專題1.1全等三角形七大基本模型專項講練（原卷版）

專題1.1全等三角形七大基本模型專項講練全等在初中數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，該份資料就全等三角形中平移型全等、軸對稱（翻折）型全等、旋轉(zhuǎn)型全等、三垂直型全等、一線三等角型全等、手拉手型全等、半角模型等經(jīng)典模型進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。模型一：平移模型【模型解讀】把△ABC沿著某一條直線l平行移動，所得到△DEF與△ABC稱為平移型全等三角形，圖①，圖②是常見的平移型全等三角線.【常見模型】例1．（2022·浙江杭州市·八年級期中）如圖，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F(xiàn)在同一條直線上，AB//DE，AB=DE，∠A=∠D．（1）求證：；（2）若BF=11，EC=5，求BE的長．變式1.（2021?富順縣校級月考）如圖1，A，B，C，D在同一直線上，AB＝CD，DE∥AF，且DE＝AF，求證：△AFC≌△DEB．如果將BD沿著AD邊的方向平行移動，如圖2，3時，其余條件不變，結(jié)論是否成立？如果成立，請予以證明；如果不成立，請說明理由．模型二：軸對稱模型【模型解讀】將原圖形沿著某一條直線折疊后，直線兩邊的部分能夠完全重合，這兩個三角形稱之為軸對稱型全等三角形，此類圖形中要注意期隱含條件，即公共邊或公共角相等.【常見模型】例2．（2021·河南南陽市·八年級期末）如圖，已知∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，AE＝DB，BC與EF交于點O，（1）求證：Rt△ABC≌Rt△DEF；（2）若∠A＝51°，求∠BOF的度數(shù)．變式2.（2021·安徽·八年級期末）如圖，AB＝AC，D、E分別是AB、AC的中點，AM⊥CD于M，AN⊥BE干N．求證：AM＝AN．模型三：旋轉(zhuǎn)模型【模型解讀】將三角形繞著公共頂點旋轉(zhuǎn)一定角度后，兩個三角形能夠完全重合，則稱這兩個三角形為旋轉(zhuǎn)型三角形，識別旋轉(zhuǎn)型三角形時，涉及對頂角相等、等角加（減）公共角的條件.【常見模型】例3．（2021·江蘇鎮(zhèn)江市·八年級期末）如圖，，求證：（1）；（2）．變式3.（2021?浦東新區(qū)期末）如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°．（1）當(dāng)點D在AC上時，如圖①，線段BD，CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請證明你的猜想；（2）將圖①中的△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），如圖②，線段BD，CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請說明理由．型四：一線三等角模型【模型解讀】基本圖形如下：此類圖形通常告訴BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B=∠CAE.【常見模型】例4．（2022?覃塘區(qū)期中）已知：D，A，E三點都在直線m上，在直線m的同一側(cè)作△ABC，使AB＝AC，連接BD，CE．（1）如圖①，若∠BAC＝90°，BD⊥m，CE⊥m，求證：△ABD≌△ACE；（2）如圖②，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，請判斷BD，CE，DE三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．4.（2021?香坊區(qū)期末）如圖，在△ABC中，點D是邊BC上一點，CD＝AB，點E在邊AC上，且AD＝DE，∠BAD＝∠CDE．（1）如圖1，求證：BD＝CE；（2）如圖2，若DE平分∠ADC，在不添加輔助線的情況下，請直接寫出圖中所有與∠ADE相等的角（∠ADE除外）．模型五：三垂直全等模型【模型解讀】模型主體為兩個直角三角形，且兩條斜邊互相垂直?！境Ｒ娔Ｐ汀坷?．（2020·江西贛州市·八年級期末）已知：，，，．（1）試猜想線段與的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（2）若將沿方向平移至圖2情形，其余條件不變，結(jié)論還成立嗎？請說明理由．（3）若將沿方向平移至圖3情形，其余條件不變，結(jié)論還成立嗎？請說明理由．變式5.