18.1平行四邊形的性質(zhì)(精講)-2021-2022學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期重要考點(diǎn)(人教版)

18.1平行四邊形的性質(zhì)（解析版）平行四邊形的定義平行四邊形的定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.平行四邊形ABCD記作“ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”.注意：平行四邊形的基本元素：邊、角、對(duì)角線.相鄰的兩邊為鄰邊，有四對(duì)；相對(duì)的邊為對(duì)邊，有兩對(duì)；相鄰的兩角為鄰角，有四對(duì)；相對(duì)的角為對(duì)角，有兩對(duì)；對(duì)角線有兩條.題型1：平行四邊形的定義1.如圖，在?ABCD中，若EF∥AD，OH∥CD，EF與GH相交于點(diǎn)O，則圖中的平行四邊形一共有（）A．4個(gè) B．5個(gè) C．8個(gè) D．9個(gè)【分析】根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，∵AD∥EF，CD∥GH，∴AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC，∴平行四邊形有：?ABCD，?ABHG，?CDGH，?BCFE，?ADFE，?AGOE，?BEOH，?OFCH，?OGDF共9個(gè)．即共有9個(gè)平行四邊形，故選：D【變式11】如圖，點(diǎn)D、E、F分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，則圖中平行四邊形一共有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)三角形的中位線定理得出EF∥AB，DF∥BC，DE∥AC，根據(jù)有兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形推出即可．【解答】解：有3個(gè)平行四邊形，有平行四邊形ADEF，平行四邊形CFDE，平行四邊形BEFD，理由是：∵D、E、F分別是△ABC的邊AB、BC、CA的中點(diǎn)，∴EF∥AB，DF∥BC，∴四邊形BEFD是平行四邊形，同理四邊形ADEF是平行四邊形，四邊形CFDE是平行四邊形，∴圖中平行四邊形一共有3個(gè)，故選：C【變式12】以A、B、C三點(diǎn)為平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)作形狀不同的平行四邊形，一共可以作0個(gè)或3個(gè)．【分析】連接AB、BC、CA，分別以其中一條線段為對(duì)角線，另兩邊為平行四邊形的邊，可構(gòu)成三個(gè)不同的平行四邊形．【解答】解：①當(dāng)A、B、C三點(diǎn)共線時(shí)，以A、B、C三點(diǎn)為平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)，不能作形狀不同的平行四邊形；②已知三點(diǎn)為A、B、C，連接AB、BC、CA，分別以AB、BC、CA為平行四邊形的對(duì)角線，另外兩邊為邊，可構(gòu)成的平行四邊形有三個(gè)：?ACBD，?ACEB，?ABCF．綜上所述，可以作0個(gè)或3個(gè)平行四邊形．故答案為：0個(gè)或3個(gè)．平行四邊形的性質(zhì)（1）1.邊的性質(zhì)：平行四邊形兩組對(duì)邊平行且相等；2.角的性質(zhì)：平行四邊形鄰角互補(bǔ)，對(duì)角相等；注意：①平行四邊形的性質(zhì)中邊的性質(zhì)可以證明兩邊平行或兩邊相等；角的性質(zhì)可以證明兩角相等或兩角互補(bǔ)；題型2：平行四邊形的性質(zhì)與角度計(jì)算2如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E在線段BC的延長(zhǎng)線上，若∠DCE＝128°，則∠A＝（）A．32° B．42° C．52° D．62°【分析】根據(jù)平行四邊形的外角的度數(shù)求得其相鄰的內(nèi)角的度數(shù)，然后求得其對(duì)角的度數(shù)即可．【解答】解：∵∠DCE＝128°，∴∠DCB＝180°﹣∠DCE＝180°﹣128°＝52°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A＝∠DCB＝52°，故選：C【變式21】如圖，在平行四邊形ABCD中，過(guò)點(diǎn)C的直線CE⊥AB，垂足為E，若∠EAD＝50°，則∠BCE的度數(shù)為（）A．50° B．45° C．40° D．