第06講等腰三角形的性質(zhì)與判定（3種題型）

第06講等腰三角形的性質(zhì)與判定（3種題型）了解等腰三角形的有關(guān)概念，探索并掌握性質(zhì)及判定方法。一．等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質(zhì)①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個(gè)底角相等．【簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個(gè)元素中，從中任意取出兩個(gè)元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個(gè)元素為結(jié)論．二．等腰三角形的判定判定定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等．【簡(jiǎn)稱：等角對(duì)等邊】說(shuō)明：①等腰三角形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，它的定義既作為性質(zhì)，又可作為判定辦法．②等腰三角形的判定和性質(zhì)互逆；③在判定定理的證明中，可以作未來(lái)底邊的高線也可以作未來(lái)頂角的角平分線，但不能作未來(lái)底邊的中線；④判定定理在同一個(gè)三角形中才能適用．三．等腰三角形的判定與性質(zhì)1、等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有關(guān)問(wèn)題中，會(huì)遇到一些添加輔助線的問(wèn)題，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線是常見的輔助線，雖然“三線合一”，但添加輔助線時(shí)，有時(shí)作哪條線都可以，有時(shí)不同的做法引起解決問(wèn)題的復(fù)雜程度不同，需要具體問(wèn)題具體分析．3、等腰三角形性質(zhì)問(wèn)題都可以利用三角形全等來(lái)解決，但要注意糾正不顧條件，一概依賴全等三角形的思維定勢(shì)，凡可以直接利用等腰三角形的問(wèn)題，應(yīng)當(dāng)優(yōu)先選擇簡(jiǎn)便方法來(lái)解決．一．等腰三角形的性質(zhì)（共9小題）1．（2022秋?啟東市校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠B＝∠C，BF＝CD，BD＝CE，∠FDE＝65°，則∠A的度數(shù)是（）A．45° B．70° C．65° D．50°【分析】由“SAS”證△BFD≌△CDE，得∠BFD＝∠CDE，再由三角形的外角性質(zhì)得∠B＝∠FDE＝65°＝∠C，然后由三角形內(nèi)角和定理即可求解．【解答】解：如圖，在△ABC中，∠B＝∠C，BF＝CD，，∴△BDF≌△CED（SAS），∴∠BFD＝∠CDE，∵∠FDE+∠EDC＝∠B+∠BFD，∴∠B＝∠FDE＝65°，∴∠C＝∠B＝65°，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣65°﹣65°＝50°，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理以及三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)，證明△BFD≌△CDE是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋?高新區(qū)校級(jí)月考）一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為2cm，4cm，則它的周長(zhǎng)是（）A．8cm B．8cm或10cm C．10cm D．6cm或8cm【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，本題要分情況討論．當(dāng)腰長(zhǎng)為2cm或是腰長(zhǎng)為4cm兩種情況．【解答】解：等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為2cm和4cm，當(dāng)腰長(zhǎng)是2cm時(shí)，則三角形的三邊是2cm，2cm，4cm，2+2＝4（cm），不滿足三角形的三邊關(guān)系；當(dāng)腰長(zhǎng)是4cm時(shí)，三角形的三邊是4cm，4cm，2cm，三角形的周長(zhǎng)是10cm．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，進(jìn)行分類討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋?啟東市期末）如圖，BE是△ABC的角平分線，在AB上取點(diǎn)D，使DB＝DE．若∠A＝65°，∠AED＝45°，求∠EBC的度數(shù)．【分析】根據(jù)角平分線的定義可得∠DBE＝∠EBC，從而求出∠DEB＝∠EBC，再利用內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行證明即可；由DE∥BC可得到∠C＝∠AED＝45°，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°求出∠ABC，最后用角平分線求出∠DBE＝∠EBC，即可得解．【解答】解：∵BE是△ABC的角平分線，∴∠DBE＝∠CBE，∵DB＝DE，∴∠DBE＝∠DEB，∴∠DEB＝∠CBE，∴DE∥BC，∴∠C＝∠AED＝45°，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣65°﹣45°＝70°．∵BE是△ABC的角平分線，∴∠DBE＝∠EBC＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，準(zhǔn)確識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋?無(wú)錫期末）已知一個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為10，腰長(zhǎng)為4，則它的底邊長(zhǎng)為（）A．2 B．3 C．4 D．6【分析】由已知條件，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及周長(zhǎng)公式即可求得其底邊長(zhǎng)．【解答】解：因?yàn)榈妊切蔚闹荛L(zhǎng)為10，其腰長(zhǎng)為4，所以它的底邊長(zhǎng)為10﹣4﹣4＝2．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，本題已知比較明確，思路比較直接，屬于基礎(chǔ)題．5．（2022秋?泗陽(yáng)縣期末）如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝50°，點(diǎn)P在線段AC上且不與A、C重合，則∠BPC的度數(shù)可能是（）A．60° B．65° C．80° D．130°【分析】只要證明65°＜∠BPC＜130°即可解決問(wèn)題．【解答】解：∵AC＝BC，∠C＝50°，∴∠A＝∠ABC＝65°，∵∠BPC＝∠A+∠ABP，點(diǎn)P在線段AC上且不與A、C重合，∴65°＜∠BPC＜130°，∴只有80°適合，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．6．（2022秋?蘇州期末）已知等腰三角形底邊上的中線長(zhǎng)為5，則這個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)可能為（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)，結(jié)合直角三角形斜邊大于直角邊，判定腰長(zhǎng)要大于5，判斷即可．