________．〖答案〗〖解析〗平面截四面體的截面如圖所示，設(shè)，則，所以四邊形為平行四邊形，且，在矩形中，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知等差數(shù)列的前n項和為，且也是等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的公差；（2）若，求數(shù)列的前n項和．解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，則．因為是等差數(shù)列，所以為常數(shù)．，所以，解得．（2）因為，所以．，故．16.如圖，在三棱柱中，平面平面，平面平面．（1）證明：平面ABC．（2）若，，求直線BC與平面所成角的正弦值．（1）證明：取O內(nèi)一點，作OE垂直AB，交AB于點E，作OF垂直BC，交BC于點F，因為平面平面且平面平面，平面，所以平面，因為平面，所以，同理，因為，且平面，所以平面．（2）解：因為BC，BA，兩兩垂直，以B為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，令，則，，，，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以，設(shè)直線與平面所成的角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為．17.小張參加某知識競賽，題目按照難度不同分為A類題和B類題，小張回答A類題正確的概率為0.9，小張回答B(yǎng)類題正確的概率為0.45．已知題庫中B類題的數(shù)量是A類題的兩倍．（1）求小張在題庫中任選一題，回答正確的概率；（2）已知題庫中的題目數(shù)量足夠多，該知識競賽需要小張從題庫中連續(xù)回答10個題目，若小張在這10個題目中恰好回答正確k個（，1，2，，10）的概率為，則當(dāng)k為何值時，最大？解：（1）設(shè)小張回答A類題正確的概率為，小張回答B(yǎng)類題正確的概率為，小張在題庫中任選一題，回答正確的概率為，由題意可得，所以，所以小張在題庫中任選一題，回答正確的概率為0.6.（2）由（1）可得，設(shè)，即，所以，即，解得，又，所以時，最大.18.設(shè)拋物線的焦點為，已知點到圓上一點的距離的最大值為6.（1）求拋物線的方程.（2）設(shè)是坐標(biāo)原點，點是拋物線上異于點的兩點，直線與軸分別相交于兩點（異于點），且是線段的中點，試判斷直線是否經(jīng)過定點.若是，求出該定點坐標(biāo)；若不是，說明理由.解：（1）點到圓上點的最大距離為，即，得,故拋物線方程為.（2）設(shè)，則方程為，方程為,聯(lián)立與拋物線的方程可得，即,因此點縱坐標(biāo)為，代入拋物線方程可得點橫坐標(biāo)為，則點坐標(biāo)為,同理可得點坐標(biāo)為,因此直線的斜率為,代入點坐標(biāo)可以得到方程為,整理可以得到,因此經(jīng)過定點.19.已知函數(shù)．（1）是否存在實數(shù)，使得和在上的單調(diào)區(qū)間相同？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．（2）已知是的零點，是的零點．①證明：，②證明：．（1）解：由題意得，當(dāng)時，，所以和在上都單調(diào)遞增，符合題意；當(dāng)時，若和在上的單調(diào)區(qū)間相同，則和有相同的極值點，即，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，所以無解，綜上，當(dāng)時，和在上的單調(diào)區(qū)間相同；（2）證明：①由題意，有兩個零點，，若，則，所以在上單調(diào)遞增，不符合題意，若，則當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，解得，得證；②令，得，即，令，則，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，在同一坐標(biāo)平面內(nèi)作出函數(shù)與函數(shù)的圖象，它們有公共點，如圖，故，且有，由，得，即，又，所以，由，得，即，又，所以，由，得，即，故.湖南省衡陽市祁東縣2024屆高三第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.若集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗依題得，則．故選：C.2.雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題可知雙曲線的漸近線方程為，即．故選：B.3.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗令，則，故，．故選：A.4.在研究變量與之間的關(guān)系時，進(jìn)行實驗后得到了一組樣本數(shù)據(jù)利用此樣本數(shù)據(jù)求得的經(jīng)驗回歸方程為，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)和誤差較大，剔除這兩對數(shù)據(jù)后，求得的經(jīng)驗回歸方程為，且則（）A.8 B.12 C.16 D.20〖答案〗C〖解析〗設(shè)沒剔除兩對數(shù)據(jù)前的平均數(shù)分別為，，剔除兩對數(shù)據(jù)后的平均數(shù)分別為，，因為，所以，，則，所以，又因為，所以，解得.故選：C.5.函數(shù)零點的個數(shù)為（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗C〖解析〗令，可得，則函數(shù)零點的個數(shù)為與的交點個數(shù)，顯然與均關(guān)于對稱，又當(dāng)時，，當(dāng)時，，再結(jié)合兩個函數(shù)的圖象，可得與有5個交點，故函數(shù)零點的個數(shù)為5，故C正確.故選：C.6.如果方程能確定y是x的函數(shù)，那么稱這種方式表示的函數(shù)是隱函數(shù)．隱函數(shù)的求導(dǎo)方法如下：在方程中，把y看成x的函數(shù)，則方程可看成關(guān)于x的恒等式，在等式兩邊同時對x求導(dǎo)，然后解出即可．