35°【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得出∠B＝∠EAD＝50°，由角的互余關(guān)系得出∠BCE＝90°﹣∠B即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠B＝∠EAD＝50°，∵CE⊥AB，∴∠BCE＝90°﹣∠B＝40°；故選：C【變式22】如圖，平行四邊形ABCD中，BD為對(duì)角線，∠C＝60°，BE平分∠ABC交DC于點(diǎn)E，連接AE，若∠EAB＝38°，則∠DBE為22度．【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可．【解答】解：∵平行四邊形ABCD中，∠C＝60°，∴AD＝BC，∠ADE＝∠ABC＝120°，∠BAD＝60°，∵∠EAB＝38°，∴∠EAD＝∠BAD﹣∠EAB＝22°，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝60°，∴△BCE是等邊三角形，∴BE＝BC，∠BEC＝60°，∴BE＝AD，∠BED＝120°＝∠ADE，在△BDE與△AED中，，∴△BDE≌△AED（SAS），∴∠DBE＝∠EAD＝22°，故答案為：22題型3：平行四邊形的性質(zhì)與求線段3.如圖，在?ABCD中，AD＝2AB，CE平分∠BCD交AD邊于點(diǎn)E，且AE＝2，則AB的長(zhǎng)為（）A． B．2 C．2 D．2【分析】利用平行四邊形的對(duì)邊相等且互相平行，進(jìn)而得出AE＝DE＝AB即可得出答案．【解答】解：∵CE平分∠BCD交AD邊于點(diǎn)E，∴∠ECD＝∠ECB，在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，∴∠DEC＝∠ECB，∴∠DEC＝∠DCE，∴DE＝DC，∵AD＝2AB，∴AD＝2CD，∴AE＝DE＝AB＝2．故選：C【變式31】如圖，在?ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝8，BE＝3，則CD＝（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】首先由在?ABCD中，AD＝8，BE＝3，求得CE的長(zhǎng)，然后由DE平分∠ADC，證得△CED是等腰三角形，繼而求得CD的長(zhǎng)．【解答】解：在?ABCD中，AD＝8，∴BC＝AD＝8，AD∥BC，∴CE＝BC﹣BE＝8﹣3＝5，∠ADE＝∠CED，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∴∠CDE＝∠CED，∴CD＝CE＝5，故選：B【變式32】如圖，在?ABCD中，∠BCD的平分線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，AE＝2，AD＝5，則CD的長(zhǎng)為（）A．4 B．3 C．2 D．1.5【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AB∥CD，AD＝BC＝5，由CE平分∠BCD得∠DCE＝∠BCE，由平行線的性質(zhì)得∠DCE＝∠E，運(yùn)用等量代換得∠E＝∠BCE，從而得到△BCE為等腰三角形，計(jì)算出BE的長(zhǎng)度，由AE＝2可求得AB的長(zhǎng)度，繼而得到CD的長(zhǎng)．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD＝BC＝5，CD＝AB，∴∠E＝∠ECD，∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠ECD，∴∠E＝∠BCE，∴BE＝BC＝5，∴AB＝BE﹣AE＝5﹣2＝3，∴CD＝3．故選：B平行四邊形的性質(zhì)（2）1.對(duì)角線性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)角線互相平分；2．平行四邊形是中心對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)角線的交點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)中心.注意：（1）對(duì)角線的性質(zhì)可以證明線段的相等關(guān)系或倍半關(guān)系.利用對(duì)角線互相平分可解決對(duì)角線或邊的取值范圍的問(wèn)題，在解答時(shí)應(yīng)聯(lián)系三角形三邊的不等關(guān)系來(lái)解決.（3）對(duì)角線性質(zhì)的拓展∶①兩條對(duì)角線將平行四邊形分為面積相等的四個(gè)三角形;②過(guò)平行四邊形的對(duì)角線交點(diǎn)作直線與平行四邊形的一組對(duì)邊或?qū)叺难娱L(zhǎng)線相交，得到線段總相等;③過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)的任一條直線都將平行四邊形分成面積相等的兩部分.且與對(duì)角線圍成的三角形相對(duì)的兩個(gè)全等.