【解答】解：∵等腰三角形底邊上的中線長(zhǎng)為5，根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)，得到中線也是底邊上高線，∴直角三角形斜邊大于直角邊，∴腰長(zhǎng)要大于5，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握兩條性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋?亭湖區(qū)期末）等腰三角形的周長(zhǎng)為15cm，其中一邊長(zhǎng)為3cm．則該等腰三角形的腰長(zhǎng)為（）A．3cm B．6cm C．3cm或6cm D．3cm或9cm【分析】已知的邊可能是腰，也可能是底邊，應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論．【解答】解：當(dāng)腰是3cm時(shí)，則另兩邊是3cm，9cm．而3+3＜9，不滿足三邊關(guān)系定理，因而應(yīng)舍去．當(dāng)?shù)走吺?cm時(shí)，另兩邊長(zhǎng)是6cm，6cm．則該等腰三角形的底邊為3cm．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題從邊的方面考查三角形，涉及分類討論的思想方法．8．（2022秋?金湖縣期中）已知△ABC是等腰三角形，若∠A＝50°，則△ABC的頂角度數(shù)是（）A．50° B．50°或80° C．80° D．50°或65°【分析】分∠A是頂角和底角兩種情況討論，即可解答．【解答】解：當(dāng)∠A是頂角時(shí)，△ABC的頂角度數(shù)是50°；當(dāng)∠A是底角時(shí)，則△ABC的頂角度數(shù)為180°﹣2×50°＝80°；綜上，△ABC的頂角度數(shù)是50°或80°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，此類題目，難點(diǎn)在于要分情況討論．9．（2022秋?如東縣期末）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線EF交BC于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，D為線段CE的中點(diǎn)，BE＝AC．（1）求證：AD⊥BC．（2）若∠BAC＝75°，求∠B的度數(shù)．【分析】（1）連接AE，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，可知BE＝AE＝AC，根據(jù)等腰三角形三線合一即可知AD⊥BC（2）設(shè)∠B＝x°，由（1）可知∠BAE＝∠B＝x°，然后根據(jù)三角形ABC的內(nèi)角和為180°列出方程即可求出x的值．【解答】解：（1）連接AE，∵EF垂直平分AB∴AE＝BE∵BE＝AC∴AE＝AC∵D是EC的中點(diǎn)∴AD⊥BC（2）設(shè)∠B＝x°∵AE＝BE∴∠BAE＝∠B＝x°∴由三角形的外角的性質(zhì)，∠AEC＝2x°∵AE＝AC∴∠C＝∠AEC＝2x°在三角形ABC中，3x°+75°＝180°x°＝35°∴∠B＝35°【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確理解等腰三角形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，本題屬于中等題型．二．等腰三角形的判定（共9小題）10．（2022秋?啟東市校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，∠A＝36°，∠B＝72°，CD平分∠ACB，DE∥AC，則圖中共有等腰三角形（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【分析】根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出∠ACB＝∠B＝（180°﹣∠A）＝72°，求出∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝36°，求出∠CDB＝∠A+∠ACD＝72°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠EDB＝∠A＝36°，∠DEB＝∠ACB＝72°，∠CDE＝∠ACD＝36°，推出∠A＝∠ACD＝∠BCD＝∠CDE＝36°，∠B＝∠ACD＝∠DEB＝∠CDB＝72°即可．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B，∵∠A＝36°，∴∠ACB＝∠B＝（180°﹣∠A）＝72°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝36°，∴∠CDB＝∠A+∠ACD＝72°，∵DE∥AC，∴∠EDB＝∠A＝36°，∠DEB＝∠ACB＝72°，∠CDE＝∠ACD＝36°，∴∠A＝∠ACD＝∠BCD＝∠CDE＝36°，∠B＝∠ACD＝∠DEB＝∠CDB＝72°，∴△ACB、△ACD、△CDB、△CDE、△DEB都是等腰三角形，共5個(gè)，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線性質(zhì)、平行線性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，三角形外角性質(zhì)，以及等角對(duì)等邊的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，題目比較好，難度適中．11．（2023?東?？h三模）在△ABC中，∠A＝80°，當(dāng)∠B＝80°、50°、20°時(shí)，△ABC是等腰三角形．【分析】此題要分三種情況進(jìn)行討論①∠B、∠A為底角；②∠A為頂角，∠B為底角；③∠B為頂角，∠A為底角．【解答】解：∵∠A＝80°，∴①當(dāng)∠B＝80°時(shí)，△ABC是等腰三角形；②當(dāng)∠B＝（180°﹣80°）÷2＝50°時(shí)，△ABC是等腰三角形；③當(dāng)∠B＝180°﹣80°×2＝20°時(shí)，△ABC是等腰三角形；故答案為：80°、50°、20°．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了等腰三角形的判定，關(guān)鍵是掌握等角對(duì)等邊，注意考慮全面，不要漏解．12．（2022秋?姜堰區(qū)期中）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，點(diǎn)A、B均在格點(diǎn)上，在圖中給出的C1、C2、C3、C4四個(gè)格點(diǎn)中，能與點(diǎn)A、B構(gòu)成等腰三角形，且面積為2的是（）A．C1 B．C2 C．C3 D．C4【分析】先判斷等腰三角形，然后計(jì)算等腰三角形的面積，進(jìn)而作出判斷．【解答】解：根據(jù)圖形可知△ABC2，△ABC3是等腰三角形，則S＝2，S＝2×3﹣1×2﹣＝．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和三角形的面積是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．13．（2022秋?鼓樓區(qū)期末）如圖，在3×3正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B在格點(diǎn)上，若點(diǎn)C也在格點(diǎn)上，且△ABC是等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】分別畫出以A點(diǎn)和B點(diǎn)為頂點(diǎn)的等腰三角形，再畫出C為頂點(diǎn)的等腰三角形即可．【解答】解：以AB為腰的等腰三角形有兩個(gè)，以AB為底的等腰三角形有一個(gè)，如圖：所以符合條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為3個(gè)，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等．