2025屆高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第六章 第五講 直線、平面垂直的判定與性質(zhì)配套課件

第五講直線、平面垂直的判定與性質(zhì)2025年高考一輪總復(fù)習(xí)第六章

立體幾何1.直線與平面垂直(1)定義

如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，則直線l與平面α互相垂直，記作l⊥α，直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面.定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直

?l⊥α(2)判定定理與性質(zhì)定理定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行

?a∥b(續(xù)表)

2.直線和平面所成的角

(1)定義

平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.若一條直線垂直于平面，它們所成的角是直角，若一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，它們所成的角是0°的角.(2)范圍：3.平面與平面垂直(1)二面角的有關(guān)概念①二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角；

②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以該點(diǎn)為垂足，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所構(gòu)成的角叫做二面角的平面角.(2)平面和平面垂直的定義兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直.定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直

?α⊥β(3)平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的交線，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直?l⊥α(續(xù)表)提醒：兩平面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù)，運(yùn)用時(shí)要注意“平面內(nèi)的直線”這一條件.【名師點(diǎn)睛】直線與平面垂直的五個(gè)結(jié)論(1)若一條直線垂直于一個(gè)平面，則這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任意直線.(2)若兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面.(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行.(4)一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則這條直線與另一個(gè)平面也垂直.(5)兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，他們的交線也垂直于第三個(gè)平面.

考點(diǎn)一線面垂直的判定與性質(zhì)

[例1]如圖6-5-1，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點(diǎn).求證： (1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.圖6-5-1證明：(1)在四棱錐P-ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD.又∵AC⊥CD，且PA?平面PAC，AC?平面PAC，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.又AE?平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，且∠ABC＝60°，得△ABC為正三角形，所以AC＝PA.∵E是PC的中點(diǎn)，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC?平面PCD，CD?平面PCD，PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.又PD?平面PCD.∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD，PA?平面PAD，AD?平面PAD，且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD.又PD?平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AE?平面ABE，AB?平面ABE，且AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.【題后反思】證明線面垂直的常用方法及關(guān)鍵

【變式訓(xùn)練】

如圖6-5-2，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中點(diǎn)，F(xiàn)在BB1上. (1)求證：C1D⊥平面AA1B1B； (2)在下列給出的三個(gè)條件中選取兩個(gè)條件，并根圖6-5-2據(jù)所選條件證明：AB1⊥平面C1DF.證明：(1)∵ABC-A1B1C1是直三棱柱，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°.又D是A1B1的中點(diǎn)，∴C1D⊥A1B1.∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D?平面A1B1C1，∴AA1⊥C1D.又A1B1?平面AA1B1B，AA1?平面AA1B1B，且A1B1∩AA1＝A1，∴C1D⊥平面AA1B1B.(2)選①和③能證明AB1⊥平面C1DF.以下是證明過(guò)程.如圖D49，連接DF，A1B.圖D49∵D，F(xiàn)為A1B1，BB1

中點(diǎn)，∴DF∥A1B.在△ABC中，AC＝BC＝1，AC⊥BC，∴側(cè)面AA1B1B為正方形.∴A1B⊥AB1，DF⊥AB1.∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1?平面AA1B1B，∴C1D⊥AB1.∵DF?平面C1DF，C1D?平面C1DF，且DF∩C1D＝D，∴AB1⊥平面C1DF.考點(diǎn)二面面垂直的判定與性質(zhì)

[例2]

如圖6-5-3所示，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，求證：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.圖6-5-3證明：(1)∵平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于這兩個(gè)平面的交線AD，PA?平面PAD，∴PA⊥底面ABCD.(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E為CD的中點(diǎn)，∴AB∥DE，且AB＝DE.∴四邊形ABED為平行四邊形.∴BE∥AD.又∵BE

平面PAD，AD?平面PAD，∴BE∥平面PAD.(3)∵AB⊥AD，而且ABED為平行四邊形.∴BE⊥CD，AD⊥CD，由(1)知PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，且PA∩AD＝A，PA，AD?平面PAD，∴CD⊥平面PAD.又∵PD?平面PAD，∴CD⊥PD.∵E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，∴PD∥EF.∴CD⊥EF，又BE⊥CD且EF∩BE＝E，∴CD⊥平面BEF，又CD?平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.【題后反思】證明面面垂直的兩種方法【變式訓(xùn)練】(1)求證：平面MOC⊥平面VAB；(2)求三棱錐B-VAC的高.圖6-5-4(1)證明：∵AC＝BC，O為AB的中點(diǎn)，∴OC⊥AB.∵平面VAB⊥平面ABC，平面VAB∩平面ABC＝AB，OC?平面ABC，∴OC⊥平面VAB.∵OC?平面MOC,∴平面MOC⊥平面VAB.

