4.1.2認識三角形（備作業(yè)）2021-2022學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊(北師大版)

4.1.2認識三角形一、單選題1．下面四個圖形中，線段BE能表示三角形ABC的高的是（

）A．B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形的高的定義（從三角形一個頂點向它的對邊作一條垂線，三角形頂點和它對邊垂足之間的線段稱為三角形這條邊上的高）即可得．【解析】解：由三角形的高的定義可知，只有選項B中的線段能表示三角形的高，故選：B．【點睛】本題考查了三角形的高，熟記定義是解題關(guān)鍵．2．下列說法中正確的是（

）A．三角形的三條中線必交于一點 B．直角三角形只有一條高C．三角形的中線可能在三角形的外部 D．三角形的高線都在三角形的內(nèi)部【答案】A【分析】根據(jù)三角形中線及高線的定義逐一判斷即可得答案．【解析】A.三角形的三條中線必交于一點，故該選項正確，B.直角三角形有三條高，故該選項錯誤，C.三角形的中線不可能在三角形的外部，故該選項錯誤，D.三角形的高線不一定都在三角形的內(nèi)部，故該選項錯誤，故選：A．【點睛】本題考查三角形的中線及高線，熟練掌握定義是解題關(guān)鍵．3．如圖，在中，AB＝2020，AC＝2018，AD為中線，則與的周長之差為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由AD為的中線，可得：，再利用，即可得到答案．【解析】解：AD為的中線，，，故選【點睛】本題考查的是三角形的中線的概念，掌握三角形的中線的含義是解題的關(guān)鍵．4．用直角三角板作△ABC的邊AB上的高，下列直角三角板位置擺放正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】從三角形的一個頂點向底邊作垂線，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高，根據(jù)高線的定義即可得出結(jié)論．【解析】解：A、作出的是△ABC中BC邊上的高線，故本選項錯誤；B、作出的是△ABC中AC邊上的高線，故本選項正確；C、不能作出△ABC中BC邊上的高線，故本選項錯誤；D、作出的是△ABC中AB邊上的高線，故本選項錯誤；故選D．【點睛】本題考查的是作圖基本作圖，熟知三角形高線的定義是解答此題的關(guān)鍵．5．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC且與BC相交于點D，∠B=40°，∠BAD=30°，則∠C的度數(shù)是（）A．70°B．80°C．100°D．110°【答案】B【分析】利用三角形角平分線的性質(zhì)和內(nèi)角和是180度的性質(zhì)可知．【解析】解：AD平分∠BAC，∠BAD=30°，∴∠BAC=60°，∴∠C=180°﹣60°﹣40°=80°．故選B．6．如圖，中，，G為AD的中點，延長BG交AC于點E，F(xiàn)為AB上一點，且于點H，下列判斷中，正確的個數(shù)是（

）①BG是的邊AD上的中線；②AD既是的角平分線，也是的角平分線；③CH既是的邊AD上的高，也是的邊AH上的高．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)三角形中線的定義、三角形角平分線的定義和三角形高的定義逐一判斷即可．【解析】解：因為G為AD的中點，所以BG是的邊AD上的中線，故①正確；因為，所以AD是的角平分線，AG是的角平分線，故②錯誤；因為于點H，所以CH既是的邊AD邊上的高，也是的邊AH上的高，故③正確，綜上正確的有2個故選C．【點睛】此題考查的是三角形中線、角平分線和高的識別，掌握三角形中線的定義、三角形角平分線的定義和三角形高的定義是解決此題的關(guān)鍵．7．如圖所示，在△ABC中，∠B＝67°，∠C＝33°，AD是△ABC的角平分線，則∠CAD的度數(shù)為（

）A．40° B．45° C．50° D．55°【答案】A【分析】首先利用三角形內(nèi)角和定理求得∠BAC的度數(shù)，然后利用角平分線的性質(zhì)求得∠CAD的度數(shù)即可．【解析】解：∵∠B=67°，∠C=33°，∴∠BAC=180°∠B∠C=180°67°33°=80°∵AD是△ABC的角平分線，∴∠CAD=∠BAC=×80°=40°故選：A．【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，掌握三角形內(nèi)角和等于180°是解題的關(guān)鍵．8．如圖，在中，若，點E是BC邊上一點，且不與點B，C，D重合，則以AD為高的三角形的個數(shù)為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】根據(jù)三角形高的定義即可求解．【解析】解：∵在中，，點E是BC邊上一點，且不與點B，C，D重合，∴AD是，的高，共6個，故選C．【點睛】此題主要考查三角形的高，解題的關(guān)鍵是熟知三角形高的定義．9．如圖，D，E分別是的邊AC，BC的中點，則下列說法錯誤的是（