等腰三角形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，它的定義既作為性質(zhì)，又可作為判定辦法．掌握等腰三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．14．（2022秋?邗江區(qū)月考）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，連接BD，∠DBC＝60°，BD＝4，則AD長(zhǎng)是（）A．4 B．5 C．6 D．8【分析】根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得∠BDC＝30°，然后利用三角形外角的性質(zhì)可得∠ABD＝15°，從而可得∠A＝∠ABD＝15°，即可解答．【解答】解：∵∠C＝90°，∠DBC＝60°，∴∠BDC＝90°﹣∠DBC＝30°，∵∠A＝15°，∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝15°，∴∠A＝∠ABD＝15°，∴AD＝BD＝4，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定，熟練掌握等腰三角形的判定是解題的關(guān)鍵．15．（2022秋?廣陵區(qū)校級(jí)期末）用一條長(zhǎng)為21cm的鐵絲圍成一個(gè)等腰三角形．（1）如果腰長(zhǎng)是底邊長(zhǎng)的3倍，那么各邊的長(zhǎng)是多少？（2）能圍成有一邊的長(zhǎng)是5cm的等腰三角形嗎？【分析】（1）設(shè)底邊長(zhǎng)為xcm，表示出腰長(zhǎng)，然后根據(jù)周長(zhǎng)列出方程求解即可；（2）分5是底邊和腰長(zhǎng)兩種情況討論求解．【解答】解：（1）設(shè)底邊長(zhǎng)為xcm，則腰長(zhǎng)為3xcm，根據(jù)題意得：x+3x+3x＝21，解得：x＝3，則3x＝3×3＝9，∴三角形的三邊長(zhǎng)分別為3cm、9cm、9cm．（2）能，理由如下：①若底邊長(zhǎng)為5cm時(shí)，腰長(zhǎng)＝三角形的三邊分別為5cm、8cm、8cm，能圍成三角形，若5cm為腰時(shí)，底邊＝21﹣5×2＝11，三角形的三邊分別為5cm、5cm、11cm，∵5+5＝10＜11，∴不能圍成三角形，綜上所述，能圍成一個(gè)底邊是5cm，腰長(zhǎng)是8cm的等腰三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的周長(zhǎng)，難點(diǎn)在于要分情況討論并利用三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行判斷．16．（2022秋?鎮(zhèn)江月考）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中有兩個(gè)格點(diǎn)A、B，連接AB，在網(wǎng)格中再找一個(gè)格點(diǎn)C，使得△ABC是等腰三角形，滿足條件的格點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（）A．5 B．6 C．8 D．9【分析】分三種情況：當(dāng)BA＝BC時(shí)，當(dāng)AB＝AC時(shí)，當(dāng)CA＝CB時(shí)，然后進(jìn)行分析即可解答．【解答】解：如圖：分三種情況：當(dāng)BA＝BC時(shí)，以點(diǎn)B為圓心，BA長(zhǎng)為半徑作圓，點(diǎn)C1，C2，C3即為所求；當(dāng)AB＝AC時(shí)，以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑作圓，點(diǎn)C4，C5，C6，C7，C8即為所求；當(dāng)CA＝CB時(shí)，作AB的垂直平分線，與正方形網(wǎng)格的交點(diǎn)不在格點(diǎn)上，綜上所述：滿足條件的格點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是8，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定，分三種情況討論是解題的關(guān)鍵．17．（2022秋?邳州市期末）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)，已知A，B是兩格點(diǎn)，如果C也是圖中的格點(diǎn)，且使得△ABC為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】分AB是腰長(zhǎng)時(shí)，根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，找出一個(gè)小正方形與A、B頂點(diǎn)相對(duì)的頂點(diǎn)，連接即可得到等腰三角形，AB是底邊時(shí)，根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，AB垂直平分線上的格點(diǎn)都可以作為點(diǎn)C，然后相加即可得解．【解答】解：①AB為等腰△ABC底邊時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有4個(gè)；②AB為等腰△ABC其中的一條腰時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有4個(gè)．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，要注意分AB是腰長(zhǎng)與底邊兩種情況討論求解．18．（2022秋?亭湖區(qū)期末）如圖所示，∠AOB＝60°，C是BO延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，OC＝12cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿CB以3cm/s的速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)沿OA以2cm/s的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，用t（s）表示移動(dòng)的時(shí)間，當(dāng)t＝或12s時(shí)，△POQ是等腰三角形．【分析】根據(jù)等腰三角形的判定，分兩種情況：（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段OC上時(shí)；（2）當(dāng)點(diǎn)P在CO的延長(zhǎng)線上時(shí)．分別列式計(jì)算即可求．【解答】解：分兩種情況：（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段OC上時(shí)，設(shè)t時(shí)后△POQ是等腰三角形，有OP＝OC﹣CP＝OQ，即12﹣3t＝2t，解得，t＝s；（2）當(dāng)點(diǎn)P在CO的延長(zhǎng)線上時(shí)，此時(shí)經(jīng)過(guò)CO時(shí)的時(shí)間已用5s，當(dāng)△POQ是等腰三角形時(shí)，∵∠POQ＝60°，∴△POQ是等邊三角形，∴OP＝OQ，即3t﹣12＝2t，解得，t＝12s故答案為或12．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定；解題時(shí)把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程求解，是常用的方法，注意要分類討論，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)O的左側(cè)還是在右側(cè)是解答本題的關(guān)鍵．三．等腰三角形的判定與性質(zhì)（共9小題）19．（2022秋?