數(shù)學(xué)同步訓(xùn)練：等比數(shù)列的前N項和

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2。3.2等比數(shù)列的前n項和5分鐘訓(xùn)練(預(yù)習(xí)類訓(xùn)練，可用于課前）1。在等比數(shù)列{an｝中，Sn=65，n=4，q=,則a1=_____________。解析:Sn==65，即：a1=27。答案:272。等比數(shù)列｛an}中，a1=3，q=2,則S6=_____________.解析：S6==189。答案:1893.求和：x+x2+x3+…+xn=_____________.解析：當(dāng)n=1時，Sn=n；當(dāng)n=0時，Sn=0，當(dāng)x≠1，0時,Sn=,當(dāng)x=0時也滿足。故x+x2+…xn=答案：n（x=1)或4.等比數(shù)列｛an｝的各項都是正數(shù),若a1=81，a5=16,則它的前5項和是_____________。解析：設(shè)等比數(shù)列｛an｝的公比為q，a1=81,a5=16，得q=±,又等比數(shù)列的各項都是正數(shù)，則其公比q=，所以S5==211,即S5=211?；蚶肧5==211。答案：21110分鐘訓(xùn)練（強(qiáng)化類訓(xùn)練,可用于課中)1。計算：1+3+3+…+的值是（)A。B.C。D。解析：此數(shù)列是以1為首項，為公比的等比數(shù)列，而=1×(）n-1=(）9,∴n=10，∴S10=.故選D.答案：D2。在等比數(shù)列｛an}中，a1=2,前n項和為Sn，若數(shù)列{an+1｝也是等比數(shù)列,則Sn等于（）A.2n+1-2B.3nC.2nD.3n—1解析:因數(shù)列｛an}為等比數(shù)列，則an=2qn—1,因數(shù)列{an+1}也是等比數(shù)列,則（an+1+1）2=(an+1）（an+2+1)an+12+2an+1=anan+2+an+an+2an+an+2=2an+1an（1+q2—2q）=0q=1.即an=2，所以Sn=2n.答案：C3.某人為了觀看2008年奧運(yùn)會,從2001年起，每年5月10日到銀行存入a元定期儲蓄,若年利率為p且保持不變,并約定每年到期存款均自動轉(zhuǎn)為新的一年定期，到2008年將所有的存款及利息全部取回，則可取回的錢的總數(shù)（元)為(）A.a(1+p)7B。a(1+p）8C.[（1+p)7—（1+p）]D。［(1+p）8—（1+p）］解析：2001年存入的a元到2008年所得的本息和為a(1+p）7，2002年存入的a元到2008年所得的本息和為a(1+p)6，依此類推，則2007年存入的a元到2008年的本息和為a（1+p）,每年所得的本息和構(gòu)成一個以a（1+p）為首項，1+p為公比的等比數(shù)列，則到2008年取回的總額為a（1+p)+a（1+p)2+…+a（1+p）7=［（1+p)8-（1+p）］.答案:D4.數(shù)列｛an}中，an+1=，已知該數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則該數(shù)列的前20項和S20=_______________。解析:設(shè)數(shù)列中的每一項為a,代入到已知等式中，得：a=，求出a=5，a=0(舍去）。S20=20×5=100。答案：1005。求等比數(shù)列1，2，4,…從第5項到第10項的和。解：由a1=1，a2=2得q=2，∴S4==1023.從第5項到第10項的和為S10—S4=1008。6。在等比數(shù)列｛an}中S3=4,S6=36，求an.解：∵，∴q≠1，∴S3==36,兩式相除得1+q3=9,∴q=2。將q=2代入S3=4,得a1=，∴an=×2n-1=×2n+1。30分鐘訓(xùn)練(鞏固類訓(xùn)練，可用于課后)1。一條信息，若一人得知后用一天時間將信息傳給2人，這2人每人又用一天時間傳給未知此信息的另外2人,如此繼續(xù)下去，要傳遍100萬人口的城市，所需時間大約是()A.3個月B。1個月C。10天D。20天解析:本題即為求等比數(shù)列1,2,22,23，…，2n-1,…的前n項和為100萬時n為多少的問題。于是=106，∴2n=106+1，兩邊取對數(shù)得：nlg2=lg106，n=≈20。答案：D2。