數(shù)學同步訓練：冪函數(shù)

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精3.3冪函數(shù)5分鐘訓練1。下列函數(shù)中是冪函數(shù)的是（)A。y=（x+2)2B。y=C。y=D。y=3x答案：C解析：根據(jù)冪函數(shù)的定義判斷.2。下列函數(shù)圖象中，表示y=的是（）答案：C解析:因為<0,所以A、D錯誤.又因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以B錯誤。3。冪函數(shù)y=xa的圖象一定經(jīng)過(0，0)，（1，1）,（—1，1)，（-1，-1）中的（）A.一點B.兩點C。三點D.四點答案：A解析：所有冪函數(shù)的圖象都過點（1，1）.4.已知冪函數(shù)y=f（x)的圖象經(jīng)過點（2，)，那么這個冪函數(shù)的解析式為_____________。答案：y=10分鐘訓練1.下列命題中，不正確的是(）A.冪函數(shù)y=x—1是奇函數(shù)B。冪函數(shù)y=x2是偶函數(shù)C。冪函數(shù)y=x既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.冪函數(shù)y=既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)答案:C解析：函數(shù)y=x是奇函數(shù),不是偶函數(shù).2。冪函數(shù)的圖象過點（2，），則它的單調遞增區(qū)間是（）A.（0,+∞）B。［0，+∞)C.（—∞，+∞）D.（—∞,0)答案：D解析:設f（x)=xα。由2α=，得α=—2,故f（x)=x-2，其單調增區(qū)間是(-∞,0）。3。函數(shù)y=的圖象是（）答案：D解析:y=的圖象是由函數(shù)y=的圖象向左平移1個單位得到的.4。當x>1時，函數(shù)y=xa的圖象恒在直線y=x的下方，則a的取值范圍是（）A。0〈a〈1B.a〈0C。a〈1答案:C解析：觀察冪函數(shù)的圖象。5.若冪函數(shù)y=xn對于給定的有理數(shù)n，其定義域和值域相同，則此冪函數(shù)(）A。一定是奇函數(shù)B。一定是偶函數(shù)C。一定不是奇函數(shù)D.一定不是偶函數(shù)答案：D解析：可使用排除法，如y=滿足題意，但既不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)，所以A、B均不對。y=x3滿足題意，它是奇函數(shù)，所以C不對.6.已知x2>，求x的取值范圍。解：在同一坐標系中，作出函數(shù)y=x2與y=的圖象，如圖。通過圖象可以看出，當且僅當x〉1時，x2〉,∴所求x的取值范圍是x>1。30分鐘訓練1。下列命題中正確的是（）A。當α=0時函數(shù)y=xα的圖象是一條直線B.冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過(0，0）和（1,1)點C.若冪函數(shù)y=xα是奇函數(shù)，則y=xα是定義域上的增函數(shù)D.冪函數(shù)的圖象不可能出現(xiàn)在第四象限答案：D解析：對于A，當α=0時，函數(shù)y=xα是y=1(x≠0)，它不是直線；當冪指數(shù)α〈0時圖象不經(jīng)過原點，所以B錯；由y=x—1,可知C錯.2。已知冪函數(shù)y=，y=，y=，y=在第一象限內的圖象分別是圖中的C1、C2、C3、C4,則n1、n2、n3、n4的大小關系是（)A。n1〉n2>1，n3〈n4<0B。n1>n2>1，n4〈n3〈0C。n1〉1>n2>0〉n4>n3D.n1>1>n2>0>n3〉n4答案:D解析：直接根據(jù)冪函數(shù)的單調性得到結果,也可過(1，1）點作垂直于x軸的直線，在該直線的右側，自上而下冪函數(shù)的指數(shù)依次減小.3.下列不等式中錯誤的是（）A。0.50.3＜0.70。3B。C.D.答案：C解析：利用冪、指、對函數(shù)的單調性進行判斷.4。(創(chuàng)新題）函數(shù)①y=|x｜；②y=；③y=;④y=中,在(—∞，0）上是增函數(shù)的有（）A.①②B.②③C。③④D.①④答案：C解析：①y=|x｜=在(—∞,0)上是減函數(shù),排除A、D；②y=在（-∞，0）上為常數(shù)函數(shù)，排除B.5。設函數(shù)f（x)=若f(x0）>1，則x0的取值范圍是（）A.（—1，1)B.（-1，+∞)C.(—∞，-2）∪（0,+∞)D.（-∞,-1)∪（1,+∞)答案：D解析：由所以x<—1。又由所以x>1。所以x0的取值范圍是(—∞,-1）∪(1,+∞）。6。冪函數(shù)y=x-1，直線y=x,y=1,x=1將直角坐標系第一象限分成八個“卦限”：Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ（如圖所示)，那么冪函數(shù)y=的圖象在第一象限中經(jīng)過的“卦限”是(）A.ⅣⅦB。ⅣⅧC。ⅢⅧD.ⅢⅦ答案：D解析：y=，其圖象為第一象限的一條雙曲線，與y=x—1交叉出現(xiàn).由〈—1，可知它經(jīng)過Ⅲ、Ⅶ“卦限”。7。,則實數(shù)a的取值范圍是__________________。答案：a〉3解析：y=在R上是增函數(shù)，所以有a+1<2a—2。解得a>3。8。已知函數(shù)f(x)=.（1）畫出f(x）的草圖；(2）指數(shù)f(x）的單調區(qū)間；（3)設a，b,c〉0，a+b〉c，證明f(a）+f(b）〉f(c).解：（1）f(x)=。函數(shù)f（x）是由y=向左平移1個單位后,再向上平移1個單位形成的，圖象如圖。（2)由圖象可以看出,函數(shù)f(x)有2個單調遞增區(qū)間：（—∞，—1）,(-1，+∞).（3)f(a)=，f（b)=.∵a,b>0，∴?！鄁（a）+f(b)>=f（a+b)?！遞(x)在（0，+∞）上是增函數(shù)，a+b〉c>0,∴f（a+b)>f（c).∴f（a）+f(b)〉f（c).9.(探究題）已知函數(shù)f(x）=，求證：（1）f（x)在其定義域上是增函數(shù);（2)方程f（x）=1最多有一個實根.答案：(1）證明:f(x）的定義域為（0,+∞）。設x1，x2∈(0，+∞),且x1〈x2，則f（x1)—f（x2)=。∵0〈x1〈x2,∴f(x1）-f（x2)〈0,f(x1）〈f(x2）?！鄁（x）為增函數(shù).(2）證明：f(x）的值域為R.假設存在x1,x2>0,使f(x1）=f（x2)=1.不妨設x1<x2?！遞（x)是（0，+∞）上的增函數(shù)，∴f(x1）<f(x2）與假設相矛盾?！嗉僭O不成立，即f(x)=1的根只有一個。10。已知冪函數(shù)f(x）=（m∈Z）的圖象關于y軸對稱且與x軸、y軸無交點。（1）試求函數(shù)f（x）的解析式,并畫出它的圖象；(2）討論函數(shù)g(x)=的奇偶性（a、b∈R）。解：（1）由冪函數(shù)的圖象與x、y軸無公共點，∴m2—2m-3<0,即-1<m〈3.又m∈Z，得m=0,1，2.∵冪函數(shù)的圖象關于y軸對稱,∴它是偶函數(shù)。把m=0，1，2分別代入得f（x）=x-3，f（x）=x-4，f（x)=x-3,只有f(x）=x