2025屆高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第六章 第二講 空間幾何體的表面積與體積配套課件

第二講空間幾何體的表面積與體積2025年高考一輪總復(fù)習(xí)第六章

立體幾何項(xiàng)目圓柱圓錐圓臺(tái)側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S側(cè)＝2πrlS側(cè)＝πrlS側(cè)＝π(r1＋r2)l1.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝Sh錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下球S＝4πR22.柱體、錐體、臺(tái)體、球的表面積和體積公式【名師點(diǎn)睛】(1)與體積有關(guān)的幾個(gè)結(jié)論①一個(gè)組合體的體積等于它的各部分體積的和或差.②底面面積及高都相等的兩個(gè)同類幾何體的體積相等.(2)幾個(gè)與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論①正方體的棱長為a，球的半徑為R：a.若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R＝a；b.若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R＝a；c.若球與正方體的各棱相切，則2R＝

a.

考點(diǎn)一幾何體的表面積

[例1](1)(2023年泉州市模擬)已知圓錐SO的母線長為2，AB是圓O的直徑，點(diǎn)M是SA的中點(diǎn).若側(cè)面展開圖中，△ABM為直角三角形，則該圓錐的側(cè)面積為()A.π3

2πB. 3C.4π 3

8πD. 3解析：如圖6-2-1所示，因?yàn)镾B＝SA，且△ABM為直角三角形，所以SA⊥BM.圖6-2-1又因?yàn)镸為SA的中點(diǎn)，所以SB＝AB，答案：C

(2)(2024年北京市模擬)已知某圓臺(tái)的側(cè)面展開圖是一個(gè)圓環(huán)被圓心角為90°的扇形所截得的扇環(huán)，且圓臺(tái)的側(cè)面積為2π，則該圓臺(tái)體積的取值范圍是_______________.

解析：圓臺(tái)及側(cè)面展開圖如圖6-2-2所示.圖6-2-2

設(shè)圓臺(tái)上底面為圓O1，半徑為R1；下底面為圓O2，半徑為R2；圓臺(tái)母線為l，AB＝l1.

由圓臺(tái)的側(cè)面積為2π，可得(πR2＋πR1)·l＝2π，

由側(cè)面展開是圓心角為90°的扇形所截得的扇環(huán)，【題后反思】(1)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和.(2)旋轉(zhuǎn)體的表面積是將其展開后，展開圖的面積與底面面積之和.(3)求組合體的表面積時(shí)應(yīng)注意對(duì)銜接部分的處理.【變式訓(xùn)練】1.(2023年宜賓市期末)在△ABC中，AB＝BC＝AC＝2，將△ABC繞直線AB旋轉(zhuǎn)一周，得到的旋轉(zhuǎn)體的表面積為()

解析：在△ABC中，AB＝BC＝AC＝2，將△ABC繞直線AB旋轉(zhuǎn)一周，得到的旋轉(zhuǎn)體是兩個(gè)圓錐體的組合體，如圖D30所示.答案：B圖D302.(2022年南京市質(zhì)檢)如圖6-2-3所示，在四邊形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2

，AD＝2，則四邊形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積為________.

圖6-2-3

解析：由題意可得，四邊形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體為圓臺(tái)上面挖去一個(gè)圓錐的組合體.如圖D31，過點(diǎn)C作CE⊥AD交AD的延長線于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作AB的垂線，垂足為點(diǎn)F.圖D31則∠EDC＝180°－∠ADC＝45°，EC＝CD·sin45°＝2，ED＝CD·cos45°＝2，CF＝AE＝4，BF＝AB－AF＝3，

3.(2024年新疆維吾爾自治區(qū)一模)已知一個(gè)圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為4和8，且它的側(cè)面展開圖扇環(huán)的面積為60π，則這個(gè)圓臺(tái)的體積為____________.