題型4：平行四邊形的性質(zhì)與求周長(zhǎng)4.如圖，?ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且AC+BD＝16，若△BCO的周長(zhǎng)為14，則AD的長(zhǎng)為（）A．12 B．9 C．8 D．6【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD，由△BCO的周長(zhǎng)為14，可求BC＝AD＝6．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD，∵AC+BD＝16，∴BO+CO＝8，∵△BCO的周長(zhǎng)為14，∴BC＝6＝AD，故選：D【變式41】在?ABCD中，若∠B＝60°，AB＝16，AC＝14，則?ABCD的周長(zhǎng)是52或44．【分析】過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于E，利用勾股定理得出BE，AE，EC，進(jìn)而根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)解答即可．【解答】解：①當(dāng)△ABC是銳角三角形時(shí)，如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于E，∵∠B＝60°，AB＝16，∴BE＝8，AE＝8，由勾股定理得，EC＝，∴BC＝BE+EC＝8+2＝10，∴?ABCD的周長(zhǎng)＝2（AB+BC）＝2×（10+16）＝52，②當(dāng)△ABC是銳角三角形時(shí)，如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于E，由①可知，BE＝8，EC＝2，∴BC＝BE﹣EC＝6，∴?ABCD的周長(zhǎng)＝2（AB+BC）＝2×（16+6）＝44，故答案為：52或44【變式42】如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O任意作直線分別交AB、CD于點(diǎn)E、F．（1）求證：OE＝OF；（2）若CD＝7，AD＝5，OE＝2，求四邊形AEFD的周長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AD∥BC，OA＝OC，求出∠EAO＝∠FCO，根據(jù)ASA推出△AEO≌△CFO，從而結(jié)論；（2）由△AOE≌△COF（ASA），可得EF＝2OE＝4，DF+AF＝AB＝6，繼而求得答案．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC，OA＝OC，∴∠EAO＝∠FCO，在△AEO和△CFO中，，∴△AEO≌△CFO（ASA），∴OE＝OF；（2）解：∵△OAE≌△OCF，∴CF＝AE，∴DF+AE＝AB＝CD＝7，又∵EF＝2OE＝4，∴四邊形AEFD的周長(zhǎng)＝AD+DF+AE+EF＝7+4+5＝16題型5：平行四邊形的性質(zhì)與面積5.如圖，在?ABCD中，BC＝13，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥DC于E，AE＝12，CE＝10．（1）求AB的長(zhǎng)；（2）求?ABCD的面積．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理得出DE，進(jìn)而解答即可；（2）根據(jù)平行四邊形的面積公式解答即可．【解答】解：（1）在?ABCD中，AB＝CD，AD＝BC＝13，在Rt△ADE中，，＝．∴CD＝DE+CE＝5+10＝15．∴AB＝15；（2）S?ABCD＝CD×AE＝15×12＝180【變式51】如圖，在?ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接BF、AC．（1）求證：△ABE≌△FCE；（2）若AD＝AF，AB＝3，BC＝5，求四邊形ABFC的面積．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得到AB∥DF，從而證得∠ABC＝∠BCF，利用ASA可證明結(jié)論；（2）由△ABE≌△FCE得到AE＝FE，利用對(duì)角線相等可證得四邊形ABFC為平行四邊形，得到AB＝FC＝CD，利用等腰三角形三線合一證得AC⊥DF，從而得到四邊形ABFC是矩形，再利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)度，即可求出四邊形ABFC的面積．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DF，∴∠ABC＝∠BCF，∵E為BC中點(diǎn)，∴BE＝CE，在△ABE和△FCE中，，∴△ABE≌△FCE．