（2021·廣東省龍嶺初級中學(xué)初二期中）如圖，已知∠DCE=90°，∠DAC=90°，BE⊥AC于B，且DC=EC．（1）∠D和∠ECB相等嗎？若相等，請說明理由；（2）△ADC≌△BCE嗎？若全等，請說明理由；（3）能否找到與AB+AD相等的線段，并說明理由。模型六：手拉手模型【模型分析】將兩個三角形繞著公共頂點（即頭）旋轉(zhuǎn)某一角度后能完全重合，則這兩個三角形構(gòu)成手拉手全等，也叫旋轉(zhuǎn)型全等，常用“邊角邊”判定定理證明全等?！灸Ｐ蛨D示】公共頂點A記為“頭”，每個三角形另兩個頂點逆時針順序數(shù)的第一個頂點記為“左手”，第二個頂點記為“右手”。對應(yīng)操作：左手拉左手（即連結(jié)BD），右手拉右手（即連結(jié)CE），得?！境Ｒ娔Ｐ汀浚ǖ妊ǖ冗叄ǖ妊苯牵├?．（2021·甘肅慶陽市·八年級期末）在學(xué)習(xí)全等三角形知識時、教學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個模型：它是由兩個共頂點且頂角相等的等腰三角形構(gòu)成．在相對位置變化的同時，始終存在一對全等三角形．通過資料查詢，他們得知這種模型稱為“手拉手模型”興趣小組進行了如下操究：（1）如圖1、兩個等腰三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE，連接BD、CE、如果把小等腰三角形的腰長看作小手，大等腰三角形的腰長看作大手，兩個等腰三角形有公共頂點，類似大手拉著小手，這個就是“手拉手模型”，在這個模型中，和△ADB全等的三角形是，此線BD和CE的數(shù)量關(guān)系是（2）如圖2、兩個等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，連接BD，CE，兩線交于點P，請判斷線段BD和CE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由：（3）如圖3，已知△ABC、請完成作圖：以AB、AC為邊分別向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE（等邊三角形三條邊相等，三個角都等于60°），連接BE，CD，兩線交于點P，并直接寫出線段BE和CD的數(shù)量關(guān)系及∠PBC+∠PCB的度數(shù)、變式6.（2022·江西上饒市·南屏中學(xué)八年級月考）如圖,AB=CB,BD=BE,∠ABC=∠DBE=a.（1）當(dāng)a=60°,如圖①則，∠DPE的度數(shù)______________（2）若△BDE繞點B旋轉(zhuǎn)一定角度，如圖②所示，求∠DPE（用a表示）模型七：半角全等模型【模型分析】過等腰三角形頂點兩條射線，使兩條射線的夾角為等腰三角形頂角的一半這樣的模型稱為半角模型?！境Ｒ娔Ｐ汀砍Ｒ姷膱D形為正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解題思路一般是將半角兩邊的三角形通過旋轉(zhuǎn)到一邊合并成新的三角形，從而進行等量代換，然后證明與半角形成的三角形全等，再通過全等的性質(zhì)得到線段之間的數(shù)量關(guān)系。半角模型（題中出現(xiàn)角度之間的半角關(guān)系）利用旋轉(zhuǎn)——證全等——得到相關(guān)結(jié)論.例7．（2021·河南新鄉(xiāng)市·八年級期中）已知四邊形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD，DC（或它們的延長線）于E，F(xiàn)．（1）當(dāng)∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)到AE＝CF時（如圖1），求證：△ABE≌△CBF．（2）當(dāng)∠MBN繞點B旋轉(zhuǎn)到AE≠CF時，如圖2，猜想線段AE，CF，EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．（3）當(dāng)∠MBN繞點B旋轉(zhuǎn)到圖3這種情況下，猜想線段AE，CF，EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．變式7.（2021·南昌市心遠中學(xué)八年級期中）在圖1、圖2，圖3中．點E、F分別是四邊形邊上的點；下面請你根據(jù)相應(yīng)的條件解決問題．特例探索：（1）在圖1中，四邊形為正方形（正方形四邊相等，四個內(nèi)角均為直角），，延長至G，使．則__________．在圖2中，，，，，，；則__________．