考點(diǎn)三垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用

[例3]如圖6-5-5，AB是⊙O

的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上不同于A，B的一動(dòng)點(diǎn). (1)證明：△PBC是直角三角形； (2)若PA＝AB＝2，且當(dāng)直線PC與平面ABC所成角的正切值為

時(shí)，求直線AB與平面PBC所成角的正弦值.圖6-5-5(1)證明：∵AB

是⊙O的直徑，C是圓周上不同于A，B的一動(dòng)點(diǎn).∴BC⊥AC， ∵PA⊥平面ABC， ∴BC⊥PA.又PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC，∴△BPC是直角三角形.(2)解：如圖

6-5-6，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥PC于點(diǎn)H，圖6-5-6∵BC⊥平面PAC，∴BC⊥AH.又PC∩BC＝C，PC，BC?平面PBC，∴AH⊥平面PBC，∴∠ABH是直線AB與平面PBC所成的角.∵PA⊥平面ABC，∴∠PCA就是PC與平面ABC所成的角.【題后反思】(1)證明垂直關(guān)系時(shí)，要充分利用定義、判定和性質(zhì)實(shí)現(xiàn)線線垂直、線面垂直、面面垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化.(2)線面角的計(jì)算，首先要利用定義和題目中的線面垂直作出所求角，然后在一個(gè)直角三角形中求解.

【變式訓(xùn)練】

在四棱錐P-ABCD中，△PAD是等邊三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，AD＝2AB＝2BC，∠BAD＝∠ABC＝90°. (1)在AD上是否存在一點(diǎn)M，使得平面PCM⊥平面ABCD，若存在，請(qǐng)證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)若△PCD的面積為8，求四棱錐P-ABCD的體積.解：(1)當(dāng)M為AD的中點(diǎn)時(shí)，使得平面PCM⊥平面ABCD.證明如下：如圖D50，連接CM，PM，圖D50由△PAD是等邊三角形，可得PM⊥AD，而平面PAD⊥平面ABCD，PM?平面PAD，AD為平面PAD和平面ABCD的交線，可得PM⊥平面ABCD，又因?yàn)镻M?平面PCM，可得平面PCM⊥平面ABCD.

考點(diǎn)四平行關(guān)系與垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用

[例4]如圖6-5-7，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F(xiàn)分別為AD，PB的中點(diǎn).求證： (1)PE⊥BC； (2)平面PAB⊥平面PCD；(3)EF∥平面PCD.圖6-5-7證明：(1)因?yàn)镻A＝PD，E為AD的中點(diǎn)，所以PE⊥AD.因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，所以BC∥AD.所以PE⊥BC.(2)因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，所以AB⊥AD.因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB?平面ABCD，所以AB⊥平面PAD.又PD?平面PAD，所以AB⊥PD.又因?yàn)镻A⊥PD，AB?平面PAB，PA?平面PAB，且PA∩AB＝A，所以PD⊥平面PAB.又PD?平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.(3)如圖6-5-8，取PC中點(diǎn)G，連接FG，DG.圖6-5-8因?yàn)镕，G分別為PB，PC的中點(diǎn)，因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，且E為AD的中點(diǎn)，所以DE∥FG，DE＝FG.所以四邊形DEFG為平行四邊形.所以EF∥DG.又因?yàn)镋F

平面PCD，DG?平面PCD，所以EF∥平面PCD.【題后反思】

求解垂直與平行的綜合問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意平行、垂直的性質(zhì)及判定的綜合應(yīng)用.如果有面面垂直的條件時(shí)，一般要用其性質(zhì)定理，即在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.【變式訓(xùn)練】1.如圖6-5-9，在底面為菱形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥AD，PA⊥CD，E為側(cè)棱PC上一點(diǎn).(1)若BE⊥PC，求證：PC⊥平面BDE；(2)若PA∥平面BDE，求平面BDE把四棱錐P-ABCD分成兩部分的體積之比.圖6-5-9(1)證明：如圖

D51，連接AC，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以AC⊥BD.因?yàn)镻A⊥AD，PA⊥CD，且AD∩CD＝D，所以PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD.又因?yàn)镻A∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，圖D51所以BD⊥PC.又因?yàn)锽E⊥PC，BD∩BE＝B，所以PC⊥平面BDE.(2)解：設(shè)

AC∩BD＝O，如圖D51，連接OE，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以AO＝OC.

因?yàn)镻A∥平面BDE，平面PAC∩平面BDE＝OE，

所以平面BDE把四棱錐P-ABCD分成兩部分的體積比為1∶3(或3∶1).2.如圖6-5-10，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面A1B1C1，D是AB中點(diǎn).(1)證明：AC1∥平面B1CD；(2)若∠ACB＝90°，AA1＝BC，證明：平面A1C1B⊥