大豐區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)F，過(guò)F作DE∥BC，交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E．若BD＝4，DE＝7，則線段EC的長(zhǎng)為（）A．3 B．4 C．3.5 D．2【分析】根據(jù)△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)F．判斷出∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠BCF，再利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，判斷出∠DFB＝∠DBF，∠CFE＝∠BCF，即BD＝DF，F(xiàn)E＝CE，然后利用等量代換即可求出線段CE的長(zhǎng)．【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)F，∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠BCF，∵DF∥BC，交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E．∴∠DFB＝∠DBF，∠CFE＝∠BCF，∴BD＝DF＝4，F(xiàn)E＝CE，∴CE＝DE﹣DF＝7﹣4＝3．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查學(xué)生對(duì)等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線段性質(zhì)的理解和掌握，關(guān)鍵利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等．20．（2022秋?銅山區(qū)期中）如圖，△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作DE∥BC交AB于點(diǎn)．D，交AC于點(diǎn)E，那么下列結(jié)論：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③BC＝BD+CE；④△ADE的周長(zhǎng)＝AB+AC；⑤BF＝CF．其中正確的有（）A．①②③ B．①②④ C．①②④⑤ D．②④⑤【分析】由平行線得到角相等，由角平分線得角相等，根據(jù)平行線的性質(zhì)及等腰三角形的判定和性質(zhì)．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠DFB＝∠FBC，∠EFC＝∠FCB，∵BF是∠ABC的平分線，CF是∠ACB的平分線，∴∠FBC＝∠DFB，∠FCE＝∠FCB，∵∠DBF＝∠DFB，∠EFC＝∠ECF，∴△DFB，△FEC都是等腰三角形．∴DF＝DB，F(xiàn)E＝EC，即有DE＝DF+FE＝DB+EC，∴△ADE的周長(zhǎng)AD+AE+DE＝AD+AE+DB+EC＝AB+AC，①②④正確，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)；題目利用了兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，及等角對(duì)等邊來(lái)判定等腰三角形的；等量代換的利用是解答本題的關(guān)鍵．21．（2022秋?沭陽(yáng)縣期末）如圖，已知△ABC中，AB＝6，AC＝8，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作BC的平行線，分別交AB，AC于E，F(xiàn)，則△AEF的周長(zhǎng)是14．【分析】根據(jù)角平分線與平行這兩個(gè)條件可證明等腰三角形，即可解答．【解答】解：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠ABD＝∠DBC，∠ACD＝∠DCB，∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，∴∠ABD＝∠EDB，∠ACD＝∠FDC，∴EB＝ED，F(xiàn)D＝FC，∵AB＝6，AC＝8，∴△AEF的周長(zhǎng)＝AE+EF+AF＝AE+ED+DF+AF＝AE+EB+AF+FC＝AB+AC＝14，∴△AEF的周長(zhǎng)為：14，故答案為：14．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握根據(jù)角平分線與平行這兩個(gè)條件可證明等腰三角形是解題的關(guān)鍵．22．（2022秋?江都區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作DE∥BC，分別交AB、AC于點(diǎn)D、E．若DE＝7，EC＝3，則DB＝4．【分析】根據(jù)角平分線的定義及平行線的性質(zhì)即可證明OD＝DB．【解答】解：∵BO平分∠ABC，OC平分∠ACB，∴∠DBO＝∠CBO，∠ECO＝∠BCO，∵DE∥BC，∴∠CBO＝∠DOB，∠EOC＝∠OCB，∴∠DBO＝∠DOB，∠EOC＝∠ECO，∴BD＝DO，OE＝CE＝3，∴BD＝DO＝DE﹣CE＝4，故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)：等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的重要手段．也考查了平行線的性質(zhì)．23．（2022秋?江都區(qū)校級(jí)月考）如圖所示，三角形ABC的面積為1cm2．AP垂直∠B的平分線BP于點(diǎn)P．則三角形PBC的面積是cm2．【分析】延長(zhǎng)AP交BC于點(diǎn)E，由角平分線的定義可知∠ABP＝∠EBP，結(jié)合BP＝BP以及∠APB＝∠EPB＝90°即可證出△ABP≌△EBP（ASA），進(jìn)而可得出AP＝EP，根據(jù)三角形的面積即可得出S△APC＝SEPC，再根據(jù)S△PBC＝S△BPE+SEPC＝S△ABC即可得出結(jié)論．【解答】解：延長(zhǎng)AP交BC于點(diǎn)E，如圖所示．∵AP垂直∠B的平分線BP于點(diǎn)P，∴∠ABP＝∠EBP．在△ABP和△EBP中，，∴△ABP≌△EBP（ASA），∴AP＝EP．∵△APC和△EPC等底同高，∴S△APC＝S△EPC，∴S△PBC＝S△BPE+S△EPC＝S△ABC＝cm2．故答案為：cm2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的定義以及三角形的面積，根據(jù)三角形間的關(guān)系找出S△PBC＝S△ABC是解題的關(guān)鍵．24．（2022秋?江都區(qū)月考）如圖，已知S△ABC＝24m2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于點(diǎn)D，則S△ADC12m2．【分析】延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E，則可知△ABE為等腰三角形，則S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE，可得出S△ADC＝S△ABC．【解答】解：如圖，延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E，∵AD平分∠BAE，AD⊥BD，∴∠BAD＝∠EAD，∠ADB＝∠ADE，在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED（ASA），∴BD＝DE，∴S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE，∴S△ABD+S△BDC＝S△ADE+S△CDE＝S△ADC，∴S△ADC＝S△ABC＝×24＝12（m2），故答案為：12；【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，由BD＝DE得到S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE是解題的關(guān)鍵．