等比數(shù)列{an}中，已知a1=1，且共有偶數(shù)項，若其奇數(shù)項之和為85,偶數(shù)項之和為170，則公比q=__________,項數(shù)共有____________項.解析：設(shè)項數(shù)為2k（k∈N*)，則(a1+a3+a5+…+a2k-1）·q=a2+a4+a6+…+a2k?！鄎==2。又∵a1=1,∴Sn=2n-1.又∵Sn=170+85=255,∴n=8。即共有8項.答案：283。設(shè)等比數(shù)列｛an｝的公比為q，前n項和為Sn，若Sn+1、Sn、Sn+2成等差數(shù)列，則q的值為____________.解析：Sn=,2Sn=Sn+1+Sn+2，則有2·=，∴q2+q—2=0，∴q=—2.答案：—24.有一座七層塔，每層所點燈的盞數(shù)都是上面一層的2倍，一共點381盞燈，則底層所點燈的盞數(shù)為____________。解析：要求底層點燈的盞數(shù)，所以設(shè)底層為a1盞,作為數(shù)列的首項.共381盞燈，列出前n項和。即：S7==381a1=192.答案：1925。已知數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列，且a1+an=66，a2an-1=128，且前n項和Sn=126，求n及公比q。解:∵a1an=a2an—1=128，a1+an=66,∴a1、an可看作方程x2—66x+128=0的兩根,解得x1=2，x2=64.∴a1=2,an=64或a1=64，an=2.若a1=2，an=64，顯然q≠1,由=126，得2-64q=126—126q,∴q=2。由an=a1qn—1，得2n—1=32，∴n=6。若a1=64，an=2，同理可求得q=，n=6.綜上述可知，n的值為6，公比q為2或.6。已知數(shù)列｛an｝的通項公式為an=n·an(a＞0且a≠1)，求Sn。解：Sn=a+2a2+3a3+…+n·an①①×a得：aSn=a2+2a3+…+（n—1)an+nan+1②①-②得：（1—a)Sn=a+a2+a3+…+an-n·an+1=?！郤n=.7。設(shè)等比數(shù)列｛an}的前n項和為Sn，已知S4=1,S8=17，求｛an｝的通項公式。解：設(shè)｛an}的公比為q，由S4=1,S8=17知q≠1，所以得=1.①=17，②由①②式整理得=17，解得q4=16。所以q=2或q=-2.將q=2代入①式得a1=，所以a=.將q=—2代入①式得a1=,所以an=.8。某工廠去年的產(chǎn)值是100萬元，計劃今后3年內(nèi)一年比一年產(chǎn)值增長10％，從今年起的第三年，這個工廠的年產(chǎn)值是多少萬元？這三年的總產(chǎn)值是多少萬元？(精確到萬元，1。13≈1.33）解：設(shè)去年的產(chǎn)值為a1萬元，今年的產(chǎn)值以及以后各年的產(chǎn)值依次為a2萬元,a3萬元……由于an+1=an（1+0。1），故數(shù)列{an}是等比數(shù)列,則第三年該廠的年產(chǎn)值為a4=a1q3=100×1.13≈133（萬元).這三年的總產(chǎn)值為S4-a1=—100≈364（萬元）。9。數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn,且a1=1，an+1=Sn，n=1，2，3，…，求:（1)a2，a3，a4的值及數(shù)列{an｝的通項公式；（2）a2+a4+a6+…+a2n的值.解：（1)由a1=1，an+1=Sn,n=1，2,3，…，得a2=S1=a1=,a3=S2=(a1+a2)=，a4=S3=（a1+a2+a3）=，由an+1-an=(Sn—Sn—1）=an(n≥2）,得an+1=an（n≥2）.又a2=，所以an=（)n-2(n≥2)，∴數(shù)列｛an｝的通項公式為an=（2)由（Ⅰ）可知a2，a4,…，a2n是首項為，公比為(）2，項數(shù)為n的等比數(shù)列，∴a2+a4+a6+…+a2n=·.10.某市2004年底有住房面積1200萬平方米，計劃從2005年起,每年拆除20萬平方米的舊住房.假定該市每年新建住房面積是上年年底住房面積的5%.（1）分別求2005年底和2006年底的住房面積；(2）求2024年底的住房面積。（計算結(jié)果以萬平方米為單位，且精確到0。01）解：（1）2005年底的住房面積為：1200（1+5%）—20=1240(萬平方米)，2006年底的住房面積為:1200（1+5％）2—