（2）解：∵△ABE≌△FCE，∴AE＝FE，∵BE＝FC，∴四邊形ABFC是平行四邊形，∴AB＝CF＝CD，∵AD＝AF，∴AC⊥FD，∴四邊形ABFC是矩形，∴∠BAC＝90°，∵AB＝3，BC＝5，根據(jù)勾股定理得AC＝＝＝4，∴矩形ABFC的面積為AB?AC＝3×4＝12【變式52】如圖，?ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，BC＝5，P是對(duì)角線AC上任一點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，則陰影部分的面積為（）A．5 B．5 C．10 D．10【分析】利用?的性質(zhì)及判定定理可判斷四邊形AEPF為?，EF、AP為?AEPF的對(duì)角線，設(shè)交點(diǎn)為O，則EF、AP相互平分，從而證得△POF≌△AOE，則陰影部分的面積等于△ABC的面積．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC∵PE∥BC，∴PE∥AD∵PF∥CD，∴PF∥AB，∴四邊形AEPF為?．設(shè)?AEPF的對(duì)角線AP、EF相交于O，則AO＝PO，EO＝FO，∠AOE＝∠POF∴△POF≌△AOE（SAS），∴圖中陰影部分的面積等于△ABC的面積，過(guò)A作AM⊥BC交BC于M，∵∠B＝60°，AB＝4，∴AM＝2，S△ABC＝×5×2＝5，即陰影部分的面積等于5．故選：B題型6：平行四邊形的性質(zhì)與三邊關(guān)系6.如圖，平行四邊形ABCD和平行四邊形EAFC的頂點(diǎn)D、E、F、B在同一條直線上，則下列關(guān)系正確的是（）A．DE＞BF B．DE＝BF C．DE＜BF D．DE＝FE＝BF【分析】本題要求的是DE與BF之間的關(guān)系，它們分別是在△ECD與△FAB中的兩邊，只要證明兩個(gè)三角形全等即可．【解答】解：∵在平行四邊形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD∴∠CDE＝∠ABF∵在平行四邊形EAFC中，EC∥AF∴∠AFE＝∠CEF∴∠AFB＝∠CED∴△ECD≌△FAB（AAS）所以DE＝BF．故選：B【變式61】如圖，AB＝CD＝DE，CE是由AB平移所得，則AC+BD與AB的大小關(guān)系是（）A．AC+BD＜AB B．AC+BD＝AB C．AC+BD＞AB D．無(wú)法確定【分析】由平移的性質(zhì)可得AB∥CE，AB＝CE，可證四邊形ABEC是平行四邊形，可得AC＝BE，AB＝CE，由三角形的三邊關(guān)系可求解．【解答】解：∵CE是由AB平移所得∴AB∥CE，AB＝CE∴四邊形ABEC是平行四邊形∴AC＝BE，AB＝CE，∴AB＝CD＝DE＝CE，在△DBE中，DB+BE＞DE，∴DB+AC＞AB，故選：C【變式62】已知：如圖，在?ABCD中，E、F是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，且AE＝CF．猜測(cè)DE和BF的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得AD＝BC，AD∥BC，由“SAS”可證△ADE≌△CBF，即可得結(jié)論．【解答】解：DE∥BFDE＝BF理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AD＝BC，AD∥BC∴∠DAC＝∠ACB，且AE＝CF，AD＝BC∴△ADE≌△CBF（SAS）∴DE＝BF，∠AED＝∠BFC∴∠DEC＝∠AFB∴DE∥BF題型7：平行四邊形的性質(zhì)與角平分線7.如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，∠BAD的角平分線AF交CD于點(diǎn)E，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．連接BE，若BE⊥AF，EF＝2，，則AB的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．4【分析】由平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可證AB＝BF，在Rt△BEF中，由勾股定理可求BF，即可求解．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠F，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠F＝∠BAE，∴AB＝BF，∵BE⊥AF，EF＝2，，∴BF＝＝＝4，∴AB＝BF＝4，故選：D【變式71】如圖，在?ABCD中，AB＝5，BC＝8，∠ABC和∠BCD的角平分線分別交AD于點(diǎn)E、F，若BE＝6，則CF＝8．