25．（2022秋?崇川區(qū)期中）如圖，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分線分別交ED于點(diǎn)G、F，若FG＝4，ED＝8，求EB+DC＝12．【分析】根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可證△EBG和△DFC是等腰三角形，從而可得EB＝EG，DF＝DC，進(jìn)而可得EB+DC＝ED+FG，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵ED∥BC，∴∠EGB＝∠GBC，∠DFC＝∠FCB，∵BG平分∠ABC，CF平分∠ACB，∴∠ABG＝∠CBG，∠ACF＝∠FCB，∴∠EBG＝∠EGB，∠DFC＝∠ACF，∴EB＝EG，DF＝DC，∵FG＝4，ED＝8，∴EB+DC＝EG+DF＝ED+FG＝12，故答案為：12．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可證等腰三角形是解題的關(guān)鍵．26．（2022秋?海安市期末）如圖，在△ABC中，∠A＝80°，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，過(guò)點(diǎn)O作BC的平行線與AB，AC分別相交于點(diǎn)M，N．若AB＝5，AC＝7．（1）求∠BOC的度數(shù)；（2）求∠AMN的周長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°及角平分線的定義即可得出答案；（2）根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可得△MBO和△CNO都是等腰三角形，從而可得MB＝MO，NO＝NC，進(jìn)而可得C△AMN＝AB+AC，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（1）∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣∠A，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝×（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+∠A＝90°+40°＝130°；（2）∵BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠CBO，∵M(jìn)N∥BC，∴∠MOB＝∠CBO，∴∠ABO＝∠MOB，∴MO＝BM，同理可得，NO＝NC，∴AM+MN+AN＝AM+MO+ON+AN＝AM+BM+AN+NC＝AB+AC，∵AB＝5，AC＝7，∴AB+AC＝12，∴△AMN的周長(zhǎng)＝AB+AC＝12．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．27．（2022秋?姑蘇區(qū)校級(jí)期中）如圖，點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)角∠ABC和外角∠ACF的兩條角平分線的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作MN∥BC，交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，若BM﹣CN＝6，則線段MN的長(zhǎng)度為6．【分析】根據(jù)角平分線的定義得到∠MBE＝∠CBE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠MEB＝∠CBE，等量代換得到∠MBE＝∠MEB，求得BM＝EM，同理，CN＝EN，于是得到結(jié)論．【解答】解：∵BE平分∠ABC，∴∠MBE＝∠CBE，∵M(jìn)N∥BC，∴∠MEB＝∠CBE，∴∠MBE＝∠MEB，∴BM＝EM，同理，CN＝EN，∵BM﹣CN＝9，∴MN＝ME﹣EN＝BM﹣CN＝6，故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．一．選擇題（共5小題）1．（2022秋?灌南縣期中）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝36°，D，E是BC上的兩點(diǎn)，且∠BAD＝∠DAE＝∠EAC，則圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】由已知條件，根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180、角的平分線的性質(zhì)求得各個(gè)角的度數(shù)，然后利用等腰三角形的判定進(jìn)行找尋，注意做到由易到難，不重不漏．【解答】解：AB＝AC，∠ABC＝36°，∴∠BAC＝108°，∴∠BAD＝∠DAE＝∠EAC＝36°，∴等腰三角形△ABC，△ABD，△ADE，△ACE，△ACD，△ABE，共有6個(gè)，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定、角的平分線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；由已知條件利用相關(guān)的性質(zhì)求得各個(gè)角的度數(shù)是正確解答本題的關(guān)鍵，難度適中．2．（2022秋?溧水區(qū)期中）已知一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是2cm，4cm，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是（）A．6cm B．8cm C．10cm D．8cm或10cm【分析】根據(jù)在三角形中任意兩邊之和大于第三邊，所以這個(gè)等腰三角形的兩條腰長(zhǎng)應(yīng)該是8厘米，由此把三條邊加起來(lái)即可．【解答】解：∵2+2＝4（cm），4cm＝4cm，不符合三角形三邊條件，∴這等腰三角形的兩條腰長(zhǎng)是4cm，∵4+4+2＝10（cm），∴這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是10cm．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握三角形的三邊關(guān)系，是解答此題的關(guān)鍵．3．（2023春?洪澤區(qū)期中）等腰三角形有兩條邊的長(zhǎng)分別為3和4，則該三角形的周長(zhǎng)為（）A．10 B．10或11 C．11 D．7或11【分析】等腰三角形兩邊的長(zhǎng)為3和4，具體哪條是底邊，哪條是腰沒有明確說(shuō)明，因此要分兩種情況討論．【解答】解：①當(dāng)腰是3，底邊是4時(shí)，3+3＞4，能構(gòu)成三角形，則其周長(zhǎng)＝3+3+4＝10；②當(dāng)?shù)走吺?，腰長(zhǎng)是4時(shí)，3+4＞4，能構(gòu)成三角形，則其周長(zhǎng)＝3+4+4＝11．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋?淮安區(qū)期中）如圖，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN∥BC，AB＝15，AC＝18，則△AMN的周長(zhǎng)為（）A．15 B．18 C．30 D．