數(shù)學(xué)同步訓(xùn)練：應(yīng)用舉例

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1。2應(yīng)用舉例5分鐘訓(xùn)練(預(yù)習(xí)類訓(xùn)練,可用于課前)1.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，則a∶b∶c等于（)A。1∶∶2B。1∶2∶3C。2∶∶1D.3∶2∶1解析：由已知得A=30°,B=60°,C=90°，根據(jù)正弦定理可知有,a∶b∶c=sin30°∶sin60°∶sin90°=1∶∶2。答案：A2。從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β,則α、β的關(guān)系為（）A。α＞βB.α+β=90°C。α=βD。α+β=180°解析：由仰角、俯角的定義可知α=β.答案：C3。在△ABC中,a=2，b=3，c=4,則cosC=___________，其形狀是___________.解析：由余弦定理得cosC=＜0，C是鈍角，故其形狀是鈍角三角形.答案：鈍角三角形4.在△ABC中，∠A∶∠B=1∶2，a∶b=1∶，則∠A=___________，∠B=___________，∠C=___________.解析:由已知及正弦定理得，又B=2A，∴,cosA=,A=,B=,C=。答案:10分鐘訓(xùn)練（強(qiáng)化類訓(xùn)練，可用于課中)1.若三角形的三個(gè)角的比是1∶2∶3，最大的邊是20，則這個(gè)三角形的面積為（）A.B。100C.25D.100解析:由已知得A=30°,B=60°,C=90°，根據(jù)正弦定理可知有，a∶b∶c=sin30°∶sin60°∶sin90°=1∶∶2，最小邊為10。答案:A2。邊長(zhǎng)為5、7、8的三角形的最大角與最小角的和是（）A.90°B。120°C.135°D。150°解析:本題只要先確定邊長(zhǎng)為7這邊所對(duì)的內(nèi)角,然后由三角形內(nèi)角和定理，從而可求得最大角與最小角的和.設(shè)邊長(zhǎng)為7的邊對(duì)應(yīng)的角為B，則cosB=，∴B=60°．∴A+C=120°．答案：B3.如右圖，為測(cè)量障礙物兩側(cè)A、B間的距離，用a、b分別表示角A、B的對(duì)邊，則下列給定四組數(shù)據(jù)中，測(cè)量時(shí)應(yīng)當(dāng)測(cè)的數(shù)據(jù)為（）A.a，b，∠AB。a，∠A，∠BC。b，∠A，∠BD。a，b，∠C解析:由正余弦定理及生活實(shí)際容易得知.答案：D4。甲船在島B的正南方A處，AB=10千米,甲船以每小時(shí)4千米的速度向正北航行，同時(shí)乙船自B出發(fā)以每小時(shí)6千米的速度向北偏東60°的方向駛?cè)ィ?dāng)甲、乙兩船相距最近時(shí)，它們所航行的時(shí)間是（）A.分鐘B.分鐘C.21。5分鐘D。2.15分鐘解析：AC2=（10—4t）2+(6t）2-2×(10—4t）×6t×cos120°=28t2-20t+100=28(t—）2+故當(dāng)t=小時(shí),即t=×60=分鐘時(shí),甲乙兩船距離最近.答案：A5.已知一個(gè)平行四邊形的兩條鄰邊的長(zhǎng)分別為2、3,且其中的一個(gè)內(nèi)角為30°，則這個(gè)平行四邊形的面積為___________.解析：本題可以圍繞著平行四邊形的面積公式來考慮,或者連結(jié)其對(duì)角線將原平行四邊形分成兩個(gè)全等的三角形,從而由三角形的面積公式來求得結(jié)果，S=2×3sin30°=3.答案:36。一樹干被臺(tái)風(fēng)吹斷折成與地面成30°角，樹干底部與樹尖著地處相距20米，求樹干原來的高度.解析:根據(jù)題意畫出如圖示意圖，問題轉(zhuǎn)化到Rt△ABC中,BC=20，B=30°，tan30°=,AC=BCtan30°=20×，∴AB=2AC,AC+AB=3AC=（米）.答案:即樹干原來的高度為米。30分鐘訓(xùn)練（鞏固類訓(xùn)練，可用于課后）1。某人朝正東方向走了xkm后，向右轉(zhuǎn)150°，再向前走了3km，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好為km，那么x的值是（）A。B.2C。或2D。3解析：由題意畫出示意圖,設(shè)出發(fā)點(diǎn)為A，則由已知可得AB=x千米，BC=3千米，∠ABC=180°—150°=30°。AC=,∴.∴，∴sin∠CAB=.∴∠CAB=60°或∠CAB=120°.當(dāng)∠CAB=60°時(shí)，∠ACB=180°—30°—60°=90°。x=千米;當(dāng)∠CAB=120°，∠ACB=180°-120°—30°=30°。∴x=AC=千米。答案:C2。如右圖,B、C、D三點(diǎn)在地面同一直線上，DC=a，從C、D兩點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角分別是β、α(α＜β），則A點(diǎn)離地面的高AB等于（）A.B。C.D。