【分析】過(guò)點(diǎn)A作AM∥FC，交BE與點(diǎn)O，由平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可證∠BHC＝90°，由平行線的性質(zhì)可求∠AOE＝∠BHC＝90°，由平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可證AE＝AB＝5，由勾股定理可求AO的長(zhǎng)，由“ASA”可證△ABO≌△MBO，可得AO＝OM＝4，通過(guò)證明四邊形AMCF是平行四邊形，可得CF＝AM＝8．【解答】解：如圖，設(shè)BE與FC的交點(diǎn)為H，過(guò)點(diǎn)A作AM∥FC，交BE與點(diǎn)O，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠ABC+∠DCB+180°，∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，∴∠ABE＝∠EBC，∠BCF＝∠DCF，∴∠CBE+∠BCF＝90°，∴∠BHC＝90°，∵AM∥CF，∴∠AOE＝∠BHC＝90°，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBC＝∠ABE，∴AB＝AE＝5，又∵∠AOE＝90°，∴BO＝OE＝3，∴AO＝＝＝4，在△ABO和△MBO中，，∴△ABO≌△MBO（ASA），∴AO＝OM＝4，∴AM＝8，∵AD∥BC，AM∥CF，∴四邊形AMCF是平行四邊形，∴CF＝AM＝8，故答案為：8【變式72】如圖，在平行四邊形ABCD中，∠BAD的角平分線AE交CD于點(diǎn)F，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．求證：CD＝BE．【分析】直接利用平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合角平分線的定義、等腰三角形的性質(zhì)得出AB＝BE，進(jìn)而得出答案．【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB＝CD，∴∠DAE＝∠AEB．∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB．∴BE＝AB，∴BE＝CD題型8：平行四邊形的性質(zhì)與垂直平分線8.在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC的垂直平分線交AD于點(diǎn)E，連接CE．若平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為30cm，則△CDE的周長(zhǎng)為（）A．20cm B．40cm C．15cm D．10cm【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得AE＝CE，又AB+BC＝AD+CD＝15cm，繼而可得△CDE的周長(zhǎng)等于AD+CD．【解答】解：如圖，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AD＝BC，∵平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為30cm，∴AD+CD＝15（cm），∵OE⊥AC，∴AE＝CE，∴△CDE的周長(zhǎng)為：CD+CE+DE＝CD+CE+AE＝AD+CD＝15（cm）．故選：C【變式81】如圖，在?ABCD中，D在AB的垂直平分線上，且?ABCD的周長(zhǎng)為42cm，△BCD的周長(zhǎng)比?ABCD的周長(zhǎng)少12cm，則AB＝12cm，S?ABCD＝36cm2．【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可知，AD＝DB，由于△ABD的周長(zhǎng)比?ABCD的周長(zhǎng)少10cm，所以可求出BD＝9cm，再根據(jù)周長(zhǎng)的值求出AB，根據(jù)勾股定理求出高DE，即可求出答案．【解答】解：∵AB的垂直平分線EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，∴DA＝DB，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DA＝CB，∵△ABD的周長(zhǎng)比?ABCD的周長(zhǎng)少10cm∴BD＝9cm，∴ADBC＝BD＝9cm，∵?ABCD的周長(zhǎng)為42cm，∴AB＝DC＝×42cm﹣9cm＝12cm，在△ADB中，AD＝BD＝9cm，AB＝12cm，∵DE垂直平分AB，∴∠AED＝90°，AE＝BE＝6cm，由勾股定理得：DE＝＝3（cm），∴S平行四邊形ABCD＝AB×DE＝12cm×3cm＝36cm2，故答案為：12，36．【變式82】如圖，在平行四邊形ABCD中，AC的垂直平分線分別交CD，AB于點(diǎn)F和E，AB＝4，BC＝，AC＝3，求EF的長(zhǎng)．【分析】過(guò)C作CG∥FE交AB的延長(zhǎng)線于G、作CH⊥BG交BG于H．