33【分析】根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可得△MBO和△NCO是等腰三角形，從而可得MB＝MO，NO＝NC，然后利用等量代換可得△AMN的周長(zhǎng)＝AB+AC，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB，∵M(jìn)N∥BC，∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，∴∠ABO＝∠MOB，∠ACO＝∠NOC，∴MB＝MO，NO＝NC，∵AB＝15，AC＝18，∴△AMN的周長(zhǎng)＝AM+MN+AN＝AM+MO+NO+AN＝AM+MB+NC+AN＝AB+AC＝33，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可證等腰三角形是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋?泗陽(yáng)縣期中）如圖是蹺蹺板的示意圖，支柱OC與地面垂直，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，AB繞著點(diǎn)O上下轉(zhuǎn)當(dāng)A端落地時(shí)，∠OAC＝25°，蹺蹺板上下可轉(zhuǎn)動(dòng)的最大角度（即∠A'OA）是（）A．25° B．50° C．60° D．80°【分析】當(dāng)B端著地時(shí)，如圖，∠A′OA即為上下轉(zhuǎn)動(dòng)的最大角度，利用三角形外角的性質(zhì)即可解決問(wèn)題；【解答】解：當(dāng)B端著地時(shí)，如圖，∠A′OA即為上下轉(zhuǎn)動(dòng)的最大角度，∵O是AB的中點(diǎn)，∴OA＝OB∵OA＝OB′，∴∠A＝∠B′＝25°∴∠A′OA＝∠A+∠B′＝50°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)以及鄰補(bǔ)角的定義等知識(shí)．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．二．填空題（共5小題）6．（2022秋?大豐區(qū)期中）如圖，直線a，b交于點(diǎn)O，∠α＝40°，點(diǎn)A是直線a上的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)B在直線b上運(yùn)動(dòng)，且始終位于直線a的上方，若以點(diǎn)O，A，B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則∠OAB＝40或70或100°．【分析】根據(jù)△OAB為等腰三角形，分三種情況討論：①當(dāng)OB＝AB時(shí)，②當(dāng)OA＝AB時(shí)，③當(dāng)OA＝OB時(shí)，分別求得符合的點(diǎn)B，即可得解．【解答】解：要使△OAB為等腰三角形分三種情況討論：①當(dāng)OB1＝AB1時(shí)，∠OAB＝∠1＝40°；②當(dāng)OA＝AB2時(shí)，∠OAB＝180°﹣2×40°＝100°；③當(dāng)OA＝OB3時(shí)，∠OAB＝∠OBA＝×（180°﹣40°）＝70°；綜上所述，∠OAB的度數(shù)是40°或70°或100°，故答案為：40或70或100．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定，熟練掌握等腰三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋?姑蘇區(qū)期中）在△ABC中，∠A＝70°，當(dāng)∠B＝55°、70°、40°時(shí)，△ABC為等腰三角形．【分析】運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想，借助三角形的內(nèi)角和定理求出∠B的值，即可解決問(wèn)題．【解答】解：若∠A為頂角，且∠A＝70°，則∠B＝∠C＝＝55°；若∠A為底角，且∠B為底角，則∠B＝∠A＝70°；若∠A為底角，且∠B為頂角，則∠A＝∠C＝70°，∠B＝180°﹣140°＝40°，故答案為55°、70°、40°．【點(diǎn)評(píng)】該題主要考查了等腰三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題；解題的關(guān)鍵是運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想，借助三角形的內(nèi)角和定理來(lái)逐一判斷、解析．8．（2022秋?沭陽(yáng)縣期中）如圖，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN∥BC，AB＝5，AC＝7，則△AMN的周長(zhǎng)為12．【分析】利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可證△MBO和△NCO是等腰三角形，從而可得MO＝MB，NO＝NC，然后根據(jù)等量代換可得△AMN的周長(zhǎng)＝AB+AC，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB，∵M(jìn)N∥BC，∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，∴∠ABO＝∠MOB，∠ACO＝∠NOC，∴MO＝MB，NO＝NC，∵AB＝5，AC＝7，∴△AMN的周長(zhǎng)＝AM+MN+AN＝AM+MO+ON+AN＝AM+MB+NC+AN＝AB+AC＝5+7＝12，故答案為：12．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可證等腰三角形是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）如圖，線段AB的長(zhǎng)度為2，AB所在直線上方存在點(diǎn)C，使得△ABC為等腰三角形，設(shè)△ABC的面積為S．當(dāng)S＝或2時(shí)，滿足條件的點(diǎn)C恰有三個(gè)．【分析】分別以A，B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑作圓，兩圓相交于點(diǎn)C1，過(guò)點(diǎn)C1作直線l∥AB，分別交兩圓于點(diǎn)C2，C3；分別以A，B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑作圓，在兩圓上方作直線l∥AB，與兩圓分別相切于點(diǎn)C2，C3，再根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可．【解答】解：（1）如圖所示：分別以A，B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑作圓，兩圓相交于點(diǎn)C1，過(guò)點(diǎn)C1作直線l∥AB，分別交兩圓于點(diǎn)C2，C3，此時(shí)滿足條件的點(diǎn)C恰好有3個(gè)，△ABC1為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，其高為∴S＝×2×＝（2）如圖所示：分別以A，B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑作圓，在兩圓上方作直線l∥AB，與兩圓分別相切于點(diǎn)C2，C3，點(diǎn)C1為l與線段AB的垂直平分線的交點(diǎn)，此時(shí)滿足條件的點(diǎn)C恰好有3個(gè)，△ABC2和△ABC3均為腰長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，△ABC1為底邊為2，高為2的等腰三角形∴S＝×2×2＝2故答案為：或2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定，構(gòu)造圓，結(jié)合圓的切線性質(zhì)及平行線的性質(zhì)分類討論，是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋?泗洪縣期中）如圖，已知直線OM垂直于直線ON，點(diǎn)A在直線OM上，且∠OAB＝30°，點(diǎn)B在直線ON上，在直線OM或直線ON上找一點(diǎn)C（與A、B不重合），使△ABC成為一個(gè)等腰三角形，這樣的點(diǎn)C能找到6個(gè)．【分析】分兩種情況討論，當(dāng)AB是底邊時(shí)，當(dāng)AB是腰時(shí)，即可求解．