）A．DE是的中線 B．BD是的中線C． D．BD是的角平分線【答案】D【分析】根據(jù)三角形的中線、線段中點的定義、三角形的角平分線判斷即可得．【解析】點D，E分別是的邊AC，BC的中點，，是的邊AC上的中線，DE是的邊BC上的中線，則選項A、B、C正確，因為BD不一定平分，所以選項D錯誤，故選：D．【點睛】本題考查了三角形的中線、線段中點的定義、三角形的角平分線，掌握理解三角形中線的定義是解題關(guān)鍵．10．如圖，在中，已知點、分別為、的中點，，且的面積12，則的面積為（

）A．5 B． C．4 D．【答案】C【分析】由點D是BC的中點，可得△ABD的面積=△ACD的面積=S△ABC，由E是AD的中點，得出△ABE的面積=△DBE的面積=△ABC的面積，進而得出△BCE的面積=△ABC的面積，再利用EF=2FC，求出△BEF的面積．【解析】解：∵點D是BC的中點，△ABC的面積12，∴△ABD的面積=△ACD的面積=S△ABC=6，∵E是AD的中點，∴△ABE的面積=△DBE的面積=△ABC的面積=3，△ACE的面積=△DCE的面積=△ABC的面積=3，∴△BCE的面積=△ABC的面積=6，∵EF=2FC，∴△BEF的面積=×6=4，故選：C．【點睛】本題主要考查了三角形的面積，解題的關(guān)鍵是根據(jù)中點找出三角形的面積與原三角形面積的關(guān)系．二、填空題11．三角形一個角的________與這個角的對邊相交，以這個角的________和________為端點的線段叫做三角形的角平分線．一個角的平分線與三角形的角平分線的區(qū)別是（請寫出兩條）：（1）_________；（2）_________．【答案】

平分線

頂點

交點

角的平分線有且只有一條，三角形的角平分線有三條

角的平分線是射線，三角形的角平分線是線段【分析】根據(jù)三角形角平分線的定義填空即可．【解析】解：∵三角形一個角的平分線與這個角的對邊相交，以這個角的頂點和交為端點的線段叫做三角形的角平分線．三角形有三條角平分線，角的平分線只有一條．故答案為：平分線，頂點，交點，角的平分線有且只有一條，三角形的角平分線有三條，角的平分線是射線，三角形的角平分線是線段．【點睛】本題考查了角平分線的定義，三角形一個角的平分線與這個角的對邊相交，以這個角的頂點和交為端點的線段叫做三角形的角平分線．解題關(guān)鍵是熟記三角形角平分線的定義．12．若∠AOB=4∠α,OC為∠AOB的角平分線，則∠AOC=_____∠α.【答案】2【分析】根據(jù)角平分線的定義求解即可.【解析】解：∠AOC=∠AOB=×4∠α=2∠α.【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)：從角的頂點引一條射線，把這個角分成相等的兩部分，那么這條射線叫這個角的平分線．13．在△ABC中，AD、AE分別是中線和高，∠BAC=90°，AB=12cm，AC=5cm，BC=13cm，則線段AE的長為__________，△ABD的面積為_________．【答案】

【分析】根據(jù)三角形面積公式可得AB?AC=BC?AE，依此可求AE的長；根據(jù)三角形面積公式計算出S△ABC=30cm2，然后利用AD是邊BC的中線得到S△ABD=S△ABC．【解析】解：∵∠BAC=90°，AE是邊BC上的高，∴AB?AC=BC?AE，∴AE==5×12÷13=(cm)，即AE的長度為cm；如圖，∵△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，AC=5cm，AB=12cm，∴S△ABC=AB?AC=×12×5＝30(cm2)．又∵AD是邊BC的中線，∴S△ABD=S△ACD=S△ABC=15(cm2)．∴△ABN的面積是15cm2；故答案為：cm；15cm2．【點睛】本題考查了三角形的面積：三角形的面積等于底邊長與高線乘積的一半，即S△=×底×高．三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分．14．如圖，在△ABC中，AD是BC上的中線，DE=3AE，若S△ABC=48，則S△ABE=_________．【答案】6【分析】據(jù)AD是△ABC的邊BC上的中線得出S△ABD=S△ABC=24，再由△ABD與△ABE是同高的兩個三角形即可求出S△ABE．【解析】解：∵AD是△ABC的邊BC上的中線，S△ABC=48，∴S△ABD=24，∵DE=3AE，∴S△ABE=S△ABD=6；故答案為：6．【點睛】本題考查了三角形的面積．中線能把三角形的面積平分，利用這個結(jié)論就可以求出三角形△ABE的面積．15．在直角三角形中，，，，是邊的中線，則邊上的高為__，的面積__．【答案】