構(gòu)建直角△AHC、直角△BCH，相似三角形△ACH∽△AGC，以及平行四邊形EFCG．利用勾股定理和相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可以求得CG的長(zhǎng)度，則平行四邊形EFCG的對(duì)邊相等：EF＝CG．【解答】解：如圖，過(guò)C作CG∥FE交AB的延長(zhǎng)線于G、作CH⊥BG交BG于H．由勾股定理得到：CH2＝AC2﹣（AB+BH）2＝BC2﹣BH2，∵AB＝4，BC＝，AC＝3，∴（3）2﹣（4+BH）2＝（）2﹣BH2，解得∴BH＝1．∴AH＝AB+BH＝4+1＝5．∴CH＝＝．∵CG∥FE、AC⊥FE，∴CG⊥AC．∵∠CAH＝∠GAC，∠AHC＝∠ACG＝90°，∴△ACH∽△AGC，∴CH：CG＝AH：AC，∴CG＝＝．∵四邊形ABCD平行四邊形，∴FC∥EG．又CG∥FE，∴四邊形EFCG是平行四邊形，∴EF＝CG＝．題型9：平行四邊形的性質(zhì)與最值9.如圖，在四邊形ABCD中，DC∥AB，AD⊥AB，DC＝2，AD＝4，AB＝6，點(diǎn)M是線段AD上任意一點(diǎn)，連接MC并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使MC＝CE，以MB和ME為邊作平行四邊形MBNE，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段MN長(zhǎng)度的最小值．【分析】作輔助線，構(gòu)建相似三角形，先根據(jù)平行線分線段成比例定理得：＝，G是BC上一定點(diǎn)，得出當(dāng)MN⊥AD時(shí)，MN的長(zhǎng)最小，計(jì)算AH的長(zhǎng)就是MN的最小值．【解答】解：當(dāng)MN⊥AD時(shí)，MN的長(zhǎng)最小，∴MN∥DC∥AB，∴∠DCM＝∠CAN＝∠MNB＝∠NBH，設(shè)MN與BC相交于點(diǎn)G，∵M(jìn)E∥BN，MC＝CE，∴＝，∴G是BC上一定點(diǎn)，作NH⊥AB，交AB的延長(zhǎng)線于H，∵∠D＝∠H＝90°，∴Rt△MDC∽R(shí)t△NHB，即＝，∴BH＝2DC＝4，∴AH＝AB+BH＝6+4＝10，∴當(dāng)MN⊥AD時(shí)，MN的長(zhǎng)最小，即為10；則線段MN長(zhǎng)度的最小值為10．【變式91】如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＞AB，點(diǎn)D在BC上，以AC為對(duì)角線的所有平行四邊形ADCE中，求DE的最小值．【分析】由平行四邊形的對(duì)角線互相平分、垂線段最短知，當(dāng)OD⊥BC時(shí)，DE線段取最小值．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∴BC⊥AB，∵四邊形ADCE是平行四邊形，∴OD＝OE，OA＝OC，∴當(dāng)OD取最小值時(shí)，DE線段最短，此時(shí)OD⊥BC，∴OD是△ABC的中位線，∴OD＝AB＝2，∴ED＝2OD＝4；則DE的最小值是4．【變式92】在平面直角坐標(biāo)系中，已知平行四邊形ABCD的點(diǎn)A（0，﹣1）、點(diǎn)B（m，m+1）（m≠﹣1），點(diǎn)C（4，1），則對(duì)角線BD的最小值是（）A．3 B．2 C．5 D．6【分析】先根據(jù)B（m，m+1），可知B在直線y＝x+1上，設(shè)AC，BD的交點(diǎn)為M，則M（2，0），BD＝2BM，所以當(dāng)BM最小時(shí)，BD最小，根據(jù)垂線段最短，得到當(dāng)BM⊥直線y＝x+1時(shí)，BM最小，此時(shí)BD亦最小，如圖2，可以證得△BEM為等腰直角三角形，從而利用勾股定理，求得此時(shí)BM的值，即可解決．【解答】解：∵點(diǎn)B（m，m+1），∴令，∴y＝x+1，∴B在直線y＝x+1上，設(shè)AC，BD交于點(diǎn)M，如圖1，∴M是AC和BD的中點(diǎn)，∴M（2，0），BD＝2BM，∴當(dāng)BM最小時(shí)，BD最小，過(guò)M作MH⊥直線y＝x+1于H，根據(jù)垂線段最短，BM≥MH，所以BM的最小值為MH，即當(dāng)BM⊥直線y＝x+1時(shí)，BM最小，則BD最小，設(shè)直線y＝x+1與x軸，y軸交于點(diǎn)E，F(xiàn)，如圖2，令x＝0，則y＝1，∴F（0，1），同理，E（﹣1，0），∴OE＝OF＝1，∴∠BEM＝45°，又∠MBE＝90°，∴∠BEM＝∠BME＝45°，∴△BME為等腰直角三角形，∵E（﹣1，0），M（2，0），∴ME＝3，∵BE2+BM2＝ME2，且BM＝BE，∴BM＝，∴，即對(duì)角線BD的最小值為3，故選：A．題型10：平行四邊形的性質(zhì)與折疊問(wèn)題10.如圖，將?ABCD沿對(duì)角線AC折疊，使點(diǎn)B落在B′處，若∠1＝∠2＝44°，則∠B為（）A．66° B．104° C．