【解答】解：（1）當(dāng)AB是底邊時(shí)，作AB的垂直平分線，分別與AO，線段BO的延長(zhǎng)線相交，共兩個(gè)交點(diǎn)，都符合題意；（2）當(dāng)AB是腰時(shí)①以A圓心AB長(zhǎng)為半徑畫圓交直線OM于兩點(diǎn)，交線段BO延長(zhǎng)線于一點(diǎn)（該點(diǎn)與前面的點(diǎn)重合），有兩個(gè)交點(diǎn)符合題意；②以B圓心AB長(zhǎng)為半徑畫圓交直線ON于兩點(diǎn)（有一個(gè)點(diǎn)與前面的點(diǎn)重合），交線段AO延長(zhǎng)線于一點(diǎn)，有兩個(gè)交點(diǎn)符合題意，因此這樣的點(diǎn)C能找到6個(gè)，使△ABC成為等腰三角形．故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形，關(guān)鍵是分兩種情況討論，并注意有重合的點(diǎn)．三．解答題（共3小題）11．（2022秋?邗江區(qū)期中）如圖：E在△ABC的AC邊的延長(zhǎng)線上，D點(diǎn)在AB邊上，DE交BC于點(diǎn)F，DF＝EF，BD＝CE，過(guò)D作DG∥AC交BC于G．求證：△ABC是等腰三角形．【分析】首先根據(jù)題意證明出△GDF≌△CEF（ASA），然后得到DG＝CE，結(jié)合得到∠ABC＝∠ACB，即可證明出△ABC是等腰三角形．【解答】證明：∵DG∥AC∴∠GDF＝∠CEF（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），在△GDF和△CEF中，，∴△GDF≌△CEF（ASA）；∴DG＝CE，又∵BD＝CE，∴DG＝BD，∴∠DBG＝∠DGB，∵DG∥AC，∴∠DGB＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ACB，∴△ABC是等腰三角形．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．12．（2022秋?東海縣期中）用一條長(zhǎng)為16cm的細(xì)繩圍成一個(gè)等腰三角形．（1）如果腰長(zhǎng)是底邊長(zhǎng)的2倍，那么底邊長(zhǎng)為3.2cm；（2）能圍成腰長(zhǎng)是4cm的等腰三角形嗎？為什么？【分析】（1）設(shè)底邊長(zhǎng)為xcm，則腰長(zhǎng)為2xcm，根據(jù)周長(zhǎng)公式列一元一次方程，解方程即可求得各邊的長(zhǎng)；（2）題中沒有指明4cm所在邊是底還是腰，故應(yīng)該分情況進(jìn)行分析，注意利用三角形三邊關(guān)系進(jìn)行檢驗(yàn)．【解答】解：（1）設(shè)底邊長(zhǎng)為xcm，則腰長(zhǎng)為2xcm，則2x+2x+x＝16解得，x＝3.2，∴底邊長(zhǎng)為：3.2cm；故答案為：3.2cm；（2）不能圍成有長(zhǎng)是4cm的等腰三角形，當(dāng)4cm為腰時(shí)，底邊＝8cm，因?yàn)?+4＝8，故不能構(gòu)成三角形，故舍去；故不能構(gòu)成腰長(zhǎng)為4cm的等腰三角形．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系的綜合運(yùn)用，熟練掌握三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．13．（2022秋?淮安區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿A→B方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿B→C→A方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒2cm，它們同時(shí)出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒．（1）BP＝（16﹣t）cm（用t的代數(shù)式表示）（2）當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，出發(fā)幾秒后，△PQB是等腰三角形？（3）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，出發(fā)11秒或12秒后，△BCQ是以BC或BQ為底邊的等腰三角形？【分析】（1）根據(jù)題意即可用t可分別表示出BP；（2）結(jié)合（1），根據(jù)題意再表示出BQ，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得到BP＝BQ，可得到關(guān)于t的方程，可求得t；（3）用t分別表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性質(zhì)可分CQ＝BC和BQ＝CQ三種情況，分別得到關(guān)于t的方程，可求得t的值．【解答】解：（1）由題意可知AP＝t，BQ＝2t，∵AB＝16cm，∴BP＝AB﹣AP＝（16﹣t）cm，故答案為：（16﹣t）cm；（2）當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動(dòng)，△PQB為等腰三角形時(shí)，則有BP＝BQ，即16﹣t＝2t，解得t＝，∴出發(fā)秒后，△PQB能形成等腰三角形；（3）①當(dāng)△BCQ是以BC為底邊的等腰三角形時(shí)：CQ＝BQ，如圖1所示，則∠C＝∠CBQ，∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．∠A+∠C＝90°，∴∠A＝∠ABQ，∴BQ＝AQ，∴CQ＝AQ＝10（cm），∴BC+CQ＝22（cm），∴t＝22÷2＝11；②當(dāng)，△BCQ是以BQ為底邊的等腰三角形時(shí)：CQ＝BC，如圖2所示，則BC+CQ＝24（cm），∴t＝24÷2＝12，綜上所述：當(dāng)t為11或12時(shí)，△BCQ是以BC或BQ為底邊的等腰三角形．故答案為：11秒或12．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知識(shí)．用時(shí)間t表示出相應(yīng)線段的長(zhǎng)，化“動(dòng)”為“靜”是解決這類問(wèn)題的一般思路，注意方程思想的應(yīng)用．一．選擇題（共6小題）1．若等腰三角形邊長(zhǎng)別為6cm和3cm，則該等腰三角形的周長(zhǎng)是（）A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm【分析】根據(jù)已知條件和三角形三邊關(guān)系可知；等腰三角形的腰長(zhǎng)不可能為3cm，只能為6cm，然后即可求得等腰三角形的周長(zhǎng)．【解答】解：①6cm為腰，3cm為底，此時(shí)周長(zhǎng)為6+6+3＝15cm；②6cm為底，3cm為腰，則兩邊和等于第三邊無(wú)法構(gòu)成三角形，故舍去．故其周長(zhǎng)是15cm．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查學(xué)生對(duì)等腰三角形的性質(zhì)及三角形的三邊關(guān)系的掌握情況．已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵．2．等腰三角形的周長(zhǎng)為21cm，其中一邊長(zhǎng)為5cm，則該等腰三角形的底邊長(zhǎng)為（）A．5cm B．11cm C．8cm或5cm D．11cm或5cm【分析】由于長(zhǎng)為5cm的邊可能為腰，也可能為底邊，故應(yīng)分兩種情況討論．【解答】解：當(dāng)5cm是等腰三角形的底邊時(shí)，則其腰長(zhǎng)是（21﹣5）÷2＝8（cm），能夠組成三角形；當(dāng)5cm是等腰三角形的腰時(shí)，則其底邊是21﹣5×2＝11（cm），∵5+5＝10＜11，∴不能夠組成三角形．故該等腰三角形的底邊長(zhǎng)為：5cm．