解析：在Rt△ABC與Rt△ADC中,tanβ=，tanα=，BC=ABcotβ,BD=ABcotα，DC=BD—BC=AB(cotα-cotβ）=a,AB=。答案：B3。(2006高考全國(guó)卷Ⅰ，文12）用長(zhǎng)度分別為2、3、4、5、6（單位:cm）的5根細(xì)木棒圍成一個(gè)三角形(允許連接，但不允許折斷），能夠得到的三角形的最大面積為（)A.cm2B.cm2C.cm2D。20cm2解析：用2、5連接，3、4連接各為一邊，第三邊長(zhǎng)為6組成三角形，此三角形面積最大，面積為cm2.答案：B4.如右圖，已知｜F1｜=20N，|F2｜=30N，|F3｜=40N,三力互成120°的角，求合力的大小。解：如下圖,F1、F2的合力的大小｜F|2=|F1｜2+|F2｜2—2｜F1｜｜F2|cos60°=700N.∴F≈26。46N，合力的大小為｜F3｜-｜F｜=13.54N。5.甲、乙兩人去測(cè)大河兩岸A、B兩點(diǎn)的距離（如右圖）。當(dāng)他們到達(dá)A處時(shí)才發(fā)覺只帶了測(cè)角儀，甲轉(zhuǎn)身要回去拿工具。乙看見A處那根24米長(zhǎng)的電桿，忙說：“不用去了，能測(cè)出來。”甲用疑惑的目光望著乙。你能幫甲想一個(gè)辦法嗎？解：在A點(diǎn)測(cè)得∠CAB，在C點(diǎn)測(cè)得∠BCA,然后可求得∠B=180-（∠CAB+∠BCA），根據(jù)正弦定理∵∴AB=×AC，帶入實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)即可求得A、B兩點(diǎn)的距離.解：在△ABC中,∠B=152°—122°=30°,∠C=180°-152°+32°=60°，∠A=180°-30°—60°=90°，BC=，∴AC=。所以貨輪與燈塔間的距離為354海里．6.如右圖，貨輪在海上以35海里/小時(shí)的速度沿方位角（從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角)為152°的方向航行．為了確定船位，在B點(diǎn)處觀測(cè)到燈塔A的方位角為122°．半小時(shí)后，貨輪到達(dá)C點(diǎn)處，觀測(cè)到燈塔A的方位角為32°．求此時(shí)貨輪與燈塔之間的距離．7。在△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊長(zhǎng).求證：.證法一：由正弦定理得.證法二：由余弦定理得。8.甲船在A點(diǎn)發(fā)現(xiàn)乙船在北偏東60°的B處，乙船以每小時(shí)a海里的速度向北行駛，已知甲船的速度是a海里/小時(shí)，甲船沿著什么方向前進(jìn)，才能最快與乙船相遇?解：設(shè)甲船在C處追上乙船，并設(shè)所用的時(shí)間為t時(shí),由已知得∠ABC=120°,BC=at,AC=.由正弦定理得即，∴sin∠BAC=,即∠BAC=30°?！嗉状刂逼珫|30°方向前進(jìn),才能最快與乙船相遇。9.在山坡上有一棵垂直的大樹。試一試：不用爬樹怎樣可測(cè)出大樹的高度.解:在山坡上有一棵垂直的大樹，通過“標(biāo)準(zhǔn)步”及簡(jiǎn)易測(cè)角工具，計(jì)算出大樹的高度，具體步驟為：（1)把每一步跨度基本相同的跨步方式稱為標(biāo)準(zhǔn)步，每個(gè)人可用“標(biāo)準(zhǔn)步"走若干步（例如20步），反復(fù)幾次,量出每次所走距離，并計(jì)算幾次走動(dòng)中每步的平均距離就能獲得自己的“標(biāo)準(zhǔn)步”.（2)可用量角器加指針作為簡(jiǎn)易測(cè)角工具.具體操作步驟：從大樹底部A向下跨a步“標(biāo)準(zhǔn)步”到了B，用簡(jiǎn)易測(cè)角工具測(cè)得∠ABP=α，再向上跨了b步“標(biāo)準(zhǔn)步”到了C(a＞b），測(cè)得∠ACP=β，該同學(xué)測(cè)出自己眼睛至腳底的高度大約是hcm，每步“標(biāo)準(zhǔn)步”跨度約為lcm,∴PA=這樣就可知這棵大樹的高度,PD=PA·l+h.10.在一個(gè)正三角形中畫一條分割線（可以是直線、折線或曲線），把這個(gè)正三角形的面積兩等分．（1)試設(shè)想各種畫分割線的方法，并比較各條分割線的長(zhǎng)短；（2）在你所畫出的所有分割線中，哪一種最短?這是不是所有可能的分割線中最短的？證明你的結(jié)論。解:(1）圖1、圖2是容易想到的兩種分法，分別計(jì)算分割線的長(zhǎng)度（設(shè)正三角形的邊長(zhǎng)為1），得AD=≈0。8660（圖1）；DE=≈0。7071（圖2)。圖3這種分割線是否一定比圖2的分割線長(zhǎng)？答案是肯定的，以下證明這一點(diǎn)．如圖3,設(shè)AD=m，AE=n,則mnsin60°=,得mn=。于是DE2=m2+n2—2mncos60°=m2+n2-mn≥2mn—mn=mn=。當(dāng)且僅當(dāng)m=n=時(shí)等號(hào)成立，這說明DEmin=．圖4的情形一般被認(rèn)為不可能是最短的,但計(jì)算驗(yàn)證一下又何妨?圖4設(shè)AD=AE=AF=m，由條件得：2×m2sin