114° D．124°【分析】由平行四邊形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)得出∠ACD＝∠BAC＝∠B′AC，由三角形的外角性質(zhì)求出∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC＝∠1＝22°，再由三角形內(nèi)角和定理求出∠B即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC，由折疊的性質(zhì)得：∠BAC＝∠B′AC，∴∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC＝∠1＝22°，∴∠B＝180°﹣∠2﹣∠BAC＝180°﹣44°﹣22°＝114°；故選：C【變式101】如圖，在?ABCD中，∠A＝70°，將?ABCD折疊，使點(diǎn)D、C分別落在點(diǎn)F、E處（點(diǎn)F、E都在AB所在的直線上），折痕為MN，則∠AMF等于（）A．70° B．40° C．30° D．20°【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得出AM＝MD＝MF，得出∠MFA＝∠A＝70°，再由三角形內(nèi)角和定理即可求出∠AMF．【解答】解：根據(jù)題意得：AM＝MD＝MF，∴∠MFA＝∠A＝70°，∴∠AMF＝180°﹣70°﹣70°＝40°；故選：B【變式102】如圖，把平行四邊形ABCD折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，這時(shí)點(diǎn)D落在D1，折痕為EF，若∠BAE＝55°，則∠D1AD＝55°．【分析】由平行四邊形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)得出∠D1AE＝∠BAD，得出∠D1AD＝∠BAE＝55°即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BAD＝∠C，由折疊的性質(zhì)得：∠D1AE＝∠C，∴∠D1AE＝∠BAD，∴∠D1AD＝∠BAE＝55°；故答案為：55°．題型11：平行四邊形的性質(zhì)與證明題11.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E，F(xiàn)是對(duì)角線AC的三等分點(diǎn)，連接BE，DF．證明：BE＝DF．【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AB＝CD，AB∥CD，進(jìn)而利用全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可．【解答】證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，∵E，F(xiàn)是對(duì)角線AC的三等分點(diǎn)，∴AE＝CF，在△ABE與△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴BE＝DF．【變式111】如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E，F(xiàn)是對(duì)角線BD上的點(diǎn)，∠1＝∠2．（1）求證：BE＝DF；（2）線段AF與CE有什么關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論．【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)得出∠5＝∠3，∠AEB＝∠4，進(jìn)而利用全等三角形的判定得出即可；（2）利用全等三角形的性質(zhì)得出AE＝CF，進(jìn)而得出四邊形AECF是平行四邊形，即可得出答案．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠5＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠AEB＝∠4，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE＝DF；（2）AE＝CF且AF∥CE，理由如下：由（1）得△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∵∠1＝∠2，∴AE∥CF，∴四邊形AECF是平行四邊形，∴AF∥CE．【變式112】如圖，在?ABCD中，AE、BF分別平分∠DAB和∠ABC，交CD于點(diǎn)E、F，AE、BF相交于點(diǎn)M．（1）求證：AE⊥BF；（2）判斷線段DF與CE的大小關(guān)系，并予以證明．【分析】（1）只要證明∠MAB+∠MBA＝90°即可；（2）結(jié)論：DF＝CE．只要證明AD＝DE，CF＝BC，可得DE＝CF即可解決問(wèn)題；【解答