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等腰三角形的兩腰相等的性質(zhì)，同時(shí)注意三角形的三邊關(guān)系．3．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，連接DE．若△ABC的周長(zhǎng)為20cm，則△CDE的周長(zhǎng)為（）A．10cm B．12cm C．14cm D．16cm【分析】根據(jù)中點(diǎn)的定義得到DC=12BC，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到DE=【解答】解：∵AB＝AC，BD＝CD，∴∠ADC＝90°，在Rt△ADC中，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，∴DC=12BC，DE=∵△ABC的周長(zhǎng)為20cm，∴△CDE的周長(zhǎng)＝DE+EC+DC=12×故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)與判定，掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．4．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD為△ABC的高．若∠CBD＝20°，則∠BAC的度數(shù)是（）A．30° B．40° C．50° D．60°【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．【解答】解：∵BD為△ABC的高，∴∠BDC＝90°．∵∠CBD＝20°，∴∠C＝90°﹣∠CBD＝90°﹣20°＝70°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC＝70°，又∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°．∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣70°﹣70°＝40°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是會(huì)綜合運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行答題，此題難度一般．5．下列長(zhǎng)度的三條線段能組成等腰三角形的是（）A．1，2，3 B．3，4，5 C．2，2，3 D．2，2，4【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系和等腰三角形的定義解答．【解答】解：A、∵1+2＝3，∴不能組成三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；B、∵3+4＞5，∴能組成三角形，但不是等腰三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；C、∵2+2＞3，∴能組成三角形，且是等腰三角形，故此選項(xiàng)符合題意；D、∵2+2＝4，∴不能組成三角形，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定，三角形的三邊關(guān)系，要注意三角形的任意兩邊之和大于第三邊．6．已知a，b是△ABC的兩條邊長(zhǎng)，且a2+b2﹣2ab＝0，則△ABC的形狀是（）A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．銳角三角形 D．不確定【分析】由a2+b2﹣2ab＝0，可得出a＝b，結(jié)合a，b是△ABC的兩條邊長(zhǎng)，即可得出△ABC為等腰三角形．【解答】解：∵a2+b2﹣2ab＝0，即（a﹣b）2＝0，∴a﹣b＝0，∴a＝b．又∵a，b是△ABC的兩條邊長(zhǎng)，∴△ABC為等腰三角形．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定以及偶次方的非負(fù)性，利用偶次方的非負(fù)性，找出三角形的兩邊相等是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共3小題）7．如圖，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線交于點(diǎn)O，MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，且MN∥BC，分別交AB、AC于點(diǎn)M、N．若BM＝3cm，MN＝5cm，則CN＝2cm．【分析】根據(jù)BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，且MN∥BC，結(jié)合等腰三角形的判定可證得MO＝MC，NO＝NB，于是得到MN＝BM+CN，進(jìn)而求出CN．【解答】解：∵∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，∴∠MBO＝∠OBC，∠OCN＝∠OCB，∵M(jìn)N∥BC，∴∠OBC＝∠MOB，∠NOC＝∠OCB，∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠OCN，∴BM＝MO，ON＝CN，∴MN＝MO+ON，即MN＝BM+CN，∵BM＝3cm，MN＝5cm，∴CN＝MN﹣BM＝5﹣3＝2（cm），故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，根據(jù)角平分線的定義即平行線的性質(zhì)證得MO＝MC，NO＝NB是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．8．如圖，△ABC中，∠A＝∠ACB，CP平分∠ACB，BD，CD分別是△ABC的兩外角的平分線，下列結(jié)論中：①CP⊥CD；②∠P=12∠A；③BC＝CD；④∠D＝90°-12∠A；⑤PD∥AC．其中正確的結(jié)論是【分析】根據(jù)角平分線的定義得到∠PCB=12∠ACB，∠BCD=12∠BCF，根據(jù)垂直的定義得到CP⊥CD；故①正確；延長(zhǎng)CB，根據(jù)角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)得到∠P=12∠A，故②正確；根據(jù)平行線的判定定理得到AB∥CD，推出△ABC是等邊三角形，而△ABC中，∠A＝∠ACB，于是得到假設(shè)不成立，故③錯(cuò)誤；根據(jù)角平分線的定義得到∠EBD＝∠DBC，∠BCD＝∠DCF，推出∠ABC＝180°﹣2∠DBC，∠ACB＝180°﹣2∠DCB，求得∠D＝90°-12∠A，故④正確；根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到∠EBC＝∠A+∠ACB，∠A＝∠ACB，求得∠EBD【解答】解：∵CP平分∠ACB，CD平分∠BCF，∴∠PCB=12∠ACB，∠BCD∵∠ACB+∠BCF＝180°，∴∠PCD＝∠PCB+∠BCD=12∠ACB+12∠BCF=12（∴CP⊥CD；故①正確；延長(zhǎng)CB，∵BD平分∠CBE，∠CBE＝∠ABH，∴BP平分∠ABH，∴∠PBH＝∠BCP+∠P，∵∠A+2∠PCB＝2∠PBH，∴∠A+2∠PCB＝2∠BCP+2∠P，∴∠A＝2∠P，即：∠P=12∠A，故假設(shè)BC＝CD，∴∠CBD＝∠D，∵∠EBD＝∠CBD，∴∠EBD＝∠D，∴AB∥CD，∴∠DCF＝∠A，∵∠ACB＝∠A，CD平分∠BCF，∴∠ACB＝∠BCD＝∠DCF，∴∠A＝∠ACB＝60°，∴△ABC是等邊三角形，而△ABC中，∠A＝∠ACB，∴△ABC是等腰三角形，∴假設(shè)不成立，故③錯(cuò)誤；∵BD、CD分別是△ABC的兩個(gè)外角∠EBC、∠FCB的平分線，∴∠EBD＝∠DBC，∠BCD＝∠DCF，∴∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，∴∠A+∠A