歸納證明：（2）在圖3中，，．且，請你觀察（1）中的結(jié)果，猜想圖3中線段之間的數(shù)量關(guān)系，用等式表示出來，并利用圖3證明你發(fā)現(xiàn)的關(guān)系式．實際應(yīng)用:（3）圖4是某公路筑建工程平面示意圖，指揮中心設(shè)在O處，A處、B處分別是甲、乙兩公路起點，它們分別在指揮中心的北偏東和南偏東的方向上．且A、B兩處分別與指揮中心O的距離相等：其中甲公路是從A處開始沿正東方向筑建，乙公路是從B處開始沿北偏東40方向筑建：甲、乙兩公路的路基筑建速度分別是每天150米、180米，當(dāng)兩公路同時開工后的第五天收工時，分別筑建到C、D處，經(jīng)測量．試求C與D兩處之間的距離．課后訓(xùn)練1．（2022·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別是點D、E，AD=3，BE=1，則DE的長是（）A．1.5 B．2

C．

D．2．（2022·全國·八年級課時練習(xí)）如圖，正和正中，B、C、D共線，且，連接和相交于點F，以下結(jié)論中正確的有（

）個①

②連接，則平分

③

④A．4 B．3 C．2 D．13．（2022·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，O是正內(nèi)一點，，，．將線段以點B為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段，下列結(jié)論錯誤的是（

）A．點O與的距離為4 B．C．S四邊形AOBO′ D．4．（2022·山西呂梁市·八年級期末）如圖，△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且點B，D，E在同一條直線上，若∠CAE+∠ACE+∠ADE=130°，則∠ADE的度數(shù)為（）A．50°B．65°C．70°D．75°5．（2022·河北保定·八年級期末）如圖1，，，MN是過點A的直線，過點D作于點B，連接CB；過點C作，與MN交于點E．(1)連接AD，AD是AC的______倍；(2)直線MN在圖1所示位置時，可以得到線段BD和AE的數(shù)量關(guān)系是______，與BC之間的數(shù)量關(guān)系是______，請證明你的結(jié)論；(3)直線MN繞點A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，若，，則AB的長為______（直接寫結(jié)果）；(4)直線MN繞點A旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，直接寫出線段BA，BC，BD之間的數(shù)量關(guān)系______．6．（2022·浙江衢州·八年級期末）兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角頂點，并將它們的底角頂點分別對應(yīng)連接起來得到兩個全等三角形，我們把這樣的圖形稱為“手拉手”圖形．如圖1，在“手拉手”圖形中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，連結(jié)BD，CE，則△ABD≌△ACE．(1)請證明圖1的結(jié)論成立；(2)如圖2，△ABC和△AED是等邊三角形，連接BD，EC交于點O，求∠BOC的度數(shù)；(3)如圖3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，試探究∠A與∠C的數(shù)量關(guān)系．7．（2022·福建省福州延安中學(xué)模擬預(yù)測）如圖，在Rt△ABC中，，AC＝BC，D為斜邊AB上一動點（不與端點A，B重合），以C為旋轉(zhuǎn)中心，將CD逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到CE，連接AE，BE，F(xiàn)為AE的中點．(1)求證：；(2)用等式表示線段CD，BE，CF三者之間數(shù)量關(guān)系，并說明理由；8．（2022·江蘇·八年級專題練習(xí)）已知：如圖，AB⊥BD，ED⊥BD，C是BD上的一點，AC⊥CE，AB＝CD，求證：BC＝DE．9．（2022·全國·八年級課時練習(xí)）探究：（1）如圖（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m經(jīng)過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D、E．請直接寫出線段BD，DE，CE之間的數(shù)量關(guān)系是．拓展：（2）如圖（2），將探究中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α為任意銳角或鈍角．請問探究中的結(jié)論是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．應(yīng)用：（3）如圖（3），D、E是D、A、E三點所在直線m上的兩動點（D、A、E三點互不重合），點F為∠BAC平分線上的一點，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，請直接寫出△DEF的形狀是．10．（2022·貴州安順·八年級期末）如圖1，在等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，點D、E分別在邊AB、AC上，AD＝AE，連接DC，點M、P、N分別為DE、DC、BC的中點．

(1)觀察猜想：圖1中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；(2)探究證明：把△ADE繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接MN，BD，判斷△PMN的形狀，并說明理由；(3)拓展延伸：把△ADE繞點A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD＝4，AB＝10，求△PMN面積的最大值．11．（2022·全國·八年級專題練習(xí)）在等邊三角形ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點M、N，P為△ABC外一點，且∠MPN＝60°，∠BPC＝120°，BP＝CP．探究：當(dāng)點M、N分別在直線AB、AC上移動時，BM，NC，MN之間的數(shù)量關(guān)系．(1)如圖①，當(dāng)點M、N在邊AB、AC上，且PM＝PN時，試說明MN＝BM+CN．(2)如圖②，當(dāng)點M、N在邊AB、AC上，且PM≠PN時，MN＝BM+CN還成立嗎？答：．（請在空格內(nèi)填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”）．(3)如圖③，當(dāng)點M、N分別在邊AB、CA的延長線上時，請直接寫出BM，NC，MN之間的數(shù)量關(guān)系．

12.（2022?襄城區(qū)期末）如圖，點B、E、C、F四點在一條直線上，∠A＝∠D，AB∥DE，老師說：再添加一個條件就可以使△ABC≌△DEF．下面是課堂上三個同學(xué)的發(fā)言