解析：根據(jù)題意，設(shè)該圓臺(tái)的母線長為l，其側(cè)面展開圖扇環(huán)的面積為60π，則有S＝π(8＋4)l＝60π，解得l＝5.其軸截面如圖D32所示，分別過點(diǎn)D，C作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn).圖D32梯形ABCD為等腰梯形，且AB＝16，CD＝8.易得四邊形CDEF為矩形，則EF＝CD＝8，答案：112π

考點(diǎn)二幾何體的體積考向1多面體的體積通性通法：求幾何體體積的常用方法

[例2](1)(2023年濰坊市期末)已知直四棱柱的高為1，其底面四邊形ABCD水平放置的斜二測(cè)直觀圖為平行四邊形A′B′C′D′，∠D′A′B′＝45°，A′B′＝2A′D′＝2，則該直四棱柱的體積為()

解析：∵四邊形ABCD水平放置的斜二測(cè)直觀圖為平行四邊形A′B′C′D′，∠D′A′B′＝45°，A′B′＝2A′D′＝2，∴原四邊形ABCD是邊長為2的正方形.又直四棱柱的高為1，∴該直四棱柱的體積為V＝22×1＝4.故選D.答案：D圖6-2-4A.74B.73

7C. 2D.7答案：C考向2旋轉(zhuǎn)體的體積

通性通法：求圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積的關(guān)鍵是求其底面面積和高，其中高一般利用幾何體的軸截面求得，一般是由母線、高、半徑組成的直角三角形中列出方程并求解.

[例3]如圖6-2-5，龍洗是中國古代的盥洗用具，狀貌像鼎，用青銅鑄造，因盆內(nèi)有龍紋而稱之為龍洗.龍洗盆體可以近似看作一個(gè)圓臺(tái)，現(xiàn)有一龍洗盆高12cm，盆口直徑24cm，盆底直徑12cm.)現(xiàn)往盆內(nèi)注水，當(dāng)水深為4cm時(shí)，盆內(nèi)水的體積為(圖6-2-5

解析：如圖6-2-6所示，畫出圓臺(tái)的直觀圖和軸截面的平面圖形.在軸截面上作經(jīng)過點(diǎn)F且與EF垂直的直線，分別交AB與CD的延長線于點(diǎn)G和點(diǎn)H.圖6-2-6由題意知AB＝12，CD＝6，AC＝12，EC＝4.設(shè)EF＝x，則DH＝x－6，BG＝12－x.因?yàn)椤鱀HF∽△BGF，因?yàn)镚F＝AE＝8，HF＝CE＝4，答案：B

【考法全練】

1.(考向2)(2023年江門市開學(xué))如圖6-2-7，某青銅器的上半部分可以近似看作圓柱，下半部分可以近似看作兩個(gè)圓臺(tái)的組合體.已知AB＝9cm，CD＝3cm，則該青銅器的體積為()圖6-2-7解析：設(shè)上部圓柱的體積為V1，則答案：A圖6-2-8答案：5030考點(diǎn)三組合體的表面積與體積

[例4]如圖6-2-9，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD內(nèi)過點(diǎn)C作l⊥CB，以l為軸旋轉(zhuǎn)一周，求旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積.圖6-2-9

解：如圖6-2-9，在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，

由于以l為軸將梯形ABCD旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體為圓柱中挖去一個(gè)倒放的與圓柱等高的圓錐.由上述計(jì)算知，圓柱的高為圓錐的側(cè)面積為S2＝π·a·2a＝2πa2，圓柱的底面積為S3＝π(2a)2＝4πa2，圓錐的底面積為S4＝πa2，【題后反思】處理體積問題的思路

(1)“轉(zhuǎn)”：指的是轉(zhuǎn)換棱錐的底面與高，將原來不易求面積的底面轉(zhuǎn)換為易求面積的底面，將原來不易看出的高轉(zhuǎn)換為易求長度的高.

(2)“移”：指的是當(dāng)棱錐的頂點(diǎn)沿著與底面平行的方向移動(dòng)時(shí)，棱錐的高不變，體積也不變，移動(dòng)頂點(diǎn)后可用“轉(zhuǎn)”的方法求棱錐體積.(3)“拆”：指的是將一個(gè)不規(guī)則的幾何體拆成幾個(gè)簡單的幾何體，便于計(jì)算.

(4)“拼”：指的是將小幾何體嵌入一個(gè)大幾何