4

3【分析】根據(jù)三角形的高線的定義知BC是邊AC上的高線．由三角形中線的定義知AD＝BD，則△ACD與△BCD的等底同高的兩個三角形，它們的面積相等．【解析】如圖，，，是邊上的高，即邊上的高為，又是邊的中線，，．故答案是：4；3．【點睛】本題考查了三角形的面積，三角形的角平分線、中線和高．此題利用了“等底同高”的兩個三角形的面積相等來求△BCD的面積的．16．已知如圖所示AD、AE分別是△ABC的中線、高，且AB=5cm，AC=3cm，,則△ABD與△ACD的周長之差為_________，△ABD與△ACD的面積關(guān)系為_________.【答案】

2cm

相等【分析】根據(jù)△ABD與△ACD的周長的差=ABAC，三角形的中線把三角形分成面積相等的兩個三角形，由此即可解答．【解析】解：△ABD的周長=AB+AD+BD，△ACD的周長=AC+AD+CD，∵AD是BC的中線，∴BD=CD，∵AB=5cm，AC=3cm，∴△ABD的周長△ACD的周長=AB+AD+BDACADCD=ABAC=2（cm），∵△ABD與△ACD的底相等，高都是AE，∴它們的面積相等．故答案為2cm；相等．【點睛】本題考查了三角形的中線概念和性質(zhì)，熟知三角形的中線把三角形分成面積相等的兩部分是解題的關(guān)鍵．17．如圖，某地有三個車站A，B，C，順次連接AB，BC，CA，構(gòu)成三角形，一輛公共汽車從B站前往C站．（1）當(dāng)汽車行駛到點D時，剛好有，連接AD，AD這條線段是中BC邊上的____________，在中，這樣的線段有____________條，此時____________（填“有”或“沒有”）面積相等的三角形；（2）汽車?yán)^續(xù)向前行駛，當(dāng)行駛到點E時，發(fā)現(xiàn)，那么AE這條線段是中的____________，在中，這樣的線段有____________條；（3）汽車?yán)^續(xù)向前行駛，當(dāng)行駛到點F時，發(fā)現(xiàn)，那么AF是中BC邊上的____________，在中，這樣的線段有____________條．【答案】（1）中線，3，有；（2）角平分線，3；（3）高，3【分析】（1）由于BD=CD，則點D是BC中點，AD是中線，一個三角形有三條中線，三角形的中線把三角形成面積相等的兩個三角形；（2）由于，得到AE是三角形的角平分線，一個三角形有三條角平分線；（3）由于，得到AF是三角形高，一個三角形有三條高．【解析】解：（1）AD是中BC邊上的中線，在中，這樣的線段有3條，此時△ABD與△ACD面積相等；（2）AE這條線段是中的角平分線，在中，這樣的線段有3條；（3）AF是中BC邊上的高，在中，這樣的線段有3條．故答案為：（1）中線，3，有；（2）角平分線，3；（3）高，3．【點睛】本題考查了三角形的高線、角平分線、中線的概念，理解好相關(guān)概念是解題關(guān)鍵．18．如圖，點D在線段BC上，AC⊥BC，AB＝8cm，AD＝6cm，AC＝4cm，則在△ABD中，BD邊上的高是__cm．【答案】4cm【分析】從三角形的一個頂點向它對邊所作的垂線段（頂點至對邊垂足間的線段）,叫做三角形的高．這條邊叫做底．【解析】因為AC⊥BC，所以三角形ABD中，BD邊上的高是：AC=4cm故答案為：4cm【點睛】考核知識點：三角形的高．理解三角形的高的定義是關(guān)鍵．19．如圖，在中，是邊上的高，平分，若，，則__________．【答案】50°【分析】由角平分線的定義和已知可求出∠BAC，由是邊上的高和已知條件可以求出∠C，然后運用三角形內(nèi)角和定理，即可完成解答.【解析】解：∵平分，若∴=2；又∵是邊上的高，∴=90°又∵+∠B+∠C=180°∴∠B=180°60°70°=50°故答案為50°.【點睛】本題考查了角平分線、高的定義以及三角形內(nèi)角和的知識，考查知識點較多，靈活運用所學(xué)知識是解答本題的關(guān)鍵.20．如圖，在△ABC中，已知點D、E、F分別為邊BC、AD、CE的中點，若△ABC的面積為16，則圖中陰影部分的面積為_____．【答案】4.【分析】因為點F是CE的中點，所以△BEF的底是△BEC的底的一半，△BEF高等于△BEC的高；同理，D、E、分別是BC、AD的中點，可得△EBC的面積是△ABC面積的一半；利用三角形的等積變換可解答．