例如，求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將方程的兩邊同時對x求導(dǎo)，則（是中間變量，需要用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則），得．那么曲線在點處的切線方程為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由給定定義得，對左右兩側(cè)同時求導(dǎo)，可得，將點代入，得，解得，故切線斜率為，得到切線方程為，化簡得方程為，故B正確.故選：B.7.如圖，正四棱臺容器的高為12cm，，，容器中水的高度為6cm．現(xiàn)將57個大小相同、質(zhì)地均勻的小鐵球放入容器中（57個小鐵球均被淹沒），水位上升了3cm，若忽略該容器壁的厚度，則小鐵球的半徑為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗正四棱臺容器的高為12cm，，，正四棱臺容器內(nèi)水的高度為6cm，由梯形中位線的性質(zhì)可知水面正方形的邊長為，其體積為；放入鐵球后，水位高為9cm，沿作個縱截面，從分別向底面引垂線，如圖，其中是底面邊長10cm，是容器的高為12cm，是水的高為9cm，由截面圖中比例線段的性質(zhì)，可得,此時水面邊長為4cm，此時水的體積為，放入的57個球的體積為，設(shè)小鐵球的半徑為，則，解得.故選：A.8.設(shè)，是橢圓（）的左、右焦點，過的直線與交于，兩點，若，，則的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗不妨設(shè)，，，則，．又，所以，化簡得，顯然，所以，解得，，所以，，故，解得，故離心率為．故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知復(fù)數(shù)，，均不為0，則下列說法正確的是（）A.若復(fù)數(shù)滿足，且，則B.若復(fù)數(shù)滿足，則C.若，則D.若復(fù)數(shù)，滿足，則〖答案〗ABD〖解析〗對于A選項，令，a，，則，因為，且，所以，則，故，故A正確；對于B選項，令，則由，得，所以，故B正確；對于C選項，令，，此時，，，故C錯誤；對于D選項，令，，則，所以，，故D正確.故選：ABD.10.已知內(nèi)角的對邊分別為為的重心，，則（）A. B.C.的面積的最大值為 D.的最小值為〖答案〗BC〖解析〗是的重心，延長交于點，則是中點，，A錯；由得，所以，又，即所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，，，C正確；由得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以的最小值是，D錯．故選：BC．11.已知函數(shù)和函數(shù)的定義域均為，若的圖象關(guān)于直線對稱，，，且，則下列說法正確的是（）A.為偶函數(shù)B.C.若在區(qū)間上的〖解析〗式為，則在區(qū)間上的〖解析〗式為D.〖答案〗AD〖解析〗由的圖象關(guān)于直線對稱,可知即所以圖象關(guān)于軸對稱,故A正確.由可得又,所以可知的圖象關(guān)于對稱，所以，所以是周期為4的周期函數(shù)，則故B錯誤.當(dāng)時,又因為所以即在區(qū)間上的〖解析〗式為故C錯誤.因為，，所以，所以，所以.故D正確.故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．把〖答案〗填在答題卡中的橫線上．12.已知，過點恰好只有一條直線與圓E：相切，則________，該直線的方程為________．〖答案〗1〖解析〗若過點恰好只有一條直線與圓E：相切，則一定在圓上，可得，解得(其它根舍去)，故，而易知圓心為，半徑為，又直線斜率為，設(shè)該直線的斜率為，顯然兩直線必定垂直，故得，則直線方程為，化簡得直線方程為.13.4名男生和2名女生隨機(jī)站成一排，每名男生至少與另一名男生相鄰，則不同的排法種數(shù)為________．〖答案〗〖解析〗4名男生先排，共有種，2名女生再排，共有種，再將2名女生插空到男生中，若兩名女生一起，可排最左邊，中間，最右邊，共有3種；若兩名女生分開排，則有種；所以一共有種.14.在長方體中，，平面平面，則截四面體所得截面面積的最大值為________．〖答案〗〖解析〗平面截四面體的截面如圖所示，設(shè)，則，所以四邊形為平行四邊形，且，在矩形中，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知等差數(shù)列的前n項和為，且也是等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的公差；（2）若，求數(shù)列的前n項和．解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，則．因為是等差數(shù)列，所以為常數(shù)．，所以，解得．（2）因為，所以．，故．16.如圖，在三棱柱中，平面平面，平面平面．（1）證明：平面ABC．（2）若，，求直線BC與平面所成角的正弦值．（1）證明：取O內(nèi)一點，作OE垂直AB，交AB于點E，作OF垂直BC，交BC于點F，因為平面平面且平面平面，平面，所以平面，因為平面，所以，同理，因為，且平面，所以平面．（2）解：因為BC，BA，兩兩垂直，以B為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，令，則，，，，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以，設(shè)直線與平面所成的角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為．17.小張參加某知識競賽，題目按照難度不同分為A類題和B類題，小張回答A類題正確的概率為0.9，小張回答B(yǎng)類題正確的概率為0.45．已知題庫中B類題的數(shù)量是A類題的兩倍．（1）求小張在題庫中任選一題，回答正確的概率；（2）已知題庫中的題目數(shù)量足夠多，該知識競賽需要小張從題庫中連續(xù)回答10個題目，若小張在這10個題目中恰好回答正確k個（，1，2，，10）的概率為，則當(dāng)k為何值時，最大？解：（1）設(shè)小張回答