【解析】解：解：如圖，點F是CE的中點，∴△BEF的底是EF，△BEC的底是EC，即EF=EC，而高相等，∴S△BEF=S△BEC，∵E是AD的中點，∴S△BDE=S△ABD，S△CDE=S△ACD，∴S△EBC=S△ABC，∴S△BEF=S△ABC，且S△ABC=16，∴S△BEF=4，即陰影部分的面積為4cm2．故答案為4．【點睛】本題主要考查了三角形面積及三角形面積的等積變換，三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分．三、解答題21．如圖，在中，分別是邊上的中線和高，．求和的長．【答案】【分析】根據(jù)的面積和高即可求得，再根據(jù)三角形的中線從而求得和．【解析】解：在中，是邊上的高，，，，，∵是邊上的中線，∴，∴，∴的長為3cm，的長為1.5cm．【點睛】本題考查了三角形面積的有關(guān)計算以及三角形的中線的應(yīng)用，本題中正確的計算是解題的關(guān)鍵．22．如圖，在中（），，邊上的中線把的周長分成和兩部分，求和的長．【答案】，【分析】由題意可得，，由中線的性質(zhì)得，故可求得，即可求得．【解析】由題意知，，∵，D為BC中點∴∴即則BC=24，CD=BD=12則且28＞24符合題意．【點睛】本題考查了中線的性質(zhì)，中線是三角形中從某邊的中點連向?qū)堑捻旤c的線段．23．如圖，已知，AD、AE分別為△ABC的中線和高，AB=13，AC=5．（1）△ABD和△ACD的周長相差多少？（2）△ABD和△ACD的面積有什么關(guān)系，請說明理由．【答案】（1）△ABD和△ACD的周長相差是8；（2）△ABD和△ACD的面積相等．理由見解析．【分析】（1）分別表示出△ABD與△ACD的周長，由AD是BC的中線，可得它們的差＝AB?AC；（2）三角形的中線把三角形分成面積相等的兩個三角形，據(jù)此答題即可．【解析】（1）△ABD的周長是AB、BD、AD三邊的和△ACD的周長是AC、CD、AD三邊的和因為AD為△ABC的中線∴BD=DC所以△ABD和△ACD的周長差就是AB與AC的差故△ABD和△ACD的周長相差是8；（2）因為AD為△ABC的中線∴BD=DC所以△ABD和△ACD是等底同高的三角形故△ABD和△ACD的面積相等．【點睛】本題主要考查了三角形的中線，高的概念和性質(zhì)，三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分是解答此題的關(guān)鍵．24．（1）如圖1，在△ABC中，點D、E分別是AB、AC的中點，畫出△ABC的中線AT；（2）如圖2，在△FGH中，畫出邊GH的高FM，邊GF的高HN和邊FH的高GP．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）連接,交于點，連接并延長與交于,即為△ABC的中線；（2）用直角三角板的一條直角邊與所畫的高線的邊重合，另一條直角邊過另一個頂點，即可作出相應(yīng)邊的高．【解析】解：（1）△ABC的中線AT如圖所示：；（2）邊GH的高FM，邊GF的高HN和邊FH的高GP，如圖所示：．【點睛】本題考查了三角形的中線以及三角形的高，能夠根據(jù)三角形中線和高的定義畫出圖形是解題的關(guān)鍵．25．如圖，AD是△ABC的中線，E是AD的中點，連接EB，EC，CF⊥BE于點F．若BE＝9，CF＝8，求△ACE的面積．【答案】18【分析】根據(jù)三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分的知識進行解答即可．【解析】解：∵CF⊥BE于點F．BE＝9，CF＝8，∴S△BCE＝＝＝36，∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，∴S△EBD＝S△ECD＝S△EBC＝18，∵點E是AD的中點，∴S△ACE＝S△ECD＝18，答：△ACE的面積18．【點睛】本題主要考查了三角形面積及三角形中線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是明確三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分．26．如圖，AD是△ABC的邊BC上的中線，已知AB=5，AC=3．（1）邊BC的取值范圍是；（2）△ABD與△ACD的周長之差為；（3）在△ABC中，若AB邊上的高為2，求AC邊上的高．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）直接根據(jù)三角形三邊關(guān)系進行解答即可；（2